Đoàn Ngọc Dũng -

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

 Bài toán : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, biết BC = a, AB = c, AC = b. Gọi : S : là diện tích của tam giác ABC.

p : là nửa chu vi với

2 c b p a 

R : là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

r : là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

ha, hb, hc : là độ dài các đường cao tương ứng vẽ từ A, B, C.

ma, mb, mc : là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ A, B, C.

la, lb, lc : là độ dài các đường phân giác trong vẽ từ A, B, C.

Ta có :

1) Định lý hàm cosin :

a² = b² + c²  2bc cosA ; b² = a² + c²  2ac cosB ; c² = a² + b²  2ab cosC 2) Định lý hàm sin :

R C 2 sin

c B sin

b A sin

a   

3) Công thức tính diện tích tam giác :

a) _{a b} c.h_c

2 h 1 . 2b h 1 . 2a

S 1  

b) ab.sinC

2 B 1 sin . 2ca A 1 sin . 2bc

S 1  

c) 4R S abc

d) S p(pa)(pb)(pc) (công thức Hêrông) e) Sp.r

4) Định lý đường trung tuyến : 4

a 2

c m b

2 2 2 2

a    ;

4 b 2

a m c

2 2 2 2

b    ;

4 c 2

b m a

2 2 2 2

c   

 Hệ quả : b² + c² = 2.ma2 + 2

a² ; c² + a² = 2.mb2 + 2

b² ; a² + b² = 2.mc2 + 2 c²

5) Công thức tính độ dài đường phân giác trong : p



p a



c b

bc 2 c b

2 cosA bc 2

l_A 

 

 

6) Công thức tính độ dài đường phân giác ngoài :



^{p b}



^{p c}



^{(b c)}

c b

bc 2 c

b 2 sinA . bc 2

l^'_A   

 

 

 Định lý 1 : Trong tam giác ABC có nửa chu vi bằng

2 c b

p a  , ta có : 1) Diện tích tam giác ABC : ^{ABC 2}



sinA sinB sinC



²

C sin . B sin . A p sin

2

S_    

2) Độ dài đường cao của tam giác : C

sin B sin A sin

C sin . B p sin

2 h_a



 

 ;

C sin B sin A sin

C sin . A p sin

2 h_b



 

 ;

C sin B sin A sin

B sin . A p sin

2 h_c



 

 (ha, hb, hc : là các đường cao tương ứng vẽ từ A, B, C)

3) Độ dài đường trung tuyến của tam giác :

A sin C sin 2 B sin C 2 sin B sin A sin

m_a p ²  ²  ²



 

B sin C sin 2 A sin C 2 sin B sin A sin

m_b p ²  ²  ²



 

C sin B sin 2 A sin C 2 sin B sin A sin

m_c p ²  ²  ²



 

(ma, mb, mc : độ dài các đường trung tuyến vẽ từ A, B, C) 4) Độ dài đường phân giác trong của tam giác :

 

^{sinA sinB sinC}

C sin . B sin . A sin C

sin B 2 sin sinA

p l_a 2



 





 

^{sinA sinB sinC}

C sin . B sin . A sin C

sin A 2 sin sinB

p l_b 2



 





 

^{sinA sinB sinC}

C sin . B sin . A sin B

sin A 2 sin sinC

p l_C 2



 





(la, lb, lc : độ dài các đường phân giác trong vẽ từ A, B, C) 5) Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC :

C sin B sin A sin R p



 

6) Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC :



sinA sinB sinC



²

C sin . B sin . A p sin

2

r   

7) Gọi SA, SB, SC lần lượt là diện tích tam giác ABC tạo bởi đường trung tuyến, đường phân giác của đỉnh A, B, C với cạnh BC, AC, AB. Ta có :

 

²

2

A sinA sinB sinC

C sin . B sin . A sin C

sin B sin

C sin B p sin

S   



 



 

²

2

B sinA sinB sinC

C sin . B sin . A sin C

sin A sin

C sin A p sin

S   



 



 

²

2

C sinA sinB sinC

C sin . B sin . A sin B

sin A sin

B sin A p sin

S   



 



 Định lý 2 : Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có : 1) Diện tích tam giác ABC : S_ABC2R².sinA.sinB.sinC

2) Độ dài đường cao của tam giác : h_a 2R.sinB.sinC ; h_b 2R.sinA.sinC ; h_c2R.sinA.sinB (ha, hb, hc : là các đường cao tương ứng vẽ từ A, B, C)

3) Độ dài đường trung tuyến của tam giác : A

sin C sin 2 B sin 2 R

m_a  ²  ²  ²

B sin C sin 2 A sin 2 R

m_b  ²  ²  ²

C sin B sin 2 A sin 2 R

m_c ²  ²  ²

(ma, mb, mc : độ dài các đường trung tuyến vẽ từ A, B, C) 4) Độ dài đường phân giác trong của tam giác :



sinB sinC



^{sinA.sinB.sinC}

2 sinA

R

l_a 2 







^{sinA sinC}



^{sinA.sinB.sinC}

2 sinB

R

l_b 2 





3



sinA sinB



^{sinA.sinB.sinC}

2 sinC

R

l_C 2 





(la, lb, lc : độ dài các đường phân giác trong vẽ từ A, B, C)

5) Gọi SA, SB, SC lần lượt là diện tích tam giác ABC tạo bởi đường trung tuyến, đường phân giác của đỉnh A, B, C với cạnh BC, AC, AB. Ta có :

C sin . B sin . A C sin sin B sin

C sin B R sin

S_A ² 



 



C sin . B sin . A C sin sin A sin

C sin A R sin

S_B ² 



 



C sin . B sin . A B sin sin A sin

B sin A R sin

S_C ² 



 



 Định lý 3 : Với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta có : 1) Diện tích tam giác ABC :

 

C sin . B sin . A sin

C sin B sin A sin 2 S r

2 2 ABC



 

 

2) Độ dài đường cao của tam giác :



sinA sinB sinC



A sin

h_a  r   ;



sinA sinB sinC



B sin

h_b  r   ;



sinA sinB sinC



C sin

h_c  r  

(ha, hb, hc : là các đường cao tương ứng vẽ từ A, B, C) 3) Độ dài đường trung tuyến của tam giác :

A sin C sin 2 B sin C 2

sin . B sin . A sin

C sin B sin A sin 2

m_a  r    ²  ²  ²

B sin C sin 2 A sin C 2

sin . B sin . A sin

C sin B sin A sin 2

m_b  r    ²  ²  ²

C sin B sin 2 A sin C 2

sin . B sin . A sin

C sin B sin A sin 2

m_c r    ²  ²  ²

(ma, mb, mc : độ dài các đường trung tuyến vẽ từ A, B, C) 4) Độ dài đường phân giác trong của tam giác :

  

sinA sinB sinC



C sin B 2 sin sinA

R

l_a 2   





  

sinA sinB sinC



C sin A 2 sin sinB

R

l_b 2   





  

^{sinA sinB sinC}



B sin A 2 sin sinC

R

l_C 2   





(la, lb, lc : độ dài các đường phân giác trong vẽ từ A, B, C)

5) Gọi SA, SB, SC lần lượt là diện tích tam giác ABC tạo bởi đường trung tuyến, đường phân giác của đỉnh A, B, C với cạnh BC, AC, AB. Ta có :

 

C sin . B sin . A sin

C sin B sin A sin C sin B sin

C sin B sin 4 S r

2 2 A



 



 



 

C sin . B sin . A sin

C sin B sin A sin C sin A sin

C sin A sin 4 S r

2 2 B



 



 



 

C sin . B sin . A sin

C sin B sin A sin B sin A sin

B sin A sin 4 S r

2 2 C



 



 



 Các công thức tính tỉ số :

1) Tỉ số giữa diện tích hình tròn nội tiếp và diện tích hình tròn ngoại tiếp ABC :

2

C sin B sin A sin

C sin . B sin . A . sin ) 4 O ( S

) I (

S 



 







 

 Chú ý :

a) Nếu ABC đều thì

4 1 ) O ( S

) I (

S 

b) Tỉ số giữa diện tích đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của ABC bằng bình phương tỉ số giữa chu vi của hai đường tròn đó.

2) Tỉ số giữa diện tích ABC với diện tích hình tròn ngoại tiếp ABC : 2.sinA.sinB.sinC )

O ( S S _ABC

 



3) Tỉ số giữa diện tích ABC với diện tích hình tròn nội tiếp ABC :

 

C sin . B sin . A sin

C sin B sin A . sin 2

1 ) I ( S

S _ABC   ²

 



4) Tỉ số giữa diện tích phần giới hạn bởi đường trung tuyến, đường phân giác của đỉnh A với cạnh BC củaABC đối với diện tích ABC :

C sin B sin

C sin B sin 2 1 S

) A ( S

ABC 

 





 Chú ý :

a) Nếu ABC cân tại A thì 0 S

) A ( S

ABC





b) Nếu 0

S ) B ( S S

) A ( S

ABC ABC









thì ABC đều.

5) Tỉ số giữa đường cao với đường phân giác cùng đỉnh A của ABC :

2 cosA 2

C sin B sin l

h

a

a  

6) Tỉ số giữa đường cao với đường trung tuyến cùng đỉnh A của ABC :

A sin C sin 2 B sin 2

C sin . B sin 2 m

h

2 2

2 a

a



  7) Tỉ số giữa đường phân giác với đường trung tuyến cùng đỉnh A của ABC :

A sin C sin 2 B sin 2

2 cosA 4 C

sin B sin

C sin . B sin m

l

2 2

2 a

a



 

 

8) Tỉ số giữa chu vi của ABC với đường tròn nội tiếp của ABC :

 

C sin . B sin . A sin

C sin B sin A . sin 2

1 ) I ( S

C _ABC   ²

 



 Chú ý : Tỉ số giữa diện tích ABC với đường tròn nội tiếp của ABC bằng với tỉ số giữa chu vi của ABC với đường tròn nội tiếp của ABC

9) Tỉ số giữa chu vi của ABC với đường tròn ngoại tiếp của ABC :





 

 sinA sinB sinC )

O ( S C _ABC

10) Tỉ số giữa chu vi đường tròn nội tiếp của ABC với đường tròn ngoại tiếp của ABC : C

sin B sin A sin

C sin . B sin . A 2 sin C

C

) O (

) I (



 



 Chú ý : Các tỉ số từ 1 đến 10 chỉ phụ thuộc vào số đo của các góc của ABC.

11) Tỉ số giữa diện tích được giới hạn bởi đường tròn nội tiếp và các cạnh của tam giác đối với diện tích được giới hạn bởi đường tròn ngoại tiếp và các cạnh của ABC :

 

 

_^   









 





C sin B sin A sin x

C sin . B sin . A sin t t

2 x

t 2 x t 2 ABC /

) O ( S

ABC /

) I ( S

2

2 với

A. CHỨNG MINH CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN 5

a) Chứng minh định lý hàm cosin : a² = b² + c²  2bc cosA ; b² = a² + c²  2ac cosB ; c² = a² + b²  2ab cosC Ta có: b² + c² – 2bc.cosA =

AB AC AK AB 2 AB KC . AK . 2 KC

AK²  ²   ²    

= AK² + KC² + 2.AK.KC + (AK² + BK²) – 2.AC.AK = 2AK² + KC² + 2.AK.KC + BK² – 2(AK + KC)AK

= 2AK² + KC² + 2.AK.KC + BK² – 2AK² – AK.KC = KC² + BK² = BC² = a² Vậy: a² = b² + c² – 2bc.cosA (điều phải chứng minh)

b) Chứng minh định lý hàm sin : 2R

C sin

c B sin

b A sin

a   

CL ab b

CL a A sin

a   ;

CL ab a

CL b B sin

b   

B sin

b A sin

a  (1)

BK ac c

BK a A sin

a   ;

BK ac a

BK c C sin

c   

C sin

c A sin

a  (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

C sin

c B sin

b A sin

a   (3)

Ta có: ABNC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O ; R)  góc ANB = góc ACB = góc C Ba điểm A, O, N thẳng hàng ; A và N thuộc đường tròn (O ; R)

 AM là đường kính của đường tròn (O ; R)  góc ANB = 90^o và AN = 2R

Ta có: AN 2R

AN c c N B A sin

c C

sin

c      (4) (ABN vuông tại B)

Từ (3) và (4) suy ra: 2R

C sin

c B sin

b A sin

a    (điều phải chứng minh) c) Chứng minh các công thức diện tích :

R 4 ) abc c p )(

b p )(

a p ( p r . p A sin . 2bc

S 1      

Ta có: bcsinA

2 A 1 sin b 2c CL 1 2c

S_ABC  1      (*)

 

pr.

2 c b r a CA BC AB 2 r r 1 2AC r 1 2BC r 1 2AB S 1

S S

S _{ABC IAB IBC IAC}   





























 _{  }

 (**)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông, ta có: AB² – BH² = AC² – HC²

 AB² – (BC – CH)² = AC² – HC²  AB² – (BC² – 2.BC.CH + CH²) = AC² – HC²

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a 2

c a c b

a AH 2

c a CH b

a 2

c a b BC

2

AB BC

CH AC 



 



  





 



 



  



 

 



 



 

 

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

ABC 16a

a . c a b c a a 4 4 1 a

2 c a c b

4 BC .

S AH      















 



  







       

16

b a c b a c c b a c b a 16

c a b ac 2 c a b ac

2  ²  ²  ²  ²  ²  ²         



       

p p a p b p c

16

c 2 p 2 b 2 p 2 a 2 p 2 p

2       



 S_ABC  p



pa



pb



pc



(***)

Từ câu a) ab 2R.CL abc 2R.CL.c 2R.2S_ABC

b R CL 2 A sin R 2 a R A 2 sin

a          

R 4 S abc S

. R 4

abc _ABC  _ABC 

 (****)

Từ (*), (**), (***), (****), ta có: S1bcsinApr p



pa



pb



pc



^abc (điều phải chứng minh)

d) Chứng minh định lý đường trung tuyến :

4 a 2

c m²_a  b  

Ta có: AB² = AH² + BH² ; AC² = AH² + CH²  AB² + AC² = 2AH² + BH² + CH²

2 2

2 2

2 HM

2 HM BC

2 AH BC

2 AC

AB 



 



 

 



 



 









2 2 2

2 2 2 2

2 2HM

2 AH BC 2 HM . BC 4 HM

HM BC . BC 4 HM

AH BC

2         





^{2 2}



²

2 2

2 2

2 2AH 2HM 2AH HM 2AM

2 AC BC

AB       

 Vậy:

2 AC BC AB AM

2 ²  ²  ²  ² hay

4 BC 2

AB AM AC

2 2

2

2    hay

4 a 2

c m b

2 2 2 2

a   

e) Chứng minh định lý đường phân giác trong : ^p



^{p a}



c b

bc 2 c b

2 cosA bc 2

l_A 

 

  Ta có:

2 sinA AC 2 AD

1 2 sinA AD 2 AB

A 1 sin AC 2 AB

S 1 S

S_ABC  _ABD _ADC            

  

AB AC



2 sinA 2 AD

cosA 2 sinA 2 AC AB AC

2 AB sinA AD A sin . AC .

AB          



 

AC

AB 2

cosA AC AB AD 2

AC AB 2 AD

cosA 2 AC

AB 





















c

b 2

cosA bc AD 2







 hay

c b

2 cosA bc 2 l_A

 

B. CHỨNG MINH CÁC CÔNG THỨC MỞÛ RỘNG

1) Chứng minh diện tích tam giác ABC :

 

²

2

ABC sinA sinB sinC

C sin . B sin . A p sin

2

S_    

Theo định lí hàm sin, ta có:

C sin B sin A sin

p 2 C

sin B sin A sin

c b a C

sin c B sin

b A sin

a



 







 



 Suy ra:

C sin B sin A sin

A sin . p a 2



  (*)

C sin B sin A sin

B sin . p b 2



  (**)

C sin B sin A sin

C sin . p c 2



  (***)

Mà

   

³

3 3

3

C sin B sin A sin R 4

C sin . B sin . A sin . p 8 R 4

1 C sin B sin A sin

C sin . B sin . A sin . p 8 R 4 abc 1 R 4 S abc



 

 

 





 (1)

Hơn nữa theo định lí hàm sin, ta có: 7

A sin . 2 R a R A 2 sin

a    (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

   

³

2 3

3 3

C sin B sin A sin a

C sin . B sin . A sin . p 4 C sin B sin A A sin sin . 2

a

C sin . B sin . A sin . p S 2



 





 (3)

Từ (*) và (3) suy ra:

 

^{3 2}

 

²

2 3

C sin B sin A sin

C sin . B sin . A p sin

2 C sin B sin A C sin sin B sin A sin

A sin . p 2

C sin . B sin . A sin . p S 4



 







 





Vậy

 

²

2

ABC sinA sinB sinC

C sin . B sin . A p sin

2

S_    

2) Chứng minh độ dài đường cao của tam giác :

C sin B sin A sin

C sin . B p sin

2 h_a



 



Ta có: AH.BC

2

S_ABC 1 Suy ra:

   

²

2 2

2 ABC

ABC

C sin B sin A sin a

C sin . B sin . A sin p 4 C

sin B sin A sin

C sin . B sin . A p sin

a 2 S 2

BC 2 BC

S . AH 2



 



 









 ^ _ (4)

Từ (*) và (4) suy ra:

 

^{sinA sinB sinC}

C sin . B sin . p 2 C

sin B sin A C sin sin B sin A sin

A sin . p 2

C sin . B sin . A sin p AH 4

2 2



 





 





Vậy

C sin B sin A sin

C sin . B p sin

2 h_a



 



3) Chứng minh độ dài đường trung tuyến : 2sin B 2sin C sin A C

sin B sin A sin

m_a p ²  ²  ²



 

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác, ta có:



^{2 2 2}



2 2 2 2 2 2 2

a 2b 2c a

4 1 4 a 4

c 2 b 2 4 a 2

c

m  b          _a 2b² 2c² a²

2

m  1   (5)

Từ (*), (**), (***) và (5) suy ra:

2 2

2

a sinA sinB sinC

A sin . p 2 C

sin B sin A sin

C sin . p 2 2

C sin B sin A sin

B sin . p 2 2

2

m 1 



 







 



 







 



 







 



sinA sinB sinC



^{sinA sinpB sinC 2sin B 2sin C sin A}

A sin p 4 C sin p 8 B sin p 8 2

m_a 1 ^{2 2 2 2} ₂^{2 2 2}  ²  ²



 







 

 2sin B 2sin C sin A

C sin B sin A sin

m_a p ²  ²  ²



 

4) Chứng minh độ dài đường phân giác trong :

  

sinA sinB sinC



C sin B 2 sin sinA

R

l_a 2   





Ta có:

 

2 sinA c 2 b

AD 2

sinA AD 2c 1 2 sinA AD 2b

S 1 S

S_ABC  _ADC  _ADB         

Suy ra:

 

2 sinA c b

S .

AD 2 ^ABC





 ^ (6)

Từ (**), (***), (5) và câu 1 suy ra:

 

^ABC

ABC S

c b

1 2 sinA

2 2 sinA c b

S .

AD 2 ^  _

 









 

²

2

C sin B sin A sin

C sin . B sin . A p sin

C 2 sin . p 2 B

sin . p 2

1 A

2



 











sinA sinB sinC



^{: sinA2psin.sinBB sinC sinA2psin.sinBC sinC sinA2}

C sin . B sin . A sin . p

AD 4 ₂ 



 







 



 

 

   

2 sinA C sin B sin A sin

C sin B sin p : 2 C sin B sin A sin

C sin . B sin . A sin . p 4

2

2 



 













 

Hay

 

^{sinA sinB sinC}

C sin . B sin . A sin C

sin B 2 sin sinA

p l 2

AD _a



 







5) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC :

C sin B sin A sin R p



  Ta có:

S 4 R abc R

4

Sabc 

Từ (*), (**), (***), (5) và câu 1 suy ra:

  

sinA sinB sinC



^{sinA sinpB sinC}

C sin . B sin . A sin p 4 2 C : sin B sin A sin

C sin . B sin . A sin . p

R 8 ³ ₃ ² ₂



 



 



  (điều phải chứng minh)

Vậy:

C sin B sin A sin R p



 

6) Chứng minh bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC :



sinA sinB sinC



²

C sin . B sin . A p sin

2

r   

Ta có: s = p.r suy ra P

r S (7) Từ câu 1 và (7) suy ra:

 

²

 

²

2

C sin B sin A sin

C sin . B sin . A p sin

C 2 sin B sin A sin p

C sin . B sin . A sin . p r 2



 

 

 

Vậy:



sinA sinB sinC



²

C sin . B sin . A p sin

2

r   

7) Gọi SA, SB, SC lần lượt là diện tích tam giác ABC tạo bởi đường trung tuyến, đường phân giác của đỉnh A, B, C với cạnh BC, AC, AB. Ta có : ^{A 2}



sinA sinB sinC



²

C sin . B sin . A sin C

sin B sin

C sin B p sin

S   



 

 Ta có:

DC DB AC

AB (tính chất đường phân giác) Suy ra:

BC DB DB DC

DB AB

AC

AB 

 

 Suy ra:

c b

b . a c b

c . a a c DC

b c . a AB AC

BC . DB AB

 

 



 

 

 Do đó:

c b

c b 2 a c b

ac 2 DB a 2

MD BC



 

 







 (a)

Hay b c

c b 2 a c b

ab 2 DC a 2

MD BC



 



 







 (b)

Từ (*), (**), (***) và (a) hoặc (b) suy ra:

 

 

C sin B sin A sin

C sin B sin p

2A sinB sinC sin

C sin B sin p 2 C sin B sin A sin

A sin . MD p





 





 

 



Hay sinB sinC

C sin B sin C sin B sin A sin

A sin . MD p



 



 



Mà sinA sinB sinC

C sin . B sin . p 2 C sin B sin

C sin B sin C sin B sin A sin

A sin . p 2

AH 1 . 2MD S _AMD 1



 



 



 







 

Suy ra: 9

 

²

2

A sinA sinB sinC

C sin . B sin . A sin C

sin B sin

C sin B p sin

S   



 



 Hệ quả : Nếu R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp của ABC thì C

sin B sin A sin

C sin . B sin . A R sin

2

r    .

 Chứng minh :

Từ 5) và 6) của Định lí 1 suy ra:

C sin B sin A sin

C sin . B sin . A R sin

2

r   

 Định lý 2 : Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có : Theo định lí 1: Ta có

C sin B sin A sin R p



 

1) Diện tích tam giác ABC : S_ABC2R².sinA.sinB.sinC Theo định lí 1:

 

2 2

ABC 2 sinA sinB sinC

C p sin B sin A sin C 2

sin B sin A sin

C sin . B sin . A p sin

2

S 



 







 





 

 



= 2R².sinA.sinB.sinC

2) Độ dài đường cao của tam giác : h_a 2R.sinB.sinC Theo định lí 1:

C sin B sin A sin C p sin B sin C 2

sin B sin A sin

C sin . B p sin

2 h_a



 





 

 



= 2.R.sinB.sinC

3) Độ dài đường trung tuyến của tam giác : m_a R 2sin²B2sin²Csin²A

Theo định lí 1: 2sin B 2sin C sin A

C sin B sin A sin

m_a p  ²  ²  ²



 

= R. 2sin²B2sin² Csin² A 4) Độ dài đường phân giác trong của tam giác :



sinB sinC



^{sinA.sinB.sinC}

2 sinA

R

l_a 2 



 Theo định lí 1:

   

^{sinA sinB sinC}

p 2 C

sin B 2 sin sinA

C sin . B sin . A sin C

sin B sin A sin

C sin . B sin . A sin C

sin B 2 sin sinA

p I_a 2



 



 

 



 =



sinB sinC



^{sinA sinB sinC}

2 sinA

R

2   



5) Gọi SA, SB, SC lần lượt là diện tích tam giác ABC tạo bởi đường trung tuyến, đường phân giác của đỉnh A, B, C với cạnh BC, AC, AB. Ta có : sinA.sinB.sinC

C sin B sin

C sin B R sin

S_A ² 



 

 Theo định lí 1:

 

²

2

A sinA sinB sinC

C sin . B sin . A sin C

sin B sin

C sin B p sin

S   



 



sinA sinB sinC

C sin B sin

C sin B sin C sin B sin A sin

p ²   



 



 







 

sinA sinB sinC

C sin B sin

C sin B

R² sin   



 

