Đoàn Ngọc Dũng -

ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

A. DẠNG 1 : TÌM NGUYÊN HÀM

Câu 1. (CÂU 11 ĐMH 2020 – LẦN 2) Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A. F ’(x) = f(x), x  K B. f ’(x) = F(x), x  K

C. F ’(x) = f(x), x  K D. f ’(x) = F(x), x  K

Câu 2. (CÂU 14 THPT QG 2020 – LẦN 1)



^{x2dx bằng}

A. 2x + C B. x C

3

1 ₃ C. x³ + C D. 3x³ + C

Câu 3. (CÂU 14 THPT QG 2020 – LẦN 2)



^{6x5dx bằng}

A. 6x⁶ + C B. x⁶ + C C. x C

6

1 ₆  D. 30x⁴ + C

Câu 4. (CÂU 9 ĐMH 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² + 1 là

A. x³ + C B. x C

3

x³   C. 6x + C D. x³ + x + C

Câu 5. (CÂU 15 THPT QG 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 5 là

A. x² + 5x + C B. 2x² + 5x + C C. 2x² + C D. x² + C

Câu 6. (CÂU 7 THPT QG 2018) Nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + x là

A. x⁴ + x² + C B. 3x² + 1 + C C. x³ + x + C D. x C

2 x 1 4

1 _{4 2}



 Câu 7. (CÂU 4 THPT QG 2018) Nguyên hàm của hàm số f(x) = x⁴ + x là

A. x⁴ + x + C B. 4x³ + 1 + C C. x⁵ + x² + C D. x C

2 x 1 5

1 5  2 

Câu 8. (CÂU 14 THPT QG 2018) Nguyên hàm của hàm số f(x) = x⁴ + x² là

A. 4x³ + 2x + C B. x C

3 x 1 5

1 5  3  C. x⁴ + x² + C D. x⁵ + x³ + C Câu 9. (CÂU 6 THPT QG 2018) Nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + x² là

A. x⁴ + x³ + C B. x C

3 x 1 4

1 _{4 3}



 C. 3x² + 2x + C D. x³ + x² + C

Câu 10. (CÂU 10 ĐMH 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x + x là

A. e^x + x² + C B. x C

2

e^x1 ²  C. x C

2 e 1 1 x

1 x  2 

 D. e^x + 1 + C

Câu 11. (CÂU 2 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

2 x 5 x 1

f   .

A. ln5x 2 C

5 1 2 x 5

dx   



 ^B.



_5x^dx_2 ^1₂^ln



^5x2



^C

C. 5ln5x 2 C

2 x 5

dx   



 ^D.



_5x^dx_2^{ln5x2 C}

Câu 12. (CÂU 8 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx.

A.



^{2sinxdx2cosxC B.}



^{2sinxdxsin2xC}

C.



^{2sinxdxsin2xC D.}



^{2sinxdx2cosxC}

Câu 13. (CÂU 11 ĐMH 2020 – LẦN 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx + 6x là A. sinx + 3x² + C B. sinx + 3x² + C C. sinx + 6x² + C D. sinx + C Câu 14. (CÂU 22 ĐMH 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos2x.

A.

 

sin2x C 2

dx 1 x

f  



^B.



^f

 

^xdx₂^1sin2xC

C.



f

 

xdx2sin2xC ^D.



^f

 

^{x dx2sin2xC}

Câu 15. (CÂU 2 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x.

A.



cos3xdx3sin3xC ^B.



^{cos3xdxsin}₃^{3xC C.}



^{cos3xdxsin}₃^{3xC D.}



^{cos3xdxsin3xC}

Câu 16. (CÂU 10 ĐMH 2017)Tìm nguyên hàm của hàm số

 

² ₂

x x 2 x

f  

A.

 

C

x 2 3 dx x x

f  ³  



^B.



^f

 

^xdxx₃^{3 }_x^{1C C.}



^f

 

^xdxx₃^{3 }_x^{2 C D.}



^f

 

^{xdx x}₃^{3 } _x^{1 C}

Câu 17. (CÂU 9 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7^x.

A.



^{7xdx7xln7C B.}



^7xdx_ln^7x₇^{C C.}



^{7xdx7x1C D.}



^7xdx _x⁷_^x₁^{1 C}

Câu 18. (CÂU 33 ĐMH 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x(1 + lnx) là

A. 2x²lnx + 3x² B. 2x²lnx + x² C. 2x²lnx + 3x² + C D. 2x²lnx + x² + C Câu 19. (CÂU 23 ĐMH 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f

 

x  2x1.

A.

  

2x 1



2x 1 C 3

dx 2 x

f    



^B.



^f

 

^{x dx 1}₃



^2x1



^2x1C

C.

 

2x 1 C

3 dx 1 x

f   



^D.



^f

 

^{x dx } ₂^{1 2x1C}

Câu 20. (CÂU 39 THPT QG 2020 – LẦN 1) Cho hàm số

 

2 x x x

f  2 . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x) = (x + 1)f ’(x) là

A. C

2 x 2

2 x 2 x

2

2 





 B. C

2 x

2 x

2 



 C. C

2 x

2 x x 2

2

2 





 D. C

2 x 2

2 x

2 





Câu 21. (CÂU 40 THPT QG 2020 – LẦN 2) Biết F(x) = e^x – 2x² là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.

Khi đó



^f

 

^{2x dx bằng}

A. 2e^x – 4x² + C B. e 4x C 2

1 2x 2  C. e^2x – 8x² + C D. e 2x C

2

1 2x  2 

Câu 22. (CÂU 31 THPT QG 2019)

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) =



x 1



²

1 x 2



 trên khoảng (1; ) là

A. C

1 x ) 2 1 x ln(

2 

 

 B. C

1 x ) 3 1 x ln(

2 

 

 C. C

1 x ) 2 1 x ln(

2 

 

 D. C

1 x ) 3 1 x ln(

2 

 

 Câu 23. (CÂU 24 ĐMH 2020 – LẦN 1)

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x

2 x



 trên khoảng (1; ) là A. x + 3ln(x – 1) + C B. x – 3ln(x – 1) + C C.



x 1



^C

x 3 ₂ 

  D.



x 1



^C

x 3 ₂ 

 

Câu 24. (CÂU 28 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + cosx thỏa mãn 2 F 2



 



  .

A. F(x) = cosx – sinx + 3 B. F(x) = cosx + sinx + 3

C. F(x) = cosx + sinx – 1 D. F(x) = cosx + sinx + 1

Câu 25. (CÂU 14 ĐMH 2021) Cho hàm số f(x) = 3x² – 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.



^{f x dx 3x}

 

^{ 3 x C B.}



^{f x dx x}

 

^{ 3 x C}

C.



^{f x dx}

 

^1₃^{x3 x C D.}



^{f x dx x}

 

^{ 3C}

Câu 26. (CÂU 15 ĐMH 2021) Cho hàm số f(x) = cos2x. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.



^{f x dx}

 

^{ 1}₂^{sin2x C B.}



^{f x dx}

 

^{ 1}₂^{sin2x C}

C.



f x dx 2sin2x C

 

  ^D.



^{f x dx}

 

^{ 2sin2x C}

Câu 27. (CÂU 11 THPT QG 2021 - ĐỢT 1) Cho hàm số f(x) = x² + 4. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.



^{f x dx}

 

^{2xC B.}



^{f x dx}

 

^{x24xC}

C. ^{f x dx}

 

^{x3 4x C}

 3  



^D.



^{f x dx}

 

^{x34xC}

Câu 28. (CÂU 27 THPT QG 2021 - ĐỢT 1) Cho hàm số f(x) = e^x + 2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.



^{f x dx}

 

^{ex 2 C B.}



^{f x dx}

 

^{ex2xC}

C.



^{f x dx}

 

^{exC D.}



^{f x dx}

 

^{ex2xC}

Câu 29. (CÂU 15 THPT QG 2021 - ĐỢT 2) Cho hàm số f(x) = 4x³  3 . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.



^{f x dx}

 

^{x43xC B.}



^{f x dx}

 

^x4C

C.



^{f x dx}

 

^{4x33xC D.}



^{f x dx}

 

^12x2C

Câu 30. (CÂU 18 THPT QG 2021 - ĐỢT 2) Cho hàm số f(x) = 4 + cosx. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.



^{f x dx}

 

^{ sin xC B.}



^{f x dx}

 

^{4x sin x C}

C.



^{f x dx}

 

^{4x sin x C D.}



^{f x dx}

 

^{4xcos xC}

ĐÁP ÁN DẠNG 1 NGUYÊN HÀM

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án C B B D A D D B B B

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án A D A A B A B D B B

Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Đáp án B B A D B A C B A B

B. DẠNG 2 : TÌM NGUYÊN HÀM. CHO F(a) TÌM F(b).

Áp dụng công thức : f(x)dx F(x)^b F(b) F(a)

a b

a







 ^{ ( ) b ( ) ( )}

a

F b 



f x dx F a Câu 31. (CÂU 12 THPT QG 2017) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số

 

x x x ln

f  . Tính I = F(e) – F(1).

A. I = e B.

e

I 1 C.

2

I 1 D. I = 1

Câu 32. (CÂU 24 ĐMH 2017) Biết F(x) là môït nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x

1

 và F(2) = 1. Tính F(3).

A. F(3) = ln2 – 1 B. F(3) = ln2 + 1 C. F(3) = 2

1 D. F(3) =

4 7

Câu 33. Hàm số f x( )x x 1 có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 2 thì F(3) bằng A. F(3) = 146

15 B. F(3) = 116

15 C. F(3) = 886

105 D. F(3) = 806

105 Câu 34. Hàm số f x( )x 1 x(  )³ có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 1 thì F(1) bằng A. F(1) = 21

20 B. F(1) = 19

20 C. F(1) = 21

20 D. F(1) = 19

20 Câu 35. Hàm số ( ) ^sin

cos f x x

1 3 x

  có một nguyên hàm là F(x). Nếu F 2 2

 

  

   thì F(0) bằng A. F(0) = 1ln

3 2 2

  B. F(0) = 2ln

3 2 2

  C. F(0) = 2ln

3 2 2

  D. F(0) = 1ln

3 2 2

 

Câu 36. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx và đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm M(0 ; 1).

Tính F 2

 

  

  .

A. F 2

2

 

  

   B. F 1

2

 

 

  

  C. F 0

2

 

  

   D. F 1

2

 

  

   Câu 37. Biết F(x) là môït nguyên hàm của hàm số ( ) 2x 1

f x x 1

 

 và F 1( )2. Tính F(2).

A. ( ) ln2

F 2 4

  3 B. ( ) ln2

F 2 2

   3 C. ( ) ln2 F 2 4

  3 D. ( ) ln2

F 2 2

   3 Câu 38. Biết F(x) là môït nguyên hàm của hàm số ( )

( )( )

f x 1

x 3 x 3

   và ( ) 5ln

F 1 2

6 . Tính F(2).

A. ( ) ln 1ln

F 2 2 5

  6 B. ( ) ln 1ln

F 2 2 5

  6 C. ( ) ln 1ln

F 2 2 5

 6 D. ( ) ln 1ln

F 2 2 5

 6 Câu 39. Biết F(x) là môït nguyên hàm của hàm số ( ) ₂1

f x x 4

 và ( )F 0 8

. Tính F(2).

A. ( )F 2 2

 B. ( ) 3

F 2 4

  C. ( )F 2

4

 D. ( )F 2

4

 

ĐÁP ÁN DẠNG 2 NGUYÊN HÀM

Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Đáp án C B A A B A C D C

C. DẠNG 3 : TÌM NGUYÊN HÀM. CHO F(a) TÌM F(x) (Tìm F(x) chứ không phải tìm F(b)).

Câu 40. Biết F(x) là môït nguyên hàm của hàm số ( ) 2x 3₂ ( )

f x x 0

x

   và F 1( )1. F(x) là biểu thức nào sau đây

A. ( ) 3

F x 2x 2

  x B. ( ) ln 3

F x 2 x 2

  x

C. ( ) 3

F x 2x 4

  x D. ( ) ln 3

F x 2 x 4

  x

Câu 41. (CÂU 28 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + cosx thỏa mãn 2 F 2



 



  . A. F(x) = cosx – sinx + 3 B. F(x) = cosx + sinx + 3 C. F(x) = cosx + sinx – 1 D. F(x) = cosx + sinx + 1 Câu 42. (THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e^x + 2x thỏa mãn ^{F 0}

 

³

2. A. ^{F x}

 

^{ex x2 1}

  2 B. ^{F x}

 

^{ex x2 5}

  2 C. ^{F x}

 

^{ex x2 3}

  2 D. ^{F x}

 

^{2ex x2 1}

  2

Câu 43. (CÂU 13 THPT QG 2017) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x + 2x thỏa mãn 2

) 3 0 (

F  . Tìm F(x).

A. 2

x 3 e ) x (

F  ^x  ²  B.

2 x 1 e 2 ) x (

F  ^x  ²  C.

2 x 5 e ) x (

F  ^x  ²  D.

2 x 1 e ) x (

F  ^x  ²  Câu 44. (CÂU 39 THPT QG 2021 - ĐỢT 1) Cho hàm số ^{f x}

 

^{2x 5}₂ ^{khi x 1}

3x 4 khi x 1

 

 

 

 . Giả sử F là nguyên hàm của f trên R thỏa mãn F(0) = 2. Giá trị của F(1) + 2F(2) bằng

A. 27 B. 29 C. 12 D. 33

ĐÁP ÁN DẠNG 3 NGUYÊN HÀM

Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Đáp án D

Câu 41 42 43 44 45 46 477 48 49 50

Đáp án D A D A

D. DẠNG 4 : TÌM NGUYÊN HÀM. HÀM ẨN

 Tính chất :

 f(x)dx' = f(x) hay f(x)f'(x)dx (tức là f(x) là nguyên hàm của hàm số f ’(x)).

Câu 45. (CÂU 32 THPT QG 2017) Cho F(x) = x² là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f ’(x)e^2x.

A.



f'

 

x e^2xdxx²2xC ^B.



^f'

 

^{x e2xdxx2xC}

C.



f'

 

x e^2xdx2x² 2xC ^D.



^f'

 

^{x e2xdx2x2 2xC}

Câu 46. (CÂU 40 THPT QG 2017) Cho F(x) = (x – 1)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f ’(x)e^2x.

A.



^f'

 

^{x e2xdx}



^42x



^{ex C B.}



^f'

 

^{x e2xdx2}₂^{xex C}

C.



f'

 

x e^2xdx



2x



e^x C ^D.



^f'

 

^{x e2xdx}



^x2



^{ex C}

Câu 47. (CÂU 37 ĐMH 2018) Cho hàm số f(x) xác định trên







 2

\ 1

R thỏa mãn f ’(x) = 1 x 2

2

 , f(0) = 1 và f(1) = 2. Giá trị của biểu thức f(1) + f(3) bằng

A. 4 + ln15 B. 2 + ln15 C. 3 + ln15 D. ln15

Câu 48. (CÂU 37 THPT QG 2017) Cho ₃ 3 ) 1

(x x

F  là một nguyên hàm của hàm số x

) x (

f . Tìm nguyên hàm của hàm số f ’(x)lnx

A.



^{f'(x)lnxdx ln}_x^{3x }₅¹_x^{5 C B.}



^{f'(x)lnxdx  ln}_x^3x₅¹_x^{5 C}

C.



^{f'(x)lnxdx  ln}_x^{3x }₃¹_x^{3 C D.}



^{f'(x)lnxdx ln}_x^{3x }₃¹_x^{3 C}

Câu 49. (CÂU 42 THPT QG 2017) Cho F(x) = ₂ x 2

1 là một nguyên hàm của hàm số

 

x x

f . Tìm nguyên hàm của hàm số f ’(x)lnx.

A.

 

C

x 2

1 x

x xdx ln

ln x '

f _{2 2}



 



 





 ^B.



^f'

 

^{x lnxdx  ln}_x^2x_x^{12 C}

C.

 

C

x 1 x

x xdx ln

ln x '

f _{2 2}



 



 





 ^D.



^f'

 

^{x lnxdx  ln}_x^2x₂¹_x^{2 C}

Câu 50. Cho hàm số y = f(x) có f ’(x) = 1 x

x

4 3

 . Biết f(1) = ln2. Tính f(2).

A.

 

ln2

4 17 3 4ln 2 1

f   B.

 

ln2

4 17 1 4ln 2 1

f  

C.

 

ln2

4 17 1 4ln 2 1

f   D.

 

ln2

4 17 3 4ln 2 1

f  

Câu 51. Cho hàm số f(x) xác định trên R\1/2 thỏa

1 x 2 ) 2 x ( '

f   , f(0) = 1. Giá trị của f(1) + f(3) bằng

A. 4 + ln15 B. 3 + ln15 C. 2 + ln15 D. ln15

Câu 52. Cho hàm số f(x) xác định trên ^R\



^2;1



thỏa mãn

2 x x ) 1 x ( '

f ₂



  , f(–3) – f(3) = 0 và 3

) 1 0 (

f  . Giá trị của biểu thức f(4) + f(–1) – f(4) bằng

A. ln2 3 1 3

1 B. 1 + ln80 C.

5 ln4 3 2 1 ln

1  D.

5 ln8 3 11

Câu 53. Cho hàm số f(x) xác định trên R\



1;1



thỏa

1 x ) 1 x ( '

f ₂

  ; 2

2 f 1 2

f 1 



 



 



 

 và f(–3) + f(3) = 0.

Tính giá trị của biểu thức P = f(0) + f(4)

A. 5

ln3 2

P  B.

5 ln3 1

P  C.

5 ln3 2

11 D.

5 ln3 2 P1

Câu 54. Cho hàm f(x) xác định trên ^R\



^1;1



thỏa

1 x ) 1 x ( '

f ₂

  ; 2

2 f 1 2

f 1 



 



 



 

 và f(–3) + f(3) = 0.

Tính giá trị của biểu thức T = f(–2) + f(0) + f(4) bằng:

A. 9

ln5 2 2 1

T  B.

5 ln9 2 1 1

T  C.

5 ln9 2 3 1

T  D.

5 ln9 2 T1

Câu 55. Cho hàm số f(x) xác định trên R thỏa mãn f ’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5. Phương trình f(x) = 5 có 2 nghiệm x1, x2. Tính tổng Slog₂ x₁ log₂ x₂

A. S = 1. B. S = 2. C. S = 0. D. S = 4.

Câu 56. Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên (0 ; +) thỏa mãn

15 ) 1 2 (

f  và



2x 4



f (x) 0 )

x ( '

f   ²  . Tính tổng f(1) + f(2) + f(3) A. ⁷

15. B. ¹¹

15. C. ¹¹

30. D. ⁷

30.

Câu 57. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R. Biết f⁶(x).f'(x)12x130 và f(0) = 2. Khi đó phương trình f(x) = 3 có bao nhiêu nghiệm?

A. 2. B. 3. C. 7. D. 1.

Câu 58. Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn _^{ }_^

; 2

0 thỏa f(x).f'(x)cosx. 1f²(x) với mọi



 

 0; 2

x và f(0) 3. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn



 

; 2 6

A. ;M 2 2

2

m 21  B. ;M 3

2

m 5  C. ;M 3

2

m 5  D. m 3;M2 2 Câu 59. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x) > 0, x  R. Biết f(0) = 1 và 2 2x

) x ( f

) x ( '

f   . Tìm

các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt.

A. m > e. B. 0 < m  1. C. 0 < m < e. D. 1 < m < e.

Câu 60. Cho hàm số y = f(x) với x  0 thỏa mãn

 









   

1 ) 0 ( f

0 ) x ( ' f

0 ) x ( xf ) x ( ' f 2 ) x ( f ).

x (

"

f ^{2 3}

. Tính f(1)?

A. ²

3. B. ³

2. C. ⁶

7. D. ⁷

6. Câu 61. Cho hàm số f(x) liên tục, dương trên R thỏa f(0) = 1và

1 x

x ) x ( f

) x ( ' f

2

 . Khi đó ^Tf

 

^{2 2 2f(1)}

thuộc

A. (2 ; 3). B. (7 ; 9). C. (0 ; 1). D. (9 ; 12).

Câu 62. Cho hàm số f(x) liên tục, dương trên khoảng (0 ; +) và thỏa mãn f(1) = 1 và f(x)f'(x) 3x1 với mọi x > 0. mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 4 < f(5) < 5. B. 2 < f(5) < 3. C. 3 < f(5) < 4. D. 1 < f(5) < 2.

Câu 63. Cho hàm f(x) thỏa



^f'(x)



^{2f(x).f"(x)15x412x, x}  R và f(0) = f ’(0) = 1. Giá trị của f²(1) bằng

A. ⁹

2. B. ⁵

2. C. 10. D. 8.

Câu 64. Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0 ; +); y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng (0 ; +) và thỏa mãn

3 ) 2 3 (

f  và



f'(x)



² 



x1



f(x). mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2613 < f²(8) < 2614. B. 2614 < f²(8) < 2615. C. 2618 < f²(8) < 2619. D. 2616 < f²(8) < 2617.

ĐÁP ÁN DẠNG 4 NGUYÊN HÀM

Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Đáp án C C B C A D

Câu 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Đáp án C B C B A D A A C C

Câu 61 62 63 64

Đáp án C C D A

------

LÝ THUYẾT NGUYÊN HÀM

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG I. ĐỊNH NGHĨA.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu F’(x) = f(x),x  (a ; b).

 Thí dụ : F(x) = x² là một nguyên hàm của f(x) = 2x vì (x²)’ = 2x.

 Định lý : Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b). Khi đó : a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).

b) Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc khoảng (a ; b).

 Thí dụ : Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x² trên R thỏa mãn điều kiện F(1) = –1.

Giải : Vì y = x³ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² nên F(x) = x³ + C. Vì F(1) = –1 nên 1³ + C = –1.

Suy ra C = –2. Vậy F(x) = x³ – 2.

 Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm F(x) thì nó có vô số nguyên hàm, và tất cả các nguyên hàm đó đều có dạng F(x) + C, trong đó C là hằng số tùy ý. Người ta dùng ký hiệu



^f(x)dx để chỉ họ tất cả các nguyên hàm của f(x).



^f(x)dx = F(x) + C  F’(x) = f(x)

 Thí dụ1 :

1)



^{2xdx = x2 + C 2)}



^dx_x = ln x  + C 3) ²

2 ln x 1 x

x 1

dx   



 ^{+ C}

4) ln x x 1 C

1 x

dx 2

2    



 ⁵⁾



_x^dx2_a^{2 ln x x2a2 C 6)}



_x^2dx_a^{2 } _2a^{1 ln x a}_{x a}^_ ^{C (a0)}

 Thí dụ2 :

1) Tìm a, b để hàm số F(x) ^{ax b} x 5

 

 là một nguyên hàm của hàm số 1 ₂ f (x)

(x 5)

  và F(6) = 8.

2) Tìm nguyên hàm của hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x² – x + 3 và đồ thị hàm F(x) đi qua điểm M(6 ; 5).

 Mọi hàm số liên tục trên (a ; b) đều có nguyên hàm trên khoảng đó. Trong chương này ta luôn giả thiết các hàm đang xét đều liên tục trên khoảng xác định của chúng nên chúng đều có nguyên hàm trên khoảng đó. Trong các bài toán tìm nguyên hàm, nếu không nói gì thêm ta hiểu là cần tìm nguyên hàm trên mỗi khoảng xác định của chúng.

 Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm và nói chung là khó hơn.

II. CÁC TÍNH CHẤT

 Tính chất 1 :

 f(x)dx' = f(x)

 Tính chất 2 :



^af(x)dxa



^{f(x)dx (a  0)}

 Tính chất 3 :



^{[f(x)g(x)]dx}



^f(x)dx



^g(x)dx

III. SỰ TỒN TẠI CỦA NGUYÊN HÀM

 Định lý : Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

IV. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM

1) Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp

1)



^{0dx= C 2)}



^1dx= x + C 3)



^{xdx = x}₂^{2 + C 4)}



^{exdx = ex + C}

5)



^axdx _ln^ax_a ^C (0 < a  1) 6) (ax²₂ bx c) ' ²

dx ln ax bx c C (a 0) ax bx c

      

 



7) tan xdx ^{sin x} dx ^{(cos x) '}dx ln cos x C cos x cos x

     

  

⁸⁾



^{cot xdx}



^{cos x}_{sin x} ^dx



^{(sin x) '}_{sin x} ^{dxln sin x C}

2) Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Một số công thức nguyên hàm mở rộng 1)



^{xndx } _n^xn_^₁^{1 C} (n  –1; n  R) 1)



^(axb)ndx= _a^1(ax_n^_^b₁^{)n1 C}

2)



^dx_x = ln x  + C 2) ^dx

axb



⁼ _a^{1ln axb C (a  0)}

3)



^dx_x^{2 = }_x^{1+ C 3)}



_x^{dxn }_(n^₁₎¹_x^{n1 C (x  0)}

4) 2 x C

x

dx  



^{(x  0) 4)}



_ax^dx_b ⁼ _a^{2 axbC (a  0)}

5)



cosx.dxsinxC 5)



^{cos(axb)dx =} _a^{1sin(axb)C (a  0)}

6)



sinx.dxcosxC 6)



^{sin(axb)dx = }_a^{1cos(axb)C (a  0)}

7)



^{exdx = ex + C} 7) ^{ax b} 1 ^{ax b}

e dx e C

a

    



8) 2



²



dx 1 tan x dx tan x C

cos x   

 

⁸⁾



_{cos (ax}^2dx _b) ^1_a^{tan(ax b) C}

9) 2



²



dx 1 cot x dx cot x C

sin x     

 

⁹⁾



_{sin (ax}^{2 dx}_b) ^{ 1}_a^{cot(ax b) C}

3) Một số kỹ thuật đổi biến :

1) Nếu hàm số có chứa dấu ngoặc hoặc kèm theo lũy thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có lũy thừa cao nhất.

2) Xét xem hàm số dưới dấu tích phân có biểu thức nào là đạo hàm của biểu thức kia không ? 3) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa mẫu số thì đôi khi đặt t là mẫu số.

4) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa x

dx thì có thể đặt t = lnx.

5) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa e^xdx thì có thể đặt t = e^x. 6) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa

x

dx thì có thể đặt t = x . 7) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa cosxdx thì có thể đặt t = sinx.

8) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa sinxdx thì có thể đặt t = cosx.

9) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa x cos

dx

2 thì có thể đặt t = tgx.

10) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa x sin

dx

2 thì có thể đặt t = cotgx.

11) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn thức.

a) Nếu bậc trong căn lớn hơn bậc ngoài căn một bậc thì đặt t là biểu thức bên trong dấu căn.

b) Nếu bậc trong căn nhỏ hơn hoặc bằng bậc ngoài căn thì đặt t là nguyên biểu thức căn.

4) Phương pháp nguyên hàm từng phần :

 Loại 1 : I = dx e

x cos

x sin . ) x ( p

x 















. Đặt u = p(x) và đặt dv =















 ex

x cos

x sin

dx.

 Loại 2 : I =



^b

a

xdx ln ).

x (

p . Đặt u = lnx và đặt dv = p(x)dx

 Loại 3 :^I



^{sin(axb).exdxhayI}



^{cos(axb).exdx.}

Đặt u = hàm lượng giác và tính vi phân; đặt dv = hàm mũ và tính nguyên hàm (hoặc ngược lại).

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG

 Nguyên hàm cơ bản :

1)



^(axb)ndx= _a^1(ax_n^_^b₁^{)n1 C}

2)



_ax^dx_b ⁼ _a^{1ln axb C (a  0)}

3) C

x ) 1 n (

1 x

dx

1 n

n 



  _



^{(x  0)}

4) dx _n 1 1 _{n 1}

(ax b) a (n 1)(ax b) ^ C

   

  



(n  1 ; a  0)

 Một số phép biến đổi đồng nhất :

1) xdx (x 1) 1 1

dx 1 dx

x 1 x 1 x 1

   

    

    

  

2) xdx₅ (x 1) 1₅ 1 ₄ 1 ₅

dx dx

(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)

 

      

     

  

3) dx 1 1

x(x 1) x x 1 dx

 

   

   

 

4)^I



^{x2dx9 }

 

^{x 3 x 3 dx}



^



^16



^^{x 31 x 31 }^dx

5) ₂ 1 1 1 1

I dx dx dx

x 5x 6 (x 3)(x 2) x 3 x 2

 





  



  



    

6) dx₂ (x 1) x dx dx₂ 1 1 1 1 1

dx dx dx

x(x 1) x(x 1)(x 1) x(x 1) x 1 x 1 x 2 x 1 x 1

     

          

           

     

7)

2 2

2 2 2 2

dx x (x 1) dx x 1 dx 1 1

dx dx dx

x (x 1) x (x 1) x 1 x x 1 x x

    

       

     

     

8) x³ 1



x³ 1



2 (x 1)(x² x 1) 2 2 2

dx dx dx x x 1 dx

x 1 x 1 x 1 x 1

              

     

   

9)



_x³₍^dx_x1) ^



^x_x^33_(x^(x_³₁^₎ ^1)dx



_x^dx_1^



^(x1)(x_x^{23x1)dx}



_x^dx_1^



^_^_x^1_x^{12 }_x^13_^dx

10)



_x^3dx_x^{5 }



⁽¹_x^3₍^x₁²_⁾_x^2x₎^2dx



^_^_x^{13 }_x(1¹_x²₎^_^dx



_x^13dx



⁽¹_x^₍₁^x_²⁾_x^2₎^x2dx



_x^13dx



^_^_x^1_1^x_x^2_^dx

11)

x x x

x x x

dx 1 (e 2014 e ) 1 e

dx 1 dx

e 2014 2014 e 2014 2014 e 2014

 

 

    

    

  

12)

3 3 2

2 2 2

x 2x 1 (x 1) 3(x 1) 5(x 1) 2 dx dx

dx dx (x 1)dx 3 dx 5 2

x 2x 1 (x 1) x 1 (x 1)

       

     

    

     

13)

2 2

5 5 3 4 2

2x 1 2(x 1) 4(x 1) 3 dx dx dx

dx dx 2 4 3

(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)

        

    

    

14)

2 2

4 2 2 2 2 2

xdx x[(x 2) (x 1)] x x

dx dx dx

x 3x 2 (x 1)(x 2) x 1 x 2

  

  

     

   

I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH & BIẾN ĐỔI

 Để tính



^f(x)dx ta phân tích f(x) dưới dấu tích phân theo một tổng những hàm số rồi áp dụng những công thức nguyên hàm căn bản.

 Nguyên hàm chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x) mà không phụ thuộc vào ký hiệu biến số. Nói cách khác, các nguyên hàm :



^f(x)dx,



^f(t)dt,



^f(u)du, … là như nhau.

 Nếu tử thức là một đạo hàm của mẫu thức dạng :



^(ax_ax^22_^bx_bx^_^c_c^{)'dx = ln ax2 bxc C (a  0)}

1) Nếu gặp dạng lượng giác mà có thể biến đổi được thì nên biến đổi trước khi lấy nguyên hàm.

Nếu gặp dạng lượng giác mà có thể biến đổi được thì nên biến đổi trước khi lấy nguyên hàm.

Một số công thức biến đổi lượng giác thường dùng : sin² + cos² = 1 ; tan =



 cos

sin ; cot =



 sin

cos ; tan.cot = 1 ; 1 + tan² =

 cos2

1 ; 1 + cot² =

 sin2

1 cos²a =

2 a 2 cos

1 ; sin²a = 2

a 2 cos

1 ; sin3a = 3sina – 4sin³a  sin³a =

4 3 sin sin

3 a a

cos3a = 4cos³a – 3cosa  cos³a =

4 3 cos cos

3 a a

và các công thức biến đổi tổng thành tích, biến đổi tích thành tổng, …

 Ví dụ :



^{sin3xcos5xdx }₂¹



^{(sin8xsin2x)dx}

2) Nguyên hàm dạng :



^{cosnxdx hay}



^sinnxdx

 Nếu n chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc :

2 x 2 cos x 1

cos²   ;

2 x 2 cos x 1

sin²   ; sin2x

2 x 1 cos . x

sin 

 Ví dụ :

2

4 2 2 1 cos 2x 1 2

sin xdx (s in x) dx dx (1 2 cos 2x cos 2x)dx

2 4

  

      

 

   

 Nếu n lẻ, ta viết :



^{cos2n1xdx }



^{cos2n x.cosxdx }



^{(1sin2 x)ncosxdx.}

Sau đó đặt : t = sinx  dt = cosxdx.

 Cách khác : Sử dụng công thức cung nhân ba : sin3a = 3sina – 4sin³a ; cos3a = 4cos³a – 3cosa

 Ví dụ : ³ 1 1

4 cos xdx 4 (3cos x cos 3x)dx 3sin x sin 3x C

4 3

    

 

3) Nguyên hàm dạng :



^tannxdx

a) Làm lượng (tan²x + 1) xuất hiện.

Thí dụ : tan²x = (tan²x + 1) – 1.

tan³x = tanx(tan²x + 1) – tanx.

tan⁴x = tan²x(tan²x + 1) – (tan²x + 1) + 1.

tan⁵x = tan³x(tan²x + 1) – tanx(tan²x + 1) + tanx.

tan¹⁰x = tan⁸x(tan²x + 1) – tan⁶x(tan²x + 1) + tan⁴x(tan²x + 1) – tan²x(tan²x + 1) + (tan²x + 1) – 1.

b) Sau đó đặt : t = tanx  dt = (tan²x + 1)dx II. NGUYÊN HÀM LIÊN KẾT

Đôi khi, thay vì tính trực tiếp nguyên hàm I =



^f(x)dx ta có thể liên kết với một nguyên hàm J =



^g(x)dx.

Rồi tính tổng I + J và hiệu I – J. Giải hệ phương trình :











 N J I

M J

I ta tìm được I, J.

Nhờ liên kết như vậy việc tính toán tích phân trở nên đơn giản hơn.

 Ví dụ : a)



_sinx^sin_cos^x _x^dx= ₂^{x 1}₂^{lnsinxcosx C; b)}



_e^xe_^x_e^xdx= ₂^{x 1}₂^{lnex ex C}