Đoàn Ngọc Dũng -

(1)

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

I. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ A. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM BẬC BA

Câu 1. (ĐỀ MINH HỌA 2017) Biết rằng đường thẳng y = 2x + 2 cắt đồ thị hàm số y = x³ + x + 2 tại điểm duy nhất ; kí hiệu (x0 ; y0) là tọa độ của điểm đó. Tìm y0.

A. y0 = 4 B. y0 = 0 C. y0 = 2 D. y0 = 1

Câu 2. (ĐỀ MINH HỌA 2017) Cho hàm số y = x³ – 3x có đồ thị (C). Tìm số giao điểm của (C) và trục hoành.

A. 2 B. 3 C. 1 D. 0

Câu 3. (ĐỀ MINH HỌA 2018) Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình f(x) – 2 = 0 là

A. 0 B. 3 C. 1 D. 2

Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thực của phương trình 2f(x) + 3 = 0 là

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Câu 5. (THPT QG 2019) Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau :

Số nghiệm thực của phương trình 2f(x) – 3 = 0 là

A. 2 B. 1 C. 4 D. 3

Câu 6. (THPT QG 2020) Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình f(x) = 1 là

A. 3 B. 1 C. 0 D. 2

(2)

Câu 7. (THPT QG 2018) Cho hàm số f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a, b, c, d  R). Đồ thị của hàm số y = f(x) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3f(x) + 4 = 0 là A. 3

B. 0 C. 1 D. 2

Câu 8. Đồ thị sau đây là của hàm số y = x³ – 3x + 1.

Với giá trị của m thì phương trình x³ – 3x – m = 0 có 3 nghiệm phân biệt?

A. –2 < m < 2 B. m > 3 C. –1  m  3 D. m < –1

Câu 9. (ĐỀ MINH HỌA 2017) Cho hàm số y = f(x) xác định trên R \ {0}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt.

A. [1 ; 2] B. (1 ; 2) C. (1 ; 2] D. ( ; 2]

Câu 10. Định m sao cho đồ thị hàm số y = x³ – 3x + 1 – m cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

A.  1 m 3 B. m   1 m 3 C. m 1 D.  1 m 3

Câu 11. Định m sao cho đồ thị hàm số y = x³ – 3x + 1 – m cắt trục Ox tại 2 điểm.

A. 1 m 3   B. m   1 m 3 C. m 1 D. 1 m 3  

Câu 12. Định m sao cho đồ thị hàm số y = x³ – 3x + 1 – m cắt trục Ox tại 1 điểm.

A. 1 m 3   B. m   1 m 3 C. m   1 m 3 D. 1 m 3  

Câu 13. Cho hàm số có đồ thị (C) : y = x³ – (m + 1)x² + (m² + m – 3)x – m² + 3. Định m sao cho đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

A.  1 m 3 B. 3< m < 2 C. m   1 m 3 D.  1 m 3

Câu 14. (ĐH A 2010) Định m sao cho đồ thị hàm số y = x³ – 2x² + (1 – m)x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x₁² x²₂x²₃ 4.

A. ¹ m 1

 4  B. ¹ m 1

 4  C. 1

4 m 1 m 0

  

 

 D. 1

4 m 1 m 0

  

 



Câu 15. Cho hàm số y = x³ – 3x² – 9x + m (Cm). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp số cộng.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 16. Giá trị m để phương trình x³ – (m + 3)x + 2m = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng là :

A. không có m B. m = 0 C. m = 1 D. m = 2

Câu 17. Giá trị m để phương trình x³ + mx + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng là :

A. không có m B. m = 0 C. m = 1 D. m = 2

(3)

Câu 18. (THPT QG 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx – m + 1 cắt đồ thị của hàm số y = x³ – 3x² + x + 2 tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho AB = BC.

A. m  ( ; 0]  [4 ; ) B. m  R C. m^



^5/4;^^



D. m  (2 ; )

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f(x) = x³ – (3m + 1)x² + (5m + 4)x – 8 (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 20. Hình bên là đồ thị của hàm số:

3 x 1 3x

y 2 ³ ² . Tập nghiệm bất phương trình 2x³ – 3x² + 1 < 0 là:

A. _



 



  2

; 1 B. _



 

 ;1 2 1

C.



1;



D.



;0



Câu 21. (THPT QG 2019) Cho hàm số f(x), hàm số y = f ’(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình f(x) < x + m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x  (0; 2) khi và chỉ khi

A. m  f(2) – 2 B. m  f(0) C. m > f(2) – 2 D. m > f(0)

Câu 22. Hình bên là đồ thị của hàm số: y = x³ – 3x² + 2. Các giá trị của m để phương trình  x³ – 3x² + 2  = – m + 2 có 6 nghiệm phân biệt là

A. 0 < m < 4 B. m < 0

C. m = 0  m = 2 D. 0 < m < 2

Câu 23. (ĐẠI HỌC A 2006)

Hình bên là đồ thị của hàm số: y = 2x³ – 9x² + 12x – 4. Các giá trị của m để phương trình 2 x ³9x²12 x m có 6 nghiệm phân biệt là:

A. 4 < m < 5 B. m < 0

C. m = 0  m = 2 D. 0 < m < 1

Câu 24. Hình bên là đồ thị của hàm số y = 2x³ – 3x². Sử dụng đồ thị của hàm số đã cho tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 16 x ³12x²



x²1

 

mx²1



³

có nghiệm.

A. Với mọi m. B. –1  m  4.

C. –1  m  0. D. 1  m  4.

Câu 25. (THPT QG 2019) Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình f(x 3x)³ 4

  3 là

A. 3 B. 8

C. 7 D. 4

(4)

Câu 26. Biết rằng hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ^f



^x ^¹



^²^m có 6 nghiệm phân biệt?

A. 0 < m < 1. B. –1 < m < 0.

C. –1 < m < 1. D. không tồn tại m.

Câu 27. (THPT QG 2020) Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ^f



^x³^f

 

^x



^¹^⁰^là

A. 8 B. 5 C. 6 D. 4

Câu 28. Cho hàm số y = x³ – 3x + 1 có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình

 

^f

 

^x ³^³

 

^f

 

^x ^¹^⁰ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 6.

B. 7.

C. 5.

D. 8.

Câu 29. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2 có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình



^x³^³^x²^²

 

³^³^x³^³^x²^²



^²^⁰ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 6.

B. 5.

C. 7.

D. 9.

Câu 30. Cho hàm số y = 4x³ – 6x² + 1 có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình ⁴



⁴^x³^⁶^x²^¹

 

³^⁶⁴^x³^⁶^x²^¹



²^¹^⁰ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 3.

B. 6.

C. 7.

D. 9.

Câu 31. khoảng (a ; b) chứa tất cả tham số m thỏa mãn điều kiện phương trình  x ³3 x 1 m2 có 6 nghiệm phân biệt. Tính giá trị của biểu thức S = a + b ?

A. S = 3. B. S = 4. C. S = 6. D. S = 8.

Câu 32. Khi m thay đổi trên R thì phương trình 2017 x ³x²2018 x 4 m²3 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

A. 6 B. 3 C. 2 D. 0

Câu 33. Khi m thay đổi trên R thì phương trình x ³x² x 4 m²4 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

Câu 34. Tính tổng tất cả các tham số m thỏa điều kiện phương trình x ³2x² x 2 m²5m6 có đúng 5 nghiệm thực phân biệt?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

(5)

B. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM TRÙNG PHƯƠNG

Câu 35. (ĐỀ MINH HỌA 2017) Đồ thị của hàm số y = x⁴ – 2x² + 2 và đồ thị của hàm số y = x² + 4 có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A. 0 B. 4 C. 1 D. 2

Câu 36. (THPT QG 2017) Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = ax⁴ + bx² + c với a, b, c là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Phương trình y’ = 0 có ba nghiệm thực phân biệt.

B. Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm thực phân biệt.

C. Phương trình y’ = 0 vô nghiệm trên tập số thực.

D. Phương trình y’ = 0 có đúng một nghiệm thực.

Câu 37. Cho hàm số y = x⁴ + 2x² có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x⁴ + 2x² = m có bốn nghiệm thực phân biệt.

A. m > 0 B. 0  m  1

C. 0 < m < 1 D. m < 1

Câu 38. Gọi

 

C là đồ thị của hàm số _m yx⁴2



m1



x²m²3m. Tìm m để

 

C và trục hoành có 4 _m điểm chung phân biệt.

A. 1 m 0

5 m 3

  



 

B. m 0 m 3

  

 C. m 3 D. m 1

 5

Câu 39. Gọi

 



m1



 

C và trục hoành có 3 _m điểm chung.

A. 1 m 0

5 m 3

  



 

B. m 0 m 3

  

 C. m 3 D. m 1

 5

Câu 40. Gọi

 



m1



 

C và trục hoành có 2 _m điểm chung.

A. 1 m 0

5 m 3

  



 

B. m 0 m 3

  

 C. m 3 D. m 1

 5

Câu 41. Gọi

 



m1



 

C và trục hoành không _m có điểm chung.

A. 1 m 0

5 m 3

  



 

B. m 0 m 3

  

 C. m 3 D. m 1

 5

Câu 42. Cho hàm số : y = x⁴ + (m – 1)x² – 3 có đồ thị (C). Định m để đường thẳng y = –4 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt.

A. m 1 B. m 1 C. 1 m 3   D. 1 m 3  

Câu 43. Cho hàm số y = x⁴ + 2(m + 2)x² – 2m – 3 (Cm). Tính tổng các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

A. 3 B.

9

13 C.

9

14 D.

9 40

(6)

Câu 44. Cho hàm số y = x⁴ – (m + 1)x² + m (Cm). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Câu 45. Cho hàm số ^y^^x⁴^



^m²^¹⁰



^x²^⁹ có đồ thị

 

C . Tìm m để đồ thị _m

 

C của hàm số cắt trục _m hoành tại bốn điểm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa x₁  x₂  x₃  x₄ 8.

A. 0. B. 2. C. 1. D. 13

Câu 46. Cho hàm số yx⁴2



m1



x²m²m2

 

1 . Giả sử đồ thị

 

1 cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3, x4. Đặt T x x _{1 2}x x_{1 3}x x_{1 4}x x_{2 3}x x_{2 4}x x_{3 4}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. T = 0. B. T  0. C. T  0. D. T < 0.

Câu 47. Hình bên là đồ thị của một hàm trùng phương. Các giá trị của m để phương trình ^f

 

^x ^^m có 4 nghiệm đôi một khác nhau là :

A. –3 < m < 1 B. m < 0

C. m = 0  m = 3 D. 1 < m < 3

Câu 48. (ĐẠI HỌC B 2009)Hình bên là đồ thị của một hàm trùng phương.

Các giá trị của m để phương trình f

 

x 2m có 6 nghiệm phân biệt là : A. –2 < m < 16

B. m < 0

C. m = 0  m = –2 D. 0 < m < 1.

Câu 49. Cho hàm số y = x⁴ – 4x² + 3 có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình



^x⁴^⁴^x²^³

 

⁴^⁴^x⁴^⁴^x²^³



²^³^⁰ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 8. B. 4.

C. 0. D. 9.

C. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM NHẤT BIẾN Câu 50. (TN THPT 2011) Cho hàm số

1 x 2

1 x y 2



  . Xác định tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) của hàm số với đường thẳng d : y = x + 2.

A. ^M^^^{3 1}_{2 2}^; ^^{; M' 1; 3}

 

  B. ^M^^³₂^;^¹₂^^{; M' 1; 3}

 

 

C. ^M^^^{3 1}_{2 2}^; ^^{; M' 1; 3}



^



  D. ^M^^³₂^;^¹₂^^{; M' 1; 3}



^



 

Câu 51. Cho hàm số : y = 1 x

2 x





 có đồ thị (C). Định m để số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình y = x + m có hai điểm chung phân biệt.

A. m > 2. B. m > 2  m < 2. C. m < 2. D. –2 < m < 2.

(7)

Câu 52. Cho hàm số

1 x

2 y x



 

 

C . Tìm m để đường thẳng d:yxm cắt đồ thị

 

C tại hai điểm A, B phân biệt sao cho AB đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS : 2 2

A. m = –1. B. m = 2. C. m = –2. D. m = 1.

Câu 53. Cho hàm số y = 1 x

2 x



 (C). Định m để đường thẳng (d) : 2x + y + m = 0 luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.

A. m = –1. B. m = 2. C. m = –2. D. m = 1.

Câu 54. Cho hàm số : y = 1 x 2

2 x



 (C). Định m sao cho đường thẳng đã cho cắt đồ thị (C) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị (C).

A. m < 0. B. m > 0. C. m 0

m 3

 

  . D. m 0

m 3

 

   . Câu 55. (ĐH D 2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) :

1 x

1 x y 2



  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

A. k = –1. B. k = 3. C. k = 1. D. k = –3.

Câu 56. Cho hàm số

2 x

1 x y 2



 

 

C . Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng ym



x2



2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn AB có độ dài bằng 40 .

A. m = –1. B. m = 2. C. m = –2. D. m = 1.

2 x

x y m



 

 

H , với m là tham số thực. Tìm m để đường thẳng _m d:2x2y10 cắt

 

H tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích là _m 8 S3. A. m 1

 2. B. m = 1. C. m = –1. D. m 1

 2. Câu 58. (ĐH B 2010) Định m để đường thẳng y = –2x + m cắt đồ thị (C) :

1 x

1 x y 2



  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ).

A. m =  1. B. m = 2. C. m = –2. D. m =  2.

Câu 59. Cho hàm số

1 x

2 x y 2



 

 

1 . Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

 

1 . Tìm m để đường thẳng m

x 2

y  cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho trọng tâm IAB thuộc đường thẳng 0

2 y x 2 :

d    .

A. m =  1. B. m = 5. C. m = –5. D. m =  5.

Câu 60. (THPT QG 2018) Cho hàm số

2 x

1 y x



  có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C).

Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng

A. 6 B. 2 3 C. 2 D. 2 2

Câu 61. (THPT QG 2019) Cho hai hàm số

1 x

x x

1 x 1 x

2 x 2 x

3 y x

 

 



 



  và y x2 xm (m là tham

số thực) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2). Tập hợp tất cả các giá trị của m để (C1) và (C2) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là

A. (; 2] B. [2; ) C. (; 2) D. (2; )

(8)

II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Câu 62. (TN 2005-2006) Cho hàm số y = x³  6x² + 9x . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2 ; 2) thuộc

đồ thị (C).

A. y = 1 B. y = x + 1 C. y = 4x + 1 D. y = 3x + 8

Câu 63. (CĐ 2010) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ + 3x² – 1 tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x = 1.

A. y = 3x – 2 B. y = 3x + 2 C. y = 3x – 8 D. y = 3x + 8

Câu 64. (TN 2007-2008) Cho hàm số

1 x

2 x y 3



  , gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng –2.

A. y = x – 2 B. y = x + 2 C. y = 5x – 2 D. y = 5x + 2

Câu 65. Cho hàm số

1 x

1 x y 2



  , gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3.

A. y 1x 13

3 3

   B.

3 x 13 3

y1  C. y 1x 13

3 2

  D. y 1x 13

3 2

   Câu 66. (TN 2008-2009) Cho hàm số

2 x

1 x y 2



  , gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5.

A. y = 5x + 2 ; y = –5x – 22 B. y = –5x – 2 ; y = –5x + 22 C. y = –5x + 2 ; y = –5x + 22 D. y = –5x + 2 ; y = 5x – 22 Câu 67. (ĐH B 2004) Cho hàm số y =

3

1x³ – 2x² + 3x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C) sao cho  là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

A. y x 8

  3 B. y x 8

  3 C. y x 8

 3 D. y x 8

  3 Câu 68. Cho hàm số x⁴ 2x²

4

y 1  . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0, biết f ’’(x0) = –1.

A. y 3x 5

  4 , y 3x 5

 4 B. y 3x 5

  4 , y 3x 5

 4 C. y 3x 5

  4 , y 3x 5

 4 D. y 3x 5

  4 , y 3x 5

 4

Câu 69. Cho hàm số y = x³ – 3x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0, biết f ’’(x0) = 0.

A. y = 3x + 1 B. y = 3x + 1 C. y = 3x D. y = x + 1

Câu 70. Tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x⁴ – 2x² + 1 tại điểm M(1 ; 0) là :

A. y = 1 B. y = x + 1 C. y = 4x + 1 D. y = 0

Câu 71. (ĐỀ MH 2015) Cho hàm số y = 1 x

1 x 2



 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm cóù hoành độ bằng x = 1.

A. y 3x 1

4 4

  B. y 3x 1

4 4

   C. y 3x 1

4 4

  D. y 3x 1

4 4

   Câu 72. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x³ + 3x² – 9x + 5 có hệ số góc nhỏ nhất.

A. y = 12x + 4 B. y = –12x + 4 C. y = –12x – 4 D. y = 12x – 4

(9)

Câu 73. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = –x³ + 6x² – 9x + 9 có hệ số góc lớn nhất.

A. y = 3x – 1 B. y = –3x + 1 C. y = –3x – 1 D. y = 3x + 1

Câu 74. (DBĐH 2002) Cho hàm số

3 2 4 2 1 3

1 ₃ ₂





 x x x

y . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng các tiếp tuyến này song song với đường thẳng y = 4x + 2.

A. y 4x 26

  3 , y 4x 73

  6 B. y 4x 26

  3 , y 4x 73

  6 C. y 4x 26

  3 , y 4x 73

  6 D. y 4x 26

   3 , y 4x 73

  6 Câu 75. Tiếp tuyến của đồ thị (C) :

1 x

3 y x



  song song với (d) : y = 2x + 3 là :

A. y = 2x + 3 , y = 2x – 5 B. y = 2x

C. y = 2x + 5 D. y = 2x – 5

Câu 76. (ĐH D 2010) Cho hàm số : y = x⁴ – x² + 6 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 1

6

y1  .

A. y  6x 10 B. y 6x 10  C. y  6x 10 D. y 6x 10  Câu 77. Tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x⁴ – 2x² + 1 đi qua điểm M(1 ; 0) là :

A. y = 0 ,

27 x 32 27

y32  B. y = 0 ,

27 x 32 27

y32  C. y = x ,

81 x 98 27

y32  D. y = 0 ,

81 x 98 27 y32 

Câu 78. Tiếp tuyến với đồ thị (C) :

1 x

3 y x



  đi qua điểm A(0 ; 1) là :

A. y = 8x – 5 B. y = 8x – 1 C. y = 8x + 1 D. y = 8x – 1

Câu 79. (ĐH B 2008)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x³ – 6x² + 1 các đường thẳng đi qua điểm M(–1 ; –9).

A. y 24x 15  , y 15x 21

4 4

  B. y 24x 15  , y 15x 21

4 4

 

C. y 24x 15  , y 15x 21

4 4

  D. y 24x 15  , y 15x 21

4 4

 

Câu 80. (DBĐH 2008) Cho hàm số

1 x

1 x y 3



  có đồ thị (C). Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(–2 ; 5).

A. S 81

 4 B. S 81

 2 C. S 81

 3 D. S 81

 5 Câu 81. (ĐH D 2007) Cho hàm số :

1 x

x y 2

  (C). Tìm điểm M  (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và OAB có diện tích bằng

4 1. A. ^M ¹; 2 ; M' 1;1

 

2

 

 

 

  B. ^M ¹; 2 ; M' 1;1

 

2

 

 

 

C. ^M ¹; 2 ; M' 1; 1

 

2

 

  

 

  D. ^M ¹; 2 ; M' 1; 1

 

2

 

 

 

 

(10)

 

1 x

2 x x 2 f

y 

 

 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

 

^C biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến cách điểm A

 

0;1 một khoảng bằng 3.

A. y 4x 2  , y 1x 1

4 4

  B. y 4x 2  , y 1x 1

4 4

  C. y 4x 2  , y 1x 1

4 4

  D. y 4x 2  , y 1x 1

4 4

  Câu 83. (DBĐH 2003) Cho hàm số :

1 x

1 x y 2



  (C). Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M  (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM.

A. M 0 ;1 ; M' 2 ; 3

   

B. M 0 ; 1 ; M' 2 ; 3





  

C. M 0 ;1 ; M' 2 ; 3

  





D. M 0 ; 1 ; M' 2 ; 3





 





Câu 84. (THPT QG 2018) Cho hàm số ⁴ x² 2 x 7 4

y1  có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M(x1 ; y1), N(x2 ; y2) (M, N khác A) thỏa mãn y1 – y2

= 6(x1 – x2)?

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3

Câu 85. (ĐỀ MINH HỌA 2018) Cho hàm số

1 x

2 y x





  có đồ thị (C) và điểm A(a ; 1). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng

A. 1 B.

2

3 C.

2

5 D.

2 1

Câu 86. Giá trị của m để (C) : y = x³ – 3x² + 2 tiếp xúc với (dm) : y = mx + 3 là :

A. 4

m 15 3

m   B.

4 m 15 3

m   C.

4 m 15 3

m   D.

4 m 15 3

m  

Câu 87. (DBĐH 2008) Cho hàm số : y = x³ + 3mx² + (m + 1)x + 1. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = –1 đi qua điểm A(1 ; 2).

A. m 5

8 B. m 5

 8 C. m 1

8 D. m 1

 8 Câu 88. Cho hàm số

2 x

3 x y 2



 

 

1 . Tìm m để đường thẳng

 

 :y2xm cắt

 

C tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại đó song song với nhau.

A. m = –1. B. m = 2. C. m = –2. D. m = 1.

Câu 89. (ĐH D 2005) Cho (Cm) : y =

3 x 1 2 x m 3

1 ₃ ₂ . Gọi điểm M  (Cm) có hoành độ bằng –1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.

A. m = –4 B. m = 1 C. m = 4 D. m = –1

III. TƯƠNG GIAO HÀM HỢP, HÀM ẨN

Câu 90. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 2f(x² – 1) – 5 = 0 là

A. 3 B. 2

C. 6 D. 4

(11)

Câu 91. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Khi đó, phương trình f(x) + 1 = m có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi.

A. 1 < m < 2 B. 1  m  2 C. 0  m  1 D. 0 < m < 1

Câu 92. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như sau: Số nghiệm thực của phương trình f²(x) – 1 = 0 là

A. 7 B. 4

C. 3 D. 8

Câu 93. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f(f(x)) = 0 bằng

A. 7 B. 3 C. 5 D. 9

Câu 94. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình hình bên. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình f(sinx) = 2sinx + m có nghiệm thuộc khoảng (0 ; ). Tổng các phần tử của S bằng

A. 10 B. 8

C. 6 D. 5

Câu 95. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình



³ ³ ⁹^x ³⁰^x ²¹



^m ²⁰¹⁹

f.

2   ²     có nghiệm

A. 15 B. 14 C. 10 D. 13

Câu 96. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên.

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình ^f



^x^^m



^^m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt là

A. 1 B. 3

C. 2 D. 4

Câu 97. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình bên. Phương trình

 



f x 1



0

f   có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 6 B. 5

C. 7 D. 4

(12)

Câu 98. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình ^f



³^⁴ ⁶^x^⁹^x²



^¹^^m² ^⁰

có nghiệm là A. 6

B. 4 C. 5 D. 7

Câu 99. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(1 – 2cosx) + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng _



 



 

;2 2 là

A. [4; 0] B. [4; 0)

C. [0; 4) D. (0; 4)

Câu 100. Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ^f



⁴



^sin⁴^x^^cos⁴^x

 

^^m^có

nghiệm?

A. 2 B. 4 C. 3 D. 5

------

ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án C B B A C A A A B A

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án B C B D B B A D B A

Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Đáp án B D A C B C C B C C

Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Đáp án D D B D D A C A B C

Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Đáp án D A C D A D C D A A

Câu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Đáp án B B D D D D D D D B

Câu 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Đáp án B D A C B C B B B D

Câu 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

Đáp án C B D C D C A B C C

Câu 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

Đáp án A A C A B C A A C B

Câu 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Đáp án A B D C D B C C C D

(13)

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

I. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Để biện luận theo m số nghiệm của phương trình h(x , m) = 0 bằng cách dùng đồ thị (C) : y = f(x) ta thực hiện như sau :

 Biến đổi phương trình đã cho h(x , m) = 0 thành phương trình có dạng f(x) = g(m).

 Xét hai đồ thị :







) d ( ) m ( g y

) C ( ) x ( f y

 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị (C) và (d).

 Vẽ đồ thị (C) : y = f(x).

 Vẽ đồ thị (d) : y = g(m) là đường thẳng cùng phương với trục Ox.

 Dựa vào số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d), biện luận theo m số nghiệm của PT đã cho.

 ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1) Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị (C’) của hàm số y f(x). Ta có :









 

 f(x) nếuf(x) 0 0 f(x) nếu ) f(x)

x ( f y

Do đó, từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) như sau :

_ Phần của đồ thị (C) ở phía trên Ox thì giữ nguyên (C’)  (C)

_ Phần của đồ thị (C) ở phía dưới trục Ox thì bỏ đi và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox.

2) Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị (C’) của hàm số ^y^^f

 

^x ^.

Hàm số ^y^^f

 

^x là hàm chẵn nên đồ thị (C’) nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Do đó, đồ thị (C’) được suy ra từ đồ thị (C) như sau : _ Phần của đồ thị (C) bên phải trục Oy giữ nguyên.

_ Phần của đồ thị (C) bên trái trục Oy thì bỏ đi và lấy phần đối xứng của phần bên phải của (C) qua trục Oy.

II. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

1) Cho hai đồ thị : (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x). Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2).

Số giao điểm của (C1) và (C2) chính là số nghiệm của phương trình f(x) = g(x). (1)

 Phương trình (1) vô nghiệm  (C1)  (C2) =   (C1) và (C2) không có điểm chung.

 Phương trình (1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung.

2) Điều kiện tiếp xúc : (C1) tiếp xúc (C2)  Hệ phương trình sau có nghiệm :







 ) x ( ' g ) x ( ' f

) x ( g ) x ( f

A. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM BẬC BA

1. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt  (*) có 3 nghiệm ^y'

CĐ CT CĐ CT

f(x) có 2 cực trị 0

y .y 0 y .y 0

  

   

2. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm  (*) có 2 nghiệm ^y'

CĐ CT CĐ CT

f(x) có 2 cực trị 0

y .y 0 y .y 0

  

   

3. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 1 điểm  (*) có 1 nghiệm

y' y'

CĐ CT CĐ CT

f(x) không có cực trị. 0

f(x) có 2 cực trị. 0

y .y 0 y .y 0

  

 

     

 Chú ý : Hàm số y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a  0) có đồ thị (C).

 Đồ thị (C) cắt trục hoành tại đúng hai điểm khi và chỉ khi đồ thị hàm số có hai cực trị và một trong hai điểm cực trị đó nằm trên trục hoành.

 Đồ thị (C) cắt trục hoành tại đúng một điểm khi và chỉ khi hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu nhau.

(14)

 Đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu nhau.

 Đồ thị (C) cắt trục hoành tại đúng hai điểm (đồ thị (C) tiếp xúc với một đường thẳng).

4. ĐỊNH m ĐỂ HÀM BẬC BA CẮT TRỤC HOÀNH LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN (Cm) cắt trục Ox khi y = 0  ax³ + bx² + cx + d = 0 (1)

Phương trình (1) phải có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng 

















a x b x x

x 2 x x

3 2 1

2 3 1

Giải hệ suy ra x2. Thay x2 vào (1), suy ra m. Thử lại bằng cách thay m tìm được vào phương trình (1).

Nếu (1) có 3 nghiệm thì nhận m. (Còn nếu (1) có 1 nghiệm thì không nhận m).

Điều kiện đủ: Với

a 3

x₂  b thế vào phương trình (1) để tìm ra tham số và thử lại nghiệm từ đó kết luận.

 Chú ý :

_ Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng  a + c = 2b

_ Nếu đa thức y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a  0) có các nghiệm là x1, x2, x3 thì:

y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) (x – x3)

_ Để làm nhanh trắc nghiệm, ta có thể sử dụng cách tính nhanh theo hai hướng sau:

Điều kiện để đồ thị (C) : y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng hay cách đều nhau.

Hướng 1. m

a 0 3 y b

0 ac 3 b

; 0 a 0

y

CT

;

CĐ ²

U

 











 









 







Với

a 3

x_U  b là nghiệm của phương trình y” = 0

Hướng 2. 0 m

a 3 y b 0

y_U  



 





 thay vào phương trình ban đầu và dùng máy tính kiểm tra điều kiện lập thành một cấp số cộng.

 Chú ý :

_ Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân  ac = b²

_ Để làm nhanh trắc nghiệm ta có thể sử dụng cách tính nhanh theo hai hướng sau:

Điều kiện để đồ thị hàm số (C) : y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân.

Hướng 1. m

a 0 y d

0 ac 3 b

; 0 a a 0

y d

CT

; CĐ

3 2

3 















 







 















 



Với

a 3

x_U  b là nghiệm của phương trình y” = 0.

Hướng 2. 0 m

a

y ³ d 







  thay vào phương trình ban đầu và dùng máy tính kiểm tra điều kiện lập thành một cấp số cộng.

 Chú ý : Xét tam thức bậc hai : f

 

x ax²bxc,



a0



, b²4ac

 Gọi S, P là tổng và tích của hai nghiệm x1, x2. Hệ thức Vi-ét : S x x₁ ₂ b; P x x_{1 2} c

a a

     

(15)

 Điều kiện f

 

x 0 có hai nghiệm trái dấu x₁0x₂P0

 

x 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu







 

0 P

0

 

x 0 có hai nghiệm phân biệt dương















0 P

0 S

0 x

x

0 ₁ ₂

 

x 0 có hai nghiệm phân biệt âm



















0 P

0 S

0 0

x x₁ ₂

Khi so sánh hai nghiệm với số 0, ta thường đặt tx để chuyển về so sánh với số 0.

Hoặc : Biến đổi và dựa vào định lí Vi-ét.

 x₁x₂ 



x₁



x₂



0x₁x₂



x₁x₂



²0



  

_^

 



















 





















 















 











 





 x x x x 0

0 2 x x 0 x

x

0 2 x x 0 x

0 x

x x x

x ₂

2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 1

2



  

_^

 



















 





















 















 











 





 x x x x 0

0 2 x x 0 x

x

0 2 x x 0 x

0 x

x x x

x ₂

2 1 2 1

2 1 2

1 2 1 2

1 2

1

B. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM TRÙNG PHƯƠNG Hàm số y = f(x) = ax⁴ + bx² + c (a  0) có đồ thị (C).

 Phương trình trùng phương : ax⁴ + bx² + c = 0 (a  0) (1)

 Phương trình trung gian : at² + bt² + c = 0 (a  0) (2)

 

C và Ox có bốn điểm chung  phương trình _m

 

1 có bốn nghiệm phân biệt  phương trình

 

2 có hai nghiệm dương phân biệt.

1) Khi đó phương trình có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4. Ta có : a) 0 < t1 < t2.

b) x₁ t₂ x₂ t₁x₃ t₁ x₄  t₂ c) ^A



 ^t2^;⁰



, ^B



 ^t1^;⁰



, ^C



^t1^;⁰



, ^D



^t2^;⁰



2) Do tính đối xứng, ta có : x4 = –x1 và x3 = –x2. Do đó : a) x₁x₂x₃x₄ 0

b) ^x¹²^^x²²^^x²³^^x²⁴ ^^x¹²^^x²²^^x²²^^x¹² ^^{2 x}



¹² ^^x²²

 

^^{2 t}¹ ^^t²



c) ^x¹ ^ ^x² ^ ^x³ ^ ^x⁴ ^ ^t¹ ^ ^t² ^ ^t³ ^ ^t⁴ ^²



^t¹ ^ ^t²



2. ĐỊNH m ĐỂ HÀM TRÙNG PHƯƠNG CẮT TRỤC HOÀNH LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN (Cm) cắt trục Ox khi y = 0  ax⁴ + bx² + c = 0 (1)

Đặt x² = t ≥ 0. Phương trình (1)  at² + bt² + c = 0 (2)

Phương trình (1) có 4 nghiệm –x2, –x1, x1, x2 lập thành cấp số cộng  x2 – x1 = x1 – (–x1)  x2 = 3x1

 x22 = 9x12  t2 = 9t1  Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa điều kiện t2 = 9t1.

Điều kiện 









 0 S

0 P

0

. Giải hệ phương trình :



















a t c . t

t 9 t

a t b t

2 1

1 2

2 1

.

So với điều kiện nhận hay loại m.

Từ phương pháp giải này ta có thể xây dựng công thức tính nhanh như sau:

(16)





































 







































 











0 ac 4 b

0 c

; 0 b

; 0 a

0 ac 4 b

0 c

; 0 b

; 0 a

0 ac

0 ab

0 ac 4 b

a 0 c

a 0 b

0 ac 4 b

0 P

0 S

0

2 2 2

2

9 ac b 100

a 10

b t 9

a 10 t b

t 9

t a

t b

t ^t^t _a^c ₂

2 1 2

1 2

1  ¹² 

















 











 ^

Ta có bảng về điều kiện để phương trình trùng phương ax⁴ + bx² + c = 0 (a  0) cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng là:























9 ac b 100

0 ac 4 b

0 c

; 0 b

; 0 a

2 2























9 ac b 100

0 ac 4 b

0 c

; 0 b

; 0 a

2 2

C. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM NHẤT BIẾN Cho hàm số : ax b

y cx d

 

 có đồ thị (C) và đường thẳng d : y = kx + m

Lập phương trình hoành độ giao điểm ủa (C) và d : ^ax ^b kx m x ^d

cx d c

      

  

 ax + b = (kx + m)(cx + d)  a’x² + b’x + c’ = 0 (1)

d cắt (C) tại hai điểm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác ^d

c IV. MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ KHÁC

1) TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG Cho họ đường cong (Cm) : y = f(x ; m), m là tham số.

Để tìm điểm cố định mà họ đường cong đi qua, ta thực hiện như sau :

 Gọi M(x0 ; y0) là điểm cố định mà họ đường cong (Cm) đi qua.

 M(x0 ; y0)  (Cm)  y0 = f(x0 ; m), m (1)

 Biến đổi phương trình (1) về dạng : A(x0 ; y0)m + B(x0 ; y0) = 0 (2)

 Họ đường cong (Cm) đi qua M, m khi và chỉ khi (x0 ; y0) nghiệm đúng (2) với mọi m







 

0 ) y

; x ( B

0 ) y

; x ( A

0 0

 Giải hệ phương trình trên ta tìm được M(x0 ; y0).

 Ghi chú : Để tìm điểm cố định mà họ đường cong không đi qua, ta thực hiện như sau :

 Gọi M(x0 ; y0) là điểm cố định mà họ đường cong (Cm) không đi qua.

 M(x0 ; y0)  (Cm)  y0 = f(x0 ; m) vô nghiệm m (1)

 Biến đổi phương trình (1) về dạng : A(x0 ; y0)m + B(x0 ; y0) = 0 (2)

 Phương trình (2) vô nghiệm







 

0 ) y

; x ( B

0 ) y

; x ( A

0 0

 Giải hệ phương trình trên ta tìm được M(x0 ; y0).

THÍ DỤ 1 : Cho hàm số y = x³ + mx² – m – 5 (Cm). Tìm những điểm cố định mà đồ thị (Cm) luôn luôn đi qua, dù m nhận bất kỳ giá trị nào.

 Hướng dẫn :

(17)

Gọi điểm M(x0 ; y0) là điểm cố định mà đồ thị (Cm) luôn luôn đi qua, dù m nhận bất kỳ giá trị nào.

Khi đó phương trình : y₀ x³₀mx²₀ m 5 (1) nghiệm đúng với mọi m.

2 3 2 3

0 0 0 0 0 0

mx m y x 5 m(x 1) y x 5

          (1) nghiệm đúng m.

Phương trình (1) nghiệm đúng m

2 2

0 0 0 0 0

3 3 3

0 0

0 0 0 0

x 1

x 1 0 x 1 x 1 x 1

y 4hay y 6

y x 5

y x 5 0 y x 5

 

          

  

                Vậy họ đường cong (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định : M1(1 ; –4) ; M2(–1 ; 6) với mọi m.

THÍ DỤ 2 : Cho hàm số y = x³ + mx² – 9x – 9m (Cm). Trong mặt phẳng tọa độ, tìm những điểm cố định mà đồ thị (Cm) không bao giờ đi qua, dù m nhận bất kỳ giá trị nào.

Trong mặt phẳng tọa độ, gọi điểm M(x0 ; y0) là những điểm cố định mà đồ thị (Cm) không bao giờ đi qua, dù m nhận bất kỳ giá trị nào. Khi đó phương trình : y₀x³₀mx²₀9x₀9m vô nghiệm.

2 3 2 3

0 0 0 0 0 0 0 0

mx 9m y x 9x m(x 9) y x 9x

          (1)

Phương trình (1) vô nghiệm

2 2

0 0 0 0 0

3 3 3

0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

x 3

x 9 0 x 9 x 3 x 3

y 0 hay y 0 y x 9x

y x 9x 0 y x 9x

 

          

  

              Trong mặt phẳng tọa độ, những điểm nằm trên đường thẳng x = 3, song song với trục Oy trừ điểm (3 ; 0) và những điểm nằm trên đường thẳng x = –3, song song với trục Oy trừ điểm (–3 ; 0) là những điểm cố định mà đồ thị (Cm) không bao giờ đi qua, dù m nhận bất kỳ giá trị nào.

2) CHỨNG MINH ĐIỂM I(x0 ; y0) LÀ TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ : (C) y = f(x)

Để chứng minh điểm I(x0 ; y0) là tâm đối xứng của đồ thị (C) : y = f(x), ta thực hiện như sau :

 Đổi hệ trục Oxy  IXY bằng phép tịnh tiến theo vectơ OI(x₀;y₀)

 Sử dụng công thức đổi hệ trục tọa độ :













0 0

y Y y

x X x

 Viết phương trình của đường cong (C) trong hệ trục tọa độ mới IXY là Y = F(X).

 Chứng tỏ phương trình của đường cong (C) trong hệ trục tọa độ IXY là hàm số lẻ.

Kết luận điểm I(x0 ; y0) là tâm đối xứng của đồ thị (C) : y = f(x).

THÍ DỤ : Cho hàm số :

1 x

1 y x



  , có đồ thị (C).

1) Chứng minh rằng (C) có tâm đối xứng. Tìm tọa độ tâm đối xứng.

2) Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có tọa độ là những số nguyên.

1) Chứng minh rằng (C) có tâm đối xứng. Tìm tọa độ tâm đối xứng.

x 1

lim y_

   và

x 1

lim y_

    x = 1 là đường tiệm cận đứng.

1 y lim

x 



 và lim y 1

x 



  y = 1 là đường tiệm cận ngang.

 giao điểm hai đường tiệm cận là I (1 ;1) Công thức đổi trục :











 1 Y y

1 X x

Thay x, y vào hàm số đã cho, ta có:

X 2 X 1 1 X

1 1 1 X

Y  





 



X Y 2 X 1

2

Y X   



Mặt khác, ta có : D = R\0 là tập đối xứng vàf ( X) ² ² f (X)

X X