Đoàn Ngọc Dũng -

(1)

GIỚI HẠN HÀM SỐ – HÀM SỐ LIÊN TỤC GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

1. Giới hạn của hàm số, định nghĩa và tính chất

Câu 1 : Để tìm giới hạn của hàm số : y = f(x) = 2x + 2 khi x 2, một học sinh thực hiện qua các bước sau, hỏi sai từ bước nào ?

A. Cho một dãy số (xn) bất kì mà x_n  2 và limx_n 2

n 



 .

B. Dãy số (f(xn)) có số hạng tổng quát là f(xn) = 2xn + 2.

C. limf

 

x lim



2x 2



2limx_n 2 2. 2 2 4 2

n n n n

n       











 .

D. Vậy lim



2x 2



4 2

2

x  

 .

Câu 2 : Mệnh đề nào sau đây sai ? A. limC C

a

x 

 (C : hằng số cho trước) B. limx a

a

x 



C. Hàm số sơ cấp f(x) được xác định trong một lân cận của a thì limf

   

x f a

a

x 

 .

D. lim x a

a

x 



Câu 3 : Cho các hàm số f(x), g(x) có giới hạn khi x  a. Mệnh đề nào sau đây sai ? A. lim



f

   

x g x



limf

 

x limg

 

x

a x a

x a

x      B. lim



f

   

x .gx



limf

 

x.limg

 

x

a x a x a

x   

C.

 

^x

g lim

x f lim x

g x lim f

a x

a x a

x



  D. Cho limf

 

x 0

a

x 

 thì lim f

 

x limf

 

x

a x a

x   .

Câu 4 : Cho ba mệnh đề sau :

I. Cho hàm số f(x) có giới hạn khi x  a và hằng số C thì limCf.

 

x C.limf

 

x

a x a

x   .

II. Cho x  R, ta có : 1 x

x lim sin

0

x 

 .

III. Cho hàm số u(x)  0 có giới hạn khi x  a thì

 

x ¹ u

x u lim sin

a

x 

 .

Hỏi mệnh đề nào đúng ?

A. Chỉ I và II B. Chỉ I và III C. Chỉ II và III D. Cả I, II và III Câu 5 : Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. lim



2x 5



7

1

x  

 B. lim x² x 7 7

1

x   





C. ^lim_x_₁



²^x^ ^x



^¹ ^D.^lim^sin^x ₂¹

x 6

 



Câu 6 : Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. 7

1 x

7 x 3 lim x² ₂

0

x 







 B. 2

2 x

4 lim x²

0

x 





C. ^lim_x_₁



²^x ^³^x



^⁵ ^D.^lim_x_₄ ^x ^⁴

Câu 7 : Chọn câu đúng ?

(2)

A. 



 





 x

sin1 x lim ²

0

x : không xác định B. 0

x sin1 . x lim ²

0

x 



 







C. 1

x sin1 . x lim ²

0

x 



 





 D. 2

x sin1 . x lim ²

0

x 



 







Câu 8 : Khi x dần tới 2 thì

 

1 x

4 x 4 x x

f ²



  dần tới :

A. 3

4 B.

3

16 C.

3

8 D. Một số khác

Câu 9 : Mệnh đề nào đúng ? A. lim



sinx cosx



1

x 4_  



B. lim

 

lnx 1

1

x 

 C. lim



tanx



3

x 3

 



D. 2

1 x 2 lim 1

2

x 



Câu 10 :

x x limsin

x3

bằng :

A. 1 B. 0 C.

2

3 D.

2 3 3 2. Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số

Câu 11 : Để tìm

2 x lim 1

2

x^  một học sinh thực hiện qua các bước : I. Tập xác định của hàm số f

 

x _x¹₂

  là R \ {2}.

II. Xét một dãy số (xn) bất kì mà xn  2 và limx_n 2

x 



 . Ta có :

 

2 x lim 1 x

f lim

x n

x n  









III. Khi xn  2 thì xn – 2  0 nên 

2 x

1

n

(nghịch đảo của một vô cùng bé là một vô cùng lớn) Vậy

 

^^



 n

x f x

lim . Do đó : 



 x 2 lim 1

2 x

Lập luận trên nếu sai thì sai từ bước nào ?

A. I B. II C. III D. Không sai

Câu 12 : Cho hai mệnh đề :

I.

 

f

 

x ⁰

lim 1 x

f

limx a  x a 



II. ^

 

^ ^ ^ f

 

x ^^ lim 1

0 x f

limx a x a

Mệnh đề nào đúng ?

A. Chỉ I B. Chỉ II C. Cả I và II D. Không có

Câu 13 : Câu nào sau đây sai ?

A.  

 x 1 lim x²

0

x B. 

 cosx lim 1

0

x C. 

 sinx lim 1

0

x D. 

 tanx lim 1

0 x

A. 



 



   x 3 sin

lim B.  

4 2

x 1

lim x C. lim x2  D.  

x x lim 4

(3)

Câu 15 :

2 x 5 x 4 x

1 x x lim ₃2 ³ ₂ ²

1

x   



 bằng :

A.  B. 0 C. 2 D. 2

Câu 16 :

2 x

8 x 2 lim x²

2

x 





  bằng :

A.  B. 6 C. 8 D. Một số khác

Câu 17 : Mệnh đề nào sau đây đúng ? I. limf

 

x L

x 



  với mọi (xn) mà limxn =  thì limf(xn) = L.

II. lim f

 

x L

x 



  với mọi (xn) mà xn > 0 và limxn =  thì limf(xn) = L.

III. lim f

 

x L

x 



  với mọi (xn) mà xn < 0 và limxn =  thì limf(xn) = L.

A. Không có B. Cả I, II, III C. Chỉ I D. Chỉ II và III

Câu 18 : Để tính

 

1 x lim 1 x f

lim x

x  







 bằng định nghĩa, một học sinh trình bày qua các bước sau : I. Hàm số được xác định với mọi x  1.

II. Xét một dãy số (xn) bất kì mà xn  1 và limxn = .

III. Ta có

 

0

1 x lim 1 x

f lim

n

n 

  . Vậy 0

1 x lim 1

x 





 .

Hỏi nếu có sai thì sai từ bước nào ?

A. I B. II C. III D. Không sai

Câu 19 : Cho hàm số

 











 

0 x nếu 2

0 x 2 nếu 1 1 x

f và hai mệnh đề : I. lim f

 

x 1

x 



 ; II. lim f

 

x 2

x 





Hỏi mệnh đề nào đúng ?

A. Chỉ I B. Chỉ II C. Cả I và II D. Cả hai đều sai

Câu 20 :

2 x 7 x 4

5 x x lim 3 ₂

2

x  







 bằng :

A. 4

3 B.

2

5 C.  D. 0

Câu 21 : lim x 3

3

x _ 

 bằng :

A. 1 B. 0 C. Một số khác D. Không có

Câu 22 : Cho ^f

 

^x ^ ⁴^^x² . Câu nào sau đây sai ? A. limf

 

x 2

0

x 

 B. limf

 

x 0

2

x _ 

 C. lim f

 

x 0

2

x _ 

 D. lim f

 

x 0

2

x _ 





Câu 23 : Cho

 









 

0 x nếu x

0 x nếu 1 x x

f ₂ . Câu nào sau đây sai ?

A. limf

 

x 4

2

x 

 B. limf

 

x 1

0

x _ 

 C. lim f

 

x 0

0

x _ 

 D. limf

 

x 0

0

x 



Câu 24 : Cho

 













 

0 x nếu a

x

0 x nếu 2 x x x

f ² . Với giá trị nào của a thì limf

 

x

0

x tồn tại ?

A. 2 B. 0 C. 1 D. 2

(4)

Câu 25 : Cho

 

1 x

6 x 2 x x

f ² ₂





  . Câu nào sau đây đúng ? I. limf

 

x 6

0

x 

 II. _

 



 f x lim1

x III. _

 



 f x lim1 x

A. Không có B. Chỉ I và II C. Chỉ II và III D. Cả I, II, III.

3. Dạng vô định.

3.1 Dạng vô định 00 Câu 26 :

2 x 3 x

4 lim ₂x²

2

x  



 bằng :

A. 1 B. 2 C. 3 D.4

Câu 27 :

4 x 5 x

9 x 3 x 5 lim x³ ₄ ² ₂

1

x  





 bằng :

A. 3

8 B.

3

8 C.

3

2 D. Một số khác

Câu 28 :

 

3 x x x

1 x

lim 2₂ ₃

1

x   



 bằng :

A. 6

1 B.

3

1 C.

3

2 D.

3 4

Câu 29 :

2 x

2 x lim x

2

x 





 bằng :

A. 4

3 B.

2

3 C. 3 D. Một số khác

Câu 30 :

2 x x

5 x x lim 2

1

x  





 bằng :

A. 3 B. 6 C.

2

Câu 31 :

16 x 4

x

lim 4 ²

0

x^   bằng :

A. 1 B. 4 C. 16 D. 32

Câu 32 :

x

1 x 1 x lim x²

0 x







 bằng :

A. 1 B. 0 C. 2 D. Một số khác

Câu 33 :

x

6 1 x 25 lim x

0 x





 bằng :

A. 3 B. 1 C.

5

2 D.

5 3

Câu 34 : ³ ₂ ²

0

x 3x

x 1 lim1 

 bằng :

A. 9

1 B.

3

1 C. 1 D.

3

1 Câu 35 : lim ³ x8 x4 bằng :

(5)

A. 41 B.

31 C.

2

3.2. Dạng vô định



Câu 36 :

4 x 2

5 x 2 x lim3 ² ₃

x  







 bằng :

A. 3 B.

5

4 C.

2

 3 D. 

Câu 37 : Câu nào sau đây đúng ?

A. 2

3 x 2

2 x lim3

x 





 B. 3

1000 x

2

x x lim 3₆⁶ ³

x 









C. 2

1 15 x x 4

5 x 6 x lim 2 ²₂

x 







 D.

2 1 1000 x

2

1 x x lim 2 ¹⁰₆ ⁵

x 







A. 3

2 x

3 x 1

x 2 x 300

lim 2 ₂ ²

x 









 B.   



 2

3

x 100x

1 x lim x

C. 0

2 x x

1 x lim 15₂

x 







 D. 2007

1 x

x lim 2007₂

x 







Câu 39 :

   



^x^x ¹¹



^.^.



³^x^x ⁴¹



lim ₂ ²₃

3

x  





 bằng :

A. 3

1 B.

3

4 C.  D. Đáp số khác

Câu 40 :

x 15

x 4 1 x 5 lim x²

x





 bằng :

A. 5

4 B.

3

1 C.  D. Đáp số khác

Câu 41 :

x 5

x 6 3 x 6 x lim 4 ²

x









 bằng :

A. 5

4 B.

5

8 C.

5

 4 D. Đáp số khác

A. 





 x 1

x x lim x¹⁵ ₃ ³

x B. 0

5 x

3 lim x₃⁴

x 







C. 0

1 x

1 x lim x ₃ ⁸

x 





 D. 0

x x

x lim x²

x 







3.3. Dạng vô định 0.

Câu 43 :

 











   













 2x x 5

5 x x

lim 3 ²

4 2

x bằng :

A. 6 B. 3 C. 2 D. Một số khác

Câu 44 : limsin2x.cotx

0

x bằng :

A. 0 B. 1 C. 2 D. Một số khác

(6)

Câu 45 : 1 x x

1 3

lim ₂

x 







  



 bằng :

A. 5 B. 3 C. 1 D. 0

3.4. Dạng vô định   

Câu 46 : _x^lim__



^x² ^^x^²^ ^x² ^^x^²



^{bằng :}

A. 1 B. 2 C. 3 D. 

Câu 47 : _x^lim__



²^x^ ⁴^x² ^²^x^¹



^{bằng :}

A. 4

1 B.

3

1 C.

2

1 D. 

Câu 48 : _x^lim__



²^x^ ⁴^x² ^²^x^¹



^{bằng :}

A. 4

1 B.

3

1 C.

2

1 D. 

Câu 49 : ^lim_x__



³ ^x³ ^²^^x



^{bằng :}

A. 1 B. 0 C.

3

Câu 50 : _x^lim__



^x² ^³^³ ^x³^³



^{bằng :}

A. 0 B. 6 C.  D. 

4. Giới hạn của hàm số lượng giác Câu 51 :

x 3

x 5 limsin

0

x bằng : A. 3

5 B.

5

3 C. 1 D. 5

Câu 52 : Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. 7

x 7

x 7 limsin

0

x 

 B.

3 1 x3 sinx

limx 0 













 C.

3 1 x 12

x 4 limsin

0

x 

 D.

2 1 x

2 x cos x limsin

0

x 



Câu 53 : Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. 3

2 x sin x 3

x 2 lim sin²

0

x 

 B. 1

x tan

x lim sin

0

x 

 C. 1

x 3 sin

x 5 limsin

0

x 

 D. 1

x 2 sin

x lim sin

0

x 



Câu 54 :

x 6 cos 1

x 2 cos lim1

0

x 



 bằng :

A. 3 B.

3

1 C.

9

1 D. 9

Câu 55 : ₃

0

x x

x 3 sin . x 2 sin . x limsin

 bằng :

A. 6 B. 3 C. 2 D. 1

Câu 56 : lim



4x



.tan2x

x 4



 



bằng :

A.  B. ^ C. 1 D. 2

(7)

Câu 57 :

1 x 3 x

x sin lim ₃x²

0

x^   bằng :

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 58 :

 

x

tan2 x 1 limx 1

 

 bằng :

A. 2 B.  C.



2 D.

2

 Câu 59 :

x 4

x cos x limsin

x 4 





bằng :

A. 4

2 B.

4

 2 C.

8

2 D.

8

 2 Câu 60 :

 

²

x x

x cos lim1









 bằng :

A. 4 B. 3 C. 2 D.

2 1 5. Hàm số liên tục

Câu 61 : Cho hàm số :

 













 





3 x nếu m

3 x 3 nếu x

9 x x f y

2

Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục tại điểm x = 3 ?

A. m = 6 B. m = 3 C. m = 3 D. m = 6

 









 







1 x nếu a

1 x 1 nếu x

2 x x x f

y ³

2

Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại điểm x = 1 ?

A. a = 1 B. a = 1 C. a = 2 D. a = 3

 









 







2 x khi m

2 x 4 khi x

2 2 x x

f

y ²

Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục tại x = 2 ?

A. 2

m 1 B.

4

m  1 C.

8

m 1 D.

16 m 1

 









 





1 x nếu b

1 x 1 nếu

x 1 2 x x 3

f y

3

Với giá trị nào của b thì hàm số liên tục tại điểm x = 1 ?

A. 4

b1 B.

2

b 1 C. b = 1 D. b = 3

 











 

 





 



 





;2 0 x nếu 1 x

0 2; x

x nếu x tan x

f y

(8)

Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Hàm số có tập xác định là 



 



 

;2

2 B. ^lim^f

 

^x ¹

0

x 



C. ^lim ^f

 

^x ¹

0

x _ 

 D. Hàm số gián đoạn tại x = 0

Câu 66 : Cho hàm số

 





























0 x nếu 2 x

0 x x nếu

x sin 2

x nếu 1 x x f y

Mệnh đề nào sau đây đúng ? Hàm số chỉ gián đoạn tại điểm:

A. x =  B. x = 0

C. x = 0 và x =  D. Không gián đoạn tại điểm nào cả

Câu 67 : Cho ba hàm số f, g, h được xác định bởi :

 

x 4 x x

f  ²  ,

 

1 x

x x 3

g ₂

  ,

 









 

0 x khi x

0 x khi x x

h Hàm số nào liên tục trên R ?

A. f và g B. g và h C. f và h D. Cả f, g, h

Câu 68 : Với giá trị nào của k thì hàm số sau liên tục trên R ?

 







 





 x nếu x 1 sin2

k

1 x nếu 1 x x x

f

2

A. k = 1 B. k = 2 C. k = 3 D. k = 4

Câu 69 : Hàm số

2 x 3 x

5 x y ₃2





  chỉ gián đoạn tại các điểm:

A. x = 2 B. x = 1 C. x = 2 và x = 1 D. Một đáp số khác

 

x sin

x 2 x sin

f  gián đoạn tại các điểm nào ?

A. Chỉ tại x = 0 B. Chỉ tại

x2 C. Tại

k2

x  với k  Z D. Tại x = k với k  Z

Câu 71 : Hàm số

 

x 2 sin

x x sin

f  gián đoạn tại các điểm nào ?

A. x = k với k  Z B.

2

x k với k  Z

C. xk4 D.

 

1 2 k 2

x  

9 x 10 x

5

y ₄ x ₂





  có bao nhiêu điểm gián đoạn ?

A. 4 B. 2 C. 3 D. 1

Câu 73 : Cho phương trình m.sin2x + sinx – cosx = 0 (1) (m là tham số). Mệnh đề nào sau đây đúng ? I. Trong khoảng 



 



 

;2

2 , phương trình (1) không có nghiệm nào cả.

(9)

II. Trong khoảng 



 



  

 ;2

2 , phương trình (1) có nghiệm.

III. x = 0 là một nghiệm của (1).

A. Chỉ I B. Chỉ II C. Chỉ II và III D. Chỉ I và III

Câu 74 : Cho phương trình m(x – 2)(x + 2) + 3x + 1 = 0 (1) (m : tham số) và các mệnh đề sau : I. m  R, (1) có đúng một nghiệm.

II. (1) có nghiệm, m  R.

III. m  R, (1) vô nghiệm.

Mệnh đề nào đúng ?

A. Chỉ I B. Chỉ II C. Chỉ III D. Chỉ I và II

Câu 75 : Một học sinh bảo rằng : phương trình x⁴ – x – 2 = 0 (1) có nghiệm x1, x2 nằm trong khoảng (0 ; 2) và lập luận như sau, hỏi phần lập luận đó sai bước nào ?

A. Hàm số f(x) = x⁴ – x – 2 liên tục trên R.

B. f(2) = 12 > 0, f(0) = 2 < 0, f(1) = 2 < 0

C. Vì f(0).f(2) = 24 < 0 nên (1) có ít nhất một nghiệm x1  (0 ; 2).

Vì f(1).f(2) = 24 < 0 nên (1) có ít nhất một nghiệm x2  (1 ; 2).

D. Vậy (1) có ít nhất hai nghiệm x1, x2 nằm trong khoảng (0 ; 2).

ĐÁP ÁN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án C D C A B D B A C D

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án D A B C A B B D C A

Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Đáp án B C D A C D A B A C

Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Đáp án D B D A B C C D A B

Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Đáp án A D B C D A C D B C

Câu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Đáp án B A B C A D A C B D

Câu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Đáp án A B D C D A B C C D

Câu 71 72 73 74 75

Đáp án B A B D D