GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
A. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
BÀI 1 : Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0 : 1) un =
5 n
1n
2) un = 5 n
n sin
3) un =
1 n
n 2 cos
4) n
n 1
un 1
5)
nn 2
1 cos n
u n 1
6) un = (0,99)n 7)
nn 1,015 sinn u
8)
1 2 un n1n
9) n n n n n
7 . 2 2
5 n 3 cos . u 6
10)un n24 n22 BÀI 2 : Tìm các giới hạn sau :
1) 3n n 7
5 n 4 lim n23 2
2)
5 n 3
2 n n un 2 24
3) lim
1 n 3 n
1 n n 3
2
4) lim
n 2 ) 1 ( n
5) lim
1 n
n cos 1 n
2
5 n n 4
6) lim
3 n
n 2 n n 4 2
7) lim
n 2
1 n 3 n
2
2
2 8) 2n2 2n
lim 1 3n
9) lim
1 n 4 n 2
1
2 10) lim
3 n 6 n
3
3
11)
2 n n
3 n 1 2
n 2
lim 4 2
12)
1 n 1 n 2 lim 1
13) 3 3 3 3 2
2 2
n n 2 n
1 n 2 lim n
14) lim
n213 n31
15) lim n5 5
4 . n
1 n
n 16)
2 4
3 6
2
n 1 n
n 1 limn
B. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN BÀI 3 : Tìm các giới hạn sau :
1) lim 2 2 n 2
4 n 5 n 3
2) lim
n n 2
1 n 2 n 3
3 2 3
3)
3 3
2 3 8n 1
n 9
3 n lim 2
4) lim
n 3 1
n n 2 2
5) lim
n 2 n 3 n 4
n n n
2 2
6) lim
) 1 n n 2 ( n
) 1 n )(
2 n )(
1 n 3 (
2
7) lim
) 2 n )(
1 n (
) n 3 )(
1 n n 2 (
8) lim n nn
5 . 3 7
5 . 2 3
9) lim
n n n
n n n 2
2
3 2 3
10) lim
n n n 2
3 n 2 n
2 2
11) lim 22 22
) 3 n 2 )(
1 n (
) 1 n )(
2 n (
12)
32
5 n 3
n 4 1 n lim 2
13) 2n n 3
2 n 3 n lim 2 2
4
14) lim
2 n n 2
3 n 3 n
5 6
3 6
15) lim nn2 nn32
5 . 3 7
1 4 7 . 2
16)
n! n 1 ! lim2 n 1 ! 7n!
ĐS : 1) –3 ; 2) –3/2 ; 3) 2 ; 4) 2/3 ; 5) 2/3 ; 6) 3/2 ; 7) 2 ; 8) –2/3 ; 9) 4/3 ; 10) 1/2 ; 11) 1/4 ; 12) –4/27 ; 13) 2/2 ; 14) 2/2 ; 15) 98 ; 16) 1/2.
C. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC BÀI 4 : Tính giới hạn của dãy số :
1) 3n 2
2 n 3 n lim 2
3
2) lim(2n – 3n) 3)
1 2
1 lim3
n
n 4) lim
n 2 n
4 n 3 n 2
2 4
5)
nn 22
!!5nn 13
!!lim
6) lim 32 2 63
) n 3 ( ) n 2 1 (
) 1 n 2 ( ) 2 n (
7) lim 2 5 3
) 2 n ( ) 1 n (
) 1 n ( n
8)
1 n 2
1 n n lim 6
4
9) lim
3 n n 3
11 n 15 n 2
2 2
10) lim
12 n
8 n 5 n 7
3 n6 3
11) lim
3 3 2
5 n 7 n
n 3 1 1 n 2
12) 5n n2n 7 lim 3 2
ĐS : 1) – ; 2) – ; 3) + ; 4) – ; 5) – ; 6) + ; 7) + ; 8) + ; 9) + ; 10) + ; 11) – ; 12) +
BÀI 5 : Tìm các giới hạn sau :
1) lim
n2n1n
2) lim
n2 3n n2
3) lim
4n24n3 4n21
4) lim
3 n3 2n2 n2
5) lim 4n2 n3 2n2 8n3 6 lim n
n1 n
7) limn
n2 1 n2 2
8) lim
3 n3n2 3 n31
9) lim
3 n32n2 n
10) lim
1n2 n43n1
11) lim
n3 n32n2
12) limn
1 n 1 n
3 2 2 13) lim
3 n
1 n 3 n 2
n2 2
14)
2 n 3
1 n 1 lim n2
15)
3 n n 2
2 n 3 n lim 2 24
ĐS : 1) 1/2 ; 2)–7/2 ; 3) 1 ; 4) 8/3 ; 5) 5/12 ; 6)1/2 ; 7) 1/3 ; 8) 3/2 ; 9) –2/3; 10) –7/2 ; 11) 1 ; 12)–2/3 ; 13) 1
3 ; 14)1 3 ; 15) 1/3 ; 16) 2/2.
BÀI 6 : Tính giới hạn của dãy số :
1)lim
3 n272n
2 lim
n n2 n1
3) lim
n2n2 n1
4)lim
n1 n
n5) n 2 n 1
lim 1
6)
n 2 n lim 1
ĐS : 1) – ; 2) + ; 3) + ; 4) + ; 5) + ; 6) +.
D. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
BÀI 7 : Tìm giới hạn của các dãy số (un) với :
1) lim
n32n2 n4
2) lim 3n45n2n1 3)
n 3sin2n5 2
lim 1 2 4) lim(2n + cosn)
5) lim 2n4n2n2 6) lim312nn3 7) 4 2
2
4n 2n 3n lim
n 2n 2n
8)lim 2.3nn2 ĐS : 1) + ; 2) + ; 3) + ; 4) + ; 5) + ; 6) – ; 7) + ; 8) +
BÀI 8 : Tính giới hạn của dãy số :
1) n n
n n
5 . 3 2
5 lim 4
2) nn21
5 3
2
5 4.
3 lim 2n 1 n 2
n n
3) lim nn nn1
7 5 . 2
7 3 . 4
4) lim nn1 2nn 2 . 3 4
2 3
5)
n 1
n 21 n n
3 5
3 . 2 3 5 .
lim10
6) n 1 n n 1
3 4
3 . 2 2 . lim3
7) n2n nn2 4 . 5 3
5 lim2
8) lim 22 nn 1
) 1 ( n 2
) 1 ( n
9) lim 2 n n 1
3 ) 2 n )(
3 n (
) 1 3 )(
n 2 n (
10) lim nn2 nn12 nn31 5 3 2
5 3 2
11) lim nn1 nn1
3 ) 2 (
3 ) 2 (
12) lim n nn 11
3 n 5
2 3
ĐS : 1) –1/3 ; 2) 20 ; 3) 7 ; 4)–1 ; 5) 41/2 ; 6) –6 ; 7) + ; 8) 1/2 ; 9) 1/3 ; 10) 1/625 ; 11) 1/3 ; 12) 3/3. BÀI 9 : Tính :
1) 22 nn
4 ...
4 4 1
3 ...
3 3 lim1
2) 22 33 nn
3 ...
3 3 3
2 ...
2 2 lim2
3)
n(n 1)
... 1 4 . 3
1 3 . 2
1 2 . 1
lim 1
4) 22 nn
5 ...
5 5 1
2 ...
2 2 lim1
5) lim
1 n 2 n
) 1 n 3 ( ...
7 4 1
2
6) lim
(n 1)n
... 1 4 . 3
1 3 . 2
1 2 . 1
1
7)
n 2
n 2
5 ... 1 5
1 5 1 1
2 ... 1 2
1 2 1 1 lim
8)
2 2 2
n 1 1 3 ...
1 1 2 1 1
lim 9)
1 n
1 ...n 1 3
1 3 1 2
1
lim 2 3
3 3
3 3
3
ĐS : 1) 0 ; 2) 1 ; 3) 0 ; 4) 0 ; 5) 3/2 ; 6) 1 ; 7) 8/5 ; 8) 1/2 ; 9) 2/3.
BÀI 10 : Tìm tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn
1) 1 1 1
S 2 1 ...
2 4 8
ĐS : S = 4 2) ...
2 ... 1 2
1 2
S 1 2 n ĐS : S = 1.
BÀI 11 : Đổi mỗi số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số :
1) 0,4444… ĐS : 4/9 2) 0,121212.. ĐS : 12/99
3) 0,32111.. ĐS : 289/900 4) 5,616161… ĐS : 556/99
BÀI 12 : (SGK) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5/3, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 39/25. Tìm số hạng đầu và công bội. ĐS : q = 2/5 ; u1 = 1.
LÝ THUYẾT GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
A. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0
1) Định nghĩa : Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. khi đó ta viết : lim (un) = 0 hoặc lim un 0
n
hoặc un 0 khi n +
2) Một số định lý :
a) Định lý 1 : Cho hai dãy số (un) và (vn). Nếu u vn n với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0.
b) Hệ quả : lim 1k 0
n (k > 0)
Một số dãy số có giới hạn 0 : 0 n
lim1 ; 12
lim 0
n ; 0
n
lim 1 ; 0
n lim31 c) Định lý 2 : Nếu q < 1 thì limqn = 0.
Thí dụ : Chứng minh rằng các dãy với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0 : a)
5 n
1n
b)
5 n
n sin
Ta có :
n 1 5 n
1 5 n
1n
và 0
n
lim1 nên
5 0 n lim 1
n
B. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
1) Định nghĩa : Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim(un – L) = 0.
Khi đó ta viết : lim (un) = L hoặc limun Lhoặc un L
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
Thí dụ : Chứng minh rằng 5 5 5
lim 2
n
Ta có :
n n
2 2
lim 5 5 lim 0
5 5
. Vậy theo định nghĩa ta có : 5 5
5 lim 2
n
2) Một số định lý :
Định lý 1 : Giả sử limun = L. Khi đó : a) limun L và lim3 un 3 L
b) Nếu un 0 với mọi n thì L 0 và lim un L
Định lý 2 : Giả sử limun = L, limvn = M và c là hằng số. Khi đó :
a) lim(unvn)LM b) lim(unvn)LM c) lim(un.vn)L.M d) lim(c.un)c.L e)
M L v limu
n
n (nếu M 0) 3) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn :
Xét cấp số nhân : u1 , u1q , u1q2 , … , u1qn , … có công bội là q với q 1(gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn).
Khi đó : S = u1.q + u2.q2 + … + unqn = q 1
u1
Thí dụ 2 : Tính : 2 1+
4 1+
8
1+ … + n 2
1 + …. Cấp số nhân đã cho lùi vô hạng với số hạng đầu :
2
u1 1 và công bội 2
q 1 nên : S = 2 1+
4 1+
8
1+ … + n 2
1 + … = 1
2 1 1
2 1 q 1
u1
C. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
1) Định nghĩa 1 : (Dãy số có giới hạn +) Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là + nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Khi đó ta viết : lim(un) = + hoặc limun = + hoặc un +.
Áp dụng địng nghĩa trên ta có thể chứng minh được : a) limn = + b) lim n = + c) lim3 n = +
2) Định nghĩa 2 : (Dãy số có giới hạn –) Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là – nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số âm đó.
Khi đó ta viết : lim (un) = – hoặc
n
nlim u hoặc un – khi n +
3) Định lý 1 : Nếu lim un thì 0 u lim 1
n
4) Định lý 2 : (Định lý kẹp về giới hạn dãy số)
Cho ba dãy số (un), (vn), và (wn). Nếu un vn wnvới mọi n và limun = limwn = L (L R) thì limvn = L.
Thí dụ 3 : Tìm giới hạn của dãy số :
n
) 10 n sin(
) 1 lim(
n
Giải :
Ta có : (–1)n 1 và sin(n + 10) 1
(–1)n + sin(n + 10) (–1)n + sin(n + 10) 1 + 1 = 2
–2 (–1)n + sin(n + 10) 2
n
2 n
) 10 n sin(
n ) 1 ( n
2
Vì 0
n lim 2 n
lim 2
nên theo định lý kẹp ta có 0
n
) 10 n sin(
) 1 lim(
n
Qui tắc 1 Qui tắc 2 Qui tắc 3
Nếu limun = và limvn =
thì lim(un.vn) được cho như sau :
Nếu limun = và limvn = L 0 thì lim(un.vn) được cho như sau :
Nếu limun = L 0, limvn = 0 và vn >
0 hoặc vn < 0 thì lim
n n
v
u được cho như sau :
limun limvn lim(un.vn) limun Dấu của L lim(un.vn) Dấu của L Dấu của vn lim
n n
v u
+ + + + + + + + +
+ – – + – – + – –
– + – – + – – + –
– – + – – + – – +
D. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ a) Để giải các bài toán tìm giới hạn của biểu thức có dạng
n n
v
u , ta lấy số có số mũ lớn nhất đặt thừa số chung ở tử số và mẫu số, rồi đơn giản trước khi lấy lim.
Ta có : lim
n n
v u =
mẫu.
bậc hơn lớn tử bậc nếu
mẫu.
bậc hơn nhỏ tử bậc nếu 0
mẫu bậc bằng tử bậc nếu số) hằng
là .
(C 0 C
b) Để giải các bài toán tìm giới hạn của biểu thức trong đó có hiệu
un vn
hoặc
3 n
3
n v
u (un và vn là đa thức biến số n), ta thường sử dụng phương pháp nhân và chia với biểu thức liên hợp tương ứng với mục đích là mất các dấu căn trong hiệu của 2 biểu thức có chứa dấu căn.
GIỚI HẠN HÀM SỐ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
BÀI 1 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng xác định) 1) lim(x3 5x2 10x)
2
x
ĐS : 48 2)
3 x 2
1 x lim x 5
2 1
x
ĐS : 1 3 2
2
2 2
lim 1 )
3 x x
x x
x
ĐS :
2
3 3
x x
x x
x 2
lim 5 )
4 2
2
3
ĐS :
3 1
x tan 2
x cos x sin lim 2 ) 5
x 4
ĐS :
2
2 6)
3 x 2
3 x 5 1 x lim 2
2 2
x
ĐS : 3
BÀI 2 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định
0 0)
1) x 3x 2
4 lim 2x
2 2
x
ĐS : 48
2 2
1 3 lim 2
)
2 3 2
2
1
x x x
x x
x ĐS :
2
1
x x
x x
x 3
lim 6 )
3 2
2
3
ĐS :
3 5
4)
1 3
x 1 x
3 x 1
lim 1 ĐS : –1 5)
2 x
2 2 lim x 2
3 2
x
ĐS :
2
3 6)
9 x 3 x 2
x 27 lim x2
4 3
x
ĐS : 9
7) 2 2
x 2
1 1
lim x 3x 2 x 5x 6
ĐS:–2 8)
x 1
1 1 x lim 22
1
x ĐS :
2
1 9) 2 3
3
x 27 x
3 x 4 lim x
ĐS :
27
2
10) 2
9
x 9x x
3 lim x
ĐS :
54
1 11) 2
3 3
x 3 x
3 3 lim x
ĐS :
2 3
3 12)
x 4 x
2 lim 2x
4
x
ĐS :
16 1
13) x 2x 4x 8
4 x 8 x 5 lim x33 22
2
x
ĐS :
4 1
14) 2 23
2
x 2 3x x
x x 3 lim 4
ĐS : 0 15) 2 2
2
x 4 x
14 x 3 x lim2
ĐS:
4
11
16) x 6x 8
16 lim 2x
4 2
x
ĐS : –16 17) 23 2 2
2
x x 2x
) 6 x x lim (
ĐS : 0 18) 3 2 3
2
x 1 1 8x
1 x 2 x x lim2
ĐS : – 12
5
19)
2 2 x x
2 lim x
2 2 2
x
ĐS :
1 2 2
2 2
20)
3 x 4 x
x lim 4 1 23
1
x
ĐS :
4
3 21)
x 8
12 2 x
lim 1 3
1
x ĐS :
2 1 22)
n x 1 2
x 1
lim x x 2
ĐS :
n
3 23)
10 x 1 5
x x 2
lim x x 2
ĐS : 11
6 24)
8 x 2 4
x x 258 lim x x 18
ĐS :
1025 33 BÀI 3 : Tìm các giới hạn sau :
6 2 lim 2
)
1 6
x
x
x ĐS :
4 1
x x
x 3
1 lim1 ) 2
3 0
ĐS :
9
1 3)
3 1 x 4
2 x lim x
2
x
ĐS :
8 9
4) x 4 2
1 1 lim x
3 0
x
ĐS :
3
4 5)
x x
1 x x lim 2 2
2 1
x
ĐS : 0 6)
x x 4 lim2
0 x
ĐS :
4 1
7) x x
1 1 lim x 2
3 0
x
ĐS : 0 8)
x 3
1 1 x lim x
2 0 x
ĐS :
6
1 9)
3 7 x x
2 x 3 lim x
2 3 1
x
ĐS : 3
10) 22
3
x 9 x
4 x x 5 lim x
ĐS :
2 2
1 11)
2 x 3 x
1 x x 2 lim 3 102 3
1
x
ĐS :
2
3 12) 33 2
3
x x 1 4x 28
27 lim x
ĐS : 54
BÀI 4 : Tìm các giới hạn sau : 1)
1 x
x 1 1 lim x
1 2
x
ĐS : 1
2 2)
3 x 4 x
1 x x 2 lim x 2
2 3
1
x
ĐS :
3
2 3)
x
1 x 1 . x 4 lim 1
3 0
x
ĐS :
3 7 BÀI 5 : Tìm các giới hạn sau :
1) x 27
11 x 10 x
lim 2 3 3
3
x
ĐS :
324 5 2)
1 x
7 x x lim 5 2
3 2
3 1
x
ĐS : 11
24 3)
x
1 x 1 lim x
3 0
x
ĐS :
6 5
4)lim
x2 x219 x1
12x 12 2
2 4
x
ĐS :
9
2 5)
x 3 x
8 x 2 4 x
lim x2 2 3 3
0
x
ĐS :
12 1
6) 3 3 2
2
x 4 x
3 x 2 8 2 x 24 x 4 lim3
ĐS :
16
19 7)
x 1
1 x 2 5 1 x x 3 1 x
lim 5 2 2
1
x
ĐS :
4 11
BÀI 6 : Tìm các giới hạn sau : 1)
1 x
1 lim x
3 4 1
x
ĐS :
4
3 2)
x 1 1 x lim 5
5 0 x
ĐS : 1 3)
1 x
1 x 2 lim x
3 2
1
x
ĐS :
3
1 BÀI 7 : Tìm các giới hạn sau :
1) 4 x
4 x ) 2 x ( lim 3 2
2
x
ĐS : + 2)
0 2
x x
1 x
lim 1 ĐS : – 3)
1 x 2 x
1 lim x
2 3 1
x
ĐS : +
4)
0 2
x x
1 x
lim 1 ĐS : + 5)
2x 3
1 x 2 ) 1 x ( lim 2 2
1
x ĐS : – 6)
) 2 x 3 x )(
1 x (
lim 25
1
x ĐS :–
7) 3
3
x (x 3)
1 3 1 x lim 1
ĐS: – 8)
2 2
2 1
x (x 3x 2) 3 x x lim 2
ĐS : – 9) 2
2
x (x 2)
1 x lim 2
ĐS : –
BÀI 8 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn một bên) 1)
x 2
x 2 lim x 2
ĐS : 1 2)
x 2
x 2 lim x 2
ĐS : –1 3)
x 2
lim x 2
x 2
ĐS: không tồn tại
4) 2 x
x lim 4
2 2
x
ĐS : 0 5)
4 5 2 ) 1 (
x x x
2 x 3 lim x
ĐS : 0 6)
x x
x 2 lim x
0
x
ĐS : –2
7) 2
2 3
x 9 x
12 x 7 lim x
ĐS :
6 6 8)
1 x ) x 1 x (
lim 3 2
) 1 (
x
ĐS : 0 9)
2 x
2 x 2 lim 8
) 2 (
x
ĐS : 0
10) 2
x ( 1)
x 3x 2 lim x 1
ĐS : –1 11)
x 0
1 1
lim 1
x x 1
ĐS : –1 12)
3 3
x 27 x
x lim 3
ĐS : 0
13) 2 1 x 1 x
x . 1
x lim
1
x
ĐS :
2
1 14)
3 1 2
x x x
1 x x lim 1
ĐS : 1 15)
1 3
x 1 x
1 1 x
lim 1 ĐS : +
16)
x 4
1 2 x
lim 1 2
2
x ĐS : – 17) 2
2 ) 3 (
x (x 3)
3 x 5 x lim 2
ĐS : – 18)
x 2 x
8 lim 2x
3 2
x
ĐS : +
19) x x
1 lim 2x
1
x
ĐS : + 20) 2 2
0
x x
x x lim x
ĐS : + 21)
3 x 4 x
1 lim 2x
4 ) 3 (
x
ĐS : +
22) x 4
2 x 3 lim x 2
2 2
x
ĐS : + 23)
4 x 5 x
2 x 3 lim x2
2 1
x
ĐS : + 24)
1 x
x 1 1 lim x
1 2
x
ĐS : 1
2 BÀI 9 : Tìm giới hạn bên trái, bên phải và giới hạn (nếu có) của hàm số f(x) :
1) f(x) =
2 x hi k 1 2x
2 x khi 1
x 2
2 . Tìm lim f(x)
) 2 (
x ; lim f(x)
) 2 (
x và lim f(x)
2
x ĐS : 3 2) f(x) =
2 x hi k 3
x 4
2 x khi 3 x 2 x2
. Tìm lim f(x)
2
x ;lim f(x)
2
x và lim f(x)
x2 ĐS : 3 ; 5 ; không tồn tại.
3) f(x) =
3 x hi k 9 x
3 x hi k 1
3 x 3 khi x
9
2 2
. Tìm lim f(x)
3
x ; lim f(x)
3
x và lim f(x)
x3 (nếu có) BÀI 10 :
1) Tìm m để hàm số f(x) =
1 x hi k m x x m
1 x 1 khi
x 1 x
2 2
3
có giới hạn tại x = –1. ĐS : m = 1 m = –2
2) Tìm m để hàm số
1 x khi 2
mx
1 x 1 khi x
3 1 x
1 x
f 3 có giới hạn khi x 1. ĐS : m = 1
BÀI 11 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng hàm số lượng giác) 1) 1 sinx cosx
x cos x sin lim1
0
x
ĐS : –1 2)
1 x sin 3 x sin 2
1 x sin x sin lim 2
2 2
x 6
ĐS : –3 3)
x tan 1
x 2 lim cos
x4 ĐS : 1
4) 1 cosx
x 3 sin 1 lim 1
0
x
ĐS : 3 2 5)
x cos
1 x 2 sin x 2 lim cos
x 2
ĐS : 2 6)
x x tan cos lim 1
x 2
ĐS : 0
7) 1 cosx
x 3 cos x limcos
0
x
ĐS : 8 8)
x 4 sin
1 x 4 limcos
0 x
ĐS : 0 9)
1 x tan
x 2 sin x lim tan
x 4
ĐS : 1
10) 1 sin2x cos2x x 2 lim sin
0
x ĐS : –1 11)
x 2 sin x sin 2
x 2 sin x 2 cos lim1
0
x
ĐS :
2
1 12)
x tan 1
x cos x limsin
x 4
ĐS :–
2 2
13) 1 cos2x sin x x 2 sin x sin
lim 2 2
0
x
ĐS : 0 14)
1 x 2 cos x 2 sin
x 3 cos x lim cos
0
x
ĐS : 0 15)
1 x tan
1 x lim tan
3
x 4
ĐS : 3 BÀI 12 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn vô cực)
1) lim(3x3 5x2 7)
x
ĐS : – 2) lim 2x4 3x 12
x
ĐS : + 3)xlim
x23x15x1
ĐS : +BÀI 13 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định
)
1) x x 1
4 x 3 x lim 2 3 2
3
x
ĐS : –2 2)
1 x 6 x
8 x 3 lim x4
2
x
ĐS : 0 3)
3 x 2
1 x 2 lim x
2
x
ĐS : +
4) x 3x 2
7 x 2 x lim 4 23
x
ĐS : 5) 4 43
x x
15 x 7 x
lim 2
ĐS : 2 6)
2 x x
x lim 2x
x ĐS : 0
7) 22 22
x (2 x)(3 x) (4 x) ) x 3 ( ) x 1 )(
x 1 lim (
ĐS : 1 8)
2 x 3
2 x x lim 4 2
x
ĐS : 9)
) 3 x )(
2 x )(
1 x (
1 x lim x
3
x
ĐS : 1
10) 3 22
x 8x x 3
x 2 lim x
ĐS :
2
1 11) 3 2 5 33
x (2x 1)(x x)
1 x x lim 2
ĐS : 1 12)
1 x
5 lim x2
3
x
ĐS : +
13) 2 3
x 9 3x
10 x x lim 2
ĐS : 0 14)
7 x 2
11 x lim x
3 4
x
ĐS : + 15)
1 x 2
2 x 5 lim x
2
x
ĐS : +
16) x x 1
4 x 3 x lim 2 3 2
3
x
ĐS : –2 17)
) 1 x )(
1 x 2 (
) 3 x 5 )(
1 x 3 lim ( 3
2
x
ĐS : 0 18)
) 1 x 5 ( ) 4 x 3 (
) 7 x 4 ( ) 3 x 2
lim ( 2 2
3 2
x
ĐS:+
BÀI 14 : Tìm các giới hạn sau :
1) 2x 3
1 x 4 x lim x
2 2
x
ĐS :
2
1 2)
3 3
2
x x x 1
3 x 2 lim x
ĐS :1 ;–1 3)
x 3 4
2 x 1 x x lim 4 2
x
ĐS :–
3 1
4) 3 3
2 4
x 2x 3 3 2x x
3 x 4 1 lim x
ĐS : + 5)
5 x x
3 x lim 2
x 2
ĐS : 2 6)
4 x
x lim x
4
x
ĐS : –
7) 3 x 17
12 x 7 x lim 2
2
x
ĐS :
3
2 8) 3
2 2
x x 2x
x x 3 x lim 4
ĐS : 9)
x 2 1
x lim x
4
x
ĐS : +
10) x 10 x x lim x
2
x
ĐS : –2 11)
x 2 1
1 x x lim 2
2 4
x
ĐS : – 12)
1 x 2
5 x lim x
2
x
ĐS :
2
1
13) x 1
1 x 2 x 4 1 x x
lim 9 2 2
x
ĐS : 1 14)
x 3 1 x
5 x 3 x lim 2
2 2
x
ĐS : +
BÀI 15 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định ) 1) xlim
4x2 x 2x
ĐS :4
1 2)
x x 4 x 3 lim 2
x
ĐS :2
7;+ 3) lim
1 x x
x
ĐS : 0
4) xlim
1 x 1 x x2
ĐS : 5)xlim
4x24x32x1
ĐS : 0 6)xlim
x13 x32x2
ĐS : +7)xlim
2x3 4x24x3
ĐS :–2;– 8) xlim
3 x35x2 3 x28x
ĐS: 9)xlim
4x3 3x264x3
ĐS :2110)xlim
3 x33x2 x22x
ĐS : 2 11)xlim
2 4x23x33 x3x7 x23
ĐS : 23BÀI 16 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định .0) 1) xlim
(x3)
x2 4x
ĐS : 2 2) lim(x 2) x2x 42
x
ĐS : 0 3)
1 2
2 lim 1
4 5
2
x
x x x x
x ĐS :
2 1
4) 2x x 1
) x 1 x (
lim 4 2
x
ĐS : 0 5)
3x 4 2x x
x 5 5
x
lim
ĐS : 1 6) 3
x
lim (x 2) x 1
x x
ĐS : 1 7)xlimx
x23x
ĐS :2
3 8)
1
1 1 lim 12 2
0x x
x ĐS : –1 9) xlimx
x x21
ĐS : –2 1
10) x 4
1 x x 8 2 x 4
lim 1 3
x
ĐS :
2
2 11)xlimx
x22x x2 x2x
ĐS : –4 1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1) Phương pháp dùng định lý hàm số kẹp giữa hai hàm số.BÀI 17 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng của hàm số lượng giác)
1) x
cos1 x lim 2
x0 ĐS : 0 2)
1 x x
x cos 2 x 2 limsin 2
x
ĐS : 0 3)
x sin 1 x lim 2
x0 ĐS : 0
2) Phương pháp dùng định lý 1 x
x limsin
0
x
.
Hệ quả : 1
) x ( u
) x ( u limsin
a
x
; 1
x sin lim x
0
x
; 1
x x limtan
0
x
.
BÀI 18 : Tìm các giới hạn sau :
1) x
x 3 limsin
x0 ĐS : 3 2) 2
0
x x
x 5 cos lim1
ĐS :
2
25 3)
1 1 x
x 2 lim sin
0
x ĐS : 4
4) sin3x
x cos 3 x limsin
x 3
ĐS :
3
2 5) 22
0
x x
x cos x
lim 1
ĐS : 1 6)
x sin
x 2 cos lim1 2
0 x
ĐS : 2
7) 2x
x 5 limsin
x0 ĐS :
2
5 8)
x cos 1
x sin lim x
0
x ĐS : 2 9) 3
0
x x
x sin x lim tan
ĐS :
2 1
BÀI 19 : Tìm các giới hạn sau :
1) 3
x 0
x 1 x 1
lim x
(DBĐH 2002) ĐS : 5
6 2)
x cos 1
1 x 2 1 x
lim3 3 2 2
0
x
(DBĐH 2002) ĐS :5
6
3)
6 x 1 2
x 6x 5 lim
x 1
(DBĐH 2002) ĐS : 15 4) xlim
3 x3 3x2 x2 x 1
ĐS :3
2
BÀI TẬP NÂNG CAO GIỚI HẠN HÀM SỐ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
BÀI 1: Tìm các giới hạn sau:
1) xlim
3x1 9x23x4
2) xlim
x243 x38
3) 23
0
x x
x 3 1 x 2
lim 1
4)
1 1 2
1 2 1 lim 2
3 3
0
x
x x
x
5) 2x 3x 2
x 8 43 11 lim x 2
3 2
x
6) 23
0
x x
x 3 1 x 2
lim 1
7) 3 3
2
x 5 8x 1
x 3 5 x lim 4
8)
5 6 x 5 1 x
1 2 x 7 lim x
2
x
