Phương pháp giải phương trình lượng giác – Trung tâm LTĐH Vĩnh Viễn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

 Chuyên đề 2 : LƯỢNG GIÁC

 Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương trình lượng giác cơ bản

cosx = cos  x =  + k2

sinx = sin  x k2

x k2

   

    



tanx = tan  x =  + k

cotx = cot  x =  + k (với k  ) 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác asin²x + bsinx + c = 0. Đặt t = sinx,  t  1 acos²x + bcosx + c = 0. Đặt t = cosx,  t  1 atan²x + btanx + c = 0. Đặt t = tanx

acot²x + bcotx + c = 0. Đặt t = cotx 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx asinx + bcosx = c (*)

Điều kiện có nghiệm: a² + b²  c²

 Cách 1: Chia hai vế cho a²b²  0 (*) 

2 2

a

a b ^{sinx +} ² ² b

a b ^{cosx =} ² ² c a b Do

2

2 2

a a b

 

 

   ⁺

2

2 2

b a b

 

 

   ^{= 1}

Nên có thể đặt

2 2

a

a b ^{= cos,} ² ² b

a b ^{= sin}

Khi đó:

(*)  sinxcos + sincosx =

2 2

c

a b  sin(x + ) =

2 2

c a b

 Cách 2: Chia hai vế cho a (giả sử a  0) (*)  sinx +b

a^{cosx =} c a Đặt b

a= tan. Khi đó: (*)  sinx + sin cos



^{cosx =} c a

(2)

TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN

 sinx cos + sin cosx =c

acos  sin(x + ) = c a^cos

 Cách 3: Đặt ẩn số phụ.

 Xét x = (2k + 1) với (k  ) có là nghiệm 0

 Xét x  (2k + 1) với (k  ) Đặt t = tanx

2

Khi đó: (*)  a 2t₂ 1 t ^{+ b}

2 2

1 t 1 t



 = c  (b + c)t² – 2at + c – b = 0 4. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx + cosx = 2cos x 4

 

 

 

Điều kiện  t  2

Khi đó: t² = 1 + 2sinxcosx  sinxcosx =t² 1 2



Thay vào phương trình ta được phương trình đại số theo t.

 Chú ý: a(sinx  cosx) + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx – cosx (với t  2)

5. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cosx asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0

 Xét cosx = 0  x = 2

+ k (k  ) có là nghiệm không?

 Xét cosx  0. Chia 2 vế cho cos²x ta thu được phương trình bậc 2 theo tanx.

 Chú ý: Nếu là phương trình đẳng cấp bậc k đối với sinx, cosx thì ta xét cosx = 0 và xét cosx  0 chia 2 vế của phương trình cho cos^kx và ta thu được một phương trình bậc k theo tanx.

B. ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011

Giải phương trình: 1 sin2x cos2x₂ 2 sinx.sin2x 1 cot x

  

 .

Giải Điều kiện: sinx  0. Khi đó:

(1)  ^ ^ ^

 

2

1 sin2x cos2x 2 sinx. 2sinxcosx 1

sin x

(3)

 sin x 1 sin2x cos2x²



^ ^



^2 2 sin x.cosx²  1 sin2x cos2x 2 2 cosx   (vì sinx  0)  2cos x 2sinxcosx 2 2 cosx 0²     cosx 0 cosx sinx    2

  

    

 

cosx 0 sin x 1 4

  

      

x k x k2

2 4 (k  Z) (Thỏa điều kiện sinx  0).

Vậy nghiệm của (1) là x      k x  k2

2 4 ^{(k  Z).}

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Giải phương trình: sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx    Giải

sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx     2sinx.cos²x + sinx.cosx = 2cos²x – 1 + sinx + cosx  sinx.cosx(2cosx + 1) = cosx(2cosx + 1) + sinx – 1  cosx (2cosx + 1)(sinx – 1) = sinx – 1

 sinx – 1 = 0 hoặc cosx (2cosx + 1) = 1  sinx = 1 hoặc 2cos²x + cosx – 1 = 0  sinx = 1 hoặc cosx = –1 hoặc cosx = 1

2  x k2

2

   hoặc x  k2 hoặcx k2 3

   

 x k2 2

   hoặc x  k2

3 3 ^{(k Z)} Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Giải phương trình:   

 

sin2x 2cosx sinx 1 0 tanx 3

Giải

   



sin2x 2cosx sinx 1 0

tanx 3 . Điều kiện: tanx   3 và cosx  0.

 sin2x 2cosx sinx 1 0     2sinxcosx 2cosx sinx 1 0^ ^



^{ }



(4)

 2cosx sinx 1



^{ }

 

sinx 1 0^{ }







sinx 1 2cosx 1^



^{ }



0



  

 



sinx 1 (Loại vì khi đó cosx = 0) cosx 1

2

 x   k2

3 ^{(k Z).}

So với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 

  

x k2

3 ^{(k Z).}

Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Giải phương trình: cos4x + 12sin²x – 1 = 0.

Giải

cos4x + 12sin²x – 1 = 0  2cos²2x – 1 + 6(1 – cos2x) – 1 = 0

 cos²2x – 3cos2x + 2 = 0  cos2x = 1 hay cos2x = 2 (loại)

 2x = k2π  x = kπ (k  Z).

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

Giải phương trình:

(1 sinx cos2x)sin x

4 1 cosx

1 tanx 2

  

 

 

 

 

Giải Điều kiện: cosx 0 và tanx ≠ – 1

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:

(1 sinx cos2x).(sinx cosx) 1 tanx cosx

   



 (1 sinx cos2x).(sinx cosx)

cosx cosx sinx cosx

  

 

²

1 sin x cos2x 1 sin x cos2x 0

2sin x sin x 1 0 sin x 1(loại) hay sin x 1 2

x k2 hay x 7 k2 (k Z)

6 6

      

       

 

         Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010

Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0 Giải

Phương trình đã cho tương đương:

(2sinxcosx + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0  cos2x (cosx + 2) + sinx (2cos²x – 1) = 0  cos2x (cosx + 2) + sinx.cos2x = 0

(5)

 cos2x (cosx + sinx + 2) = 0  cos2x 0

cosx sinx 2 0 (vn)

 

   



 2x = k 2

  (k  )  x = k

4 2

  (k  ) . Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Giải phương trình sin2x cos2x 3sinx cosx 1 0     Giải

2 2

2sin x cosx 1 2sin x 3sin x cosx 1 0 cosx(2sin x 1) 2sin x 3sin x 2 0 cosx(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0 (2sin x 1)(cosx sin x 2) 0

     

     

     

    

1 x k2

sin x 2 6 (k )

cosx sin x 2 (VN) x 5 k2

6

  

   

     

 

 

 

.

Bài 8: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010

Giải phương trình 4cos5xcos3x 2(8sinx 1)cosx 5

2 2    .

Giải Phương trình đã cho tương đương:

2(cos4x cosx) 16sinxcosx 2cosx 5   

 2cos4x 8sin2x 5   2 4sin 2x 8sin2x 5 ²    4sin²2x – 8sin2x + 3 = 0  3

sin2x

2 (loại ) hay 1 sin2x

2  2x k2

6

   hay 5

2x k2

6

  

 x k

12

    hay 5

x k

12

   (k  ) . Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009

 

  

1 2sinx cosx 1 2sinx 1 sinx 3

 

  .

(6)

Giải Điều kiện: sinx  1 và sinx  1

2 (*)

(1 – 2sinx)cosx = 3 1 2sinx 1 sinx











cosx 3sinx sin2x  3 cos2x

cos x cos 2x

3 6

 

   

      

x k2 hoặc x k2

2 18 3

  

       (k  ) Kết hợp (*), ta được nghiệm: ^x^{ }₁₈^ ^^k²₃^



^k^



Giải phương trình: sinx + cosxsin2x + 3 cos3x 2 cos4x sin x



 ³



Giải

(1 – 2sin²x)sinx + cosxsin2x + 3 cos3x 2cos4x  sinxcos2x + cosxsin2x + 3 cos3x 2cos4x  sin3x + 3 cos3x 2cos4x cos 3x cos4x

6

 

    

 4x = 3x k2 hoặc 4x 3x k2

6 6

 

        (k  ) Vậy: x = ^{ }₆^ ^{k2 ; x}^ ^₄₂^ ^^k²₇^



^k^



^.

Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Giải phương trình: 3 cos5x 2sin3xcos2x sinx 0  

Giải

^{3 cos5x}^



^{sin5x sinx}^



^^{sinx 0}^

 3cos5x 1sin5x sinx

2 2   sin 5x sinx

3

 

 

 

 5x x k2 hay   5x   x k2

3 3 (k  )

Vậy: x = ₁₈^ ^^{k hay x}^₃ ^{  }^₆ ^k^₂



^k^



(7)

Bài 12: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009

Giải phương trình (1 + 2sinx)²cosx = 1 + sinx + cosx Giải

(1 + 4sinx + 4sin²x)cosx = 1 + sinx + cosx

 cosx + 4sinxcosx + 4sin²xcosx = 1 + sinx + cosx

 1 + sinx = 0 hay 4sinxcosx = 1

 sinx = 1 hay sin2x = 1 2

x k2 hay x k hay x 5 k

2 12 12

  

           (với k  ) . Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008

Giải phương trình: 1 1 4sin 7 x

sin x sin x 3 4

2

  

      

Giải Ta có: sin x 3 cosx

2

  

 

 

Điều kiện: sin x 0 cosx 0

 

 

  sin2x  0

1 1 4sin x

sinx cosx 4

 

     





^{cosx sinx}



 2 2 sinx cosx sinxcosx











cosx sinx 1

 

 2 sin2x



0 

x k

tan x 1 4 cosx sin x 0

x k

1 2

sin2x 2 sin2x 2 x 58 k

8

    

  

   

   

      

      

     



(k  ) .

Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

Giải phương trình: sin x³  3 cos x sinxcos x³  ²  3sin xcosx² Giải

sin x³  3 cos x sinx.cos x³  ²  3sin x.cosx² (1)

(8)

Cách 1: Phương trình đã cho tương đương:

sinx(cos x sin x)²  ²  3 cosx(cos x sin x) 0²  ²  



cos x sin x sinx²  ²

   3 cosx0



x k

cos2x 0 4 2 (k )

tan x 3 x k

3

 

  



 

 

    

     

Nghiệm của phương trình là: x k

4 2

 

  và x k (k )

3

    

Cách 2:  cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1).

 Chia hai vế của phương trình (1) cho cos³x ta được:

tan x³  3 tanx  3 tan x³

 ² x k  

tan x 3 3

(tan x 3)(tan x 1) 0 k

tan x 1 x k

4

    

   

           



Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008

Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx.

Giải

4sinx.cos²x + sin2x – 1 – 2cosx = 0

 2cosx(2sinxcosx – 1) + (sin2x – 1) = 0

 (sin2x – 1)(2cosx + 1) = 0

  

sin2x 1haycosx      1 x k hayx2 k2 hay x  2 k2 (k  )

2 4 3 3

Bài 16: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Giải phương trình: sin3x 3 cos3x 2sin2x .

Giải Phương trình đã cho tương đương:

1sin3x 3cos3x sin2x cos sin3x sin cos3x sin2x

2 2 3 3

 

    

 sin 3x sin2x 3

 

 

 

(9)

 3x 2x k2 x k2

3 3 (k )

4 k2

3x 2x k2 x

3 15 5

 

        

 

 

 

  

         

 

 

Bài 17: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007

Giải phương trình: (1 + sin²x)cosx + (1 + cos²x)sinx = 1 + sin2x Giải

(sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)²

 (sinx + cosx)(1  sinx)(1  cosx) = 0

 x k , x k2 , x k2 (k )

4 2

 

          . Bài 18: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Giải phương trình: 2sin²2x + sin7x – 1 = sinx.

Giải Phương trình đã cho tương đương với:

sin7x  sinx + 2sin²2x  1 = 0  cos4x(2sin3x  1) = 0

 cos4x = 0  x = ^₈^^k₄^



^k^



 sin3x 1 x k2

2 18 3

 

    hoặc x 5 k2 (k )

18 3

 

   .

Bài 19: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Giải phương trình: sinx cosx ² 3 cosx 2

2 2

    

 

 

1 sinx 3 cosx 2 cos x 1

6 2

 

       x k2 , x k2 (k )

2 6

 

        Bài 20: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI A NĂM 2007

Giải phương trình: 3tan x² 2 1 sinx

2 sinx

 

    

   

   

Giải Điều kiện: sinx  0

3cot x² 2 2

sinx  ³₂ ² 1 0 sin xsinx 

(10)



 

1 1

sin x

1 1 vô nghiệm sin x 3

 



  



 ^x^{ }₂^ ^{k2 , k}^



^



Bài 21: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: 1 + sinx + cosx + tanx = 0

1 + sinx + cosx + sin x 0

cosx (điều kiện: cosx  0) 



sinx cosx 1



¹ 0

cosx

 

   

 sinx cosx 0 cosx 1

 

  

  x 3 k

4

x k2

   



   



(k  ) Bài 22: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ 2 NĂM 2007

Giải phương trình: cos⁴x – sin⁴x + cos4x = 0.

cos²x – sin²x + 2cos²2x – 1 = 0

 2cos²2x + cos2x – 1 = 0  cos2x 1 cos2x 1

2

  

 



 x k

2

x k

6

   



    



(k  )

Bài 23: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007 Giải phương trình: 2sin³x + 4cos³x = 3sinx.

2sin³x + 4cos³x – 3sinx(sin²x + cos²x) = 0  sin³x + 3sinxcos²x – 4cos³x = 0 (1) Dễ thấy cosx = 0 không phải là nghiệm của (1)

Do đó cosx  0, ta chia hai vế của (1) cho cos³x, ta được:

(1)  tan³x + 3tanx – 4 = 0  (tanx – 1)(tan²x + tanx + 4) = 0  tanx = 1 (do tan²x + tanx + 4 > 0 với x)

 x k 4

   (k  )

(11)

Bài 24: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Giải phương trình: 2 cos x sin x



⁶ ⁶



sinxcosx 2 2sinx 0

 

 

Giải Điều kiện: sin x 2

 2 (1).

 2(cos⁶x + sin⁶x) – sinxcosx = 0

 2 1 3sin 2x² 1sin2x 0

4 2

   

 

 

 3sin 2x sin2x 4 0²     sin2x = 1  x = k 4

  (k  ).

Do điều kiện (1) nên: x 5 2m . 4

   (m  ).

Giải phương trình: cot x sinx 1 tanxtanx 4 2

 

    Giải

Điều kiện: sinx  0, cosx  0, (1)

x x

cosx cos sin xsin cosxsin x sin x cosx cos2 x 2 4

2

  

 cosx sinx 4 1 4 sin2x 1 sinx cosx  sinxcosx  2  x   k hay x5 k

12 12 (k  ), thỏa mãn (1) Bài 26: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

Giải phương trình: cos3x + cos2x  cosx  1 = 0.

  

  

2sin2x.sinx 2sin x 02

sinx hay sin2x sinx 0

 sinx 0 hay 2cosx 1 0   

(12)

 x = k hay x 2k2

3 (k  ) Bài 27: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Giải phương trình: cos3x.cox³x – sin3x.sin³x = 2 3 2

8



Giải

Ta có công thức: sin3x = 3sinx – 4sin³x  sin x³ 3sinx sin3x 4

 

và cos3x = 4cos³x – 3cosx  cos x³ 3cosx cos3x 4

 

Từ đó phương trình đã cho tương đương với phương trình cos3x 3cosx cos3x sin3x 3sinx sin3x 2 3 2

4 4 8

  

   

   

   

 cos 3x sin 3x 3(cos3xcosx sin3xsinx)² ² 2 3 2 2

    

 1 3cos4x 2 3 2 2

    cos4x 2 x k (k )

2 16 2

 

     

Bài 28: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Giải phương trình: (2sin²x  1)tan²2x + 3(2cos²x  1) = 0

Giải Điều kiện cos2x  0

cos2xtan²2x + 3cos2x = 0  cos2x(tan²2x – 3) = 0



 

2

cos2x 0 loại

tan2x 3 x k k

6 2

tan 2x 3 0



         

  



Bài 29: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Giải phương trình: cos³x + sin³x + 2sin²x = 1

(sinx + cosx)(1  cosxsinx)  cos2x = 0

 (sinx + cosx)(1  sinx. cosx  (cosx  sinx)) = 0  (sinx + cosx)(1  cosx)(1 + sinx) = 0

 ^x^{    }₄^ ^k ^{x k2}^{   }^x ₂^ ^{k2 , k}^



^



Bài 30: ĐỀ DỰ BỊ 1

(13)

Tìm nghiệm trên khoảng (0; ) của phương trình:

2x 2 3

4sin 3 cos2x 1 2cos x

2 4

 

      Giải

Phương trình đã cho tương đương với:

 2(1 cosx) 3 cos2x 1 1 cos 2x 3 2

 

       

 2 – 2cosx  3 cos2x = 2 – sin2x

 3cos2x – sin2x = 2cosx

 3cos2x 1sin2x cosx

2 2    cos 2x cos( x)

6

   

 

 



5 2

x k

18 3

x 7 k2

6

 

  



    



(k  )

Do x  (0; ) nên ta có nghiệm: x₁ 5 , x₂ 17 , x₃ 5

18 18 6

  

   .

Bài 31: ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình: sinxcos2x cos x tan x 1 2sin x 0 ²



²  



³  . Giải

Điều kiện: cosx  0  sinx   1

2 2 3

2

sin x

sinx.cos2x cos x 1 2sin x 0

cos x

 

    



²



sinx cos2x 2sin x cos2x 0

   

2

sinx(cos2x 1 cos2x) cos2x 0 2sin x sinx 1 0

    

   

sin x 1 (loại) x k2

6 k

1 5

sin x 2 x 6 k2

 

    

 

       

Bài 32: ĐỀ DỰ BỊ 2

Giải phương trình: tan x 3tan x² cos2x 1₂

2 cos x

 

   

 

 

(14)

Giải Điều kiện: cosx  0 và sinx  0

cot x 3tan x² 2sin x₂² cos x

   1 tan x 0² tan x³ 1

 tanx    

tanx 1 x k

4

      (k  ) thỏa điều kiện.

Bài 33:

Giải phương trình: 5sinx  2 = 3(1  sinx) tan²x Giải Điều kiện cosx  0  sinx   1

5sinx 2 3 1 sinx .

 

^{sin x}²₂ 3 1 sinx

 

^{sin x}²₂

cos x 1 sin x

    

  (5sinx  2) (1 + sinx) = 3sin²x

 5sinx + 5sin²x  2  2sinx = 3sin²x  2sin²x + 3sinx  2 = 0



sin x 1 (thỏa mãnđk) 2

sinx = 2 (loại)

 



 



x k2

6

x 5 k2

6

   



   



(k  )

Bài 34:

Giải phương trình (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sin2x  sinx.

(2cosx  1) (2sinx + cosx) = 2sinxcosx  sinx  (2cosx  1) (2sinx + cosx) = sinx (2cosx  1)  (2cosx  1) (sinx + cosx) = 0



1 x = k2

cosx 2 3

tan x 1 x k

4

   

  

  

       

 

(k  )

Bài 35: ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình: 4(sin³x + cos³x) = cosx + 3sinx.

Giải

cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế cho cos³x

(15)

4tan³x + 4 = 1 + tan²x + 3tanx(1 + tan²x)

 tan³x – tan²x – 3tanx + 3 = 0  (tanx – 1)(tan²x – 3) = 0

 tanx 1haytan x 3 ²  tanx 1 haytanx   3  ^x^{  }^ ^{k hay x}^{   }^ ^k



^k^



4 3

Giải phương trình: 1 1 2 2 cos x

cosx sinx 4

 

    

Giải Điều kiện cosxsinx  0  x k

2

  (k  )

sinx cosx 2 2 cos x cosxsinx 4

 

    

  2 cos x  2 cos x sin2x

4 4

cos x 0 hay sin2x 1 4

 x k

4 2

2x k2

2

     



    



 x k

4

x k

4

   



    



(k  )

Bài 37:

Giải phương trình cotx  1 = cos2x sin x² 1sin2x

1 tanx 2

 .

Giải Điều kiện

    

  

     

   

  



x k

tan x 1 4 x k

sin x,cosx 0 x k 2

2

(k  )

cosx sinx



cos x sin x cosx² ²



sin x cosxsinx₂

sinx cosx sinx

    



(16)

 ^{cosx sinx}



cosx sinx cosx sinx sinx cosx

  

sinx

    

 cosx sinx 0hay 1 sinxcosx sin x     ²

 tanx = 1 hay1 tan x tanx tan x  ²   ²



   

    

     

   

 ²

x k

4 x k , k

2tan x tanx 1 0 vô nghiệm 4 Bài 38:

Giải phương trình: cotx  tanx + 4sin2x = 2 sin2x Giải Điều kiện sin2x  0

 2cos2x 4sin2x 2 2cos2x 4sin 2x 2²

sin2x  sin2x  

 2cos²2x  cos2x  1 = 0  cos2x 1 loại

 

cos2x 1 2





  



 cos2x = 1

2  ^x ^k



^k



3

    

Bài 39:

Giải phương trình sin² x tan x cos² ²x 0.

2 4 2

   

 

 

Giải Điều kiện: x k , k

2

   

1 cos x 2 tan x² 1 cosx 0

2 2

 

      

          



2 2

sin x 1 cosx 1 cosx

(1 sinx) 1 cosx 0 1 cosx

1 sinx cos x

 1 cosx 0hay1 cosx 1 sinx    

 

^ ^

    

          



x k2 nhận

cosx 1 hay tanx 1 k

x k nhận

4

(17)

Bài 40: ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình: 3  tanx (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0.

Giải Điều kiện: cosx  0

3 sinx sinx 2sinx 6cosx 0 cosx cosx

 

    

 3cos²x – sinx(sinx + 2sinx.cosx) + 6cos³x = 0  3cos²x(1 + 2cosx) – sin²x(1 + 2cosx) = 0  1 + 2cosx = 0 hay 3cos²x – sin²x = 0

 cos2x 1 hay tan x 3²      x  k k  haytanx 3

2 3

    x  k k   3

Giải phương trình: 3cos4x  8cos⁶x + 2cos²x + 3 = 0 Giải

3(1 + cos4x) – 2cos²x(4cos⁴x – 1) = 0  6cos²2x – 2cos²x(2cos²x – 1)(2cos²x + 1) = 0  6cos²2x – 2cos²x(cos2x)(2cos²x + 1) = 0  2cos2x = 0 hay 3cos2x – cos²x(2cos²x + 1) = 0

  

   

 ⁴ ²

cos2x 0

2cos x 5cos x 3 0



 

2 2

cos2x 0

2x k x k

cos x 1 2 4 2 , k

3 x k x k

cos x loại 2

 

  

 

        

   

      

 





² 3 cosx 2sin



² ^x

2 4 1

2cosx 1

 

     

 .

Giải Điều kiện: cosx 1

2

(18)

(2 3)cosx 1 cos x 2cosx 1 3 cosx sinx 0 2

   

          

 tanx 3 x k ; (k ) 3

     

Kết hợp lại điều kiện cosx 1.

2 Ta chọn x4m2 , m  3

Bài 43: ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình: cotx = tanx + 2cos4x sin2x

Giải Điều kiện sin2x  0  cos2x  1

cosx sinx 2cos4x

sinx cosx 2sinx.cosx   cos²x = sin²x + cos4x.

 cos²x – sin²x – (2cos²2x – 1) = 0  2cos²2x – cos2x – 1 = 0  cos2x 1 loại haycos2x^

 

^{  }¹ cos²^

2 3  ^x^{   }^₃ ^k



^k^



Bài 44:

Giải phương trình sin²3x  cos²4x = sin²5x  cos²6x.

1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x

2 2 2 2

      

 cos8x + cos6x = cos12x + cos10x

 cos7xcosx = cos11xcosx  cosx = 0 hay cos11x = cos7x

  

  

  

       



x = k

2 x = k

x k 2

2 x k

x k 9 9

(k  )

Giải phương trình: sin x cos x 1⁴ ⁴ cot 2x 1

5sin2x 2 8sin2x

   .

Giải Điều kiện sin2x  0

(19)

2 2

1 2sin x.cos x 1 cos2x 1

5sin2x 2 sin2x 8sin2x

  

 

 

     

 



2

cos2x 9 loại

9 2

cos 2x 5cos2x 0

1

4 cos2x nhận

2 cos2x = 1 cos

2 3

   x =  k 6

  (k  ) Bài 46: ĐỀ DỰ BỊ 1

Giải phương trình ₄



²



4

2 sin 2x sin3x tan x 1

cos x

   .

Giải Điều kiện cosx  0

sin⁴x + cos⁴x = (2 – sin²2x).sin3x  1 – 2sin²x.cos²x = (2 – sin²2x).sin3x  (2 – sin²2x) = 2(2 – sin²2x).sin3x  2 – sin²2x =0( loại) hay 1 = 2sin3x

 sin3x = 1 2

 

  

    



x k2

18 3

5 2

x k

18 3

(k  )

Bài 47: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I Giải phương trình: sin x² sin x² 2 3 sinx

3 3 2

  

     

   

   

sin x² sin² x 3 sinx

3 3 2

  

     

   

   



2 2

1 cos 2x 1 cos 2x

3 sinx

3 3

2 2 2

 

   

        

 1 sinx cos 2x 2 cos 2 2x 0

3 3

 

   

             

1 sinx 2 1 cos2x 0 2

 1 – cos2x – sinx = 0  2sin²x – sinx = 0

(20)



sin x 0 sin x 1

2

 

 



 x k

x k2

6

x 5 k2

6

  

 

   

 

   



(k  )

Bài 48: CAO ĐẲNG KINH TẾ - KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP TP. HCM Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x

Giải Điều kiện: cos5x  0

sin5x. cos3x = sin7x. cos5x

 ¹



sin2x sin8x



¹



sin2x sin12x



2  2 

 sin12x = sin8x  x k

2 (k )

x k

20 10

  

 

  

  



Bài 49: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM Giải phương trình: 1 1 2 sin x

cosx sinx 4

 

     Giải

Điều kiện: cosx  0; sinx  0

2(sinx + cosx) = sin2x(cosx + sinx)

 sinx + cosx = 0 hay 2 = sin2x ( vô nghiệm)  tanx = 1  x k

4

    (k  ) Bài 50: CĐSP TW TP. HCM

Giải phương trình: sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0 Giải

2sinxcosx + 1 – 2sin²x + 3sinx – cosx – 2 = 0  cosx(2sinx – 1) – (2sin²x  3sinx + 1) = 0  cosx(2sinx – 1) – (sinx -1)(2sinx  1) = 0  2sinx – 1 = 0 hay cosx – sinx +1 = 0

(21)

sinx =1

2^{hay sin x} 4

 

 

  = sin 4

  x k2 6

x 5 k2

6

   



   



hay x k2

2

x k2

   



   



(k  )

Bài 51: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI Giải phương trình: sin⁶x + cos⁶x = 2sin x²

4

 

 

 

1  3

4sin²2x = (sinx + cosx)²  3sin²2x + 4sin2x = 0  sin2x = 0 hay sin2x = 4

3 (loại)  x = k 2

 (k  ) Bài 52: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP. HCM

Giải phương trình: sin2xsinx + cos5xcos2x =1 cos8x 2

 Giải Phương trình đã cho tương đương với:

¹cosx cos3x ¹cos7x cos3x ^{1 cos8x}

2 2 2

  

 

 cosx + cos7x = 1 + cos8x  2cos4xcos3x = 2cos²4x



x k

cos4x 0 8 4

cos4x cos3x x k2

7

 

  

 

  

   

 



(k  )

Bài 53: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN Giải phương trình: cosx.cos2x.sin3x = 1

4^sin2x Giải

Phương trình đã cho tương đương với: 2cosxcos2xsin3x = sinxcosx  cosx 0 hay2cos2xsin3x sinx  

 x = 2

 + k (k  ) hay sin5x + sinx = sinx  x =

2

 + k hay x = k 5

 (k  )

 Vấn đề 2:

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRÊN MỘT MIỀN

ĐỀ THI

(22)

Bài 1:

Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình:

cos3x sin3x

5 sinx cos2x 3

1 2sin2x

    

  

  .

Giải Điều kiện 1 + 2sin2x  0 (1)

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với:

5(sinx + 2sin2xsinx + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)  5(sinx + cosx  cos3x + cos3x + sin3x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)  5(2sin2xcosx + cosx) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)

 5cosx(1 + 2sin2x) = (cos2x + 3)(1 + 2sin2x)  5cosx = cos2x + 3 (Vì 1 + 2sin2x  0)  5cosx = 2cos²x + 2  cosx = 1

2(thỏa điều kiện (1))  x k2

3

   (k  )

Vì nghiệm x thuộc khoảng (0; 2) nên x x = 5

3 3

 

  Bài 2:

Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:

cos3x  4cos2x + 3cosx  4 = 0.

4cos³x  3cosx  4 (2cos²x 1) + 3cosx 4 = 0  4(cos³x  2cos²x) = 0

 cosx = 0  cosx = 2 (loại)  x = 2

 + k (k  )

Vì x  [0; 14] nên x = 2

, x = 3 2

, x = 5 2

, x = 7 2

.

 Vấn đề 3:

ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Phương trình Asinx + Bcosx = C có nghiệm A²B²C².  Sử dụng các phương pháp thường gặp như trong đại số.

(23)

B. ĐỀ THI

Bài 1: ĐỀ DỰ BỊ 1

Xác định m để phương trình 2(sin⁴x + cos⁴x) + cos4x + 2sin2x  m = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;

2

 

 

 .

2(1 – 2sin²x.cos²x) + 1 – 2sin²2x + 2sin2x – m = 0

      

2 2

2 1 1sin 2x 1 2sin 2x 2sin2x m 2

 3sin²2x + 2sin2x + 3 = m (1) Đặt t = sin2x. Vì x  0;

2

 

 

   0  2x    0  sin2x  1  0  t  1 (1) thành  3t² + 2t + 3 = m (2); 0  t  1

Đặt f(t) = 3t² + 2t + 3

 f'(t) = 6t + 2  f'(t) = 0  t = 1 3

 Bảng bịến thiên

t  0 1

3 1 +

f'(t) + 0  f(t) 10

3

3 2

 Nhận xét: (2) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng : y = m và đường cong (C). Từ đó (1) có nghiệm x  0;

2

 

 

 

  và (C) có điểm chung trên [0;1]  2  m  10 3 . Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ 1

Cho phương trình 2sinx cosx 1 a sinx 2cosx 3

  

  (1) (a là tham số) a/ Giải phương trình (1) khi a = 1

3^. b/ Tìm a để phương trình (1) có nghiệm.

(24)

Giải

Tập xác định của phương trình (1): D = . Do đó:

(1) 2sinx + cosx + 1 = a(sinx – 2cosx + 3)  (2 – a)sinx + (2a + 1).cosx = 3a – 1 a/ Khi a = 1

3: (1) 5sinx 5cosx 0 sinx cosx 0

3 3

     

sinx cosx tanx 1 x k (k )

4

           

b/ Do (2 – a)² + (2a + 1)  0 nên điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm là (2 – a)² + (2a + 1)²  (3a – 1)²  2a² – 3a – 2  0  1 a 2

  2

 Vấn đề 4: BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Sử dụng công thức trong tam giác tương ứng

 Nhận dạng tam giác bằng cách rút gọn hệ thức đã cho hay chứng tỏ hệ thức đó là điều kiện dấu bằng của bất đẳng thức

Hệ thức trong tam giác cần chú ý a. Định lí hàm số sin: a b c 2R

sinA sinB sinC  

b. Định lí hàm số cosin: a² = b² + c² – 2bccosA; b² = a² + c² – 2accosB c² = a² + b² – 2abcosC

c. Định lí đường trung tuyến: m²_a 2b² 2c² a² 4

 



d. Định lí đường phân giác: l_a=

2bc.cosA b c 2 e. Diện tích tam giác:

S = 1

2a.ha = 1

2absinC = abc

4R = pr = (p – a).ra = p(p a)(p b)(p c)   f. Bán kính đường tròn nội tiếp: r = (p – a)tan A

2 = (p – b)tan B

2 = (p – c)tan C 2 g. Bán kính đường tròn bàng tiếp: ra = p.tan A

2 B.ĐỀ THI

(25)

Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức:

Q = sin²A + sin²B  sin²C đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải Ta có: Q 1(1 cos2A) 1(1 cos2B) sin C²

2 2

    

 1 cos(A B).cos(A B) sin C   ² = 1 + cosC cos(A  B)  1 + cos²C = cos²C + cosC. cos(A  B)

= cosC 1cos(A B) ² 1cos (A B)² 1

2 4 4

       

 

 

Vậy _min ⁰

0

A B C 120

Q 14 cosC 12 A B 30

   

 

       

Xác định hình dạng của tam giác ABC, biết rằng:



^{p a sin A}



² 



p b sin B c.sinA.sinB



²  Trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p a b c

2

   . Giải

(p – a)sin²A + (p – b)sin²B = c.sinA. sinB  (p – a)a² + (p – b)b² = abc (định lý hàm sin) 



^{p a a}^



_



p b b p p a a p p b b^



_



^



_



^



_p

bc ac bc ac

 a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c

( p. p a



bc^



b.c.tanp.r Aabc4R.b.c.tan1 A4.R.tana A 2.tansinAA1 cosA 2

2 2 2 2

)

 acosA + bcosB = c  sin2A + sin2B = 2sinC

 2sin(A + B).cos(A – B) = 2sinC

 cos (A – B) = 1  A = B   ABC cân tại C.

Xét tam giác ABC có độ dài cạnh AB = c, BC = a, CA = b.

Tính diện tích tam giác ABC biết rằng: bsinC (bcosC + c.cosB) = 20.

(26)

Giải Tính diện tích tam giác

Từ b.sinC(b.cosC + c.cosB) = 20

 4R²sinB.sinC(sinBcosC + sinC.cosB) = 20

 4R².sinB.sinC.sinA = 20 (1)

Ta có: S abc 8R .sinA.sinB.sinC³ 2R .sinA.sinB.sinC²

4R 4R

   (2)

Thế (1) vào (2)  S = 10 (đvdt) Bài 4:

Gọi x, y, z là khoảng cách từ các điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

x y z a² b² c² 2R

 

   . Dấu “=” xảy ra khi nào?

(a, b, c là các cạnh của ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp).

Giải Ta có: a² b² c² a a b. b c. c

2R 2R 2R 2R

    

VPasinA bsinB csinC  a^2S b^2S c^2S 2S ^a ^b ^c

bc ac ab bc ac ab

 

        Mặt khác ta có: 2S = ax + by + cz, do đó:

^a²^_2R^b²^^c² ^



^{ax by cz}^ ^



^__{bc c ab}^a ^{ }^b ^c ^_

  (1)

Ta có: a b c 1 b c 1 c a 1 a b

bc ac ab 2a c b 2b a c 2c b a

     

           

Vậy a b c 1 1 1

bc ac ab a b c     Vì b c 2 a b

   

 

  (2) Từ (1) và (2) ta có:

 

        

2 2 2

a b c ax by cz 1 1 1

2R a b c

^^ ^ ^ ^ ^



^ ^



 

2 2

1 ax 1 by 1 cz x y z

a b c

Suy ra: x y z a² b² c² 2R

 

   .

(27)

Dấu “=” xảy ra b c a c a b 2 a b c ABC đều c b c a b a

x y z M : trọng tâm a x b y c z

          

      

Bài 5:

Gọi A, B, C là 3 góc của tam giác ABC, chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là:

cos²A cos²B cos²C 2 1cosA BcosB CcosC A

2 2 2 4 2 2 2

  

   

Giải

Ta có: cos²A cos²B cos²C 2 1cosA BcosB CcosC A

2 2 2 4 2 2 2

  

   

2A 2B 2C A B B C C A

4cos 4cos 4cos 8 cos cos cos

2 2 2 2 2 2

  

    

A B B C C A

2 2cosA 2 2cosB 2 2cosC 8 cos cos cos

2 2 2

  

       

 

^{A B} ^{B C} ^{C A}

2 cosA cosB cosC 1 cos cos cos

2 2 2

  

    

A B C

Ta bietá cosA + cosB + cosC 1 = 4sin sin sin

2 2 2

A B C A B B C C A

8sin sin sin cos cos cos

2 2 2 2 2 2

  

 

 

  

 

Nhân hai vế cho 8cos cos cosA B C

2 2 2

 8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA)  sinA = sinB = sinC (Cauchy có VP  VT)

 A = B = C  ABC đều.