GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
I. ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f(x) xác định trên tập D (D R)
Số
D
) D x ( f Max M
D
x f(x) Mvớimọix
M ) f(x cho sao
x0 0
Chú ý : Nếu f(x) M, x D thì ta chưa thể suy ra M Maxf(x)
xD
Số
D
) D x ( f min
m x D f(x) mvớimọix
m ) f(x cho sao
x0 0
Chú ý : Nếu f(x) m, x D thì ta chưa thể suy ra m minf(x)
xD
1) Muốn chứng tỏ số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f trên tập hợp D, ta cần chứng tỏ : a) M f(x) với mọi x D.
b) Tồn tại ít nhất một điểm x0 D sao cho f(x0) = M.
2) Muốn chứng tỏ số m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f trên tập hợp D, ta cần chứng tỏ : a) m f(x) với mọi x D.
b) Tồn tại ít nhất một điểm x0 D sao cho f(x0) = m.
Nhớ rằng, điều kiện b) là cực kỳ quan trọng, không được bỏ qua.
Nhớ rằng, GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) trên miền xác định D mang tính toàn cục, còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số chỉ mang tính cục bộ, địa phương.
Khi bài toán yêu cầu tìm GTLN, GTNN mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.
II. PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1) Một số chú ý :
Nếu hàm số y = f(x) luôn tăng hoặc luôn giảm trên đoạn [a ; b] thì :
f(a),f(b)
Max )
x ( f Max
] b
; a [
x
và min f(x) min
f(a),f(b)
] b
; a [
x
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau :
_ Tính y’ và tìm các điểm x1, x2, x3, …, xn [a ; b] mà tại đó y’ triệt tiêu hoặc hàm số không có đạo hàm.
_ Tính các giá trị f(x1), f(x2), f(x3), …, f(xn), f(a), f(b). Khi đó :
f(a),f(x ),f(x ),f(x ),...,f(b)
Max )
x ( f
Max 1 2 3
] b
; a [
x
f(x) min
f(a),f(x ),f(x ),f(x ),...,f(b)
min 1 2 3
] b
; a [
x
Nếu đề bài chỉ cho tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = cosx sinx mà không cho xét trên đoạn nào thì ta làm: Do hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 nên chỉ cần xét x
; 2
0 rồi làm giống như trên.
Tóm lại, để tìm GTLN và GTNN của hàm tuần hoàn với chu kỳ T ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của hàm trên một chu kỳ, nếu thêm tính chẵn (lẻ) ta chỉ xét trên đoạn
2
;T 0 .
Thí dụ : Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = 2cosx – cos2x
y = 2cosx – cos2x có chu kỳ T = 2 và là hàm chẵn, vì vậy ta chỉ cần xét trên [0 ; ].
2) Một số phương pháp tìm GTLN và GTNN :
Phương pháp 1 : Sử dụng tập giá trị của hàm số lượng giác
Chú ý 1 : –1 sinx, cosx 1 ; 0 sin2x, cos2x 1 ; 0 sinx , cosx 1.
Chú ý 2 : cosx 1 cosnx cos2x ; sinx 1 sinnx sin2x Vậy cosnx + sinnx cosnx + sinnx cos2x + sin2x = 1
Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x), ta chú ý hai tập hợp :
D = x R / y tồn tại thì D được gọi là tập xác định của hàm số.
T = y R / phương trình y = f(x) với ẩn số x có nghiệm thì T được gọi là tập giá trị của hàm số.
y0 thuộc miền giá trị của hàm số y = f(x), x D khi và chỉ khi phương trình f(x) = y0 có nghiệm x D.
Chẳng hạn, hàm y = x2 – 3x + 3 ta có y0 = 1 thuộc miền giá trị vì phương trình x2 – 3x + 3 = 1 hay x2 – 3x + 2 = 0 có nghiệm x1 = 1 ; x2 = 2. Còn lấy y0 = –1 thì phương trình x2 – 3x + 3 = –1 x2 – 3x + 4 = 0 vô nghiệm, nên y0 = –1 không thuộc miền giá trị của hàm số.
Phương pháp 2 : Sử dụng phương pháp đạo hàm
a) Loại trên đoạn, loại này khi giải ta có thể không cần vẽ bảng biến thiên của hàm số, mà ta thực hiện các bước sau:
_ Tính f ’(x), giải phương trình f ’(x) = 0, tính các nghiệm x1, x2, … (chỉ chọn nghiệm thuộc đoạn [a; b])
_ Tính các giá trị f(a), f(b), f(x1), f(x2), …
_ Số lớn nhất trong các số trên là Max y, số nhỏ nhất là min y
Chú ý :
_ Với loại này, nếu hàm số xác định và liên tục trên một đoạn thì luôn luôn tồn tại GTLN và GTNN trên đoạn đó, bởi vì trong một số hữu hạn các con số, chọn số lớn nhất, chọn số nhỏ nhất thì tất nhiên lúc nào ta cũng có. Tóm lại, nếu f là một hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] thì f đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất tại một điểm cực trị hoặc tại một trong hai đầu mút a, b.
_ Nếu phương trình f ’(x) = 0 vô nghiệm f(x) đơn điệu trên đoạn [a ; b], ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b) : số lớn là Max y và số nhỏ là Min y.
b) Loại trên khoảng, nửa khoảng, Loại này khi giải ta phải lập bảng biến thiên của hàm số rồi suy ra Max, min của hàm số. Để thực hiện loại này, trước hết ta lấy đạo hàm, tìm các điểm tới hạn trong miền xác định D của hàm số. Sau đó, ta lập bảng biến thiên của hàm số trên D rồi suy ra kết luận :
_ Nếu chỉ có 1 điểm cực đại x0 thì f(x0) = Max y _ Nếu chỉ có 1 điểm cực tiểu x0 thì f(x0) = min y
_ Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới hạn của f(x) ở các biên của D để có kết luận thích hợp.
Chú ý : Loại trên khoảng, nửa khoảng (gọi chung là loại có miền xác định không phải là một đoạn) thì có thể bài toán đưa chúng ta đến kết luận là : hoặc là không có GTLN hoặc là không có GTNN hoặc là không có cả GTLN và GTNN. Phương pháp loại này là phương pháp tổng quát, trong một số trường hợp có thể lấy phương pháp này để giải cho loại trên đoạn, nhưng ngược lại không thể lấy phương pháp của loại trên đoạn để trình bày cho loại trên khoảng, nửa khoảng được.
Phương pháp 3 : Hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Với hàm số y = f(x) thì GTLN trên một đoạn [a ; b] là GTLN của giá trị tuyệt đối của giá trị cực đại, giá trị cực tiểu và hai biên f(a), f(b). Bài toán thực ra chỉ cần giải ngắn gọn như sau :
_ Tìm y’ và giải y’ = 0, tìm các nghiệm.
_ Tính f(a), f(b) và các giá trị của f(x) tại các nghiệm : f(x1), f(x2).
_ Do y = f(x) cho nên GTLN của hàm y chỉ là số lớn nhất trong các số sau : f(a), f(b), f(x1), f(x2).
Nhưng để hiểu rõ tính chất biến thiên của hàm y thì cách dùng bảng biến thiên tốt hơn.
Chú ý : Khi xét hàm số f(x) có GTLN và GTNN trên tập D, ta xét hai trường hợp : minf(x), Maxf(x) cùng dấu và minf(x), Maxf(x) trái dấu hoặc có giá trị bằng 0.
Phương pháp 4 : Phương pháp đổi biến số
Nếu khảo sát trực tiếp hoặc dùng miền giá trị đều dẫn đến tính toán phức tạp thì ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Khi đổi biến cần chú ý đến điều kiện của biến mới.
Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định D. Khi ta đổi biến đặt t = g(x) thì y = f(x) = R(t) có miền xác định E. Lúc đó Max, min của y = f(x) trên D cũng là Max, min của y = R(t) trên E.
III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT KHÁC
DẠNG 1 : Dạng lượng giác
1) Sử dụng tập giá trị của hàm số lượng giác:
–1 sinx, cosx 1 0 sin2x, cos2x 1 0 sinx , cosx 1.
2) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng: y = asinx + bcosx (a2 + b2 0):
2 2 2 2
a b y a b
giá trị lớn nhất là a2b2 và giá trị nhỏ nhất là a2b2 3) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : asinx + bcosx = c
Biểu thức có dạng: asinx + bcosx = c nên phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm a2 + b2 c2.
DẠNG 2 : Sử dụng các bất đẳng thức AM-GM (Cô-si), Bunhiacôpxki (B.C.S) 1) Bất đẳng thức AM-GM (còn gọi là bất đẳng thức Cô-si)
2) Bất đẳng thức Bunhiacôpski (Bunyakovsky)
Dạng cụ thể với n = 2, a, b, c, d R Dạng cụ thể với n = 3, a, b, c, m, n, p R 1) (ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2)
2) abcd (a2 c2)(b2d2) Dấu “=” xảy ra
d c b a
1) (am + bn + cp)2 (a2 + b2 + c2)(m2 + n2 + p2) 2)
) p n m )(
c b a ( cp bn
am 2 2 2 2 2 2 Dấu “=” xảy ra
p c n b m
a
DẠNG 3 : Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X (hoặc CASIO fx-570VN PLUS)
Cách 1 : Dùng bảng. (cách này máy xử lý nhanh nên thường được dùng) Bước 1 : Cài đặt tính toán TABLE (Bảng) với một hàm số f(x):
Bấm: qwRR11 (hoặc: qwr51)
Bước 2 : Vào chương trình TABLE (Bảng) bằng cách bấm: w8 (hoặc: w7 (vào bảng) Bước 3 : Nhập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Bước 4 : Phạm vi bảng, chọn: Bđầu: a Kthúc: b Bước: (b – a):19.
(Hoặc chọn: Start? a End? b Step? (b – a):19) Dựa vào kết quả của bảng ta có thể kết luận.
Chú ý :
Ta chọn Start và End là đoạn [a ; b] mà đề bài cho (thường chọn Start? a End? b Step? (b – a):19.
Còn chọn giá trị cho Step ta phải để ý đáp án, vì đáp án là các số đẹp thì ta chỉ việc chọn giá trị là 1.
Khi sử dụng chức năng bảng để tìm GTLN và GTNN trên khoảng đến +, ta chọn End là 10
Khi sử dụng chức năng bảng thì với Step (bước nhảy) thì đối với hàm lượng giác ta chia cho 24 để cho cung được đẹp.
Cách 2 : Dùng lệnh qr
Chọn các giá trị từ nhỏ đến lớn (lớn đến nhỏ) tùy theo đề bài. Dùng qr ra một số mà số đó thuộc đoạn đề bài cho thì số đó là đáp án (cách này máy xử lý lâu).
------
Dạng cụ thể với n = 2, a, b 0 Dạng cụ thể với n = 3, a, b, c 0 1) a + b 2 ab
2) ab
2 b a
3) ab
2 b a 2
Dấu “=” xảy ra a = b
1*) a + b + c 33 abc
2*) 3 abc
3 c b a
3*) abc
3 c b
a 3
Dấu “=” xảy ra a = b = c
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
A. LÝ THUYẾT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ y = f(x) Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.
Tìm khẳng định SAI trong các khẳng định sau:
A. Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại.
B. Đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.
C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất.
D. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng.
Câu 2. (ĐỀ MINH HỌA THPT QG 2019) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [1; 3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [1; 3]. Giá trị của M – m bằng
A. 0 B. 1 C. 4 D. 5
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên 1;3 2
và có đồ thị y = f(x) như hình vẽ. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f(x) trên 1;3
2
A. M – m = 3. B. M – m = 9
2 .
C. M – m = 5. D. M – m = 5
2.
Câu 4. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) (với a, b, c, d R) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. y'(x) 0 x 2 x 0
B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x = –2.
C. y’ < 0, x (–2 ; 0).
D. Đồ thị có đúng hai cực trị.
Câu 5. Cho hàm số y = f(x) xác định và liện tục trên khoảng ;1 2
và 1 ;2
có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Max f(x) f(4)[3; 4] B.
[1; 2]
Max f(x) 2 C. Max f(x) 0[ 2 ;1]
D.
[ 3; 0]
Max f(x) f( 3)
Câu 6. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [–2 ; 4] như hình vẽ.
Tìm Max f(x)2;4
? A. 1
B. f(0) C. 2 D. 3
Câu 7. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 B. Hàm số có GTLN bằng 1, GTNN bằng
3
1 C. Hàm số có hai điểm cực trị
D. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành
Câu 8. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên:
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là –2.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (– ; –2).
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (–2 ; 0).
Câu 9. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên :
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. min y 3R B. Giá trị cực tiểu của hàm số là 3.
C. Max y 4R D. Giá trị cực đại của hàm số là 4.
Câu 10. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên (–4 ; 4) và có bảng biến thiên trên (–4 ; 4)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Max y 10( 4 ; 4)
và
( 4 ; 4)min y 10
B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không giá trị nhỏ nhất.
C. Max y 0( 4 ; 4)
và
( 4 ; 4)min y 4
D. Max y 10( 4 ; 4)
và
( 4 ; 4)min y 4
Câu 11. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên:
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số có 2 điểm cực trị.
B. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5 và giá trị nhỏ nhất bằng –2.
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng –2.
Câu 12. Hàm số nào sau đây không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn [–2 ; 2]?
A. y = x3 + 2 B. y = x4 + x2 C.
1 x
1 y x
D. y = –x + 1
B. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ f(x) TRÊN ĐOẠN [a ; b]
Câu 1. (CÂU 23 THPT QG 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x3 – 7x2 + 11x – 2 trên đoạn [0 ; 2].
A. m = 11 B. m = 0 C. m = –2 D. m = 3
Câu 2. (CÂU 6 ĐMH 2017 LẦN 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 x
3 y x2
trên đoạn [2 ; 4]:
A. min y 6
4
;
2 B. min y 2
4
;
2 C. min y 3
4
;
2 D.
3 y 19 min2;4
Câu 3. (CÂU 18 ĐMH 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x4 – 4x2 + 5 trên đoạn [2 ; 3] bằng
A. 50 B. 5 C. 1 D. 122
Câu 4. (CÂU 23 THPT QG 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x4 – 4x2 + 9 trên đoạn [–2 ; 3] là :
A. 201 B. 2 C. 9 D. 54
Câu 5. (CÂU 19 ĐMH 2020 LẦN 1) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x4 + 12x2 + 1 trên đoạn [1; 2] bằng
A. 1 B. 37 C. 33 D. 12
Câu 6. (CÂU 19 ĐMH 2020 LẦN 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x4 – 10x2 + 2 trên đoạn [1; 2] bằng
A. 2 B. 23 C. 22 D. 7
Câu 7. (CÂU 36 THPT QG 2020 ĐỢT 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 24x trên đoạn [2 ; 19] bằng
A. 32 2 B. 40 C. 32 2 D. 45
Câu 8. (CÂU 32 THPT QG 2020 ĐỢT 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x4 – 12x2 – 4 trên đoạn [0; 9]
bằng
A. 39 B. 40 C. 36 D. 4
Câu 9. (CÂU 32 THPT QG 2020) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x4 – 12x2 – 4 trên đoạn [0; 9] bằng
A. 39 B. 40 C. 36 D. 4
Câu 10. (CÂU 36 THPT QG 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 24x trên đoạn [2; 19] bằng
A. 32 2 B. 40 C. 32 2 D. 45
Câu 11. (CÂU 31 ĐMH 2021) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x4 – 2x2 + 3 trên đoạn [0; 2]. Tổng M + m bằng
A. 11 B. 14 C. 5 D. 13
Câu 12. (CÂU 31 THPT QG 2021 ĐỢT 1) Trên đoạn [0; 3], hàm số y = x3 + 3x đạt giá trị lớn nhất tại điểm
A. x = 0 B. x = 3 C. x = 1 D. x = 2
Câu 13. (CÂU 34 THPT QG 2021 ĐỢT 2) Trên đoạn [4; 1], hàm số y = x4 + 8x2 19 đạt giá trị lớn nhất tại điểm
A. x = 3 B. x = 2 C. x = 4 D. x = 1
Câu 14. (ĐH D 2011) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 x
3 x 3 x y 2 2
trên đoạn [0 ; 2]
A. 17
3 ; 3 B. 2 ; 0 C. 17
3 ; 2 D. 3 ; 17
3 Câu 15. (ĐH D 2013) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x2 3x 3
x 1
trên đoạn [0 ; 2]
A. 3 ; 1 B. 1 ; 3 C. 5
3; 3 D. 3 ; 5
3 Câu 16. (THPT QG 2015) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
x x 4
y trên đoạn [1 ; 3]
A. 5 ; 4 B. 4 ; 5 C. 2 ; 10
3 D. 10
3 ; 2 Câu 17. (ĐH B 2003) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = x + 4x2 là:
A. 2 2 ; –2 B. 2 2 ; 2 C. 2 2 ; 3 D. 2 2 ; –3
Câu 18. (ĐH D 2003) Tổng bình phương của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 x
1 y x
2
trên
đoạn [–1 ; 2] là:
A. 1 B. 12 C. 2 D. 3
Câu 19. (DBĐH 2004) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =(x1) 1x2 là : A. 4
3
3 ; 0 B.
4 3
3 ; 1 C.
4 3
3 ; –1 D.
4 3 3 ; 2 Câu 20. (ĐH D 2010) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x24x21 x23x10 là :
A. 2 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 21. (DBĐH 2003) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx64
1x2
3 là:A. 4 ; 4/9 B. 4 ; 5/9 C. 4 ; –1 D. 4 ; 1
Câu 22. (DBĐH 2003) Tổng căn bậc hai của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
36 41 x
x
y trên đoạn [–1 ; 1] là :
A. 4/3 B. 2 C. 8/3 D. 3
Câu 23. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
2 2
2 2
x x 1 x x 1
y 3 10
x x 1 x x 1
trên [–10 ; 10]
A. 9 ; 2 B. 15 ; 6 C. 10 ; –10 D. 10 ; 6
Câu 24. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin2x – 6cos2x + 3 là:
A. 7 B. 1 C. 5 D. –1
Câu 25. Cho hàm số y 3cosx4sinx8 với x [0 ; 2]. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Khi đó tổng M + m bằng bao nhiêu ?
A. 8 2 B. 7 3 C. 8 3 D. 16
Câu 26. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3sinx – 4sin3x trên đoạn
;2 2 là:
A. 7 B. 3 C. 1 D. –1
Câu 27. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx 2cosx trên đoạn
; 2
0 là:
A. 1
2
; 2 B. 1
4
; 2 C. 1 ; 0 D. 9 ; 4
Câu 28. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yx 2cosx trên đoạn
; 2
0 là:
A. 1
2
; 2 B. 1
4
; 2 C. 1 ; 0 D. 9 ; 4
Câu 29. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 9sin x sin x 122 y 9sin x sin x 1
trên đoạn 0 ;
6
là :
A. 1 ; 0 B. 1 ; 1/3 C. 3/2 ; 1 D. 3/2 ; 1/3
Câu 30. Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 x cos
1 x cos x cos y 2
2
là :
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
Câu 31. Hàm số y = x23x2 đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0 ; 3] là :
A. 2 ; 0 B. 8 ; 2 C. 9 ; 3 D. 4 ; 2
Câu 32. Hàm số y = x33x272x90 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [5 ; 5] là :
A. 400 B. 362 C. 306 D. 238
Câu 33. Hàm số y = x23x2 x đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [4 ; 4] là :
A. 2 B. 17 C. 34 D. 68
C. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ f(x) TRÊN KHOẢNG (a ; b) Câu 1. Cho bài toán : Tìm GTLN & GTNN của hàm số
x x 1 x f
y trên
;2 2
1 .
Một học sinh giải như sau :
Bước 1 : 2
x 1 1 '
y x 0.
Bước 2 :
x 1
loại 1 0 x
' y Bước 3 :
2 5 2
f 1
; f(1) = 2 ;
2 2 5
f .
Vậy
2 x 5 f max
2 2;
1
;
2 x 5 f min
2 2;
1
.
Hỏi bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Bài giải trên hoàn toàn đúng. B. Bài giải trên sai từ bước 1.
C. Bài giải trên sai từ bước 2. D. Bài giải trên sai từ bước 3.
Câu 2. Cho các hàm số:
3 2
20 10 3
2 2
x x
x
y x . Chọn biểu thức đúng.
A. M ax y 7
2
; 1 x
B. 2
y 5 M in
2
; 1 x
C. 2
y 5 M in
2; x 1
D. M in y 3
2; x 1
Câu 3. (CÂU 19 ĐMH 2017 LẦN 3) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 x x 4 3
y trên khoảng (0 ; ).
A.
3
;
0 y 3 9
min
B.
miny 7
;
0
C.
5
y 33 min0;
D.
3
;
0 y 2 9
min
Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
x x 2
y 2 với x > 0 bằng:
A. 4 B. 1 C. 3 D. 2
Câu 5. (DBĐH 2006) Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
x 1 7 x 4
2 x 11
y với x > 0 là :
A. 15
2 B. –15
2 C. 15
3 D. –15
3 Câu 6. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 x x
1 x y x2
2
lần lượt là M và m. Khi đó giá trị của hiệu M.m là?
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
Câu 7. Bất phương trình
1 x x
1 x x m 3 2
2
được nghiệm đúng với mọi x R khi m nhận giá trị : A. m 11
3 B. 1 m 11
3 C. –1 m 11
3 D. m 11
3
Câu 8. Cho 2 số thực x, y dương thỏa mãn x2 + y2 = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức:A 2xy y22 2xy 2x 1
là
A. 1 B. 2 C. – 2 D. –1
Câu 9. Cho 2 số thực x, y dương thỏa mãn x2 + y2 = 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức: S = x + y – xy là A. 3
2 B. 7
2 C. 13
2 13/2 D. –3
2
Câu 10. Cho x, y thỏa y 0 và x2 + x – y – 12 = 0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thứcPxyx2y17 là
A. –12 B. –9 C. –15 D. –5
D. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CÓ CHỨA THAM SỐ m Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số
1 x
m y x
2
trên đoạn [0 ; 1] bằng :
A. 2
m
1 2 B. –m2 C.
2 m
1 2 D. Đáp án khác
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 x
m y x
2
trên đoạn [–1 ; 0] bằng :
A. 2
1
m2 B. –m2 C.
2 m
1 2 D. Đáp án khác
Câu 3. Phương trình x 4x2 m có nghiệm khi m nhận giá trị là:
A. –2 m 3 B. 3m 2 C. m2haym2 2 D. 2m2 2 Câu 4. Trên đoạn [–1 ; 1], hàm số y = –x3 – 3x2 + m có giá trị nhỏ nhất bằng 0 thì m bằng :
A. m = 2 B. m = 6 C. m = 0 D. m = 4
Câu 5. Hàm số
1 x
m y x 2
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0 ; 1] bằng 1 khi :
A. m = 1 B. m 3 C. m = 2 D. m = 3
Câu 6. Cho hàm số
m x
1 y mx
. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [1 ; 2] bằng –2. Khi đó giá trị m là:
A. m = 0 B. m = 1 C. m = 2 D. m = 3
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 x
1 m x y 2
trên đoạn [1 ; 2] bằng 1
A. m = 0 B. m = 1 C. m = 2 D. m = 3
Câu 8. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 x
m m y x
2
trên đoạn [0 ; 1] bằng –2 là:
A. m = 1 m = 2. B. m = 2 m = –2. C. m = –1 m = –2. D. m = –1 m = 2.
Câu 9. Giá trị lớn nhất của m để hàm số
8 x
m y x
2
có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0 ; 3] bằng –2?
A. m = 4 B. m = 5 C. m = –4 D. m = 1
Câu 10. (CÂU 33 THPT QG 2017) Cho hàm số
1 x
m y x
(m là tham số thực) thỏa mãn miny 3
] 4
; 2
[ . Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. m < –1 B. 3 < m 4 C. m > 4 D. 1 m < 3
Câu 11. (THPT QG 2017) Cho hàm số
1 x
m y x
(m là tham số thực) thỏa mãn
3 y 16 max y min
] 2
; 1 [ ] 2
; 1
[ . Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. m 0 B. m > 4 C. 0 < m 2 D. 2 < m 4
Câu 12. Để hàm số y = x4 – 6mx2 + m2 có
9 y 4 M ax
] 1
; 2 [
x
thì giá trị của tham số thực m là:
A. 0 B. 2
3 C. 1 D. 4
3
Câu 13. (CÂU 36 ĐMH 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm sốy x3 3xm trên đoạn [0 ; 2] bằng 3. Số phần tử của S là
A. 1 B. 2 C. 0 D. 6
Câu 14. (CÂU 42 ĐMH 2020 LẦN 1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f
x x33xm trên đoạn [0; 3] bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S bằngA. 16 B. 16 C. 12 D. 2
Câu 15. (CÂU 48 ĐMH 2020 LẦN 2) Cho hàm số f(x) x m x 1
(m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho
f
x min f
x 2max0;1 0;1 . Số phần tử của S là
A. 6 B. 2 C. 1 D. 4
E. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ f(u(x)) TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.
Khi đó hàm số y = f(2 – x2) đạt giá trị lớn nhất trên
0; 2 bằngA. f(0) B. f(1) C. f
2D. f(2)
Câu 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.
Xét hàm số g(x) = f(2x3 + x – 1) + m. Tìm m để
g
x 10 max0;1 . A. m = 3B. m = 12 C. m = 13 D. m = 6
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.
Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(2sinx) trên khoảng (0 ; ) là A. 5
B. 4 C. 3 D. 2
Câu 4. Cho hàm số y = f(x) = ax4 + bx2 + c xác định và liên tục trên R và có bảng biến thiên sau:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x + 3) trên đoạn [0; 2] là
A. 64 B. 65 C. 66 D. 67
Câu 5. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình vẽ. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f 2x 1
trên đoạn
2
;1
0 . Tính giá trị M – m.
A. 3 B. 0 C. 1 D. 2
Câu 6. Cho hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ như hình bên. Hàm số y = f
x có giá trị nhỏ nhất trên R bằngA. 0 B. 2 C. 1
D. Không tồn tại
Câu 7. Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f x 2
trên [4; 4] là A. 0B. 4 C. 2 D. 6
Câu 8. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f
x trên đoạn [2; 4] bằngA. f(2) B. f(0) C. f(4) D. Không xác định được
Câu 9. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f
3cosx1
bằngA. 0 B. 1 C. 3 D. 2
Câu 10. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên.
Xét hàm số g(x) = f
2x3x1
13. Tìm max 0;1 g
x .A. 10 B. 0 C. 10 D. 14
F. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN HÀM ẨN y = f ’(x) Câu 1. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [2 ; 2], có đồ thị
hàm số y = f ’(x) như hình bên.
Biết rằng hàm số y = f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2 ; 2] tại x0. Tìm x0?
A. x0 = 0 B. x0 = 2 C. x0 = 1 D. x0 = 1
Câu 2. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn 0 ; 7 2
và có đồ thị y = f ’(x) như hình vẽ.
Hỏi hàm số y = f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0 ; 7 2
tại điểm x0 nào dưới đây?
A. x0 = 2. B. x0 = 1.
C. x0 = 0. D. x0 = 3.
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [2 ; 2], có đồ thị của hàm số y = f ’(x) như hình bên.
Tìm giá trị x0 để hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên [2 ; 2].
A. x0 = 2 B. x0 = 1
C. x0 = 2 D. x0 = 1
Câu 4. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R, có đồ thị của hàm số y = f ’(x) như hình vẽ bên. Số nào lớn nhất trong các số sau f(0), f(1), f(2), f(3)?
Tìm giá trị x0 để hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên [2 ; 2].
A. f(1) B. f(2)
C. f(3) D. f(0)
Câu 5. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm y = f ’(x) như hình vẽ. Biết rằng f(0) + f(3) = f(2) + f(5). Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0 ; 5] lần lượt là:
A.f(2) ; f(0) B. f(0) ; f(5) C. f(2) ; f(5) D. f(1) ; f(3)
Câu 6. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm y = f ’(x) như hình vẽ. Biết rằng f(0) + f(1) – 2f(2) = f(4) – f(3). Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0 ; 4] lần lượt là:
A. f(0) ; f(2) B. f(4) ; f(1) C. f(4) ; f(2) D. f(1) ; f(2)
Câu 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R. Biết rằng hàm số y = f ’(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Xét hàm số y = g(x) thỏa mãn g(x) =
x x 2 3x x
f 3 2 . Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Maxg x0;2
g 1
B. Maxg x0;2
g 2
C. Maxg x0;2
g 0 g 22
D. Maxg x0;2
g 0
Câu 8. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y = f ’(x) như hình vẽ. Xét hàm số
1 3 3 2 3g x f x x x x 2020
3 4 2
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. min g
x g 31
;
3
B. min g
x g11
;
3
C. min g
x g 11
;
3
D.
2 1 g 3 x g
g min3;1
Câu 9. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị y = f ’(x) như hình vẽ.
Đặt g(x) = 3.f(x) – x3 + 3x. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Max g x3; 3
3.f(0)
B. Max g x 3; 3
3.f
3
C.
Max g x3; 3 3.f(1)
D. Max g x 3; 3
3.f 3
Câu 10. Cho hàm số f(x) = x5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex (b, c, d, e R).
Hàm số y = f ’(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1; 3]. Tính M + m.
A. 3
250 B.
3 38 C. 3
196 D.
3 272
------
ĐÁP ÁN LÝ THUYẾT GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án D D C B D D C A A B
Câu 11 12
Đáp án C C
ĐÁP ÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ f(x) TRÊN ĐOẠN [a ; b]
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án C A A D C C C B B C
Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Đáp án D C B A A A A C A A
Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Đáp án A C C C B C B B D C
Câu 31 32 33
Đáp án A A C
ĐÁP ÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ f(x) TRÊN KHOẢNG (a ; b)
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án D B A C A A D A A A
ĐÁP ÁN GTLN, GTNN CÓ CHỨA THAM SỐ m
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án C B D D A D D D A C
Câu 11 12 13 14 15
Đáp án B B B A B
ĐÁP ÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ f(u(x)) TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án A C C C C C B C D D
ĐÁP ÁN GTLN, GTNN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM ẨN y = f ’(x)
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án C D D A C C A C B C
------
