Đoàn Ngọc Dũng -

TÌM TẬP HỢP ĐIỂM THỎA MỘT HỆ THỨC VÉCTƠ

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

1. Phương pháp :

Để tìm tập hợp điểm M thỏa một hệ thức về véctơ ta thực hiện như sau :

 Nếu là hệ thức véctơ thì biến đổi hệ thức đã cho về dạng AMk.v, trong đó k là số thực thay đổi, v là véctơ cho trước, A là điểm cố định cho trước. Khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng qua A và cùng phương với v.

 Nếu hệ thức đã cho biến đổi về dạng AM  BM thì tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn AB.

 Nếu là hệ thức về độ dài thì ta rút gọn hệ thức đã cho về dạng AM m (trong đó A là điểm cố định, m là độ dài cho sẵn).

Khi đó tập hợp các điểm M là :

a) Đường tròn tâm A bán kính là m nếu m > 0.

b) Điểm A nếu m = 0.

c)  nếu m < 0.

2. Các ví dụ :

Thí dụ 1 : Cho hình chữ nhật ABCD. Tìm tập hợp các điểm M thỏa MAMBMCMD2AC.

 Hướng dẫn :

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD.

Ta có : OAOBOCOD0

Do đó : MAMBMCMD2AC 4MO4OAOMOA

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn (C) tâm O bán kính OA. Đó chính là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

Thí dụ 2 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa :

 

 

 Hướng dẫn :

Gọi G là trọng tâm của ABC. Ta có : MAMBMC3MG

Do đó :

 









Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường thẳng (d) qua G và song song với AC.

Thí dụ 3 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện sau : a) 2MAMBMC b) MAMBMC3kGB c) MA2MB  4MAMC

 Hướng dẫn : a) 2MAMBMC

Ta cĩ : 2MAMBMC2MA2MI (I là trung điểm của BC) ^{MAMIM} (do A không trùng I) Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là tập rỗng.

b) MAMBMC3kGB

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có : MAMBMC3MG Do đó : MAMBMC3kGBMGkGB  G, M, B thẳng hàng

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường trung tuyến qua B của ABC.

c) MA2MB  4MAMC

Trước hết ta xác định hai điểm H và K sao cho : HA2HB0 ; 4KAKC0 Ta có :





2 AH 0

HB 2

HA         H là điểm cố định





AK 4 0 KC KA

4          K là điểm cố định

Khi đó ta có : MA2MB3MH và 4MAMC3MK

Do đó : MA2MB  4MAMC  MH  MK MHMK Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường trung trực () của đoạn HK.

Thí dụ 4 : Cho tam giác ABC.

a) Xác định các điểm D, E thỏa các đẳng thức sau : 4DADB0 ; EA2EC 0 b) Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức : 4MAMB MA2MC 3DE

 Hướng dẫn :

a) Xác định các điểm D, E Ta có :

3BA AD 1 BA

DA 3 0 AB DA 3 0 DB DA

4         

3CA CE 1 CA

CE 3 0 EC 3 CA 0

EC 2

EA        

b) Tìm tập hợp các điểm M

Ta có : 4MAMB MA2MC 3DE

DE 3 EC 2 ME 2 EA ME DB MD DA 4 MD

4        



 3MD + 3ME = 3DE  MD + ME = DE  M thuộc đoạn thẳng DE Vậy tập hợp các điểm M là đoạn thẳng DE.

Thí dụ 5 : Cho tam giác ABC có trọng tâm G.

a) Chứng minh rằng : Nếu tam giác ABC thỏa mãn điều kiện BCGA CAGB ABGC0 thì tam giác ABC là tam giác đều.

b) Gọi M và N là 2 điểm di động.

) Chứng minh rằng : uNANB2NC không phụ thuộc điểm N.

) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MAMBMC 3a với a là một độ dài cho trước.

 Hướng dẫn :

a) Chứng minh tam giác ABC là đều.

Gọi a = BC, b = CA, c = AB, hệ thức đã cho được biến đổi như sau :













 

a 0 GC c GB b GA

a             

Ta có, nếu a  b : (1)  GC a b

c GB a



   G, B, C thẳng hàng (vô lý) Vậy ta phải có a = b, tương tự ta phải có a = c.

Vậy a = b = c nên ABC là tam giác đều.

b)

) Chứng minh rằng : uNANB2NC không phụ thuộc điểm N.

Ta có : ^u



 



Vậy u không phụ thuộc vào điểm N.

 ) Tìm tập hợp các điểm M thỏa MAMBMC 3a. Do G là trọng tâm ABC.

Ta có : MAMBMC 3a3MG 3aMGa

Vậy M luôn cách G cố định một đoạn không đổi là a nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm G, bán kính R = a.

BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn :

1) M A+ M B = M A– M B 2) M A+ M B = M A+ M C 3) 2MAMB MA2MB

 Hướng dẫn :

1) MAMB MAMB Gọi I là trung điểm của BA :

MI 2 MB

MA  (qui tắc trung điểm) BA

MB

MA  (hiệu hai vectơ cùng gốc)

2AB MI 1 BA

MI 2 MB MA MB

MA      



Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính AB 2 2) M A+ M B = M A+ M C

Gọi I là trung điểm của AB, ta có : MAMB2MI Gọi J là trung điểm của AC, ta có : MAMC2MJ

Mà M A+ M B = M A+ M C  2MI  2MJ  MI  MJ MIMJ Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của IJ.

3) 2MAMB MA2MB

Ta chọn P, Q sao cho : 2PAPB0 và QA2QB0

 ^2MAMB2



 







 ^{MA2MBMQQA2}









MQ 3 MP 3 MB 2 MA MB

MA

2     

  MP = MQ  MA = MB

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của AB (P, Q đối xứng qua trung điểm AB) BÀI 2 : Cho tam giác ABC. Tìm điểm I thỏa mãn :

1) 2.IAIB0 2) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn :  2.M A+M B = M A+M B+M C

 Hướng dẫn :

1) Ta có :

 

3 AI 1 AB IA

. 3 0 AB IA IA . 2 0 IB IA .

2          

2) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có :  2.M A+M B = M A+M B+M C

 ²



 







 3MI  3.MG  MI = MG

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của IG.

BÀI 3 : Cho tam giác ABC và I, K lần lượt là trung điểm của BC, CA.

Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn : 4MA  MBMC2MK .

 Hướng dẫn :

Ta có : 4MA  MBMC2MK  4MA  2MI2MK  2MA  MIMK  2MA  2MH (H là trung điểm của IK)  MA = MH  M thuộc đường trung trực của đoạn AH

Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn AH.

BÀI 4 : Cho đoạn thẳng AB.

a) Xác định điểm C trên đoạn AB sao cho CA3CB0

b) Cho điểm M bất kỳ trong mặt phẳng và gọi MN là véctơ định bởi MNMA3MB. Chứng tỏ đường thẳng MN luôn qua một điểm cố định.

 Hướng dẫn :

a) Ta có : ^{CA3CB0 CA3}





Vậy C là điểm hoàn toàn xác định.

b) Ta có : ^{MNMA3MB}



 



 M, N, C thẳng hàng  MN đi qua điểm C cố định BÀI 5 : Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M tùy ý.

a) Chứng minh rằng : MAMCMBMD

b) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho : MAMB  MAMD

 Hướng dẫn :

a) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có : MAMC2MI và MBMD2MI Vậy MAMCMBMD.

b) Ta có :

2 IM AD DA

MI 2 MD MA MB

MA      

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I và bán kính AD 2 R  1 . BÀI 6 : Cho tứ giác ABCD.

a) Xác định điểm O sao cho : OB4OC2OD

b) Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức : MB4MC2MD  3MA

 Hướng dẫn :

a) Ta có : OB4OC2ODOB2OC2OD2OCOB2OC2CD

Xác định điểm K sao cho BC

3 BK 2 0

KC 2

KB   

Khi đó : DC

3 KO 2 CD

2 OK 3 CD 2 OC 2

OB     

Vậy O hoàn toàn xác định.

b) Ta có : ^{MB4MC2MD  3MA }



 

 



MA MO MA

3 MO

3   

  M thuộc đường trung trực của đoạn OA

BÀI 7 : Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.

Tìm tập hợp các điểm M thỏa : MAMBMCMDMEMF 3MAMD

 Hướng dẫn :

Ta có : MAMD2MO ; MBME2MO và MCMF2MO

Do đó : AD

2 OM 1 DA

3 MO 6 MD MA 3 MF ME MD MC MB

MA          

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính AD 2 R 1 .

BÀI 8 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 5a và trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm M thỏa : a) 3MG









b) 2MAMB  MAMBMC c) 2MA3MB  2MA3MC

d) MA7MB3MC 5MA2MBMC

 Hướng dẫn :

a) Ta có : ^3MG













Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song song với BC.

b) Trước hết ta xác định điểm K sao cho 2KAKB0.

Ta có : AB

3 AK 1 0

AK AB AK 2 0 KB KA

2        

Vậy K là điểm hoàn toàn xác định.

Khi đó : 2MAMB  MAMBMC  3MK  3MG MKMG Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng KG.

c) Trước hết ta xác định điểm H và E sao cho : 2HA3HB0 ; 2EA3EC0 Khi đó ta có : 2MA3MB  2MA3MC  5MH  5ME MHME Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng HE.

d) Ta luôn xác định được hai điểm P, Q sao cho : PA7PB3PC0, QA2QBQC0 Khi đó : MA7MB3MC 5MA2MBMC  5MP  5MQ  MPMQ

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng PQ.

------