Các phương pháp giải PT – BPT – HPT Mũ và Logarit – Nguyễn Trung Kiên - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

CÁC PH ƯƠ NG PHÁP GI I Ả

PH ƯƠ NG TRÌNH- B T PH Ấ ƯƠ NG TRÌNH- H MŨ- LÔGARIT Ệ

CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GI I PHẢ ƯƠNG TRÌNH- B T PHẤ ƯƠNG TRÌNH- H MŨỆ BIÊN SO N GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088Ạ Ễ

CH Đ I:PH Ủ Ề ƯƠNG TRÌNH MŨ

BÀI TOÁN 1: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP BI N Đ I TẾ Ổ ƯƠNG ĐƯƠNG I. Phương pháp:

Ta s d ng phép bi n đ i tử ụ ế ổ ương đương sau:

( ) ( )

1

0 1

f x g x

a a a a

f x g x

 =

 < ≠

= ⇔   =

ho c ặ

( ) ( ) ( )

0

1 0

a

a f x g x

 >

 −  − =

  

 II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i phả ương trình:

(

²^{+ −}^{x x}²

) (

^sin ^{= + −}² ^{x x}²

)

²⁻ ^{3 cos}^x

Gi i: Phả ương trình được bi n đ i v d ng: ế ổ ề ạ

( ) ( )

2

2 2

1 2(*)

2 0

1 0(1)

2 1 sin 2 3 cos 0

sin 3 cos 2(2) x x x

x x

x x x x

x x

− < <

 + − > 

 ⇔  − − =

 + − − − + = 

 

  + =

Gi i (1) ta đả ược _1,2 1 5

x = ±2 tho mãn đi u ki n (*)ả ề ệ Gi i (2): ả 1 3

sin cos 1 sin 1 2 2 ,

2 x+ 2 x= ⇔ x x   + π 3= ⇔ + = + x π π 3 2 kπ ⇔ = + x π6 k k Zπ ∈ Đ nghi m tho mãn đi u ki n (*) ta ph i có:ể ệ ả ề ệ ả

1 1

1 2 2 1 2 0,

6 k 2 6 k 2 6 k k Z

π π π π

π π

   

− < + < ⇔   − −   < <   − ⇔ = ∈ khi đó ta nh n đậ ược ₃ x =π6 V y phậ ương trình có 3 nghi m phân bi t ệ ệ _1,2 1 5 ₃

2 ; 6

x = ± x = π . VD2: Gi i phả ương trình:

(

^x⁻³

)

³^x²^{− +}⁵^x ² ⁼

(

^x²^{− +}⁶^x ⁹

)

^x²^{+ −}^x ⁴

Gi i: Phả ương trình được bi n đ i v d ng: ế ổ ề ạ

(

^x⁻³

)

³^x²^{− +}⁵^x ² ⁼^_

(

^x⁻³

)

²^_^x²^{+ −}^x ⁴ ^{= −}

(

^x ³

)

²⁽^x²^{+ −}^x ⁴⁾

2 2 2

3 1 4

0 3 1 3 4 4

3 5 2 2 2 8 7 10 0 5

x x

x x x

x x x x x x x

− = =

 

 =

 < − ≠  < ≠

⇔       − + = + − ⇔     − + = ⇔ = V y phậ ương trình có 2 nghi m phân bi t x=4, x=5.ệ ệ

BÀI TOÁN 2: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ Đ A V CÙNG C SƯ Ề Ơ Ố I. Phương pháp:

Đ chuy n n s kh i s mũ lu th a ngể ể ẩ ố ỏ ố ỹ ừ ười ta có th logarit theo cùng 1 c s c 2 v c aể ơ ố ả ế ủ phương trình, ta có các d ng:ạ

D ng 1:ạ Phương trình:

( )

0 1, 0

log

f x

a

a b

f x b

< ≠ >

= ⇔   =

(2)

D ng 2:ạ Phương trình :

( ) ( ) log ( ) log ( ) ( ) ( ).log

f x g x f x f x

a a a

a = b ⇔ a = b ⇔ f x =g x b

ho c ặ log_ba^{f x}^{( )} = log_bb^{g x}^{( )} ⇔ f x( ).log_ba g x= ( ).

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i phả ương trình:

2 ² ² 3 2

x − x=

Gi i: L y logarit cả ấ ơ s 2 hai v phố ế ương trình ta được:

₂ ² ² ₂ 3 ² ₂ ² ₂

log 2 log 2 log 3 1 2 1 log 3 0

2

x⁻ x = ⇔ − = x x − ⇔ − + − x x = Ta có ∆ = − + ^, 1 1 log 3 log 3 0₂ = ₂ > suy ra phương trình có nghi mệ x = 1± log 3. ₂

VD2: Gi i phả ương trình:

1

5 .8 500.

x

x x

− =

Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình dướ ại d ng:

1 1 3

3 3 2 3

5 .88 500 5 .2 5 .2 5 .2 1

x x x

x x x x x

− − −

= ⇔ = ⇔ − =

L y logarit c s 2 v , ta đấ ơ ố ế ược:

( ) ( )

3 3

2 2 2 2 2

log 5 .2 0 log 5 log 2 0 3 .log 5 3log 2 0

x x

x x x x x

x x

− −

  = ⇔ +   = ⇔ − + − =

   

   

( )

2

1 3

3 log 5 0 1

log 5 x

x x x

 =

  

⇔ −   +   = ⇔  = −



V y phậ ương trình có 2 nghi m phân bi t:ệ ệ

2

3; 1

x= x= −log 5

Chú ý: Đ i v i 1 phố ớ ương trình c n thi t rút g n trầ ế ọ ước khi logarit hoá.

BÀI TOÁN 3: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 1Ặ Ẩ Ụ Ạ I. Phương pháp:

Phương pháp dùng n ph d ng 1 là vi c s d ng 1 n ph đ chuy n phẩ ụ ạ ệ ử ụ ẩ ụ ể ể ương trình ban đ uầ thành 1 phương trình v i 1 n ph .ớ ẩ ụ

Ta l u ý các phép đ t n ph thư ặ ẩ ụ ường g p sau:ặ D ng 1: ạ Phương trình α α _k + _k₋₁a⁽^k⁻¹⁾^x. α ₁a^x+ =α₀0

Khi đó đ t ặ t a= ^xđi u ki n t>0, ta đề ệ ược: α _kt^k+ α _k₋₁t^k⁻¹ α α₁t+ =0₀

M r ng: N u đ t ở ộ ế ặ t a= ^{f x}^{( )},đi u ki n h p t>0. Khi đó:ề ệ ẹ a^{2 ( )}^{f x} = t a², ^{3 ( )}^{f x} = t³,...,a^{kf x}^{( )} =t^k Và _{f x}^{( )} 1

a t

− =

D ng 2:ạ Phương trình α ₁a^x+ α ₂a^x+ =α₃ 0 v i a.b=1ớ Khi đó đ t ặ t a= ^x,đi u ki n t<0 suy ra ề ệ _x 1

b =t ta được: ₁t ² ₃ 0 ₁t² ₃t ₂ 0 t

α + + = ⇔ α α α + α α+ = M r ng: V i a.b=1 thì khi đ t ở ộ ớ ặ t a= ^{f x}^{( )},đi u ki n h p t>0, suy ra ề ệ ẹ _{f x}^{( )} 1

b =t

(3)

D ng 3:ạ Phương trình α 1a²^x+ α 2

( )

ab ^x+ α3b²^x =0 khi đó chia 2 v c a phế ủ ương trình cho b^2x>0 ( ho c ặ ^a²^x^{, .}

( )

^{a b} ^x^{), ta đ}^ượ^c: 1 ² 2 3 0

x x

a a

α b

α b α

  +   + =

   

   

Đ t ặ ,

a x

t b

=     đi u ki n t<0, ta đề ệ ược: α ₁t²+ α α₂t+ =₃ 0

M r ng: V i phở ộ ớ ương trình mũ có ch a các nhân t : ư ử ^a²^f^,^b²^f^{, .}

( )

^{a b} ^f, ta th c hi n theo các bự ệ ước sau:

- Chia 2 v phế ương trình cho b²^f >0 (ho cặ ^a²^f^{, .}

( )

^{a b} ^f ⁾

- Đ tặ a f

t b

=     đi u ki n h p t>0ề ệ ẹ D ng 4: Lạ ượng giác hoá.

Chú ý: Ta s d ng ngôn t đi u ki n h p t>0 cho trử ụ ừ ề ệ ẹ ường h p đ t ợ ặ t a= ^{f x}^{( )}vì:

- N u đ t ế ặ t a= ^xthì t>0 là đi u ki n đúng.ề ệ

- N u đ t ế ặ t=2^x²⁺¹ thì t>0 ch là đi u ki n h p, b i th c ch t đi u ki n cho t ph i là ỉ ề ệ ẹ ớ ự ấ ề ệ ả t≥ 2. Đi u ki n này đ c bi t quan tr ng cho l p các bài toán có ch a tham s .ề ệ ặ ệ ọ ớ ứ ố

VD1: Gi i phả ương trình: 4^cot^{g x}² + 2sin¹²^x − =3 0 (1) Gi i: Đi u ki n ả ề ệ sinx≠ ⇔ ≠ 0 x k k Zπ, ∈ (*)

Vì 1₂ ²

1 cot

sin g x

x = + nên phương trình (1) được bi t dế ướ ại d ng:

4^cot^{g x}² + 2.2^cot^{g x}² − =3 0 (2)

Đ t ặ t= 2^cot^{g x}² đi u ki n ề ệ t≥1 vì cotg x² ≥ ⇔ 0 2^cot^{g x}² ≥ =2⁰ 1 Khi đó phương trình (2) có d ng:ạ

2 1 cot 2 2

2 3 0 2 1 cot 0

3

cot 0 ,

2 t g x

t t g x

t

gx x π πk k Z

 =

+ − = ⇔  = − ⇔ = ⇔ =

⇔ = ⇔ = + ∈ tho mãn (*)ả

V y phậ ương trình có 1 h nghi m ọ ệ , x= + π π2 k k Z∈ VD2: Gi i phả ương trình:

(

^{7 4 3}⁺

) (

^x⁻^{3 2}⁻ ³

)

^x^{+ =}^{2 0}

Gi i: Nh n xét r ng: ả ậ ằ ^{7 4 3}⁺ ^{= +}

(

² ^{3 ; 2}

) (

² ⁺ ^{3 2}

)(

⁻ ³

)

⁼¹

Do đó n u đ t ế ặ ^t^{= +}

(

² ³

)

^xđi u ki n t>0, thì:ề ệ

(

²⁻ ³

)

^x ⁼¹_t ^và

(

^{7 4 3}⁺

)

^x ⁼^t²

Khi đó phương trình tương đương v i:ớ

( ) ( )

2 3 2

2

3 1

2 0 2 3 0 1 3 0

3 0( )

t t t t t t t

t t t vn

 =

− + = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔   + + =

(

² ³

)

^x ¹ ^x ⁰

⇔ + = ⇔ = V y phậ ương trình có nghi m x=0ệ

(4)

Nh n xét: ậ Nh v y trong ví d trên b ng vi c đánh giá: ư ậ ụ ằ ệ

( )

( )( )

7 4 3 2 3 2

2 3 2 3 1

+ = +

+ − =

Ta đã l a ch n đự ọ ượ ẩc n ph ụ ^t^{= +}

(

² ³

)

^x^{cho ph}^ươ^{ng trình}

Ví d ti p theo ta s miêu t vi c l a ch n n ph thông qua đánh giá m r ng c a a.b=1, đó là:ụ ế ẽ ả ệ ự ọ ẩ ụ ở ộ ủ

. a b. 1

a b c

= ⇔ c c = t c là v i các phứ ớ ương trình có d ng: ạ A a. ^x+B b. ^x+ =C 0

Khi đó ta th c hi n phép chia c 2 v c a phự ệ ả ế ủ ương trình cho c^x ≠0, đ nh n để ậ ược:

. 0

x x

a b

A B C

c c

  +   + =

   

    t đó thi t l p n ph ừ ế ậ ẩ ụ , 0 a x

t t

c

=    > và suy ra b ^x 1

c t

  =

   VD3: Gi i phả ương trình: 2²^x²⁺¹−9.2^x²⁺^x+2²^x⁺² =0

Gi i: Chia c 2 v phả ả ế ương trình cho 2²^x+² ≠0 ta được:

2 2 2 2

2 2 1 2 2 1 2 2 9

2 9.2 1 0 .2 .2 1 0

2 4

x − −x − x − −x + = ⇔ x− x− x −x+ =

2 2

2.2 ^x ⁻ ^x 9.2^x ⁻^x 4 0

⇔ − + =

Đ t ặ t=2^x²⁻^x đi u ki n t>0. Khi đó phề ệ ương trình tương đương v i:ớ

2

2 2

2

1 2

4 2 2 2 1

2 9 4 0 12 2 2 1 2

x x x x

t x x x

t t

t x x x

−

− −

 =  =  − =  = −

− + = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = V y phậ ương trình có 2 nghi m x=-1, x=2.ệ

Chú ý: Trong ví d trên, vì bài toán không có tham s nên ta s d ng đi u ki n cho n ph ch làụ ố ử ụ ề ệ ẩ ụ ỉ t>0 và chúng ta đã th y v i ấ ớ 1

t= 2vô nghi m. Do v y n u bài toán có ch a tham s chúng ta c n xácệ ậ ế ứ ố ầ đ nh đi u ki n đúng cho n ph nh sau: ị ề ệ ẩ ụ ư

2

2 1

2 4

4

1 1 1 1

2 2

2 4 4 2

x x

x − =x x−  − ≥ − ⇔ ⁻ ≥ ⇔ ≥t VD4: Gi i phả ương trình: ³ ₃₍1₁₎ 12

2 6.2 1

2 2

x x

x− x

− − + =

Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình có d ng:ạ

3 3 3

2 2

2 6 2 1

2 2

x x

 − −  − =

   

  (1)

Đ t ặ

3 3

3

2 2 2 2

2 2 2 3.2 2 6

2 2 2 2

x x x x x

x x x x

t= − ⇒ − = −  +  − = +t t Khi đó phương trình (1) có d ng: ạ ³ 2

6 6 1 1 2 1

2

x

t + − = ⇔ = ⇔t t t − x = Đ t ặ u=2 ,^x u>0 khi đó phương trình (2) có d ng: ạ

2 1(1)

1 2 0 2 2 2 1

2 2

u x

u u u u u x

u

 = −

− = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

V y phậ ương trình có nghi m x=1ệ

Chú ý: Ti p theo chúng ta s quan tâm đ n vi c s d ng phế ẽ ế ệ ử ụ ương pháp lượng giác hoá.

(5)

VD5: Gi i phả ương trình: ¹⁺ ^{1 2}⁻ ²^x ^{= +}

(

^{1 2 1 2}⁻ ²^x

)

^.2^x

Gi i: Đi u ki n ả ề ệ 1 2− ²^x ≥ ⇔0 2²^x≤ ⇔ ≤1 x 0 Nh v y ư ậ 0 2< ^x≤1, đ t ặ 2 sin , 0;

2

x = t t∈ π  Khi đó phương trình có d ng: ạ

( ) ( )

2 2

1 1 sin sin 1 2 1 sin 1 cos 1 2cos sin

3 3

2 cos sin sin 2 2 cos 2sin cos 2 cos 1 2 sin 0

2 2 2 2 2 2

cos 0(1) 1

2 1

2 6 2

3 2 2 1 0

sin 2 2 2

x

t t t t t t

t t

t t x

π π

+ − = + − ⇔ + = +

 

⇔ = + ⇔ = ⇔  − =

 =  = 

   =  = −

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

V y phậ ương trình có 2 nghi m x=-1, x=0.ệ

BÀI TOÁN 4: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 2Ặ Ẩ Ụ Ạ I. Phương pháp:

Phương pháp dùng n ph d ng 2 là vi c s d ng 1 n ph chuy n phẩ ụ ạ ệ ử ụ ẩ ụ ể ương trình ban đ u thành 1ầ phương trình v i 1 n ph nh ng các h s v n còn ch a x.ớ ẩ ụ ư ệ ố ẫ ứ

Phương pháp này thường s d ng đ i v i nh ng phử ụ ố ớ ữ ương trình khi l a ch n n ph cho 1 bi uự ọ ẩ ụ ể th c thì các bi u th c còn l i không bi u di n đứ ể ứ ạ ể ễ ược tri t đ qua n ph đó ho c n u bi u di nệ ể ẩ ụ ặ ế ể ễ được thì công th c bi u di n l i quá ph c t p.ứ ể ễ ạ ứ ạ

Khi đó thường ta được 1 phương trình b c 2 theo n ph ( ho c v n theo n x) có bi t s ậ ẩ ụ ặ ẫ ẩ ệ ố ∆ là m t s chính phộ ố ương.

VD1: Gi i phả ương trình: ³²^x⁻

(

²^x⁺^{9 .3}

)

^x⁺^9.2^x ⁼⁰

Gi i: Đ t ả ặ t =3^x, đi u ki n t>0. Khi đó phề ệ ương trình tương đương v i:ớ

( ) ( )

²

( )

²

2 9

2 9 9.2 0; 2 9 4.9.2 2 9

2

x x x x x

x

t t t

t

 =

− + + = ∆ = + − = + ⇒  =

Khi đó:

+ V i ớ t= ⇔9 3^x = ⇔ =9 t 2

+ V i ớ 3

2 3 2 1 0

2

x

x x x

t= ⇔ = ⇔    = ⇔ =x V y phậ ương trình có 2 nghi m x=2, x=0.ệ

VD2: Gi i phả ương trình: ⁹^x² ⁺

(

^x²⁻^{3 3}

)

^x²⁻²^x²^{+ =}^{2 0}

Gi i: Đ t ả ặ t =3^x²đi u ki n ề ệ t≥1 vì x²≥ ⇔0 3^x² ≥3⁰ =1

Khi đó phương trình tương đương v i: ớ ^t²⁺

(

^x²⁻³

)

^t⁻²^x²^{+ =}^{2 0}

(

^x² ³

) (

² ^{4 2}^x² ²

) (

^x² ¹

)

² ^^t_t ⁼₁² _x²

∆ = − − − + = + ⇒  = − Khi đó:

+ V i ớ t= ⇔2 3^x² = ⇔2 x² =log 2₃ ⇔ = ±x log 2₃ + V i ớ t= −1 x² ⇔3^x² = −1 x² ta có nh n xét:ậ

(6)

2

1 1 3 1

1 1 1 1 0

VT VT x

VP VP x x

≥ =  =

 ⇒ ⇔ ⇔ =

 ≥  =  − =

  

V y phậ ương trình có 3 nghi m ệ x= ± log 2;₃ x=0

BÀI TOÁN 5: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 3Ặ Ẩ Ụ Ạ I. Phương pháp:

Phương pháp dùng n ph d ng 3 s d ng 2 n ph cho 2 bi u th c mũ trong phẩ ụ ạ ử ụ ẩ ụ ể ứ ương trình và khéo léo bi n đ i phế ổ ương trình thành phương trình tích.

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i phả ương trình: 4^x²^{− +}³^x ²+4^x²^{+ +}⁶^x ⁵ =4²^x²^{+ +}³^x ⁷+1

Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình dướ ại d ng: 4^x²^{− +}³^x ²+4²^x²^{+ +}⁶^x ⁵=4^x²^{− +}³^x ².4²^x²^{+ +}⁶^x ⁵+1 Đ t ặ

2

3 2

2 6 5

4 , , 0

4

x x

u u v

v

− + + +

 = >

 =



Khi đó phương trình tương đương v i:ớ

( ) ( )

1 1 1 0

u v uv+ = + ⇔ u− − =v

2

3 2 2

2 6 5 2

1

1 4 1 3 2 0 2

1 4 1 2 6 5 1

5

x x

x

u x x x

v x x x

x

− + + +

 =

  

= = − + = =

 

⇔ = ⇔ = ⇔ + + ⇔ = −

 = −

 V y phậ ương trình có 4 nghi m.ệ

VD2: Cho phương trình: m.2^x²^{− +}⁵^x ⁶+2¹⁻^x² =2.2^{6 5}⁻ ^x+m(1) a) Gi i phả ương trình v i m=1ớ

b) Tìm m đ phể ương trình có 4 nghi m phân bi t.ệ ệ Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình dướ ại d ng:

² ² ² ² ² ( )²

2 2 2 2

( 5 6) 1

5 6 1 7 5 5 6 1

5 6 1 5 6 1

.2 2 2 .2 2 2

.2 2 2 .2

x x x

x x x x x x x

x x x x x x

m m m m

m m

− + + −

− + − − − + −

− + − − + −

+ = + ⇔ + = +

⇔ + = +

Đ t: ặ

2

5 6 1

2 , , 0

2

x x

x

u u v

v

− +

−

 = >

 =

 . Khi đó phương trình tương đương v i:ớ

( ) ( )

2

5 6 1

1

1 2 1 3

1 0 2

2 2 (*)

x x

x

u x

mu v uv m u v m x

v m m

m

− +

− −

  =

= = 

+ = + ⇔ − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = V y v i m i m phậ ớ ọ ương trình luôn có 2 nghi m x=3, x=2ệ

a) V i m=1, phớ ương trình (*) có d ng: ạ 2¹⁻^x² = ⇔ −1 1 x² = ⇔0 x² = ⇔ = ±1 x 1 V y v i m=1, phậ ớ ương trình có 4 nghi m phân bi t: x=3, x=2, x=ệ ệ ±1

b) Đ (1) có 4 nghi m phân bi tể ệ ệ ⇔(*)có 2 nghi m phân bi t khác 2 và 3.ệ ệ

(*) ₂ ₂

2 2

0 0

1 log 1 log

m m

x m x m

> >

 

⇔ − = ⇔ = − . Khi đó đi u ki n là:ề ệ

(7)

( )

2 2 2

0

0 2

1 log 0 1 0; 2 \ 1; 1

1 log 4 8 8 256

1

1 log 9

256 m

m m

m m m

m

m m

 >

> 

  <

 − >

 ⇔ ⇔ ∈  

 − ≠  ≠  

 

 − ≠ 

  ≠

V y v i ậ ớ ^m^∈

( )

^{0; 2 \}^^{1 1}_{8 256}^; ^

  tho mãn đi u ki n đ u bài.ả ề ệ ầ

BÀI TOÁN 6: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 4Ặ Ẩ Ụ Ạ I. Phương pháp:

Phương pháp dùng n ph d ng 4 là vi c s d ng k n ph chuy n phẩ ụ ạ ệ ử ụ ẩ ụ ể ương trình ban đ u thành 1ầ h phệ ương trình v i k n ph .ớ ẩ ụ

Trong h m i thì k-1 thì phệ ớ ương trình nh n đậ ượ ừc t các m i liên h gi a các đ i lố ệ ữ ạ ượng tương ứng.

Trường h p đ c bi t là vi c s d ng 1 n ph chuy n phợ ặ ệ ệ ử ụ ẩ ụ ể ương trình ban đ u thành 1 h phầ ệ ương trình v i 1 n ph và 1 n x, khi đó ta th c hi n theo các bớ ẩ ụ ẩ ự ệ ước:

Bước 1: Đ t đi u ki n có nghĩa cho các bi u tặ ề ệ ể ượng trong phương trình.

Bước 2: Bi n đ i phế ổ ương trình v d ng: ề ạ ^{f x}^_ ^,^ϕ

( )

^x ^{ =}_ ⁰

Bước 3: Đ t ặ ^y⁼^ϕ

( )

^x ta bi n đ i phế ổ ương trình thành h :ệ

( )

(

^;

)

⁰

y x

f x y ϕ

 =

 =



II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i phả ương trình: 8₁ 2 ₁ 18₁

2 1 2 2 2 2 2

x

x− + x = x− −x

+ + + +

Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình dướ ại d ng: 8₁ ₁ 1 ₁ 18₁ 2^x⁻ 1 2+ ⁻^x 1 2= ^x⁻ 2⁻^x 2

+ + + +

Đ t: ặ

1 1

2 1

, , 1

2 1

x x

u u v

v

−

 = +

 >

 = +



Nh n xét r ng: ậ ằ ^{u v}^. ⁼

(

²^x⁻¹⁺^{1 . 2}

) (

¹⁻^x^{+ =}¹

)

²^x⁻¹⁺²¹⁻^x^{+ = +}² ^{u v}

Phương trình tương đương v i h :ớ ệ

8 1 18 8 18 2

9; 9 8 u v u v

u v u v

u v uv u v

u v uv

 + =  + =  = =

 + ⇔ ⇔

  + =  = =

 + =

 

+ V i u=v=2, ta đớ ược:

1 1

2 1 2

2 1 2 1

x

x x

−

 + =

 ⇔ =

 + =



+ V i u=9 và ớ 9

v=8, ta được:

1

2 1 9

9 4

2 1

8

x

x x

−

 + =

 ⇔ =

 + =



V y phậ ương trình đã cho có các nghi m x=1 và x=4.ệ VD2: Gi i phả ương trình: 2²^x− 2^x+ =6 6

Gi i: Đ t ả ặ u=2^x, đi u ki n u>0. Khi đó phề ệ ương trình thành: u²− u+ =6 6 Đ t ặ v= u+6,đi u ki n ề ệ v≥ 6⇒v² = +u 6

(8)

Khi đó phương trình được chuy n thành h :ể ệ

( ) ( ) ( )

2

2 2

2

6 0

0 1 0

6

u v u v

u v u v u v u v

v u u v

 = +  − =

 ⇔ − = − − ⇔ − + = ⇔

 = +  + + =

 



+ V i u=v ta đớ ược: ² 3

6 0 2 3 8

2(1) u x

u u x

u

 =

− − = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = + V i u+v+1=0 ta đớ ược:

2

1 21

21 1 21 1

5 0 2 2 log

2 2

1 21 2 (1)

x

u

u u x

u

 = − +

 − −

+ − = ⇔ ⇔ = ⇔ =

 = − −



V y phậ ương trình có 2 nghi m là x=8 và x=ệ ₂ 21 1

log .

2

−

BÀI 7: S D NG TÍNH CH T Đ N ĐI U C A HÀM SÔỬ Ụ Ấ Ơ Ệ Ủ I. Phương pháp:

S d ng các tính ch t c a hàm s đ gi i phử ụ ấ ủ ố ể ả ương trình là d ng toán khá quen thu c. Ta có 3ạ ộ hướng áp d ng:ụ

Hướng1: Th c hi n các bự ệ ước sau:

Bước 1: Chuy n phể ương trình v d ng: f(x)=kề ạ

Bước 2: Xét hàm s y=f(x). Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n đi u( gi s đ ngố ậ ậ ẳ ị ố ơ ệ ả ử ồ bi n)ế

Bước 3: Nh n xét:ậ

+ V i ớ x x= 0 ⇔ f x

( )

= f x

( )

0 =k do đó x x= 0là nghi mệ

+ V i ớ x x> 0 ⇔ f x

( )

> f x

( )

=k do đó phương trình vô nghi mệ + V i ớ x x< 0 ⇔ f x

( )

< f x

( )

0 =kdo đó phương trình vô nghi m.ệ V y ậ x x= 0 là nghi m duy nh t c a phệ ấ ủ ương trình.

Hướng 2: Th c hi n theo các bự ệ ước:

Bước 1: Chuy n phể ương trình v d ng: f(x)=g(x)ề ạ

Bước 2: Xét hàm s y=f(x) và y=g(x). Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s y=f(x) là ố ậ ậ ẳ ị ố Là đ ng bi n còn hàm s y=g(x) là hàm h ng ho c ngh ch bi nồ ế ố ằ ặ ị ế

Xác đ nh ị x0 sao cho f x

( )

0 =g x

( )

0

Bước 3: V y phậ ương trình có nghi m duy nh t ệ ấ x x= 0

Hướng 3: Th c hi n theo các bự ệ ước:

Bước 1: Chuy n phể ương trình v d ng: f(u)=f(v) (3)ề ạ

Bước 2: Xét hàm s y=f(x). Dùng l p lu n kh ng đ nh hàm s đ n đi u ( gi s ố ậ ậ ẳ ị ố ơ ệ ả ử đ ng bi n)ồ ế

Bước 3: Khi đó: (3)⇔ =u v v iớ ∀u v D, ∈ _f II. VD minh ho : ạ

VD1: Gi i phả ương trình: x+2.3^log²^x =3 (1)

Gi i: Đi u ki n x>0. Bi n đ i phả ề ệ ế ổ ương trình v d ng: ề ạ 2.3^log²^x = −3 x (2) Nh n xét r ng: ậ ằ

+ V ph i c a phế ả ủ ương trình là m t hàm ngh ch bi n.ộ ị ế + V trái c a phế ủ ương trình là m t hàm đ ng bi n.ộ ồ ế

Do v y n u phậ ế ương trình có nghi m thì nghi m đó là duy nh t.ệ ệ ấ Nh n xét r ng x=1 là nghi m c a phậ ằ ệ ủ ương t rình (2) vì 2.3^log²^x= −3 1

(9)

V y x=1 là nghi m duy nh t c a phậ ệ ấ ủ ương trình.

VD2: Gi i phả ương trình: ^log³

(

^x²^{− + + +}³^x ^{2 2}

)

^{ }^{ }_{ }¹₅ ³^{x x}^{− −}² ¹⁼²⁽¹⁾

Gi i: Đi u ki n: ả ề ệ ² 1

3 2 0

2 x x x

x

 ≤

− + ≥ ⇔  ≥

Đ t ặ u= x²− +3x 2, đi u ki n ề ệ u≥0 suy ra: x²− + =3x 2 u² ⇔3x x− − = −² 1 1 u² Khi đó (1) có d ng: ạ

( )

1 2

3

log 2 1 2

5

u

 −

+ +   =

Xét hàm s : ố

( ) ( )

1 2

2

3 3

1 1

( ) log 2 log 2 .5

5 5

x

f x x x x

 −

= + +   = + + + Mi n xác đ nh ề ị ^D⁼

[

^0;^+∞⁾

+ Đ o hàm: ạ

( )

1 1 2

.2 .5 .ln 3 0, 2 ln 3 5

f x x x D

= x + > ∀ ∈

+ . Suy ra hàm s tăng trên Dố

M t khác ặ ^f

( )

¹ ⁼^{log 1 2}³

(

^{+ +}

)

¹₇^{.5 2.}⁼

Do đó, phương trình (2) được vi t dế ướ ại d ng:

( ) ( )

¹ ¹ ² ³ ^{2 1} ³ ₂ ⁵

f u = f ⇔ = ⇔u x − + = ⇔ =x x ± V y phậ ương trình có hai nghi m ệ 3 5

x= ±2

VD2: Cho phương trình: 5^x²⁺²^mx⁺²−5²^x²⁺⁴^mx⁺² =x²+2mx m+ a) Gi i phả ương trình v i ớ 4

m= −5 b) Gi i và bi n lu n phả ệ ậ ương trình

Gi i: Đ t ả ặ t =x² +2mx+2 phương trình có d ng: ạ 5^t+ =t 5²^{t m}^{+ −}² + + −2t m 2 (1) Xác đ nh hàm s ị ố ^{f t}

( )

^{= +}⁵^t ^t

+ Mi n xác đ nh D=Rề ị

+ Đ o hàm: ạ f =5 .ln 5 1 0,^t + > ∀ ∈ ⇒x D hàm s tăng trên Dố

V y (1) ậ ^⇔ ^{f t}

( )

⁼ ^f

(

²^{t m}+ − ⇔ = + − ⇔ + − = ⇔²

)

^t ²^{t m} ² ^{t m} ^{2 0} ^x²+²^{mx m}+ =⁰ (2) a) V i ớ 4

m= −5ta được: ² ² 8 4 2

0 5 8 4 0 2

5 5

5 x

x x x x

x

 = + − = ⇔ − − = ⇔

 = −

 V y v i ậ ớ 4

m= −5 phương trình có 2nghi m ệ 2

2; 5

x= x= − b) Xét phương trình (2) ta có: ∆ =' m²−m

+ N u ế ∆ < ⇔' 0 m²− < ⇔ < <m 0 0 m 1. Phương trình (2) vô nghi mệ ⇔phương trình (1) vô nghi m.ệ

+ N u ế ∆ = ⇔' 0 m=0 ho c m=1.ặ

v i m=0 phớ ương trình có nghi m kép x=0ệ v i m=1 phớ ương trình có nghi m kép xệ 0=-1

(10)

+ N u ế 1

' 0 0

m m

 >

∆ > ⇔  < phương trình (2) có 2 nghi m phân bi t ệ ệ x_1,2 = − ±m m² −m đó cũng là nghi m kép c a (1)ệ ủ

K t lu n: ế ậ

V i m=0 phớ ương trình có nghi m kép x=0ệ V i m=1 phớ ương trình có nghi m kép xệ 0=-1 V i 0<m<1 phớ ương trình vô nghi mệ

V i m>1 ho c m<0 phớ ặ ương trình có 2 nghi m ệ x_1,2 = − ±m m²−m

BÀI TOÁN 8: S D NG GIÁ TR L N NH T VÀ NH NH T C A HÀM SỬ Ụ Ị Ớ Ấ Ỏ Ấ Ủ Ố I. Phương pháp:

V i phớ ương trình có ch a tham s : f(x,m)=g(m). Chúng ta th c hi n các bư ố ự ệ ước sau:

Bước 1: L p lu n s nghi m c a (1) là s giao đi m c a đ th hàm s (C): y=f(x,m) và đậ ậ ố ệ ủ ố ể ủ ồ ị ố ường th ng (d): y=g(m).ẳ

Bước 2: Xét hàm s y=f(x,m)ố + Tìm mi n xác đ nh Dề ị

+ Tính đ o hàm y’ ròi gi i phạ ả ương trình y’=0 + L p b ng bi n thiên c a hàm sậ ả ế ủ ố

Bước 3: K t lu n:ế ậ

+ Phương trình có nghi m ệ ^⇔^min ^{f x m}

(

^,

)

^≤^{g m}^{( ) max}^≤ ^{f x m x D}

(

^,

)

⁽ ^∈ ⁾

+ Phương trình có k nghi m phân bi tệ ệ ⇔(d) c t (C) t i k đi m phân bi tắ ạ ể ệ + Phương trình vô nghi m ệ ^⇔

( ) ( )

^d ^I ^C ^{= ∅}

VD1: Cho phương trình: 3^x²^{− +}2^x 2 +2²(^x²^{− +}²^x ²) + −x2 2x m= −2 a) Gi i phả ương trình v i m=8ớ

b) Gi i phả ương trình v i m=27ớ c) Tìm m đ phể ương trình có nghi mệ

Gi i: Vi t l i phả ế ạ ương trình dướ ại d ng:3^x²^{− +}²^x ²+4^x²^{− +}²^x ²+ −x² 2x+ =2 m S nghi m c a phố ệ ủ ương trình là s giao đi m c a đ th hàm s :ố ể ủ ồ ị ố

y=3^x²^{− +}²^x ²+4^x²^{− +}²^x ²+ −x² 2x+2 v i đớ ường th ng y=mẳ Xét hàm s ố y=3^x²^{− +}²^x ²+4^x²^{− +}²^x ²+ −x² 2x+2 xác đ nh trên D=Rị Gi i h n: ớ ạ limy= +∞

B ng bi n thiên: vì 3>1, 4>1 nên s bi n thiên c a hàm s ph thu c vào s bi n thiên cc a hàmả ế ự ế ủ ố ụ ộ ự ế ủ s ố t=x²−2x+2 ta có:

a) V i m=8 phớ ương trình có nghi m duy nh t x=1ệ ấ

b) V i m=27 phớ ương trình có 2 nghi m phân bi t x=0 và x=2ệ ệ c) Phương trình có nghi m khi m>8ệ

VD2: V i giá tr nào c a m thì phớ ị ủ ương trình:

2 4 3

4 2

1 1

5

x x

m m

  − + = − +

   có 4 nghi m phân bi tệ ệ Gi i: Vì ả m⁴−m² + >1 0 v i m i m do đó phớ ọ ương trình tương đương v i:ớ

² ¹

(

⁴ ²

)

5

4 3 log 1

x − x+ = m −m + Đ tặ ¹

(

⁴ ²

)

5

log m −m + =1 a, khi đó: x²−4x+ =3 a

Phương trình ban đ u có 4 nghi m phân bi t ầ ệ ệ ⇔phương trình (1) có 4 nghi m phân bi tệ ệ

(11)

⇔đường th ng y=a c t đ th hàm s ẳ ắ ồ ị ố y= x²−4x+3 t i 4 đi m phân bi tạ ể ệ Xét hàm s : ố

2 2

2

4 3 1 3

4 3

4 3 1 3

x x khix hoacx

y x x

x x khi x

 − + ≤ ≥

= − + = − − + ≤ ≤

Đ oạ hàm: 2 4 1 3

' 2 4 1 3

x khix hoacx

y x khi x

− < >

= − + < <

B ng bi n thiên:ả ế

T đó, đừ ường th ng y=a c t đ th hàm sẳ ắ ồ ị ốy= x²−4x+3 t i 4 đi m phân bi t ạ ể ệ

(

⁴ ²

)

⁴ ²

1 5

0 1 0 log 1 1 1 1 1 0 1

a m m 5 m m m

⇔ < < ⇔ < − + < ⇔ < − + < ⇔ < <

V y v i ậ ớ 0< m <1 phương trình có 4 nghi m phân bi t.ệ ệ

VD3: Gi i và bi n lu n theo m s nghi m c a phả ệ ậ ố ệ ủ ương trình: 2^x+ =3 m 4^x+1 Gi i: Đ t ả ặ t =2 ,^x t >0phương trình được vi t dế ướ ại d ng:

² ₂ 3

3 1

1

t m t t m

t

+ = + ⇔ + =

+ (1)

S nghi m c a (1) là s giao đi m c a đ th hàm s (C): ố ệ ủ ố ể ủ ồ ị ố ₂ 3 1 y t

t

= +

+ v i đớ ường th ng (d):y=mẳ Xét hàm s : ố ₂ 3

1 y t

t

= +

+ xác đ nh trên ị ^D

(

^0;^+∞

)

+ Đ o hàm: ạ ^y^'⁼

(

^t²⁺^{1 3}¹⁻

)

^t^t²⁺¹^{; ' 0}^y ^{= ⇔ − = ⇔}^{1 3}^t ⁰ ^t¹³

+ Gi i h n: ớ ạ ^lim^y⁼¹

(

^t^{→ +∞}

)

+ B ng bi n thiên:ả ế

Bi n lu n: ệ ậ

V i ớ m≤1 ho c ặ m> 10 phương trình vô nghi mệ

V i ớ 1< ≤m 3 ho c ặ m= 10 phương trình có nghi m duy nh tệ ấ V iớ 3< <m 10 phương trình có 2 nghi m phân bi tệ ệ

(12)

CH Đ II:B T PHỦ Ề Ấ ƯƠNG TRÌNH MŨ

B ÀI TOÁN I: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP BI N Đ I TẾ Ổ ƯƠNG ĐƯƠNG

I. Phương pháp:

Ta s d ng các phép bi n đ i tử ụ ế ổ ương đương sau:

D ng 1:ạ V i b t phớ ấ ương trình: ^{( )} ^{( )}

( ) ( )

1

0 1

f x g x

a

f x g x

a a

a f x g x

 >

 <

< ⇔  < <>

ho c ặ

( ) ( ) ( )

0

1 0

a

a f x g x

 >

 −  − <

  



D ng 2:ạ V i b t phớ ấ ương trình: ^{( )} ^{( )}

( ) ( )

1 1

0 1

f x g x

a

f x g x

a a a

a f x g x

 >

 ≤



≤ ⇔ =

 < <

 ≥



ho c ặ

( ) ( ) ( )

0

1 0

a

a f x g x

 >

 −  − ≤ 

  



Chú ý: C n đ c bi t l u ý t i giá tr c a c s a đ i v i b t phầ ặ ệ ư ớ ị ủ ơ ố ố ớ ấ ương trình mũ.

II. VD minh ho :ạ

VD1: Gi i các b t phả ấ ương trình:

a) 2

1 2

2

x

x x

−

− ≤

b)

(

^{10 3}⁺

) (

^x^x⁻⁻¹³ ^< ^{10 3}⁺

)

^x^x⁺⁺¹³

Gi i: ả

a) Bi n đ i tế ổ ương đương b t phấ ương trình v d ng:ề ạ

( )

2 2 1 2

2

2 2

1 0

2 0

1 1

2 1 2

1 0

2 2

2 1

x x x

x

x x

x x x x

x

x x x

− −

 − ≤

 − ≥

  ≤  ⇔ − ≥ − ⇔ ⇔ ≥

     − >

     − ≥ −

V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình là x≥2

Chú ý: Đ tránh sai sót không đáng có khi bi n đ i b t phể ế ổ ấ ương trình mũ v i c s nh h n 1 cácớ ơ ố ỏ ơ em h c sinh nên l a ch n cách bi n đ i: ọ ự ọ ế ổ

2 ²

1 2 1 2 2

2

1 2 2 2 2 1 2 1 2

2

x x x x

x x ⁻ ⁻ ⁻ ⁻ x x x x x x x

− ≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤ − ⇔ − ≥ − ⇔ ≥

b) Nh n xét r ng: ậ ằ

(

^{10 3}⁺

)(

^{10 3}^{− = ⇒}

)

¹ ^{10 3}^{− =}

(

^{10 3}⁺

)

⁻¹

(13)

Khi đó b t phấ ương trình được vi t dế ướ ại d ng:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 1 3 1

1 3 1 3

2

10 3 10 3 10 3 1

3 5

3 1 5

0 0

1 3 1 3 1 5

x x x x

x x x x x

− + − + +

− + − +

+ ≤ + ⇔ + <

− < < −

− + −

⇔ − + + < ⇔ − + < ⇔  < <

V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình là:

(

^{− −}^3; ⁵

) ( )

^∪ ^{1; 5}

BÀI TOÁN 2: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ VÀ Đ A V CÙNG C SƯ Ề Ơ Ố I. Phương pháp:

Để chuy n n s kh i s mũ lu th a ngể ẩ ố ỏ ố ỹ ừ ười ta có th logarit hoá theo cùng 1 c s c hai v c aể ơ ố ả ế ủ b t phấ ương trình mũ. Chúng ta l u ý 1 s trư ố ường h p c b n sau cho các b t phợ ơ ả ấ ương trình mũ:

D ng 1ạ : V i b t phớ ấ ương trình: a^{f x}^{( )}<b( v i b>0)ớ

( ) ( )

1 log

0 1

log

a

f x b

a

f x b

 >

 <

⇔  < <>

D ng 2ạ : V i b t phớ ấ ương trình:

( )

1 0 0

1 ( ) log

0 1

( ) log

f x

a

a f x b

a b a

f x b

a

f x b

 >

 ≠

 <



> ⇔  >   >

 < <

 <



D ng 3ạ : V i b t phớ ấ ương trình: a^{f x}^{( )}>b^{g x}^{( )} ⇔lga^{f x}^{( )} >lgb^{g x}^{( )} ⇔ f x( ).lga g x> ( ).lgb ho c có thặ ể s d ng logarit theo c s a hay b.ử ụ ơ ố

II. VD minh ho : ạ

VD: Gi i b t phả ấ ương trình: 49.2^x² >16.7^x

Gi i: Bi n đ i tả ế ổ ương đương phương trình v d ng: ề ạ 2^x⁻⁴ >7^x⁻² L y logarit c s 2 hai v phấ ơ ố ế ương trình ta được:

⇔log 22 ^x²⁻⁴ >log 72 ^x⁻² ⇔ x²− > −4

(

x 2 log 7

)

2 ⇔ f x( )=x²−xlog 7 2log 7 4 02 + 2 − >

Ta có: ∆ =log 7 8log 7 16²2 − 2 + =

(

log 7 42 − = −

) (

4 log 72

)

². Suy ra f(x)=0 có nghi m:ệ

²

(

²

)

¹

1,2

2 2 1

2 log 7 4 log 7

log 7 2 2

x x

=

± − 

= ⇔  = − <

V y b t phậ ấ ương trình có nghi m x>2 ho c ệ ặ x<log 7 22 −

BÀI TOÁN 3: S D NG PHỬ Ụ ƯƠNG PHÁP Đ T N PH - D NG 1Ặ Ẩ Ụ Ạ I. Phương pháp:

M c đích chính c a phụ ủ ương pháp này là chuy n các bài toán đã cho v b t phể ề ấ ương trình đ i sạ ố quen bi t đ c bi t là các b t phế ặ ệ ấ ương trình b c 2 ho c các h b t phậ ặ ệ ấ ương trình.

II. VD minh ho : ạ

(14)

VD1: Gi i b t phả ấ ương trình :

(

²^x⁻²

) (

² ^< ²^x⁺^{2 1}

) ( − 2x−1)2

Gi i: Đi u ki n ả ề ệ 2^x− ≥ ⇔ ≥1 0 x 0.

Đ tặ t= 2^x−1, đi u ki n ề ệ t≥0, khi đó: 2^x = +t² 1. B t phấ ương trình có d ng:ạ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

1 2 1 2 1 1 3 1

1 3 1 0 1 1 3 0

t t t t t t

+ − < + + − ⇔ − < + −

 

⇔ − − + − < ⇔ −  + − + <

(

¹

) (

² ² ²

)

⁰

(

¹

)

³ ¹

2^x 1 1 2^x 2 1

t t t t

x

⇔ − − < ⇔ − ⇔ <

⇔ − < ⇔ < ⇔ <

V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình là

[

^0;1)

VD2: Gi i b t phả ấ ương trình:

(

⁹⁺ ^{3 11 2}⁺

) (

^x⁺^{2 5 2 6}⁺

) (

^x⁻² ³⁻ ²

)

^x^<¹

Gi i: Nh n xét r ng: ả ậ ằ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

3 3

2 2

9 3 11 2 3 2 3 2

5 2 6 3 2 3 2

3 2 3 2 3 2 3 2 1

x x x

   

+ = +  = + 

   

+ = +  = + 

 

+ − = + −  =

Do đó n u đ t ế ặ ^t⁼

(

³⁺ ²

)

^x, đi u ki n t>0 thì ề ệ

(

³⁻ ²

)

^x⁼¹_t

Khi đó b t phấ ương trình tương đương v i: ớ

( ) ( ) ( )

3 2 4 3

2

2 21 1 2 2 1

1 2 1 0 2 1

t t t t t

t

t t t t t

+ − < ⇔ + − − <

⇔ − + + + < ⇔ − < <

K t h p v i đi u ki n c a t ta đế ợ ớ ề ệ ủ ược: ⁰< < ⇔ +^t ¹

(

² ³

)

^x< ⇔ <¹ ^x ⁰ V y nghi m c a b t phậ ệ ủ ấ ương trình là x<0.

VD3: Gi i b t phả ấ ương trình:

(

⁵⁺ ²¹

) (

^x^{+ −}⁵ ²¹

)

^x^≤²^x+^{log 5}²

Gi i: Chia 2 v b t phả ế ấ ương trình cho 2^x >0ta được: 5 21 5 21

2 2 5

x x

 +  + −  ≤

   

   

Nh n xét r ng: ậ ằ 5 21 5 21

. 1

2 2

x x

 +   −  =

   

   

Nên n u đ t ế ặ 5 21 2

x

t  + 

=   đi u ki n t>0 thì ề ệ 5 21 1 2

x

t

 −  =

 

  . Khi đó b t phấ ương trình có d ng:ạ

1 2 5 21 5 21

5 5 1 0

2 2

5 21 5 21 5 21

1 1

2 2 2

x

t t t t

t

x

− +

+ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

 

− + +

⇔ ≤  ≤ ⇔ − ≤ ≤

(15)

V y nghi m c a phậ ệ ủ ương trình là:

[

⁻^1;1

]

VD4: Gi i b t phả ấ ương trình : 2.5₂

5 3 5

5 4

x