Đoàn Ngọc Dũng -

(1)

MỘT SỐ BÀI TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

BÀI 2 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định 0 0 )

7)                   

 

 

 







 



 

 

 







 





^ ^



x 1 x 2 x 3

4 x lim 2

3 x 2 x

1 2

x 1 x lim 1 6 x 5 x

1 2

x 3 x lim 1

2 x 2

2 x 2 2

x

  x 1 x 3  2

lim 2

2

x

 



 



13)    

      x 2   x 2  

2 x 1 lim x 4

x 2 x 3 lim x 4

x 2 x

2 x 3 x 2 lim x 8 x 4 x 2 x

4 x 8 x 5 lim x

2 2 x

2 2 2 x

2 2

2 x 3

2 3 2

x

 



 







 







 























  4

1 2 x

1 lim x

2 x

 



 





17) 0

4 ) 5 .(

0 x

) 3 x )(

2 x lim ( )

2 x ( x

) 3 x ( ) 2 x lim ( x

2 x

) 6 x x lim (

2 2

2 x

2 2

2 2 x

3

2 2

2

x

     





 















18)    

 2 x 2 x 1  1  4 x 2 x 2 x 2 1  lim  4 x 2 x 2 x 2 1  12 5

x lim 8 1

1 x 2 x x

lim 2

₂

2

2 x 1 2

2

2 x 1 3

2 3

2 x 1



 





 







 









19)   

 x x 2  x 2 x 2   x 2 2  lim  x x 2  2 1 2 2 2 2 1

2 lim 2 x x

2 lim x

2 x 2

2 x 2 2

x

 





 









 









20)    

 x x 1 1  x x 3 x  lim  x 1 1 x   x x 3  4 3

lim 1 3 x 4 x

x

lim 1

₂²

1 2 x

2

2 1

2 x 4

3 1

x











 





 







21) lim x 1 2 x 12 8 lim  x x 2   x

²

2 x 2 x 8 4  lim

^x ²

 x  x 2   x 2

²

 x 2 x 4  4  lim

^x ²

x

²

x 2 x 4 4 12 6 2 1

2 2 3 x

2

x

 



 







 





 

 

 





 



^ ^ ^



23) ( x 1 )( x x x x 1 ) ( x 1 )

) 1 x ( ) 1 x ...

x x )(

1 x lim ( ) 1 x ( ) 1 x (

) 1 x ( ) 1 x lim ( 2 x x

2 x

lim x

₄ ₃ ₂

8 9 1

5 x 10 1 5 x

10 1

x

      





 









 











6 11 1 1 x x x x

1 1 x ...

x lim x

) 1 1 x x x x )(

1 x (

) 1 1 x ...

x x )(

1 x

lim (

₄ ₃ ₂

8 9 1 2 x

3 4

8 9 1

x





 







 



24) ( x 2 )( x x . 2 x . 2 2 ) ( x 2 )

) 2 x ( ) 2 ...

2 . x 2 . x x )(

2 x lim ( ) 2 x ( ) 2 x (

) 2 x ( ) 2 x lim ( 18 x x

258 x

lim x

₃ ₂ ₂ ₃

7 5

6 7 2

4 x 4

8 8 2 4 x

8 2

x

     





 









 











33 1025 1

2 . 4

1 2 . 8 1 2 2 . x 2 . x x

1 2 ...

2 . x 2 . x lim x

) 1 2 2 . x 2 . x x )(

2 x (

) 1 2 ...

2 . x 2 . x x )(

2 x

lim (

₃

7 3

2 2

3

7 5

6 7 2 3 x

2 2

3

7 5

6 7 2

x





 



 







 



BÀI 3 : Tìm các giới hạn sau :

4) 3

4 1 1 x )

1 x (

2 4 lim x

) 4 4 x )(

1 1 . 1 x )

1 x ( (

) 2 4 x )(

1 1 x lim (

2 4 x

1 1 lim x

3 2 3

0 3 x

3 2

0 x 3

0

x





 







 











9)    

         

 x x x x 2  4  x x 3 x x 2 7  3

1 lim x 2 x 3 x 9 7 x x

3 7 x x 4 x 3 lim x

3 7 x x

2 x 3

lim x

₂ ² ₃ ²

1 3 x

2

2 3

1 2 x

3 1

x

   



 









 











   

 x x 2 4   x x 3 x x 7 2  3 3 6 . . 4 6 3

lim x

² ₃²

1

x

 



 



11)  

                       

 













 3 3 2 3 3 2

3 3 1

2 x

3 3

1

x

x 1 x 2 10 2 x x 1 10 2 x x 1

1 x x 2 lim 10

2 x 3 x

1 x x 2 lim 10

                       



 3 3 2 3 3 2

2 3 1

x

x 1 x 2 10 2 x x 1 10 2 x x 1

9 x 3 x 3 x lim 3

   

                       



 3 3 2 3 3 2

2 1

x

x 1 x 2 10 2 x x 1 10 2 x x 1

9

x

6

x

3

1

lim x

(2)

 

 x 2   10 2 x  3 x  x 6 x 1  9 10 2 x  x 1  12 18 2 3

lim

3 3 2 3 3 2

2 1

x

 

 

       



 





12)        

 x 1   4 x 28 

28 x 4 28 x 4 1 x 1 x 27 lim x

28 x 4 1 x

27

lim x

₃ ₂

3 2 2

3 2

3 3 2 x

3 3

x

    

       



 









       

27 x 3 x x

28 x 4 28 x 4 1 x 1 x 27

lim x

₃ ₂

3 2 2

3 2

3

x

    

       







       

 x 3   x 2 x 9 

28 x 4 28 x 4 1 x 1 x 27 x

lim

₂

3 2 2

3 2

3

x

    

       







       

24 54 48 . 27 9

x 2 x

28 x 4 28 x 4 1 x 1 x 9 x 3

lim x

₂

3 2 2

3 2

2 2

3

x

 



  

       







2) x 4 x 3

x lim x

3 x 4 x

1 2 lim x

3 x 4 x

) x x ( 1 2 lim x

3 x 4 x

1 x x 2

lim x

₂

2 1 2 x

3 1 2 x

2 3

1 2 x

2 3

1

x

 

 







 







 

















6

1 ] 1 2 x ) 2 x ( )[

3 x ( lim 1 ] 1 2 x ) 2 x ( )[

3 x )(

1 x (

1 lim x

3 x 4 x

1 2 lim x

3 2 3

1 3 x

3 2

1 2 x

3 1

x

 





 





 













2

1 3 x lim x ) 3 x )(

1 x (

) 1 x ( lim x 3 x 4 x

x lim x

1 x 1

2 x 2 1

x

 



 







. Vậy

3 2 2 1 6 1 3

x 4 x

1 x x 2 lim x

₂

2 3

1

x

    















3) x

1 x 1 . x 4 lim 1

3 0

x







. Dạng vô định

0

0 , với x  4

 1 , x  0 Ta có :

x 1 x 1 x

1 x 4 x 1

x 1

1 x 1 x 1 x 1 . x 4 1 x

1 x 1 . x 4

1

3 ³

3 3

3

                 



 1 4 x 1  x  ( 1 x ) x 1 x 1  1 x 1 4 4 x 1 ( 1 x ) 1 1 x 1

x x x 4

1

3 2 3

3

3 2 3

3



 



 



 



 



 



 Vậy

3 7 3 1 2 4 x

1 x 1 . x 4 lim 1

3 0

x

     



BÀI 5 : Tìm các giới hạn sau : 4) lim  x

²

x 2 19 x 1   12 x 12 2 

2 4

x

    





ĐS :

9

 2

       

 x x 4 19 x 1  12  x x 12 x 2   2 19 1 x 12 

2 lim 12 x 1 19 x x

12 x

lim 2

₂ ² ² ₂

4 2 x

2 4

x

      







 













   

         

 x 5   x x 4 12 x 2  x  2 19 x 1 12  9 . 2 8 . . 2 4 9 2

12 lim x 2 2 12 x 20 x x

1 19 x x x

lim 16

² ₂

4 2 x

2

2 2 4

x

   













 

















 



5) x 3 x

8 x 2 4 x

lim x

² ₂ ³ ³

0

x









ĐS :

12 1

 x 3 

x

8 x 2 2 2 4 x lim x

x 3 x

8 x 2 4 x

lim x

² ³ ³

0 2 x

3 3

2 0

x











 









   

    



 







 







 

 2

3 3

3 2

2 0

x

4 2 2 x 8 2 x 8

8 x 2 8 2

4 x x

4

x

3

x

lim 1

(3)

      



 







 



 

 3 3 3 3 2

3 2

2 0

x

4 2 2 x 8 2 x 8

x 2 2

4 x x

x x 3

x x lim 1

 2 x 8  3 1 4 1 12 1

8 x 2 2 4

x 2 2

4 x x

1 x 3

x

lim 1

₂

3 3

2 0 2

x

  

 





 







 



 



6)

³ ³ ₂

2

x

4 x

3 x 2 8 2 x 24 x 4 lim 3









ĐS :

16 19

     

2

3 3

2 2 x

3 3

2

x

4 x

3 x 2 1 8 2 2 x 2 24 x 4 lim 3 x

4

3 x 2 8 2 x 24 x 4 lim 3











 









      



 









 





 









 



1 2 x 3

x 2 16 2 2 x

4 2 x 4 24 x 4 2 24 x 4

8 24 x 3 4

x 4 lim 1

3 3

3 3 2 3 2 2

x

 

      



 









 



 









 



1 2 x 3

x 2 16 2 2 x

2 x 4 24 x 4 2 24 x 4

8 x 3 4

x 4 lim 1

3 3

3 3 2

3 2 2

x

 

 4 x 24 4 x  2 2 x 4 x 4 24 4 x 1 2 2 1 16 2 x 3 4 1 3 12 12 4 1 16 2 16 19

2 3 x lim 1

3 3

3 3 2 2 2

x

 



 



   

 

 





 







 



 











 



7) 1 x

1 x 2 5 1 x x 3 1 x

lim 5

² ²

1

x









ĐS :

4 11

     

 5 x 1 2 3 x x 1 1 5 2 x 1 1 

x 1 lim 1 x

1

1 x 2 5 1 x x 3 1 x

lim 5

² ²

1 x 2

2 1

x

        

 









 

 









 









 





 



2 x 1 1

1 1 x 5 2 1 1 x x

1 1 x 3 x

2 1 x 5

4 1 x 5 x 1

lim 1

²₂ ²₂

1 x

 

 









 









 





 



2 x 1 1

2 x 5 2 1 1 x x

2 x 3 x

2 1 x 5

5 x 5 x 1

lim 1

₂² ₂²

1 x

     

4 11 2 20 2 12 4 1 5 1

1 x 2

1 x 5 2 1 1 x x

2 3 x

2 1 x 5 1 5

lim

₂ ₂

1

x

  

   



 



 









 







 



 





BÀI 7 : Tìm các giới hạn sau :

4)

₂ ₂

x 0 x 0

1 1 x 1

lim lim

x x x

 

      

 

  . Ta có :

x 0 2 x 0

2

lim(x 1) 1 0 lim(x ) 0 x 0, x 0



  

  

 

  



 



 

  

0 2

x

1 x

lim 1 = +

5) 



 







 





2 x 3

1 x 2 ) 1 x ( lim 2

₂

1

x

. Ta có :

 



 





 





 





1 2 x

1 x

) 1 x ( lim 2

0 1 3

3 3 x 2

1 x lim 2

   



 







 





2 x 3

1 x 2 ) 1 x ( lim 2

₂

1 x

6) 



 





 

 



 



 





^ ^ ^



x 2

5 ) 1 x ( lim 1 ) 2 x ( ) 1 x ( lim 5 ) 2 x )(

1 x )(

1 x ( lim 5 ) 2 x 3 x )(

1 x (

lim 5

₂

1 2 x

1 x 1

2 x 1

x

Ta có :

 



 





 





 



1 2 x

1 x

) 1 x ( lim 1

0 1 5

5 2 x lim 1

  







( x 1 )( x 3 x 2 ) lim

₂

5

1 x

(4)

7)

₂

3 3 x 3

3 x 3

x

( x 3 )

1 x

3 lim 1 ) 3 x (

1 x

3 x lim 3 ) 3 x (

1 3 1 x lim 1



 

 

 

 



  

 



 

  



Ta có :

 



 





 









3 2 x

3 x

) 3 x ( lim 1

9 0 1 x 3 lim 1



₃

3

x

( x 3 )

1 3 1 x lim 1

 



 

  



= –

8) 



 







 

 



 





 

















 2 2 x 1 2 2 x 1 2 x 1 2

2 1

x

( x 3 )

3 x 2 1 x lim 1 )

3 x )(

1 x (

3 x lim 2 )

3 x ( ) 1 x (

) 3 x 2 )(

1 x lim ( ) 2 x 3 x (

3 x x lim 2

Ta có :

 



 





 

 

 









1 x lim 1

4 0 5 )

3 x (

3 x lim 2

1 x

1 2

x



2 2

2 1

x ( x 3 x 2 ) 3 x x lim 2





 = –

9)

₂

2

x

( x 2 )

1 x lim 2







. Ta có :

 

 





 

















2 2 x

2 x

) 2 x ( lim 1

0 3 ) 1 x 2 ( lim



₂

2

x

( x 2 )

1 x lim 2







= –

 Giới hạn một bên

BÀI 8 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn một bên)

5)

5 4

2 ) 1 (

x

x x

2 x 3 lim x



 



Với x > –1 

₂ ₂ ₂

4 5 2

x 1 x ) 2 x ( )

1 x ( x

1 x ) 2 x )(

1 x ( 1 x x

) 2 x )(

1 x ( x x

2 x 3

x   



 



 



Vậy 0

x 1 x ) 2 x lim ( x

x

2 x 3

lim x

₂

) 1 ( 4 x

5 2 ) 1 ( x

 

 



  





Hoặc : 0

x 1 x ) 2 x lim ( )

1 x ( x

1 x ) 2 x )(

1 x lim ( 1

x x

) 2 x )(

1 x lim ( x

x

2 x 3

lim x

₂

) 1 ( 2 x

) 1 ( 4 x

5 2 ) 1 ( x

 

 



 



 



    





7) 6

1 x 3

x lim 4

) x 3 )(

x 3 (

) x 4 )(

x 3 lim ( ) 3 x )(

3 x (

) 4 x )(

3 x lim ( x

9

12 x 7 lim x

3 x 3

x 3

2 x 2 3 x

 

 





 





 







   



8) 0

1 x

) 1 x ( ) x 1 x x ( ) lim 1 x )(

1 x (

) 1 x ( ) x 1 x x ( ) lim 1 x )(

1 x ( ) x 1 x x )(

1 x ( 1 lim x ) x 1 x (

lim

²

) 1 ( x 2 2

) 1 ( x 2

) 1 ( 2 x

3 ) 1 (

x





 



 



 



 

 





 



_ _ _

   





13) 2

1 x 1 2 lim x ) x 1 2 ( x 1

x x 1

x lim 1 x 1 2

x x 1

lim

1 x 1

x 1

x

 

 







 

 





 



  



15)  



 

 

 

 





 



^

 



x x 1

2 x x 1 x lim 1 x

1 1 1 x

lim 1

²₂

1 3 x

1 x

  



 



      



 



_

 



0 và x 1 0 , x 1

3 4 1 x x

2 x lim x , 0 1 x lim

Vì

²₂

1 x 1

x

16)  





 





 

 

 





 



^ ^

  



( x 2 )( x 2 )

1 lim x

) 2 x )(

2 x (

1 ) 2 x lim ( 4

x 1 2 x lim 1

2 x 2

x

(Dạng  – )

Ta có :

 



 































) 2

; 2 ( x , 0 ) 2 x )(

2 x (

0 ) 2 x )(

2 x ( lim

0 3 ) 1 x ( lim

2 x

   



 





 





x 4

1 2 x

lim 1

₂

2 x

(5)

17) x 3 1 x lim 2 )

3 x (

) 1 x 2 )(

3 x lim ( )

3 x (

3 x 5 x lim 2

) 3 ( 2 x

2 ) 3 (

x



 





 







  





Ta có :

 



 



































0 3 x 3 x

0 ) 3 x ( lim

0 7 ) 1 x 2 ( lim

) 3 ( x

  







 

 2

2 ) 3 (

x

( x 3 )

3 x 5 x lim 2

20)  



 





 





  



x x x

lim 1 ) x x x ( x

x ) x x lim ( x

x x lim x

0 2 2 x

2 2 0

2 x 2 0 x

BÀI 9 : Tìm giới hạn bên trái, bên phải và giới hạn (nếu có) của hàm số f(x) : 3) f(x) =

 

 







  



3 x hi k 9 x

3 x hi k 1

3 x 3 khi x

9

2 2

. Tìm lim f ( x )

3

x ^

; lim f ( x )

3

x ^

và lim f ( x )

x3

(nếu có)



Khi x > 3, ta có : lim f ( x ) lim x

²

9 0

3 x 3

x









 





Khi –3  x < 3, ta có : lim f ( x ) lim 9 x

²

0

3 x 3

x









 



Vì lim f ( x )

3

x ^

= lim f ( x )

3

x ^

nên lim f ( x )

x3

= 0 BÀI 10 :

2) Tìm m để hàm số  



 







 

 



1 x khi 2

mx

1 x 1 khi x

3 1 x

1 x

f

³

có giới hạn khi x  1. ĐS : m = 1

Giới hạn bên phải :   1

1 x x

2 lim x

1 x

2 x lim x

1 x

3 1 x lim 1 x f

lim

₂

1 3 x

2 1 3 x

1 x 1

x

 



 







 

 

 







 

 

 





 



_



_ _

   



Giới hạn bên trái : lim f   x lim  mx 2  m 2

1 x 1

x _



_

  



Ta có : lim f   x

1

x

tồn tại  lim f   x lim f   x

1 x 1

x^



^

 m + 2 = 1  m = 1 BÀI 11 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng hàm số lượng giác)

3) lim cos x (cos x sin x ) 1

x cos

x sin x cos

) x sin x )(cos x sin x lim (cos x

cos x 1 sin

x sin x lim cos

x tan 1

x 2 lim cos

x 4 x 4

2 2

x 4 x 4





 



 



 



  ^



4) 1 cos x

x 3 sin 1 lim 1

0

x









. Ta có :

x cos 1

) x sin 4 3 ( x sin x

cos 1

x sin 4 x sin 3 x cos 1

x 3 sin x

cos 1

x 3 sin 1 1 x cos 1

x 3 sin 1

1

³ ²



 



 



 







( 3 4 sin x ) 1 cos x

x cos 1

x cos 1 ) x sin 4 3

(

² ² ₂





 



 

Do đó : lim  3 4 sin 2 x 1 cos x  3 2

x cos 1

x 3 sin 1 lim 1

0 x 0

x

   









5) lim 2 (cos x sin x ) 2 ( 0 1 ) 2

x cos

x cos x sin 2 x cos lim 2 x

cos

x 2 sin ) x 2 cos 1 lim ( x

cos

1 x 2 sin x 2 lim cos

x 2 2

x 2 x 2

x 2









 

 





6)     1 sin x 0

x lim cos

x sin 1 x cos

x lim cos

x sin 1 x cos

x sin lim 1

x cos

x sin lim 1

x x tan cos lim 1

x 2 2

x 2 x 2

x 2

 

 

 

 



  

 

 



 

_

 



(6)

BÀI 12 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn vô cực)

3)

_x

lim

__

 x

²

 3 x  1  5 x  1  ĐS : 

Ta có :     





 

     

 





 

    









 





x

5 1 x

1 x 1 3 x lim 1

x x 5

1 x 1 3 x lim 1 x 5 1 x 3 x

lim

₂

2 x x

2 x

 





 



     



 

     











6 0

x 5 1 x

1 x 1 3 lim x

lim

Vì

₂

x

và

BÀI 13 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng vô định



 )

4) x 3 x 2

7 x 2 x lim 4

₂³

x

 









ĐS : 

Ta có :

3 2

3 2 x

3 2 3

2 x 3 x

x 2 x

3 x 1

x 7 x 4 2 lim x

2 x

3 x x 1

x 7 x 4 2 x 2 lim

x 3 x

7 x 2 x lim 4



 

 

 



  

 

 



  

 

















Mà :

 

 



 











 

 





 













 



 



  



 



 



  

 









0 x , x 0

2 x 1 3 x 1 x

2 x

3 x 1

x 0 2 x

3 x lim 1

0 x 4

7 x 4 2 lim

0 2 0

3 2

3 x 2







 x 3 x 2 7 x 2 x lim 4

₂³

x

 









= 

 Cách khác :

Ta có :  



 



 

 



  

 

 



  

 

















2 3 2 x

2 2

3 2 3

2 x 3 x

x 2 x 1 3

x 7 x 4 2 x lim x

2 x 1 3 x

x 7 x 4 2 x 2 lim

x 3 x

7 x 2 x lim 4



 







 











 









4 0

x 2 x 1 3

x 7 x 4 2 lim x

lim Vì

2 3 2 x

x

và

7) 1

1 . 1 ).

1 (

1 . 1 ).

1 ( x 1

1 4 x 1 3 x 2

x 1 1 3 x 1 1 x 1 lim x 1

x 4 x 1 x 3 x 1 x 2

x 1 x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 ) lim

x 4 ( ) x 3 )(

x 2 (

) x 3 ( ) x 1 )(

x 1

lim (

₂ ₂

2 2

2 x 2

2 2

2 x 2

2 2

x





 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  



 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 



















8)  





 



 

 

  

 

 



   

 

















x 3 2

x 2 x 4 1 x lim x

3 2 x

x 2 x 4 1 x 2 lim

x 3

2 x x

lim 4

²

x 2 2

x 2

x



 







 





 







 









0

3 4 x

3 2 x

2 x 4 1 lim và x

lim

Vì

²

x x

(7)

2)

3 2 3

2 x

3 2 3

3

2 2

3 3 x 2 x

x 1 x 1 1 x

x 3 x 1 2 x lim x

1 x 1 1 x

x 3 x 1 2 x lim 1

x x

3 x 2 lim x









 

 



  

 

 



  

 

















 Khi x  +, ta có : 1

x 1 x 1 1

x 3 x 1 2 lim x

1 x 1 1 x

x 3 x 1 2 x lim x

1 x 1 1 x

x 3 x 1 2 x lim

3

3 2

2 x

3

3 2

2 x

3

3 2

2

x





































 Khi x  –, ta có : 1

x 1 x 1 1

x 3 x 1 2 lim x

1 x 1 1 x

x 3 x 1 2 x lim x

1 x 1 1 x

x 3 x 1 2 x lim

3

3 2

2 x

3

3 2

2 x

3

3 2

2

x

 







































3) 3

1 3

1 2 x 3

4 x

1 2 x

1 x 4 1 lim x 3

x 4

x 1 2 x

1 x 4 1 x x lim

3 4

2 x 1 x x

lim 4

²

x 2

x

 



 













 

 

  

 



 

    

 





















4)

3 3

2 4

x

2 x 3 3 2 x x

3 x 4 1 lim x

















ĐS : +

Ta có :

 



 

    





















 























3 3 2

2 4

2

3 x

2 3

2 4 2

3 3 x

2 4

x

1

x 2 x

3 x 2 3 x

x 4 3 x 1 1 lim x

x 1 2 x x 3 3 x 2

3 x x 4 1 1 lim x

x x 2 3 3 x 2

3 x 4 1 lim x























3 3 2

2 4

x

1

x 2 x

3 x 2 3

x 4 3 x 1 1 x

lim

 





 

































1 0

x 1 2 x

3 x 2 3

x 4 3 x 1 1 lim và x

lim Vì

3 3 2

2 4

x x

7) 3

2 x

3 17 x 12 x 2 7 lim x

3 17 x

x 12 x 2 7 x 17 lim

x 3

x 12 x 2 7 x 17 lim

x 3

12 x 7 x lim 2

2 x

2 2

x 2

x











 

 



  





 



 

 



  

 





















8)  













 

 



   

 















 3

2 3 x

2 3 2 x

2 x

x 2 x 1

x 1 4 3 lim x

2 x x 1

x 1 4 3 x x lim

2 x

x x 3 x lim 4

 



 

    

























0 với mọi x 2

x 2 x x

2 x và 1 x 0

2 x lim 1

; 3 x 1

4 3 lim

Vì

³ ₂ ³ ₂ ³ ₂

x x

9)

x 2 x

1 x 1 1 x lim

2 1

x 1 1 x x lim

2 1

x 1 1 x x lim

2 1

x lim x

2 3 x

3 2

x 3 4

x 4

x



 



 

 

 

  

 



















(8)

Ta có :

 





 













 



 



 















0 x khi x 0

2 x

1

x 0 2 x lim 1

0 x 1

1 1 lim

2 x 2 x 3

  







1 2 x x lim x

4 x

13) x 1

1 x 2 x 4 1 x x

lim 9

² ²

x













x   :

 

 

  

 

 



     

 















x 1 1 x

x 1 x 4 2 x

1 x 9 1 x 1 lim

x

1 x 2 x 4 1 x x lim 9

2 2

x 2

2 x

1 x

1 1

x 1 x 4 2 x

1 x 9 1

lim

² ²

x









 







x   :

 

 

  

 

 



      

 















x 1 1 x

x 1 x 4 2 x

1 x 9 1 x 1 lim

x

1 x 2 x 4 1 x x lim 9

2 2

x