VẤN ĐỀ 1 : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
A. MỘT SỐ LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. NHẮC LẠI ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN Ký hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói :
Hàm số f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 K mà x1 x2 thì f(x1) < f(x2).
Hàm số f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 K mà x1 x2 thì f(x1) > f(x2).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
II. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu hàm số f(x) đồng biến trên K thì f ’(x) 0 với mọi x K.
b) Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên K thì f ’(x) 0 với mọi x K.
III. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f ’(x) > 0 với mọi x K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f ’(x) < 0 với mọi x K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
c) Nếu f ’(x) = 0 với mọi x K) thì hàm số f(x) không đổi trên K.
Chú ý : Khoảng K trong định lý trên có thể được thay bởi một đoạn hay khoảng. Khi đó ta phải bổ sung thêm giả thiết “Hàm số f(x) liên tục trên đoạn hay nửa khoảng đó”. Nghĩa là :
_ Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm f ’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a ; b].
_ Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm f ’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a ; b].
_ Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng (a ; b) thì nghịch biến trên đoạn [a ; b].
_ Nếu hàm số f không đổi trên khoảng (a ; b) thì không đổi trên đoạn [a ; b].
IV. ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG
Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên K.
_ Nếu f ’(x) 0 với mọi x K và f ’(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
_ Nếu f ’(x) 0 với mọi x K và f ’(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
V. CHÚ Ý
1) Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau : Bước 1 : Tìm tập xác định D của hàm số.
Bước 2 : Tính đạo hàm f ’(x).
Bước 3 : Tìm các giá trị của x D để f ’(x) = 0 hoặc f ’(x) không xác định.
Bước 4 : Xét dấu f ’(x) trên từng khoảng x thuộc D.
Bước 5 : Dựa vào bảng biến thiên và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số.
2) Trường hợp f ’(x) là một nhị thức bậc nhất có dạng : f ’(x) = ax + b, ta có :
f ’(x) 0, x [ ; ]
0 ) ( ' f
0 ) ( '
f f ’(x) 0, x [ ; ]
0 ) ( ' f
0 ) ( ' f
3) Trường hợp f ’(x) là một tam thức bậc hai có dạng : f ’(x) = ax2 + bx + c, ta có :
HSĐB trên R f ’(x) 0, x R
0 0
a HSNB trên R f ’(x) 0, x R
0 0 a
Đối với hàm lượng giác, ta có : a sin x a , x R ; a sin xb cos x a2b , x2 R
4) Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [a ; b] thì : min f(x) f(a)
] b
; a [
x
; Maxf(x) f(b)
] b
; a [
x
Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a ; b] thì : min f(x) f(b)
] b
; a [
x
; Maxf(x) f(a)
] b
; a [
x
VI. HÀM SỐ NHẤT BIẾN ĐỒNG BIẾN (NGHỊCH BIẾN) TRÊN MỘT MIỀN XÁC ĐỊNH
Hàm số
d cx
b y ax
(c 0, ad bc) có tập xác định :
c
\ d R D 1) Hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó y’ > 0 2) Hàm số giảm trên từng khoảng xác định của nó y’ < 0 3) Hàm số tăng trên khoảng (a ; b)
a;b c
d 0 ' y
4) Hàm số giảm trên khoảng (a ; b)
a;b c d
0 ' y
VII. HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN TẬP CON CỦA R Phương pháp :
Hàm số y = f(x , m) tăng x (a ; b) y’ 0 x (a ; b)
) b
; a ( xmin
y’ 0
Hàm số y = f(x , m) giảm x (a ; b) y’ 0 x (a ; b)
) b
; a ( xmax
y’ 0
VIII. CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRÊN MỘT KHOẢNG Vị trí của một số so với hai nghiệm phân biệt x1, x2 của phương trình f(x) = 0.
1) x1 < < x2 (x1 – )(x2 – ) < 0 x1.x2 – (x1 + x2) + 2 < 0 2) < x1 < x2
2 x x
0 x
x 0
2 1
2
1 3) x1 < x2 <
2 x x
0 x
x 0
2 1
2 1
Chú ý :
a) x1 < 0 < x2 x1.x2 < 0 P < 0 (a.c < 0) b)
0 S
0 P
0 x
x
0 1 2 c)
0 S
0 P
0 0
x x1 2
IX. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM NGHIỆM DUY NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH Để chứng tỏ phương trình có nghiệm duy nhất, có thể dựa vào nhận xét sau :
1) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c (a ; b) sao cho f(c) = 0.
2) Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng (a ; b) thì trên khoảng (a ; b) phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm.
3) Nếu hàm số y = f(x) tăng trên khoảng (a ; b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm số giảm trên khoảng (a ; b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a ; b).
Do đó, nếu có x0 (a ; b) sao cho f(x0) = g(x0) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất.
4) Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên khoảng (a ; b) thì : x1, x2 (a ; b) ta có : f(x1) = f(x2) x1 = x2.
Chú ý :
Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng (a ; b) thì : u, v (a ; b) ta có : f(u) = f(v) u = v.
X. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ NGHỊCH BIẾN TRÊN MỘT KHOẢNG CÓ ĐỘ DÀI LỚN HƠN k
Bài toán tổng quát : Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a > 0). Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn k.
Bước 1 : Tính y’.
Bước 2 : Điều kiện của bài toán được thỏa mãn khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm x1, x2 phân biệt ( >
0) sao cho : x1x2 k(x1x2)2 k2 (x1x2)24x1x2 k2 Bước 3 : Sử dụng định lý Vi-ét suy ra kết quả.
B. BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
BÀI 1.1 : Tìm các khoảng đơn điệu (sự đồng biến, nghịch biến) của các hàm số :
1) y = x3 – 6x2 + 9x + 1 2) y = – x3 + 3x2 3) y = x3 – 3x2 + 4x 4) y = –x3 – 2x + 1 5) y = x3 – 3x2 + 3x + 7 6) y = x4 – 2x2 7) y = –x4 + 2x2 – 1 8) y = x4 + x2 – 2 9) y = –x4 – 2x2 + 3
10) x 1
y x 1
11) y =
2 x
2 x
12) y =
x x 3 13)
x2 x 2 y x 3
14) y = – x –
1 x
1
15) y = 4x –
1 x 2
2
16) y =
1 x
3 x 2 x2
17) y = x4 – 4x3 + 1 18) y = 2xx2
19) y = x22x3 20) y = x2 –3x + 2 21) y x 1 2 x23x 3 BÀI 1.2 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh rằng với mọi x > 0, ta có : 2
x x 1 BÀI 1.3 : Chứng tỏ rằng các hàm số luôn luôn đồng biến trên R.
1) y = x3 – 6x2 + 17x + 4 2) y = x3 + 3x + 1
3) y = x3 + x – cosx – 4 4) y = 2x + sinx – cosx
BÀI 1.4 : Chứng tỏ rằng các hàm số sau không thể luôn luôn đồng biến với mọi giá trị của m : 1) yx3(m1)x2(2m23m2)x2m(2m1)
2) y2x3(2m3)x2(3m2)x3
BÀI 1.5 : Chứng minh rằng phương trình x3 – 3x + m = 0 không thể có 2 nghiệm thực trong đoạn [0 ; 1].
BÀI 1.6 : Chứng tỏ rằng hàm số y = cos2x – 2x + 3 luôn luôn nghịch biến trên R.
BÀI 1.7 : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số x
m 1
x m 3m 1 3y1 3 2 đồng
biến trên R. ĐS : m –1
BÀI 1.8 : Định m để hàm số tăng (hàm số đồng biến) trên R : 1) y = (m2 – 1)
3
x3 + (m + 1)x2 + 3x + 5 ĐS : m –1 m 2 2) y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 ĐS : m = 1
3) y = 3
x3 + mx2 + 4x + 3 ĐS : –2 m 2
BÀI 1.9 : Định m để hàm số y = mx – x3 giảm (hàm số nghịch biến) trên R. ĐS : m 0 BÀI 1.10 : Định m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên 1 đoạn có độ dài bằng 1. ĐS :
4 m9 BÀI 1.11 : Định m để hàm số (2m 1)x (3m 2)x 5m 2
2 x 1 3
y1 3 2 nghịch biến trên một khoảng có
độ dài lớn hơn 1. ĐS : m1 3m1 3
BÀI 1.12 : Định m để y = (m – 3)x – (2m + 1)cosx luôn luôn nghịch biến với mọi x. ĐS :
3 m 2 4
BÀI 1.13 : Định m để y = (2m + 3)sinx + (2 – m)x luôn luôn đồng biến với mọi x. ĐS :
3 m 1 5
BÀI 1.14 : Chứng tỏ rằng hàm số luôn luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
1) y = 2 x
2 x
2) y =
1 x
3 x 2 x2
3) y =
m x 2
1 mx
4) y =
1 x
2 m x m x2 2
BÀI 1.15 : Chứng tỏ hàm số y =
1 x
3 x 2 x2
luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
BÀI 1.16 : Định m để hàm số tăng (hàm số đồng biến) trên từng khoảng xác định của nó : 1) y =
m 2 x
1 mx
2) y =
m x
m x
3) mx m 1
) 1 m ( 2 x ) 1 m 2
y ( 2
4) y =
m x
m x 2 x2
5) x 1
1 x 2 x ) 1 m y (
2
6) y =
m x
2 m mx 2 x2
ĐS : 1)
2 m 1 2
m 1 ; 2) m < 0 ; 3) m 1 m 1
2 ; 4) –3 m 0 ; 5) 1 m 2; 6)
2 m 1 2 m 1 BÀI 1.17 : Định m để hàm số giảm (hàm số nghịch biến) trên từng khoảng xác định của nó :
1) x m
) 2 m m ( mx 2 x ) 1 m y (
2 3 2
2)
1 x
m 1 x ) 1 m 2 ( y mx
2 2
3) y =
2 x
3 mx
4) y =
m 2 x
m 2 mx
ĐS : 1) m ; 2) –1 m < 0 ; 3)
2
m3 ; 4) m > 1 m < 0.
BÀI 1.18 : Định m để hàm số :
1) x m
4 y mx
nghịch biến trên khoảng (– ; 1). 2)
m x
4 y mx
đồng biến trên khoảng (2 ; +).
3) x m
2 y x
nghịch biến trên khoảng (–4 ; 5). 4)
m 2 x
1 y x
đồng biến trên khoảng (–1 ; 2).
ĐS : 1) 2 < m –1 ; 2) m > 2 ; 3) m 5 ; 4)
2 m1
BÀI 1.19 : Định m để hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 –1)x + 2 đồng biến trên (1 ; +). ĐS : m 0 BÀI 1.20 : (ĐH A 2013) Định m để hàm số y x3 3x23mx 1 nghịch biến trên (0 ; +). ĐS : m –1 BÀI 1.21 : Định m để hàm số y = x3 + (m – 4)x2 – 4(m – 1)x + 4m + 1 giảm trên [–2 ; 1]. ĐS : m 4 BÀI 1.22 : (DBĐH 2008) Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx – 1 đồng biến trên (0 ; 2). ĐS : m 0.
BÀI 1.23 : Chứng minh các BĐT sau : 1) sinx < x, x > 0
2) sinx + tanx > 2x, x
;2 0
BÀI 1.24 : (ĐH D 2004) Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm duy nhất: x5 – x2 – 2x – 1 = 0.
BÀI 1.25 : Tìm m để phương trình x3 – 2x2 – 4x + 3m – 2 = 0 có nghiệm x < 0. ĐS : 14 m81
------
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
1§. HÀM SỐ BẬC BA
y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
Hàm số bậc ba có thể luôn đồng biến (tăng), hoặc luôn nghịch biến (giảm) trên R.
Hàm trùng phương, hàm nhất biến, hàm lượng giác thì không có đồng biến, nghịch biến trên R.
a) Các hàm số đa thức bậc chẵn không đồng biến trên R vì có đạo hàm f ’(x) là hàm bậc lẻ nên điều kiện f ’(x) > 0, x R không xảy ra.
b) Còn hàm nhất biến bậc nhất trên bậc nhất thì không liên tục trên R, nó gián đoạn tại những giá trị làm mẫu bằng 0 nên cũng không đồng biến trên R.
c) Các hàm số lượng giác không liên tục trên R vì :
_ Hàm y = cos x, y = sinx có đồng biến, nghịch biến trên các khoảng của nó chứ không đồng biến trên R.
_ Hàm y = tanx, y = cotx không liên tục trên R nên không luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên R (do có mẫu số cosx, sinx có thể bằng 0 nên nó không đồng biến trên R mà nó chỉ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó)
HSĐB trên R f ’(x) 0, x R
0 0 a
HSNB trên R f ’(x) 0, x R
0 0 a
Khi a và c trái dấu thì hàm bậc ba không có đơn điệu trên R vì khi y’ = 0 thì phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt y’ đổi dấu khi đi qua x1, x2 hàm số có tăng, có giảm tức là có đồng biến, nghịch biến.
Khi hàm bậc ba có dạng khuyết b : y = ax3 + cx + d có y’ = 3ax2 + c thì hàm đơn điệu trên R khi a.c 0.
Khi hàm bậc ba có dạng khuyết c : y = ax3 + bx2 + d có y’ = 3ax2 + bx thì hàm đơn điệu trên R khi b = 0.
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Thế thì:
1) Nếu f ’(x) > 0, x (a ; b) hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) 2) Nếu f ’(x) < 0, x (a ; b) hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) 3) Nếu f ’(x) = 0, x (a ; b) hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a ; b) 4) Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) f ’(x) 0, x (a ; b)
5) Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) f ’(x) 0, x (a ; b) Khoảng (a ; b) được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.
2§. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y = f(x) = ax4 + bx2 + c (a 0)
Hàm số trùng phương không đơn điệu trên R.
Khi a.b 0 thì hàm số có một khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến.
Khi a.b < 0 thì hàm số có hai khoảng đồng biến và hai khoảng nghịch biến.
3§. HÀM SỐ NHẤT BIẾN y = f(x) =
d cx
b ax
(c 0 ; ad – bc 0)
Hàm số nhất biến (bậc nhất trên bậc nhất) không đơn điệu trên R (mặc dù khi lấy đạo hàm nó luôn dương hoặc luôn âm nhưng không thể đơn điệu trên R vì nó có một giá trị làm hàm số không xác định, giá trị này làm cho mẫu bằng 0.
Hàm số nhất biến luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
A. CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Thế thì:
1) Nếu f ’(x) > 0, x (a ; b) hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) 2) Nếu f ’(x) < 0, x (a ; b) hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) 3) Nếu f ’(x) = 0, x (a ; b) hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a ; b) 4) Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) f ’(x) 0, x (a ; b)
5) Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) f ’(x) 0, x (a ; b) Khoảng (a ; b) được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.
Hàm số bậc ba có thể luôn đồng biến (tăng), hoặc luôn nghịch biến (giảm) trên R.
Hàm trùng phương, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, hàm lượng giác thì không có đồng biến, nghịch biến trên R.
Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
B. LÝ THUYẾT VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f ’(x)
Định lý : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f ’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến (tăng) trên K.
b) Nếu f ’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến (giảm) trên K.
Dựa vào đồ thị hàm số f ’(x) ta nhận thấy :
a) f ’(x) > 0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f ’(x) nằm phía trên trục hoành.
b) f ’(x) < 0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f ’(x) nằm phía dưới trục hoành.
Từ đó ta có kết luận:
a) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f ’(x) nằm phía trên trục hoành thì trong khoảng đó đó hàm số f(x) đồng biến (tăng).
b) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f ’(x) nằm phía dưới trục hoành thì trong khoảng đó đó hàm số f(x) nghịch biến (giảm).
Ví dụ 1 : Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a ; e].
Đồ thị hàm số y = f ’(x) như hình vẽ bên.
Hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến và lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; e).
Hướng dẫn :
Trên các khoảng (a ; b) và (c ; d), đồ thị hàm số y = f ’(x) nằm phía dưới trục hoành, tức là f ’(x) < 0 nên trên hai khoảng này hàm số y = f(x) nghịch biến.
Trên các khoảng (b ; c) và (d ; e), đồ thị hàm số y = f ’(x) nằm phía trên trục hoành, tức là f ’(x) > 0 nên trên hai khoảng này hàm số y = f(x) đồng biến.
Nói một cách ngắn gọn, dựa vào đồ thị hàm số y = f ’(x) ta có thể biết được dấu của f ’(x) để từ đó kết luận được sự biến thiên của hàm số y = f(x).
Trên đoạn [a ; e], f ’(x) = 0 x = a, x = b, x = c, x = d, x = e. Ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; e] như sau:
Nhận xét:
Khi dựa vào đồ thị hàm số y = f ’(x) ta có thể biết được dấu của f ’(x) và những điểm mà tại đó f ’(x).
Trong nhiều trường hợp, bảng biến thiên cho ta cái nhìn trực quan hơn về hàm số y = f(x).
------
TRẮC NGHIỆM TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ CHỨA THAM SỐ m Câu 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R:
A. y = x4 + x2 + 2017 B.
2 x
1 y x
C. y = cot x D. yx33x23x1
Câu 2. (ĐỀ MINH HỌA 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ( ; ) ? A. y = 2x3 – 5x + 1 B. y = 3x3 + 3x – 2 C. y = x4 + 3x2 D.
1 x
2 y x
Câu 3. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên R. Chọn câu trả lời đúng:
A. y = cos x B. y = –x3 + 2x2 – 10x C. yx36x217x4 D.
3 x
2 y x
Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R :
A. yx32x2x1 B. yx32x25x1 C. yx3x2 D. yx32x22x1 Câu 5. (THPT QG 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng ( ; ) ?
A. x 3
1 y x
B. y = x3 + x C.
2 x
1 y x
D. y = – x3 – 3x
Câu 6. Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu y’ như sau:
x 1 3
y’ 0 0
Tìm khẳng định SAI trong các khẳng định sau:
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (3 ; ) và nghịch biến trên khoảng ( ; 3).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 3).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 1).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; ).
Câu 7. Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình bên.
Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; ).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; –1) và (1 ; ) C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1 ; 1)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; –1) (1 ; )
Câu 8. Hỏi hàm số y = x3 – 3x2 + 4 nghịch biến trên khoảng nào ?
A. (0 ; 3) B. (2 ; 4) C. (0 ; 2) D. (2 ; )
Câu 9. (ĐỀ MINH HỌA 2017)Hỏi hàm số y = 2x4 + 1 đồng biến trên khoảng nào ?
A.
2
; 1 B. (0 ; ) C.
; 2
1 D. ( ; 0)
Câu 10. (ĐỀ MINH HỌA 2017)Cho hàm số yx32x2x1. Mệnh đề nào dưới đây đúng : A. Hàm số đã cho nghịch biến trên
;1 3
1 . B. Hàm số đã cho nghịch biến trên
3
;1 . C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
;1 3
1 . D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1 ; +).
Câu 11. Cho hàm số
1 x
1 x ) 3 x (
f
. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
A. f(x) tăng trên
;1
và1;
B. f(x) giảm trên
;1
và1;
C. f(x) đồng biến trên R D. f(x) liên tục trên RCâu 12. (THPT QG 2017)Hàm số y = x3 + 3x + 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 0) và nghịch biến trên khoảng (0 ; ).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ) C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 0) và đồng biến trên khoảng (0 ; ).
Câu 13. (THPT QG 2017)Hàm số
1 x y 22
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.
0;
B. (–1 ; 1) C. ( ; ) D. ( ; 0)Câu 14. (THPT QG 2017)Hàm số yx33x2. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; 2) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2 ; +) C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; 2) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 0)
Câu 15. (THPT QG 2017) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f ’(x) =x21,x R. Mệnh đề nào dưới đây đúng A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 0) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1 ; +)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–1 ; 1) D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) Câu 16. (THPT QG 2017)Hàm số yx4 2x2. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; –2) B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; –2) C. Hàm số đồng biến trên khoảng (–1 ; 1) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–1 ; 1) Câu 17. (THPT QG 2017) Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau :
x –2 0 2
y’ 0 – 0 + Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (2 ; 0) B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 0) C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; 2) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; –2)
Câu 18. (THPT QG 2017)Hàm số y 2x21. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1 ; 1)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; +) C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 0) D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; +)
Câu 19. (THPT QG 2018)Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0 ; 1) B. ( ; 0) C. (1 ; ) D. (1 ; 0)
Câu 20. (THPT QG 2018)Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1 ; ) B. (1 ; ) C. (1 ; 1) D. ( ; 1)
Câu 21. (ĐỀ MINH HỌA 2018)Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
Hàm số y = (x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2 ; 0) B. ( ; 2) C. (0 ; 2) D. (0 ; )
Câu 22. (ĐỀ MINH HỌA 2019)Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0; 1) B. (; 1) C. (1; 1) D. (1; 0)
Câu 23. (ĐỀ MINH HỌA 2019)Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
x 1 2 3 4
f ’(x) 0 0 0 0
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; ) B. (; 1) C. (1; 0) D. (0; 2)
Câu 24. (ĐH D 2004) Phương trình x5 – x2 – 2x – 1 = 0 có nghiệm duy nhất nằm trong khoảng nào
A. (– ; 1) B. (1 ; 2) C. (2 ; 3) D. (3 ; +)
Câu 25. (THPT QG 2019)Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau :
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. (2; 0) B. (2; ) C. (0; 2) D. (0; )
Câu 26. (ĐỀ MINH HỌA 2020 LẦN 1)Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; ) B. (1; 0) C. (1; 1) D. (0; 1)
Câu 27. (ĐỀ MINH HỌA 2020 LẦN 2)Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (; 1) B. (0; 1) C. (1; 0) D. (; 0)
Câu 28. (THPT QG 2020 LẦN 1)Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (; 1) B. (0; 1) C. (1; 1) D. (1; 0)
Câu 29. (THPT QG 2020 LẦN 2)Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; 0) B. (; 1) C. (0; 1) D. (0; )
Câu 30. (ĐỀ MINH HỌA 2021)Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
A. (2; 2) B. (0; 2) C. (2; 0) D. (2; )
Câu 31. (THPT QG 2021 LẦN 1) Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0; 1) B. (; 0) C. (0; ) D. (1; 1)
Câu 32. Cho hàm số f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
a0
. Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm là f ’(x) và hàm số y = f ’(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây sai.A. Trên khoảng (–2 ; 1) thì hàm số f(x) luôn tăng.
B. Hàm số f(x) giảm trên đoạn có độ dài bằng 2.
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng
1;
. D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng
;2
Câu 33. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f ’(x) xác định, liên tục trên R và f ’(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; ).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; –1) và (3 ; ) C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; –1)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; –1) (3 ; )
Câu 34. Hàm số f(x) có đạo hàm trên R là hàm số f ’(x). Biết đồ thị hàm số f ’(x) được cho như hình vẽ bên. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (– ; 0) B. (0 ; +)
C.
3
;1 D.
;1 3 1
Câu 35. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f ’(x) xác định, liên tục trên R và f ’(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (1 ; ).
B. Hàm số đồng biến trên ( ; –1) và (3 ; ).
C. Hàm số nghịch biến trên ( ; –1).
D. Hàm số đồng biến trên ( ; –1) (3 ; ).
Câu 36. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f ’(x) có đồ thị như hình bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng :
A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1 ; 2).
B. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0 ; 2).
C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (2 ; 1).
D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (1 ; 1).
Câu 37. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y = f ’(x) cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ a < b < c như hình bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng : A. f(c) > f(a) > f(b).
B. f(c) > f(b) > f(a).
C. f(a) > f(b) > f(c).
D. f(b) > f(a) > f(c).
Câu 38. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f ’(x) như hình vẽ. Biết f(a) > 0, hỏi đồ thị cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm ? A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 39. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm y = f ’(x) như hình vẽ. Biết rằng f(0) + f(3) = f(2) + f(5). Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0 ; 5] lần lượt là:
A. f(2) ; f(0) B. f(0) ; f(5)
C. f(2) ; f(5) D. f(1) ; f(3)
Câu 40. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R thỏa f(2) = f(–2) = 1 và đồ thị hàm số y = f ’(x) có dạng như hình vẽ (đồ thị của f ’(x) cắt trục hoành tại 3 điểm x = –2, x = 1, x = 2). Hàm số y
f(x)1
2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sauA. (1 ; 2). B. (–2 ; 2).
C. (2 ; +). D. (–2 ; –1).
Câu 41. (ĐỀ MINH HỌA 2018) Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f ’(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(2 – x) đồng biến trên khoảng
A. (1 ; 3) B. (2 ; ∞)
C. (2 ; 1) D. (∞ ; 2)
Câu 42. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f ’(x) có đồ thị như hình bên.
Xét hàm số g(x) = f(x2 – 2) Mệnh đề nào dưới đây sai : A. g(x) nghịch biến trên khoảng (∞ ; 2).
B. g(x) đồng biến trên khoảng (2 ; +∞).
C. g(x) nghịch biến trên khoảng (1 ; 0).
D. g(x) nghịch biến trên khoảng (0 ; 2).
Câu 43. Cho hàm số y = f(x). Biết hàm số f ’(x) có đồ thị như hình bên.
Hàm số y = f(3 – x2) đồng biến trên khoảng
A. (2 ; 3) B. (–2 ; –1)
C. (0 ; 1) D. (–1 ; 0)
Câu 44. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f ’(x) có đồ thị như hình bên.
Hàm số y = f(x2) đồng biến trên khoảng
A.
2
; 1 2
1 B. (0 ; 2)
C.
;0 2
1 D. (2 ; 1)
Câu 45. (THPT QG 2019)Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f ’(x) như sau :
x 3 1 1
f ’(x) 0 0 0
Hàm số y = f(3 – 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. (4; ) B. (2; 1) C. (2; 4) D. (1; 2)
Câu 46. (ĐỀ MINH HỌA BGD 2020 LẦN 1)Cho hàm số f(x). Hàm số y = f ’(x) có đồ thị như hình bên.
Hàm số g(x) = f(1 – 2x) + x2 – x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
2
;3 1
B.
2
;1 0 C. (2; 1) D. (2; 3)
DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA m ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN TẬP D
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số x
m 1
x m 3m 13
y1 3 2 đồng
biến trên R.
A. m 1 B. m –2 C. m –1 D. m 2
Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số yx32
m1
x2m23m1 đồng biến trên R.A. m = 1 B. m = –1 C. m = 2 D. m = –2
Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số x
m 1
x
m 7
x m 1 3y1 3 2 2 đồng biến trên R.
A. –2 m 3 B. 0 m 4 C. 2 m 5 D. 4 m 6
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số x mx m 1 3
y1 3 2 2 đồng biến trên khoảng (1 ; 2).
A. m –1 B. m 1 C. m –2 D. m 2
Câu 51. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 –1)x + 2 đồng biến trên (1 ; +).
A. m 0 B. m –1 C. m 0 D. m –1
Câu 52. (ĐH A 2013) Định m để hàm số y x3 3x23mx 1 nghịch biến trên (0 ; +).
A. m 0 B. m –1 C. m 0 D. m –1
Câu 53. Định m để hàm số y = x3 + (m – 4)x2 – 4(m – 1)x + 4m + 1 giảm trên [–2 ; 1]
A. m –1 B. m 4 C. m 4 D. m –1
Câu 54. (DBĐH 2008) Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx – 1 đồng biến trên (0 ; 2).
A. m 2 B. m 0 C. m 0 D. m –2
Câu 55. Định m để phương trình x3 – 2x2 – 4x + 3m – 2 = 0 có nghiệm x < 0
A. 81
m14 B.
81
m14 C.
27
m14 D.
27 m14 Câu 56. Định m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
A. 4
m1 B.
4
m9 C. m = 1 D. m = –1
Câu 57. Hàm số y = –x3 + mx2 – m đồng biến trên khoảng (1 ; 2) thì m thuộc tập nào sau đây:
A. (3;) B. (;3) C.
;3 2
3 D.
2
;3
Câu 58. Hàm số y =
3 ) 1 2 m ( 3 x ) 1 m ( 3 x
m 3 2 đồng biến trên
2;
thì m thuộc tập nào sau đây :A.
; 3
m 2 B.
2
6
; 2
m C.
3
;2
m D. m
;1
Câu 59. (ĐỀ MINH HỌA BGD 2017)Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = ln(x2 + 1) – mx + 1 đồng biến trên khoảng (– ; +).
A. ( ; –1] B. ( ; –1) C. [–1 ; 1] D. [1 ; )
Câu 60. (ĐỀ MINH HỌA BGD 2017)Tìm m sao cho hàm số
m x tan
2 x y tan
đồng biến trên khoảng
;4 0 .
A. m 0 1 m < 2 B. m 0 C. 1 m < 2 D. m 2
Câu 61. (ĐỀ MINH HỌA BGD 2017) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m2 1)x3 + (m 1)x2 x + 4 nghịch biến trên khoảng ( ; ) ?
A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
Câu 62. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = – x3 + 3x2 + mx + 1 nghịch biến trên khoảng
0;
A. m3 B. m0 C. m3 D. m0
Câu 63. Cho hàm số x mx
2m 1
x m 2 3y1 3 2 . Có bao nhiêu giá trị của m sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 64. (THPT QG 2017) Cho hàm số
m x
3 m 2 y mx
với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S
A. 5 B. 4 C. vô số D. 3
Câu 65. (THPT QG 2017) Cho hàm số yx3mx2(4m9)x5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ) ?
A. 7 B. 4 C. 6 D. 5
Câu 66. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 9x2 mx – 1 nghịch biến trên khoảng chứa nhiều nhất 3 số nguyên?
A. m 15 B. m > 24 C. 24 < m < 15 D. 24 < m 15 Câu 67. (THPT QG 2018)Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
m 5 x
2 y x
đồng biến trên khoảng ( ; 10)?
A. 2 B. Vô số C. 1 D. 3
Câu 68. (THPT QG 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
m 5 x
6 x
nghịch biến trên khoảng (10 ; )?
A. 3 B. Vô số C. 4 D. 5
Câu 69. (ĐỀ MINH HỌA 2019)Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 – 6x2 + (4m – 9)x + 4 nghịch biến trên khoảng (; 1) là
A. (; 0] B.
; 4
3 C.
4
; 3 D. [0; )
Câu 70. (ĐỀ MINH HỌA 2019 LẦN 2) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số f(x) = 3
x 4 mx 3x
1 3 2 đồng biến trên R?
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
ĐÁP ÁN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án D B B D B D D C B A
Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Đáp án A C A A B B C B A B
Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Đáp án A D C B C D C D A B
Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Đáp án A B B A B B A C C A
Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Đáp án C C D C B A C B A B
Câu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Đáp án C D B B B B A A A A
Câu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
Đáp án A C C D D D A C C A
------
