CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. KHÁI NIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số f(x) xác định trên tập D (D R) và x0 D.
a) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho:
0 0
a ; b D
f (x ) f (x), x a ; b \ x
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).
b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho:
0 0
a ; b D
f (x ) f (x), x a ; b \ x
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x).
Chú ý :
a) Lưu ý rằng điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp D. Nói cách khác, điều kiện cần để x0 D là một điểm cực trị của hàm số f là D chứa một lân cận của điểm x0 (tức là một khoảng chứa điểm x0).
Chẳng hạn xét hàm số f(x) = xxác định trên [0 ; +).
Ta có f(x) > f(0) nhưng x = 0 không phải là một điểm cực tiểu của hàm số vì tập hợp [0 ; +) không chứa bất kỳ một lân cận nào của điểm 0.
b) Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) của hàm số f(x) nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f(x) trên tập D ; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f(x) trên một khoảng (a ; b) nào đó chứa điểm x0.
c) Hàm số f(x) có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D và các cực trị nói chung là khác nhau. Hàm số có thể có nhiều điểm cực đại và cực tiểu (thí dụ : y = sinx + cosx) nhưng cũng có thể không có cực trị trên một tập hợp số thực cho trước (thí dụ y = x3 – 3x2 + 3x – 2).
Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số;
f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, còn điểm M(x0 ; f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
II. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ Định lý 1 :
Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì f ’(x0) = 0.
Điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 là hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại x0.
Từ định lý trên, ta lưu ý :
Hàm số có đạo hàm tại điểm x0 bằng 0 nhưng chưa chắc có cực trị tại điểm x0. Thí dụ :
a) Hàm số f(x) = x3 có f ’(x) = 3x2. Khi x = 0 thì y’(0) = 0, tức là tại điểm x = 0 thì đạo hàm bằng 0 nhưng hàm số f không hề đạt cực trị tại x = 0 vì f ’(x) = 3x2 0, x
hàm f là hàm tăng, mà hàm tăng thì không có cực trị.
b) Hàm số f(x) = x4 – 4x3 + 1 có f ’(0) = 0 nhưng không có cực trị tại x = 0.
Hàm số liên tục tại điểm x0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x0 vẫn có thể có cực trị.
Thí dụ :
a) Hàm số y = f(x) = x xác định trên R.
Vì f(0) = 0 và f(x) > 0,x 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 dù hàm số không có đạo hàm tại x =
0, vì: x khi x 0 1 khi x 0
y x y '
x khi x < 0 1 khi x < 0
Chú ý : Tại sao hàm số không có đạo hàm tại x = 0?
Định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và x0 (a ; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
0
0 x x
0
f (x) f (x ) lim x x
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và ký hiệu là f ’(x0) (hoặc y’(x0)) tức là:
0
0
0 x x
0
f (x) f (x ) f '(x ) lim
x x
Ta có: x khi x 0
y x
x khi x < 0
. Tại x = 0, ta có:
x 0 x 0 x 0
f (x) f (0) x
lim lim lim 1 1
x 0 x
và
x 0 x 0 x 0
f (x) f (0) x
lim lim lim 1 1
x 0 x
f ’(0+) f ’(0–) nên f ’(0) không tồn tại Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
Đây là thí dụ hàm số có cực trị mà tại cực trị nó không có đạo hàm cho nên nếu nói rằng: là vì nó đạt cực trị nên đạo hàm tại 0 bằng 0 là lập luận sai.
b) y = x (x + 2)
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = –1; f(–1) = 1 và đạt cực tiểu tại điểm x = 0; f(0) = 0.
Tóm lại : Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
III. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
Định lý 2 : Giả sử hàm số f(x) liên tục trên (a ; b) và có đạo hàm trên khoảng (a ; x0) và (x0 ; b). Khi đó :
a) Nếu
0 0
f '(x) 0, x a ; x f '(x) 0, x x ; b
thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0.
b) Nếu
0 0
f '(x) 0, x a ; x f '(x) 0, x x ; b
thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x0. Nói một cách khác :
Nếu f ’(x) đổi dấu từ (–) sang (+) khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu.
Nếu f ’(x) đổi dấu từ (+) sang (–) khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại.
Định lý này diễn đạt : Muốn chứng tỏ x0 là một điểm cực trị của hàm số, ta chỉ cần xét dấu của f ’(x) trên hai khoảng (a ; x0) và (x0 ; b) mà không cần xét xem tại điểm x0 hàm số f có hay không có đạo hàm.
Định lý 3 : Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0, f ’(x0) = 0 và f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x0) 0. Khi đó :
a) Nếu f ’’(x0) < 0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0. b) Nếu f ’’(x0) > 0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0. Định lý này diễn đạt :
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0
0 ) x (
"
f
0 ) x ( ' f
0 0
Hàm số đạt cực đại tại điểm x0
0 ) x (
"
f
0 ) x ( ' f
0 0
Chú ý : Nếu f ’’(x0) = 0, thì không thể kết luận được rằng hàm số đạt cực trị tại x0. IV. CÁC QUI TẮC TÌM CỰC TRỊ
1) Qui tắc 1 : (Dựa vào định lý 2) a) Tìm f ’(x).
b) Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
c) Xét dấu f ’(x). Nếu f ’(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. 2) Qui tắc 2 : (Dựa vào định lý 3)
a) Tìm f ’(x).
b) Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …) của phương trình f ’(x) = 0.
c) Tìm f ’’(x) và tính f ’’(xi).
_ Nếu f ’’(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi. _ Nếu f ’’(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.
Chú ý : Gọi A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x).
V. CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP
1) Cho hàm số f(x) xác định trên tập D (D R) và một điểm x0 D.
x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f(x)
x0
\ ) b
; a ( x ), x ( f
) b
; a ( )
b
; a (
) f(x
D và
x chứa
0
0
Khi đó : x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x).
f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x).
M(x0 ; f(x0)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số f(x).
x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
x0
\ ) b
; a ( x ), x ( f
) b
; a ( )
b
; a (
) f(x
D và
x chứa
0
0
Khi đó : x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x).
M(x0 ; f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f(x).
Chú ý 1 : Phải phân biệt: điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Chú ý 2 : Hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) thì không có cực trị.
Chú ý 3 : Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất
d cx
b y ax
(c 0 ; ad – bc 0) thì không có cực trị.
2) Nếu hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0
0 ) x (
"
y
0 ) x ( ' y
0 0
3) Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm x0
0 ) x (
"
y
0 ) x ( ' y
0 0
4) Trong trường hợp f ’(x0) = 0 không tồn tại hoặc
0 ) x (
"
y
0 ) x ( ' y
0
0 thì không có cực trị.
A. HÀM ĐA THỨC BẬC BA y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
5) Điều kiện cần và đủ để hàm bậc ba có cực trị là phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
6) Hàm đa thức bậc ba hoặc không có cực trị hoặc có 2 cực trị (một cực đại và một cực tiểu).
7) Hàm bậc ba không có cực trị Phương trình y’= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
8) Nếu hàm đa thức bậc ba có 2 điểm cực trị thì : Gọi A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là tọa độ hai điểm cực trị với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y’= 0.
9) Nếu hàm đa thức bậc ba có 2 điểm cực trị thì điểm uốn nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Nói cách khác : điểm cực đại, điểm cực tiểu và điểm uốn thẳng hàng.
10) Nếu hàm đa thức bậc ba có 2 điểm cực trị thì hai điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua điểm uốn.
Khi đó, tổng các hoành độ cực đại và cực tiểu của hàm số là: x1x2 2.xU (trong hàm đa thức bậc ba thì điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị)
B. HÀM TRÙNG PHƯƠNG y = ax4 + bx2 + c (a 0)
11) Hàm trùng phương luôn có ít nhất một cực trị (hoặc có 1 cực trị hoặc có 3 cực trị)
12) Hàm trùng phương có một điểm cực trị Phương trình y’= 0 có nghiệm duy nhất x = 0 a.b 0.
13) Hàm trùng phương có ba điểm cực trị Phương trình y’= 0 có ba nghiệm phân biệt a.b < 0.
14) Hàm trùng phương có 2 cực tiểu và một cực đại Phương trình y’= 0 có 3 nghiệm phân biệt và a > 0.
15) Hàm trùng phương có 2 cực đại và một cực tiểu Phương trình y’= 0 có 3 nghiệm phân biệt và a < 0.
16) Hàm trùng phương có cực tiểu mà không có cực đại (có một điểm cực trị là điểm cực tiểu) Phương trình y’= 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và a > 0.
17) Hàm trùng phương có cực đại mà không có cực tiểu (có một điểm cực trị là điểm cực đại) Phương trình y’= 0 có nghiệm duy nhất x = 0 và a < 0.
18) Hàm trùng phương với a > 0 chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc một cực tiểu hoặc một cực đại và hai cực tiểu.
19) Hàm trùng phương với a < 0 chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc một cực đại hoặc một cực tiểu và hai cực đại.
20) Hàm trùng phương luôn có một hoành độ cực trị bằng 0, nên tích các hoành độ cực trị luôn bằng 0.
C. HÀM PHÂN THỨC BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT
' c x ' b
c bx y ax
2
21) Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp :
Không có cực trị.
Một cực tiểu và một cực đại.
22) Hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất có 2 điểm cực trị Phương trình y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt khác
' b
'
c .
2. CÁC THÍ DỤ
THÍ DỤ 1 : (THPT QG 2016) Tìm m để hàm số y = x3 – 3x2 + mx – 1 có hai điểm cực trị. Gọi x1, x2 là hai điểm cực trị đó, tìm m để x12x22 3.
Hướng dẫn :
Tập xác định : D = R. Ta có : y'3x26xm
Hàm số có điểm hai cực trị PT 3x26xm0 có 2 nghiệm phân biệt '93m0m3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y’ = 0. Theo định lý Vi-ét ta có:
3 x m x
; 2 x
x1 2 1 2
Theo giả thiết :
( )2 m 3 3 3
2 m 4 3 x x 2 x x 3 x
x12 22 1 2 2 1 2 nhận Vậy
2
m 3 là giá trị cần tìm.
THÍ DỤ 2 : (ĐH B 2014) Cho hàm số y = x3 – 3mx + 1 (1) và điểm A(2 ; 3). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A
Hướng dẫn :
Tập xác định : D = R. Ta có : y'3x23m= 3(x2 – m)
Hàm số có điểm hai cực trị PT x2m0 có 2 nghiệm phân biệt x2mm0
1 m 2
; m C 1 m 2 y m
1 m 2
; m B 1 m 2 y m 0 x
'
y 3 3
3 3
x BC
2 m;4 m3
Gọi I là trung điểm của BC I(0 ; 1) Tam giác ABC cân tại A
2 m 1 ) 2(
m 1
) i ( 0 m 0 m 8 m 4 0 BC .
AI 3
nhận
loạ
Vậy 2
m 1 là giá trị cần tìm.
THÍ DỤ 3 : (ĐH B 2007) Cho hàm số yx33x23
m21
x3m21. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cách đều gốc tọa độ O. Hướng dẫn :
Tập xác định : D = R. Ta có : y’ = –3x2 + 6x + 3(m2 – 1) = 3(–x2 + 2x + m2 – 1) y’ = 0 – x2 + 2x + m2 – 1 = 0
Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ’ = m2 > 0 m 0 Gọi A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số A(1 + m ; 2(m3 –1)) ; B(1 – m ; –2(m3 +1)) Các điểm cực đại và cực tiểu cách đều gốc tọa độ O OAOB OA2 = OB2
(dom 0)
4 m 1 m 16 m 4 y x y
x12 12 22 22 3 2 m = 2 1 Vậy giá trị cần tìm là m =
2 1
THÍ DỤ 4 : (ĐH A 2002) Định m để hàm số y = –x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2có cực trị và tìm phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Hướng dẫn :
Tập xác định : D = R. y’ = 3x2 + 6mx + 3(1 – m2)
y’ = 0 3x2 + 6mx + 3(1 – m2) = 0 x2 – 2mx + m2 – 1 = 0
Đồ thị hàm số có cực trị phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ’ > 0
(m)2 – 1(m2 – 1) = m2 – m2 + 1 = 1 > 0, m
Đồ thị hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu Với điều kiện trên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
Gọi A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là tọa độ hai điểm cực trị với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y’ = 0 Lấy y chia y’, ta có : f(x) = f ’(x) . g(x) + ax + b
2x m m3 x m 3 x 1 ' y
y 2
Mà y’(x) = 0. Do đó : y1 = 2x1 – m2 + m ; y2 = 2x2 – m2 + m
Chứng tỏ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y = 2x – m2 + m Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là : y = 2x – m2 + m.
THÍ DỤ 5 : (ĐH D 2012) Cho hàm số y32x3mx22
3m21
x32
1 , m là tham số thực. Tìm m để hàm số
1 có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x x1 22 x
1x2
1. Hướng dẫn :
Tập xác định : D = R. Ta có : y'2x22mx2
3m21
2
x2mx
3m21
Đồ thị hàm số có hai cực trị Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
x2mx
3m21
0 có hai nghiệm phân biệt
13 m 2 0 4 m 13 0 1 m 3 4
m2 2 2
hoặc
13
m 2
*Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y’ = 0. Theo định lý Vi-ét ta có: x1x2 m;x1x2 13m2
Theo giả thiết:
(nhận) m 323 m 2
(loại)
m 0
0 m 2 m 3 1 m 2 1 m 3 1 x x 2 x
x1 2 1 2 2 2
Vậy 3
m2 là giá trị cần tìm.
THÍ DỤ 6 : (ĐH B 2012) Cho hàm số yx33mx23m3. Định m để hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Hướng dẫn :
Tập xác định: D = R. Ta có: y'3x26mx= 3x(x – 2m) 0
'
y x0 hay x2m
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị Phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 2m 0 m 0
3 3
3 3
x 0 y 3m A 0 ; 3m y ' 0
x 2m y m B 2m ; m
. Suy ra: OA3m3 và d
B,
OA
2mTa có : 6m 48 m 16 m 2
2
SOAB1 4 4 (nhận).
Vậy giá trị cần tìm là m = 2.
Cách khác : mx 6 x 3 '
y 2 = 3x(x – 2m) ;
3 3
3 3
x 0 y 3m A 0 ; 3m y ' 0
x 2m y m B 2m ; m
Đồ thị hàm số (1) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi m0.
Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là A
0;3m3
và B
2m;m3
.Ta có : AB
2m;4m3
AB 4m216m6 4m2
14m4
2m 4m41Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là : 2m2xy3m30
Theo đề bài, ta có :
48 m 161 m 4 m
m 1 3
m 4 m 2 2 48 1 AB , O d . 2AB
S 1 4 4
3 4
OAB
2 m
thỏam1
. Vậy giá trị cần tìm là m2.THÍ DỤ 7 : (ĐH B 2013) Cho hàm số y = 2x3 – 3(m + 1)x2 + 6mx (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2.
Hướng dẫn :
Tập xác định : D = R. y’ = 6[x2 – (m + 1)x + m].
Đồ thị hàm số có 2 cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt (m + 1)2 – 4m > 0 (m – 1)2 > 0 m 1 (Hoặc : y’ = 0 x2 – (m + 1)x + m = 0 x = 1 x = m Đồ thị hàm số có 2 cực trị khi m 1)
Cách 1 : Ta có toạ độ hai điểm cực trị là : A(1 ; 3m – 1) và B(m ; –m3 + 3m2).
Hệ số góc của đường thẳng AB là kAB = –(m – 1)2. Đường thẳng (d): y = x + 2 có hệ số góc là kd = 1.
Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng (d) kAB.kd = – 1 –(m – 1)2.(1) = –1 (m – 1)2 = 1
m – 1 = 1 m = 0 hay m = 2. So với điều kiện m 1, ta nhận m = 0 hay m = 2.
Vậy giá trị m cần tìm là : m = 0 hay m = 2.
Cách 2 : Gọi A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là tọa độ 2 điểm cực trị với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y’= 0 Lấy y chia y’, ta có : f(x) = f ’(x).g(x) + (ax + b) y =1(2 1). '
6 x m y – (m – 1)2x + m2 + m Mà y’(x) = 0. Do đó : y1 = – (m – 1)2x1 + m2 + m A(x1 ; –(m – 1)2x1 + m2 + m)
y2 = – (m – 1)2x2 + m2 + m B(x2 ; –(m – 1)2x2 + m2 + m)
Điều này chứng tỏ hai điểm cực trị A, B nằm trên đường thẳng y = –(m – 1)2x + m2 + m Vậy phương trình đường thẳng AB là : y = –(m – 1)2x + m2 + m có hệ số góc là –(m – 1)2 Đường thẳng y = x + 2 có hệ số góc là 1.
Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 –(m – 1)2.(1) = –1 (m – 1)2 = 1
m = 0 hay m = 2. So với điều kiện m 1, ta nhận m = 0 hay m = 2.
Vậy giá trị m cần tìm là : m = 0 hay m = 2.
THÍ DỤ 8 : (ĐH B 2002) Định m để y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 có 3 điểm cực trị.
Hướng dẫn : Tập xác định là R.
y’ = 4mx3 + 2(m2 – 9)x = 2x(2mx2 + m2 – 9) y’ = 0 2x(2mx2 + m2 – 9) = 0 (1)
) 2 ( 0 ) 9 m ( mx 2
0 x
2 2
Đồ thị hàm số có 3 cực trị (1) có 3 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
0 9 m 0 . m 2 ) 0 ( g
0 9 m m 2 0 '
2 2
3 m
0 ) 9 m (
m 2
3 m
3 m 0 3
m (m < –3) (0 < m < 3) Vậy với (m < –3) (0 < m < 3) thì thỏa ycbt.
THÍ DỤ 9 : (ĐH B 2011) Cho hàm số yx42
m1
x2m
1 , m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số
1có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OABC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Hướng dẫn :
Tập xác định là R. Ta có : y'4x34
m1
x4x
x2
m1
;
x m 1
0 0 x
'
y 2
Đồ thị hàm số có ba cực trị m10m1. Khi đó đồ thị hàm số có ba cực trị :
1 m m
; 1 m C 1 m m y 1 m x
1 m m
; 1 m B 1 m m y 1 m x
m
; 0 A m y 0 x
2 2
2
2 OA
0;m
, BC
2 m 1 ; 0
Ta có : OABCOA2BC2m2 4 m 1
m24m 4 0 m 2 2 2
thỏa m1
Vậy giá trị m cần tìm là : m22 2.
THÍ DỤ 10 : (ĐH A, A1 2012) Cho hàm số yx42
m1
x2m2
1 , với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. Hướng dẫn :
Tập xác định là R. Ta có :yx42
m1
x2m2 ; y'4x34
m1
x;
x m 1
0 0 x
'
y 2
Đồ thị hàm số
1 có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi m + 1 > 0 m1.Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số
1 là : A
0;m2
, B
m1;2m1
, C
m1;2m1
Ta có : AB
m1;
m1
2
, AC
m1;
m1
2
Do đồ thị hàm số (1) nhận Oy làm trục đối xứng nên tam giác cân ABC chỉ có thể vuông tại A
AB.AC0
m1
m1
40
m1
31m11m0
thỏam1
Vậy giá trị cần tìm là : m0.
THÍ DỤ 11 : (ĐH B 2005)Cho hàm số y =
1 x
1 m x ) 1 m ( x2
(Cm). Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20.
Hướng dẫn :
Tập xác định là R\–1. Ta có :
22
1 x
x 2 ' x
y
x 2 y m 3
1 m y 0 0 x
2 x x 0 x 2 x 0 '
y 2
Bảng biến thiên:
Vì y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm m R nên (Cm) luôn có 2 điểm cực trị là A(0 ; m + 1) và B(2 ; m – 3) Ta có: AB
20
2 m3m1
2 416 20Vậy với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 .
THÍ DỤ 12 : (ĐH A 2007) Cho hàm số y =
2 x
m 4 m x ) 1 m ( 2
x2 2
. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
Hướng dẫn :
Tập xác định là R\–2. Ta có : y’ = 2 2 2 ) 2 x (
m 4 x 4 x
Hàm số có cực đại và cực tiểu g(x) = x2 + 4x + 4 – m2 có 2 nghiệm phân biệt khác –2.
0 m 4 8 4 ) 2 ( g
0 m 4 4 '
2 2
m 0.
Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số A(–2 – m ; –2) ; B(–2 + m ; 4m –2)
Do OA(m2;2)0;OB(m2;4m2)0 nên ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O
OA.OB0m28m80m42 6 (thỏa m 0).
Vậy giá trị cần tìm là : m42 6.
THÍ DỤ 13 : (ĐH A 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = mx + x
1 (m là tham số). Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 1
2 .
Hướng dẫn :
Tập xác định : D = R \ {0}
Ta có : 2
x m 1 '
y ; 0 mx 1 (1)
x m 1 0 '
y 2 2
Hàm số có cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m > 0.
Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:
m x 1 Bảng biến thiên :
Ta có điểm cực tiểu của (Cm) là
;2 m m
M 1 mx
y x 0
lim1
x
là tiệm cận xiên của (Cm) mx – y = 0
2 m m 1 2m m 12 1 1
m m 2 m 2
1 1
m
m m 2
m 1 2 d 1 , M
d 2 2
2
2
m2 – 2m + 1 = 0 m = 1 (nhận so với điều kiện m > 0) Vậy giá trị cần tìm là m = 1.
TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
Có một cực trị : ab 0 Có ba cực trị : ab < 0
a > 0 : 1 cực tiểu a < 0 : 1 cực đại A > 0 : 1 cực đại, 2 cực tiểu a < 0 : 2 cực đại, 1 cực tiểu
Chứng minh các công thức:
Ta có : yax4bx2c (a0) y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) y’ = 0 2x(2ax2 + b) = 0
a 2 x b
0 x ) 0 a do a ( 2 x b
0 x
2
Từ đây, ta có 3 điểm cực trị là : A(0 ; c) ;
a
; 4 a 2
B b ;
a
; 4 a 2
C b
4a
; b a 2 . b
AB
2 và
4a
; b a 2 . b
AC
2 ;
;0
a 2 2 b .
BC
42
a 16
b a 2 AC b
AB ,
a 2 2 b
BC với = b2 – 4ac Gọi H là trung điểm của BC
4a
; 0
H
4a
; b 0 . AH
2
a 4
b a 16 AH b
2 2
4
Diện tích 0 ABC 20 2 2 42 53 0 53
a 32 S b
a 32
b a
b 2 a
16 b 4 BC 1 . 4AH S 1
BC . 2AH S 1
S
Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông (hoặc tam giác vuông cân)
0 a 8 b
0 b . a
3
Chứng minh :
Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị a.b < 0. (1) Tam giác ABC vuông cân tại A
0 AC . AB
) (
AC
AB tínhchất đốixứng
AB.AC0
Ta có : AB.AC0 0 b 8ab 0 b 8a 0
a 16
b a 16
ab 0 8
a 16
b a 2
b 4 3
2 4 2 2
4
(2)
Từ (1) và (2), hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông (hoặc tam giác vuông cân)
0 a 8 b
0 b . a
3
Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều
0 a 24 b
0 b . a
3
Chứng minh :
Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị a.b < 0. (1) Tam giác ABC đều AB = AC = BC
BC AB
AC
AB (tính chất đốixứng)
AB = BC AB2 = BC2
a 0 16
ab 32 a
16 b ab 8 a
16 ab 32 a
16 b ab 8 a
2 4 b a 16
b a 2 BC b
AB 2 2
4 2
2 4 2
4 2
2
) 0 b ( 0 a 24 b 0 ) a 24 b ( b 0 ab 24
b4 3 3
(2)
Từ (1) và (2), hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác đều
0 a 24 b
0 b . a
3
Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác cân tại A thỏa ˆ BAC
a 8 b
a 8 cos b
0 b . a
3
3 hay
2 0 tan . b a 8
0 b . a
2
3
Chứng minh :
0 cos . AB AC . AC AB
. AB
AC . AB AC AB
AC .
cos AB 2 cos 0
a 16
b a 2
b a
16 b a 2
b a
16 b a 2
b
2 4 2
4 2
4
0 a cos
16 b ab 8 a
16 b ab 0 8
a cos 16
b a 2
b a
16 b a 2
b
2 4 2
4 2
4 2
4
8ab b
cos 0 8ab b 8abcos b cos 0b ab 8 0 a cos
16 b ab 8 a
16 b ab
8 4 4 4 4
2 4 2
4
8a b3 8acos b3cos 0 8a b3 8a b3 cos 0 8a b3 b3 8a cos
a 8 b
a 8 cos b3
3
(2)
Từ (1) và (2), hàm số yax4 bx2c (a0) có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác cân tại A thỏa mãn C
Aˆ
B =
a 8 b
a 8 cos b
0 b . a
3 3
Đồ thị hàm yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính R0
b a 8
a 8 R b
0 b . a
3 0
Chứng minh :
Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị a.b < 0. (1)
A(0 ; c);
a
; 4 a 2
B b ;
a
; 4 a 2
C b 42
a 16
b a 2 AC b
AB ;
a 2 2 b BC Gọi H là trung điểm của BC
4a
; 0
H
a 4
b a 16 AH b
2 2
4
4 2 0 2 2
0 0
ABC 2.AH.R AB 4.AH .R AB
R 4
BC . AC . BC AB . 2AH
S 1
2 2 5
8 2 0 4 2 2
2 4 2
2 0 2 4
2 4 2
2 0 4
b a 64 ab 16 b R . b a . a 64
16 b ab 8 a
16 R . b 4 a
16 b a 2 R b
a 16
4 b
20
3
22 2 3 2 0 2 2 2
3 6
2 0 2
2b .R b 16ab 64a 64.a b .R b 8a 8ab .R b 8a
a .
64
23 2 2
0 8ab
a 8
R b
b a 8
a 8 R b
3 0
(2)
Từ (1) và (2), đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính R0
b a 8
a 8 R b
0 b . a
3 0
Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn
0 a 8 b b
0 b . a
3
Chứng minh :
Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị a.b < 0. (1)
ABC cân tại A nên ABC có 3 góc nhọn khi góc BAC là góc nhọn 0 < BAˆC < 90 cosBAˆC > 0.
0 AC . AB 0
AC AB
AC . C AB Aˆ B
cos
0
a 16
b a 16
ab 0 8
a 16
b a 2
b
2 4 2 2
4
b
b38a
0 (2)Từ (1) và (2), đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn
ba.
bb308a
0 Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O
0 ac 6 b
0 b . a
2
Chứng minh :
Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị a.b < 0. (1) Tọa độ 3 điểm cực trị là : A(0 ; c),
; 4a a 2
B b ,
; 4a a 2
C b
G là trọng tâm ABC nên ta có
G C
B A
G C
B A C
B A G
C B A G
y . 3 y y y
x . 3 x x x 3
y y y y
3 x x x x
: G
0 ac 6 b a 0
4 ac 12 b 2 a 0
4 ac 8 b 2 a 4
ac 4
0 0 0 . a 3
4 ac 4 b a
4 ac 4 c b
0 . a 3 2
b a
2 0 b
2 2
2 2
2
(Đẳngthứcđúng)
(2)
Từ (1) và (2), đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O
0 ac 6 b
0 b . a
2
Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác có trực tâm là gốc tọa độ O
0 abc 4 a 8 b
0 b . a
3
Chứng minh :
Đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị a.b < 0. (1)
Ta có : A(0 ; c),
; 4a a 2
B b ,
; 4a a 2
C b
4a
ac 4
; b a 2 OB b
2 ;
4a
; b a 2 . b
AC
2
a 0 16
ac 4 . b b ab 0 8
a 16
ac 4 . b b a 2 0 b a 16
ac 4 . b a 16
b a 2 0 b
AC .
OB 2
2 4 2
2 4 2
2 2
4
0 abc 4 a 8 b 0 ac 4 . b ab 8
b4 2 3
(2)
Từ (1) và (2), đồ thị hàm số yax4bx2c (a0) có 3 điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác có trực tâm là gốc tọa độ O
0 abc 4 a 8 b
0 b . a
3
BÀI TẬP
Câu 1 : Hàm số y = x4 – 2x2 – 2 có bao nhiêu điểm cực trị
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 2 : Trong các hàm số sau, hàm số nào có 2 điểm cực tiểu
A. y = x4 + x2 – 2 B. y = –x4 – 2x2 + 2 C. y = x4 – 2x2 + 1 D. y = –x4 + 2x2 + 3 Câu 3 : Tìm giá trị cực đại của hàm số y = –x4 + 2x2 – 2
A. yCĐ = –2. B. yCĐ = –1. C. yCĐ = 1. D. yCĐ = 2.
Câu 4 : (ĐH B 2002) Định m để hàm số y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 có 3 điểm cực trị.
A. (– ; –3) (0 ; 3) B. (3 ; +) C. (–3 ; 0) (3 ; +) D. (0 ; 3) Câu 5 : Có bao nhiêu giá trị thực của m để hàm số y = x4 – (m + 1)x2 – 2 có 3 điểm cực trị?
A. m < –1 B. m > –1 C. m > 1 D. m < 2
Câu 6 : Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = x4 + (m4 – 16)x2 – 2 có 3 điểm cực trị?
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
Câu 7 : Có bao nhiêu giá trị thực của m để hàm số y = –x4 – (m2 + 6m – 8)x2 + m – 1 có 3 điểm cực trị?
A. –2 < m < 41 B. m > 2 C. m < –4 m > 1 D. m < –4
Câu 8 : Tìm tất cả các tham số m để hàm số y = (m – 2)x4 + (m + 4)x2 – 2 có đúng một điểm cực trị A. m2m4 B. m2m4 C. –4 < m < 2 D. –1 < m < 1
Câu 9 : Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = x4 + (m2 – 6m – 18)x2 – 2 có đúng một điểm cực trị
A. 12 B. 10 C. 9 D. 11
Câu 10 : Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = x4 + (m – 1)x2 + m có đúng một điểm cực trị
A. 0 < m 1. B. m 0
m 1
C. m 0
m 1
D. 0 m 1.
Câu 11 : Tìm tất cả các tham số m để hàm số y = –x4 + (m + 1)x2 – 3 có đúng một điểm cực đại.
A. m ≥ –1 B. m > –1 C. m –1 D. m < –1
Câu 12 : Tìm tất cả các số nguyên m để hàm số y = mx4 + (4 – m)x2 + m – 1 có đúng một điểm cực đại.
A. m 0 B. m C. 0 < m < 4 D. m 4
Câu 13 : Tìm tất cả các số nguyên m để hàm số y = mx4 + (4 – m)x2 + m – 1 có đúng một điểm cực tiểu.
A. 5 B. 7 C. 3 D. 4
Câu 14 : Tìm tất cả các tham số thực m để hàm số y = x4 + (m – 10)x2 – 2 có đúng một điểm cực tiểu.
A. m = 10 B. m < 10 C. m 10 D. m 10
Câu 15 : Tìm tất cả các tham số m để hàm số y = (m2 + 1)x4 + (m + 6)x2 – 2 có đúng một điểm cực tiểu.
A. m –6 B. m –6 C. m < 6 D. –1 < m < 6
Câu 16 : Tìm tất cả các tham số thực m để hàm số y = mx4 + (4 – m)x2 + m – 1 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
A. m < –1 B. –1 m 0 C. m > 1 D. –1 m < 0
Câu 17 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. 3
9
m 1 B. m = 1 C. 3
9
m 1 D. m = 1
Câu 18 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2(m2 – 1)x2 + 3m2 – 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. m = 0. B. m = 1 C. m = 1 D. m = 2
Câu 19 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 – 2m2x2 + 3m2 – 2m + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. m = 0. B. m = 1 C. m = 1 D. m = –1
Câu 20 : (ĐH A, A1 2012) Cho hàm số yx42
m1
x2m2 (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.A. m = 0. B. m = 1 C. m = 1 D. m = –1
Câu 21 : Tìm giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = 9
8x4 + 3(m – 2020)x2 – 2019 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
A. m = 2018. B. m = 2019 C. m = 2020 D. m = –2020
Câu 22 : Tìm giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = 1
3x4 + (m – 2020)x2 + 4 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
A. m = 2018. B. m = 2019 C. m = 2020 D. m = –2020
Câu 23 : Nếu đồ thị của hàm số y = 9x4 + 2(m – 2020)x2 – 2017m + 2016 có 3 cực trị lập thành một tam giác đều thì giá trị tham số m thuộc khoảng nào?
A. (2015 ; 2017). B. (2016 ; 2018) C. (2017 ; 2019). D. (2017 ; 2020).
Câu 24 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = –x4 + 2(m + 1)x2 + m + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. m = 132 B. m33 1 C. m32 1 D. m 33 1
Câu 25 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
A. m = 33. B. m = 133 C. m = 33 D. m = –33
Câu 26 : Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 – 2(m – 2)x2 + m2 – 1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
A. m = 63 2 . B. m = 233 C. m = 263 D. m = 33 2
Câu 27 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. m = 0 B. m3 3 C. m3 3 D. m = 1
Câu 28 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = –x4 + 2(m + 1)x2 + m + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
A. m = 132 B. m33 1 C. m32 1 D. m 33 1
Câu 29 : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y = 3x4 + (m – 7)x2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có một góc 120o.
A. m = 2 B. m = 2 C. m = –5 D. m = 5
Câu 30 : Tìm tất cả giá trị tham số m để hàm số y = x4 – (m2 – 6)x2 + m + 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có 3 góc nhọn.
A. m > 2 B. 2 < m < 2 C. m < 2 D. 6m 6
Câu 31 :
