Đoàn Ngọc Dũng -

(1)

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG

A. MẶT CẦU, KHỐI CẦU

Câu 1. (CÂU 10 THPT QG 2018) Diện tích của mặt cầu bán kính R bằng:

A. R² 3

4 B. 2R² C. 4R² D. R²

Câu 2. (CÂU 9 ĐMH 2020) Cho mặt cầu có bán kính R = 2. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng

A. 

3

32 B. 8 C. 16 D. 4

Câu 3. (CÂU 8 THPT QG 2020) Cho khối cầu có bán kính r = 4. Thể tích của khối cầu đã cho bằng A. 3

256 B. 64 C.

3

64 D. 256

Câu 4. (CÂU 23 ĐMH 2021) Công thức tính thể tích V của khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h là:

A. V = rh B. V = r²h C. V 1 rh

 3 D. V 1 r h²

 3

Câu 5. (CÂU 19 THPT QG 2021 – ĐỢT 1) Diện tích S của mặt cầu bán kính R được tính theo công thức nào dưới đây?

A. S = 16R² B. S = 4R² C. S = R² D. S = ⁴ R²

3 Câu 6. (CÂU 9 THPT QG 2021 – ĐỢT 2) Thể tích của khối cầu bán kính 4a bằng

A. ⁴ a³

3 B. ²⁵⁶ a³

3  C. 256 a ³ D. ⁶⁴ a³

3 

Câu 7. (CÂU 41 ĐMH 2017 – LẦN 1) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a và AA’ = 2a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’.

A. R = 3a B.

4 a

R 3 C.

2 a

R 3 D. R = 2a

Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = a. Tính bán kính của mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, B, C, D.

A. 2

a

R 3 B.

4 a

R 3 C.

2 2

Ra D. R = 2a

Câu 9. (ĐẠI HỌC D 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến . Trên đường

 lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C và trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với  và AC = BD = AB. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

A. 3 3

a B.

2 3

a C. 3a D.

3 3 a 2

Câu 10. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có 9 cạnh đều bằng a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.

A. R ^{a 21}

 6 B. R ^{a 3}

 6 C. R ^{a 7}

 6 D. R ^{a 17}

 6

Câu 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương.

A. R ^{a 3}

 2 B. R ^{a 3}

 6 C. R ^{a 3}

 4 D. R ^{a 3}

 3

(2)

Câu 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích của mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương.

A. S a² B. S 2 a  ² C. S 4 a  ² D. S 6 a  ²

Câu 13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm thể tích khối cầu tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương.

A. V a³ 2

 B. V a³

6

 C. V a³

3

  D. V a³

4



Câu 14. Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

A. 3 3

a B. ^{a 6}

4 C. 3a D.

3 3 a 2

Câu 15. (CÂU 43 ĐMH 2017 – LẦN 3)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 3 2a, cạnh bên bằng 5a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. R 3a B. R 2a C.

8 a

R 25 D. R = 2a

Câu 16. (CÂU 42 THPT QG 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 4a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 60^o. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

A. 3

a

172 ² B.

3 a

76 ² C. 84a² D.

9 a 172 ²

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

A. R a 21

 2 B. R a 21

 3 C. R a 21

 6 D. R = 2a

Câu 18. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a 2. Lấy điểm H trên đoạn AC với

2

AH a. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho góc ASC = 45. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

A. R 3a B. R 2a C.

8 a

R25 D. R = 2a

Câu 19. (CÂU 42 ĐMH 2017 – LẦN 1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. 18

15

V 5 

 B.

54 15

V 5 

 C.

27 3

V 4  D.

3 V 5

 Câu 20. Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có

bán kính R = 10cm. Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chõm cầu có chiều cao h = 4cm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi. Tính bán kính của viên bi (kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân).

A. r  9,62cm B. r  2,09cm C. r  2,09cm; r  9,62cm D. r  2,11cm

B. MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ

Câu 21. (CÂU 7 THPT QG 2020) Cho hình trụ có bán kính đáy r = 8 và độ dài đường sinh l = 3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. 24 B. 192 C. 48 D. 64

(3)

Câu 22. (CÂU 28 ĐMH 2017 – LẦN 3) Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a.

A. 4

V a

 3

 B. Va³ C.

6 V a

 3

 D.

2 V a

 3



Câu 23. (CÂU 24 THPT QG 2021 – ĐỢT 1) Cho khối trụ có bán kính đáy r = 6 và chiều cao h = 3. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A. 108 B. 36 C. 18 D. 54

Câu 24. (CÂU 41 ĐMH 2017 – LẦN 1) Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.

A. Stp = 4 B. Stp = 2 C. Stp = 6 D. Stp = 10

Câu 25. (CÂU 12 ĐMH 2020) Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

A. 4rl B. rl C. rl

3

1 D. 2rl

Câu 26. (CÂU 22 ĐMH 2020) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. 18 B. 36 C. 54 D. 27

Câu 27. (CÂU 44 ĐMH 2020) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a, thiết diện thu được là một hình vuông. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng

A. 216a³ B. 150a³ C. 54a³ D. 108a³

Câu 28. (CÂU 40 ĐMH 2017) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

A. 9

h V a²

 B.

3 h V a²

 C. V = 3a²h D. V = a²h

Câu 29. (CÂU 23 ĐMH 2021) Một hình trụ có bán kính đáy r = 4 cm và độ dài đường sinh l = 3cm. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng

A. 12 cm² B. 48 cm² C. 24 cm² D. 36 cm².

Câu 30. (CÂU 33 ĐMH 2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCDvà chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD.

A. 3

2

S_xq 16  B. S_xq 8 2 C.

3 3

S_xq 16  D. S_xq 8 3

Câu 31. (CÂU 38 THPT QG 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A. 10 3 B. 5 39 C. 20 3 D. 10 39

Câu 32. (ĐH A 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a.

Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB.

A. Va 3³

12 . B. Va 3³

8 . C. V a 3³

4 . D. Va 3³

6 .

(4)

Câu 33. (ĐH A 2006) Cho hình trụ có hai đường trịn đáy (O ; R) và (O’; R), chiều cao h R 3 . Đoạn thẳng AB cĩ hai đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy hình trụ sao cho gĩc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30.

Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB.

A. VR³

2 . B. VR³

2 . C. V3R³

4 . D. VR³

4 .

Câu 34. (CÂU 40 ĐMH 2017) Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm  240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây) :

 Cách 1 : Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

 Cách 2 : Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số

2 1

V V .

A. 2

1 V V

2

1  B. 1

V V

2

1  C. 2

V V

2

1  D. 4

V V

2 1 

Câu 35. (CÂU 27 THPT QG 2019) Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1 m và 1,2 m. Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kết quả nào dưới đây ?

A. 1,8 m B. 1,4 m C. 2,2 m D. 1,6 m

Câu 36. Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ (H1), (H2) xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r1, h1, r2, h2 thỏa mãn r2 = r₁

2

1 , h2 = 2h1

(tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30 cm³, thể tích khối trụ (H1) bằng

A. 24cm³ B. 15 cm³

C. 20cm³ D. 10cm³

Câu 37. (CÂU 27 THPT QG 2018) Một chiếc bút chì có dạng khối trụ lục giác đều có cạnh đáy 3 mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 mm. Giả định 1 m³ gỗ có giá a (triệu đồng), 1 m³ than chì có giá 8a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A. 9,7.a (đồng) B. 97,03.a (đồng) C. 90,7.a (đồng) D. 9,07.a (đồng) Câu 38. Đổ nước vào một chiếc thùng có bán kính 20cm. Nghiêng thùng

sao cho mặt nước chạm miệng thùng và đáy thùng (như hình vẽ) thì mặt nước tạo với đáy thùng một góc 45. Thể tích của thùng là:

A. 400(cm³) B. 32000(cm³)

C. 16000(cm³) D. 8000(cm³)

(5)

Câu 39. Một bồn nước hình hộp chữ nhật với đáy có kích thước 3 m  2,4 m, chiều cao bồn nước là 2 m chứa đầy nước. Người ta bơm hết lượng nước từ bồn đã cho sang một bồn nước hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 2 m. Hỏi bồn hình trụ có độ cao mực nước là bao nhiêu?

A.  1,18 (m) B.  1,17 (m) C.  1,16 (m) D.  1,15 (m)

Câu 40. Một bồn bê-tông hình trụ có đường kính đáy 10 m, chiều cao 3 m.

Độ dày bê-tông của đáy và chung quanh bồn là 30 m (xem hình vẽ). Hỏi để làm một bồn như vậy, cần bao nhiêu mét khối bê-tông? Cho biết giá bê-tông sản xuất bồn có chất lượng cao là 1124000 đ cho mỗi mét khối bê-tông. Như vậy, một chiếc bồn bê-tông có giá bao nhiêu?

A.  55.324.000 (đồng) B.  58.324.000 (đồng)

C.  56.324.000 (đồng) D.  57.324.000 (đồng)

Câu 41. Hộp phô mai có dạng hình trụ, đường kính đáy 12,2cm và chiều cao 2,4cm. Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp nằm sát bên trong hộp và độ dày của giấy gói từng miếng không đáng kể. Hỏi thể tích của một miếng phô mai là bao nhiêu?

A.  34,1cm³. B.  36,1cm³.

C.  35,1cm³. D.  33,1cm³.

Câu 42. Ông An làm lan can ban công của ngôi nhà bằng một miếng kính cường lực. Miếng kính này là một phần của mặt xung quanh một hình trụ như hình bên. Biết AB = 4m, góc AEB = 150 (E là điểm chính giữa cung AB) và DA = 1,4m. Biết giá tiền loại kính này là 500.000 đồng cho mỗi mét vuông. Hãy tính số tiền (làm tròn đến hàng chục nghìn) mà ông An phải trả?

A.  2.630.000 (đồng) B.  2.830.000 (đồng) C.  2.730.000 (đồng) D.  2.930.000 (đồng) Câu 43. (CÂU 44 ĐMH 2021) Ông Bình làm lan can ban-công ngôi nhà của mình bằng một tấm kính cường lực. Tấm kính đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên.

Biết giá tiền của 1 m² kính như trên là 1.500.000 đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bình mua tấm kính trên là bao nhiêu?

A. 23.591.000 đồng B. 36.173.000 đồng

C. 9.437.000 đồng D. 4.718.000 đồng

Câu 44. (CÂU 48 THPT QG 2021 – ĐỢT 2) Cắt hình trụ (T) bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2a, ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 36a². Diện tích xung quanh của (T) bằng

A. 4 13 a ² B. 12 13 a ² C. 6 13 a ² D. 8 13 a ² Câu 45. Người ta thả một viên bi dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một

chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên bi đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng. Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm. Tính bán kính viên bi.

A. r  2,5cm. B. r  2,6cm.

C. r  2,7cm. D. r  2,8cm.

(6)

Câu 46. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tính tỉ số

2 1

S S

A. ¹

2

S 1

S 2 B. ¹

2

S 1 S 3 C. ¹

2

S 1

S 4 D.  ¹

2

S 1 S 

Câu 47. Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6cm, chiều dài lăn là 25cm (như hình bên). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên bức

tường phẳng một diện tích là bao nhiêu?

A. 1300cm². B. 1400cm². C. 1500cm². D. 1600cm².

Câu 48. Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bằng cách cắt ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật (phần tô đậm) sau đó hàn kín lại (như hình vẽ bên). Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu (vừa đủ). biết thùng đựïng dầu có thể tích bằng 50,24 lít (các mối ghép nối khi gò hàn chiếm diện tích không đáng

kể. Lấy  = 3,14). Tính diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu.

A. 1,5072m². B. 1,5073m². C. 1,5074m². D. 1,5075m².

Câu 49. Một người dùng một cái ca hình bán cầu (một nửa hình cầu) có bán kính là 3cm để múc nước đổ vào một cái thùng hình trụ chiều cao 10cm và bán kính đáy bằng 6cm. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước đầy thùng? (biết rằng mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy)

A. 18 lần.

B. 19 lần.

C. 20 lần.

D. 21 lần.

Câu 50. Trong hình vẽ, 6 lon nước có dạng hình trụ được đặt sát nhau trong một thùng các-tông để bán. Đường kính và chiều cao của mỗi lon nước lần lượt là 7 cm và 11 cm. Lấy  bằng

22 . Biểu diễn phần thể tích trống trong 7 thùng các-tông dưới dạng một phân số của thể tích thùng các tông.

A. 1

14. B. 3

14. C. 5

14. D. 7

14.

(7)

Câu 51. Hình vẽ biểu diễn một sợi dây chuyền có dạng hình trụ. Phần A và C được làm bằng bạc trong khi phần B được làm bằng vàng. Thể tích của sợi dây chuyền là 80 mm³.

Tìm độ dài của phần B theo mm, làm tròn đến 4 chữ số sau dấu thập phân.

A.  1,3176mm. B.  1,3177mm. C.  1,3178mm. D.  1,3179mm.

Câu 52. Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không cần viền, mép, phần thừa).

A. 700 (cm²).

B. 750,25 (cm²).

C. 756,25 (cm²).

D. 754,25 (cm²).

C. MẶT NÓN, HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN

Câu 53. (CÂU 8 THPT QG 2019) Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là A. r h

3

1 2 B. r²h C. r h

3

4 2 D. 2r²h

Câu 54. (CÂU 4 THPT QG 2021 – ĐỢT 2) Cho hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l. Diện tích xung quanh Sxq của hình nón đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?

A. S_xq  rl B. S_xq 2 rl C. S_xq  4 rl D. _xq 4

S rl

 3

Câu 55. (CÂU 39 ĐMH 2017) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và AC = 3a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.

A. l = a B. l 2a C. l 3a D. l = 2a

Câu 56. (CÂU 12 THPT QG 2020) Cho khối nón có bán kính đáy r = 5 và chiều cao h = 2. Thể tích của khối nón đã cho bằng

A. 3

10 B. 10 C.

3

50 D. 50

Câu 57. (CÂU 35 THPT QG 2020) Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 và góc ở đỉnh bằng 60^o. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. 8 B.

3 3

16  C.

3 3

8  D. 16

Câu 58. (CÂU 26 ĐMH 2017) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3a² và bán kính đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho.

A. 2

a

l 5 B. l2 2a C.

2 a

l3 D. l = 3a

Câu 59. (CÂU 14 ĐMH 2018) Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 3a² và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng

A. 2 2a B. 3a C. 2a D.

2 a 3

(8)

Câu 60. (CÂU 39 ĐMH 2017 - LẦN 1) Cho khối nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 15. Tính thể tích V của khối nón (N).

A. V = 12 B. V = 20 C. V = 36 D. V = 60

Câu 61. (CÂU 8 ĐMH 2020) Cho khối nón có chiều cao h = 3 và bán kính đáy r = 4. Thể tích của khối nón đã bằng

A. 16 B. 48 C. 36 D. 4

Câu 62. (CÂU 32 ĐMH 2020) Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và AC = 2a. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng

A. 5a² B. 5a² C. 2 5a² D. 10a²

Câu 63. (CÂU 25 ĐMH 2019) Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và bán kính đáy bằng a. Thể tích của khối nón đã cho bằng

A. 3

a

3 ³ B.

2 a

3 ³ C.

3 a 2 ³

D. 3 a³



Câu 64. (CÂU 3 ĐMH 2020) Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng

A. 4rl B. 2rl C. rl D. rl

3 1

Câu 65. (CÂU 40 ĐMH 2020) Cho hình nón có chiều cao bằng 2 5. Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều có diện tích bằng 9 3. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A. 3

5

32  B. 32 C. 32 5 D. 96

Câu 66. (CÂU 31 THPT QG 2017) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a 2. Tính thể tích V của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD.

A. 2

Va³ B.

6 a

V 2 ³ C.

6

V a³ D.

2 a V 2 ³

Câu 67. (CÂU 50 THPT QG 2017) Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a. Mặt phẳng (P) đi qua S cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB2 3a. Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến (P).

A. 2

a

d 3 B. d = a C.

5 a

d 5 D.

2 a d 2

Câu 68. (CÂU 42 ĐMH 2017) Cho hai hình vuông cùng có cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY.

A.

 

6 2 1

V125   B.

 

12 2 2 5

V125  

C.

 

24 2 4 5

V 125   D.

 

4 2 2

V125  

Câu 69. (CÂU 49 ĐMH 2017) Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là h (h >

R). Tính h để thể tích khối nón được tạo nên bởi (N) có giá trị lớn nhất.

(9)

A. h 3R B. h 2R C.

3 R

h4 D.

2 R h3

Câu 70. (CÂU 42 THPT QG 2021 – ĐỢT 1) Cắt hình nón (N) bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng một góc bằng 60^o ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 4a. Diện tích xung quanh của (N) bằng

A. 8 7 a ² B. 4 13 a ² C. 8 13 a ² D. 4 7 a ² Câu 71. Một cái phểu có dạng hình nón, chiều cao của phểu là 20cm.

Người ta đổ một lượng nước vào phểu sao cho chiều cao của cột nước trong phểu bằng 10cm. Nếu bịt kín miệng phểu rồi lật ngược phểu thì chiều cao của cột nước trong phểu bằng bao nhiêu?

A.  0,8706 B.  0,8705

C.  0,8704 D.  0,8703

Câu 72. Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần

đường kính đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dầy của lớp vỏ thủy tinh).

A. 1

9 B. 2

9 C. 9

5 D. 7

9 ------

ĐÁP ÁN KHỐI TRÒN XOAY

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án C C A D B B C C B A

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án A B B B C A C B B B

Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Đáp án C D A A D B D B C A

Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Đáp án C A D C D C D C D D

Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Đáp án C D C B C D C A C B

Câu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Đáp án B C A A D C A D B A

Câu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Đáp án A C A C A C D C C D

Câu 71 72

Đáp án A C

(10)

DIỆN TÍCH–THỂ TÍCH MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

Hình Diện tích Thể tích Hình minh họa

CẦU

S = 4R² R : bán kính mặt cầu.

V = 3 4R³ R : bán kính khối cầu.

CHỎM CẦU Sxq 2Rh



r²h²



²



^h² ³^r²



6 h 3

R h h

V   



 

 





TRỤ

Sxq = 2R.h Stp = Sxq + 2.Sđáy

R : bán kính đáy.

l : đường sinh.

V = R².h R : bán kính đáy.

h : đường cao.

TRỤ CỤT S_xq R



h₁h₂



_



 



 



 2

h R h

V ² ¹ ²

NÓN

Sxq = R.l Stp = Sxq + Sđáy

R : bán kính đáy.

l : đường sinh.

V = 3

1R².h R : bán kính đáy.

h : đường cao.

NÓN CỤT

 



R r



l l ' p 2 p S_xq 1











 



R r Rr



3 h

' BB ' B B 3h V 1

2

2 

 





PARABOL

Diện tích Parabol 3Rh S_parabol4

Thể tích khối tròn xoay sinh bởi parabol

Vtru

2 h 1 2R

V1 ² 

ELIP S = ab

2 a

2 quanh

xoay ab

3

V  4

b 3 a V_xoay_quanh₂_b 4 ²

HÌNH NÊM  R .tan 3

V 2 ³  



 

 

 R .tan 3

2

V 2 ³

(11)

MẶT TRÒN XOAY

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

A. MẶT CẦU, HÌNH CẦU VÀ KHỐI CẦU I. ĐỊNH NGHĨA

Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R > 0 cho trước gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R.

Do đó : S(O ; R) =  M OM = R

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MỘT ĐIỂM Cho mặt cầu (S) và một điểm A.

 Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu S. Khi đó đoạn OA là bán kính mặt cầu (S).

 Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu S. (OA1 < R)

 Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S. (OA2 > R) III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P). Khi đó :

 Nếu d < R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu S(O ; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng (P) có tâm là H và có bán kính r = R² d² .

 Nếu d = R thì mặt phẳng (P) chỉ cắt mặt cầu S(O ; R) tại điểm H duy nhất.

Khi đó mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H. Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu tại điểm H, điểm H gọi là tiếp điểm.

 Nếu d > R thì  không cắt mặt cầu S(O ; R).

 Chú ý :

Khi d = 0 thì mp(P) đi qua tâm O của mặt cầu, mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng kính ; giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường tròn có bán kính R, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.

IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Cho mặt cầu S(O ; R) và đường thẳng . Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến . Khi đó :

 Nếu d > R thì  không cắt mặt cầu S(O ; R).

 Nếu d = R thì  cắt mặt cầu S(O ; R) tại một điểm duy nhất. (Khi đó đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H. Đường thẳng  gọi là tiếp tuyến của mặt cầu tại điểm H, điểm H gọi là tiếp điểm)

 Nếu d < R thì  cắt mặt cầu S(O ; R) tại hai điểm phân biệt.

V. ĐỊNH LÝ

Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O ; R) thì : a) Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

(12)

b) Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

c) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

VI. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN 1) Định nghĩa :

Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp đó (hoặc hình lăng trụ đó). Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp và mặt trung trực của một cạnh bên.

Một mặt cầu hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của nó.

2) Các khái niệm cơ bản

 Trục của đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

3) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

a) Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó có đường tròn ngoại tiếp.

b) Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cách đều tất cả các đỉnh một đoạn bằng R. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của trục đường tròn ngoại tiếp một đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Bán kính mặt cầu được tính dựa theo các hệ thức lượng trong tam giác và tứ giác.

4) Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp

Một hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình hộp chữ nhật.

5) Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

a) Điều kiện cần và đủ để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là lăng trụ đứng và đáy của nó là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.

b) Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng cách đều tất cả các đỉnh một đoạn bằng R. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy hoặc có thể xem nó là giao điểm của mặt phẳng trung trực một cạnh bên với trục OO’.

c) Bán kính mặt cầu được tính dựa theo các hệ thức lượng trong tam giác và tứ giác.

VII. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.

 Một hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì tồn tại mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

 Muốn xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp ta chú ý các dạng sau : a) Hình chóp có các đỉnh cách đều một điểm cố định.

Chứng minh các đỉnh của hình chóp cách đều một điểm cố định O bằng một khoảng cách khơng đổi R. Khi đĩ mặt cầu là S(O ; R).

b) Hình chóp có các đỉnh nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vuông.

Chứng minh các đỉnh của hình chóp cùng nhìn đoạn MN dưới một góc vuông. Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm O là trung điểm của đoạn thẳng MN và bán kính

2 R M N

c) Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc có một cạnh bên vuông góc với đáy.

Dựng trục () của đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp. (Trục của đường tròn ngoại tiếp ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC)

 Nếu hình chóp có một cạnh bên SA và () cùng nằm trong một mặt phẳng, ta dựng đường trung trực d của cạnh SA. Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của d và ().

 Nếu hình chóp không có cạnh bên nào đồng phẳng với trục (), ta dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Giao điểm của mặt phẳng này và trục () là tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

d) Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.

(13)

Nếu hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy, ta dựng trục (1) của đường tròn ngoại tiếp mặt đáy và dựng trục (2) của đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy. Khi đó, giao điểm của (1) và (2) là tâm I của đường tròn ngoại tiếp hình chóp.

VIII. MẶT CẦU NỘI TIẾP HÌNH CHÓP

Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp. Ta nói hình chóp ngoại tiếp mặt cầu.

 Điều kiện mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S(O ; R) tại điểm H  mp(P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H. Do đó, mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S(O ; R)  d(O ; (P)) = R.

B. MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ I. ĐỊNH NGHĨA

a) Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng

l

khi quay quanh một đường thẳng  song song với

l

. Mặt trụ có trục , bán kính R là tập hợp các điểm cách đường thẳng  một khoảng R.

b) Hình trụ là phần mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng phân biệt (P), (P’) vuông góc với trục của mặt trụ, cùng với hai hình tròn (C) và (C’).

Trong đó :

 Hai đường tròn (C) và (C’) gọi là hai đường tròn đáy.

 Hai hình tròn (C) và (C’) gọi là hai mặt đáy của hình trụ.

 Bán kính R của (C) và (C’) được gọi là bán kính của hình trụ.

 Khoảng cách giữa hai đáy gọi là chiều cao của hình trụ.

 Nếu gọi O và O’ là tâm của hai đáy thì đoạn OO’ gọi là trục của hình trụ.

 Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

 Nếu M và M’ là hai điểm nằm trên hai đường tròn đáy và MM’// OO’ thì MM’ nằm trên mặt xung quanh của hình trụ và gọi là đường sinh của hình trụ.

II. TÍNH CHẤT

a) Mặt trụ là tập hợp các điểm M sao cho d(M ; d) = R.

b) Nếu M là một điểm bất kỳ nằm trên mặt trụ thì đường thẳng

l

đi qua M và song song với trục d sẽ nằm trên mặt trụ đó.

3) Cho mặt trụ (T) và mặt phẳng (). Khi đó :

_ Nếu ()  OO’ thì giao tuyến của () và (T) là đường tròn C(I ; R).

_ Nếu () // OO’ và d(OO’ ; ()) = h, thì ta có :

 h < R : () cắt (T) theo 2 đường sinh.

 h = R : () tiếp xúc (T), () được gọi là tiếp diện của mặt trụ (T).

 h > R : ()  (T) = .

III. KHỐI TRỤ

Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của nó.

IV. CHÚ Ý

_ Hình trụ nội tiếp (ngoại tiếp) hình lăng trụ là hình trụ có hai đáy là hai đường tròn nội tiếp (ngoại tiếp) hai đa giác đáy của hình trụ.

_ Mặt cầu ngoại tiếp một hình trụ là mặt cầu chứa hai đường tròn đáy của hình trụ.

_ Mặt cầu nội tiếp một hình trụ là mặt cầu tiếp xúc với hai đáy và tất cả các đường sinh của hình trụ.

_ Một điểm M di động trong không gian có hình chiếu M’ trên mặt phẳng (). Nếu M’ di động trên đường tròn (C) cố định nằm trong () thì M thuộc mặt trụ cố định (T) chứa (C) và có trục vuông góc với ().

_ Nếu điểm M có d(M ; ) = R không đổi thì M thuộc một mặt trụ , bán kính R.

_ Các thiết diện qua trục của một hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau.

_ Thiết diện vuông góc với trục của một hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy.

C. MẶT NÓN, HÌNH NÓN VÀ KHỐI NÓN I. ĐỊNH NGHĨA

R

(14)

a) Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng

l

khi quay quanh đường thẳng  cắt

l

nhưng không vuông góc với

l

.

b) Hình nón là phần của mặt nón giới hạn bởi (P) và (P’) cùng với hình tròn (C).

Trong đó :

 Điểm O gọi là đỉnh của hình nón.

 Đường tròn (C) được gọi là đường tròn đáy.

 Hình tròn (C) gọi là đáy của hình nón.

 Đoạn OI gọi là trục của hình nón.

 Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón.

 Đoạn thẳng OM gọi là đường sinh của hình nón, các đường sinh có độ dài bằng nhau.

 Khối nón là hình nón cùng với phần bên trong của nó.

II. TÍNH CHẤT

a) Nếu cắt mặt nón tròn xoay đỉnh O bởi mặt phẳng đi qua đỉnh O ta có các trường hợp sau : _ Mặt phẳng cắt mặt nón theo hai đường sinh.

_ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này người ta gọi mặt phẳng đó là tiếp diện của mặt nón.

_ Mặt phẳng chỉ có một điểm O chung duy nhất với mặt nón, ngoài ra không có một điểm chung nào khác.

b) Nếu cắt mặt nón tròn xoay đỉnh o bởi mặt phẳng (P) không đi qua đỉnh O ta có các trường hợp sau : _ Nếu mặt phẳng (P) cắt mọi đường sinh của mặt nón, ta được giao tuyến là một đường elip hoặc là một đường tròn (khi mặt phẳng (P) vuông góc với trục  của mặt nón).

_ Nếu mặt phẳng (P) song song với chỉ một đường sinh của mặt nón, ta được giao tuyến là một đường Parabol.

_ Nếu mặt phẳng (P) song song với hai đường sinh của mặt nón, ta được giao tuyến là hai nhánh của một đường Hypebol

III. KHỐI NÓN

Khối nón là hình nón cùng với phần bên trong của nó.

IV. CHÚ YÙ

_ Một hình chóp gọi là nội tiếp một hình nón nếu đáy của hình nón là đa giác nội tiếp đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh hình nón.

_ Một hình nón gọi là nội tiếp một hình chóp nếu hình nón tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp.

_ Một hình nón gọi là nội tiếp một mặt cầu nếu hình nón có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu.

_ Một hình nón gọi là ngoại tiếp một mặt cầu nếu mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh và hình tròn đáy của hình nón.

_ Thiết diện qua trục của hình nón là các tam giác cân và bằng nhau.

_ Thiết diện qua đỉnh là những tam giác cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.

_ Thiết diện vuông góc với trục là những đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón.

------