HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI NÂNG CAO
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
I. HÀM SỐ BẬC NHẤT BÀI 1 : Cho hàm số
1 2 m x y mx
với m là tham số.
a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số m.
b) Tìm m để hàm số xác định trên (0 ; 1).
ĐS : a) D = [m – 2 ; ) \ {m – 1} ; b) m ( ; 1] {2}
BÀI 2 : Xét sự biến thiên của hàm số trên các khoảng của tập xác định D của hàm số
1) x x 2
4 y 2x2
2) y x1 3) y = 3x2 + 6x + 8 trên các khoảng (10 ; 2) và (3 ; 5) BÀI 3 : Cho hàm số
1 x
a bx x ax
f
y 2 2
1) Với giá trị nào của a và b thì f(x) là một hàm số chẵn trên miền xác định D của nó ? 2) Với giá trị nào của a và b thì f(x) là một hàm số lẻ trên miền xác định D của nó ? ĐS : 1) b = 0, a 0 ; 2) a = 0, b 0.
BÀI 4 : Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
4 x
a 4 bx x ax
f 2 2
trong đó a, b là các hằng số tùy ý.
BÀI 5 : Tìm m để hàm số
m 1 x
x 2 m 2 2 x x x
f 2 2 2 2
là hàm số chẵn.
ĐS : m = 1 BÀI 6 :
a) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng: y = x3 – (m2 – 9)x2 + (m + 3)x + m – 3 b) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: y = x4 – (m2 – 3m + 2)x3 + m2 – 1
ĐS : a) m = 3 ; m = 1 m = 2.
BÀI 7 : Xét sự biến thiên của hàm số y 4x5 x1 trên tập xác định của nó.
Áp dụng giải phương trình : a) 4x5 x13 b) 4x5 x1 4x2 9x ĐS : a) x = 1 ; x .
BÀI 8 : Chứng minh rằng hàm số y = x3 + x đồng biến trên R.
Áp dụng giải phương trình sau : x3x3 2x11. ĐS :
2 5 x 1
1
x
BÀI 9 : Cho hàm số y x1x22x.
a) Xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên [1 ; ).
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2 ; 5].
ĐS : max y y
5 175
;
2 , min y y
2 15
;
2 .
BÀI 10 : Cho hàm số y = mx3 – 2(m2 + 1)x2 + 2m2 – m.
a) Tìm m để điểm M(1 ; 2) thuộc đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua với mọi m.
ĐS : a) m = 2 ; b) N(1 ; 2).
BÀI 11 : Tìm trên đồ thị hàm số y = x3 + x2 + 3x – 4 hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
ĐS : (2 ; 2) và (2 ; 2).
BÀI 12 : Cho hai đường thẳng d : y = x + 2m, d’ : y = 3x + 2 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d, d’ cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng.
b) Tìm m để ba đường thẳng d, d’ và d” : y = mx + 2 phân biệt đồng quy.
ĐS : a) M(m – 1 ; 3m – 1) ; b) m = 1.
II. HÀM SỐ BẬC HAI BÀI 13 :
a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y = x2 + 2 liên tiếp sang trái 2 đơn vị và xuống dưới 2
1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào ?
b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = x3 để được đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 6.
BÀI 14 : (SGK) Cho hàm số y = –2x2 – 4x + 6 có đồ thị là parabol (P).
a) Tìm tọa độ đỉnh và phương trình trục đối xứng của (P).
b) Vẽ đồ thị (P).
c) Dựa vào đồ thị, hãy cho biết tập hợp các giá trị của x sao cho y 0.
BÀI 15 : Tìm hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c biết rằng hàm số đạt cực tiểu bằng 2 và đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x + 6 tại hai điểm có tung độ tương ứng bằng 2 và 10. Vẽ đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai tìm được.
ĐS :
x 2x 42 y 1 :
P 2 .
BÀI 16 : Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = a(x – m)2. Tìm Parabol (P) trong mỗi trường hợp sau:
a) Parabol (P) có đỉnh là I(–3 ; 0) và cắt trục tung tại điểm M(0 ; –5).
b) Đường thẳng y = 4 cắt (P) tại hai điểm A(–1 ; 4) và B(3 ; 4).
ĐS : a)
x 3
29 y 5 :
P ; b) y = (x – 1)2.
BÀI 17 : Viết mỗi hàm số sau đây thành dạng y = a(x – p)2 + q. Từ đó hãy cho biết đồ thị của nó có thể được suy ra từ đồ thị của hàm số nào nhờ các phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ. Hãy mô tả cụ thể các phép tịnh tiến đó:
a) y = x2 – 8x + 12. b) y = –3x2 – 12x + 9.
BÀI 18 : Cho (Pm) : y = x2 – (m + 1)x + m – 6 1) Định m để (Pm) qua A(1 ; 2).
2) Khảo sát và vẽ (P) với m tìm được.
3) Chứng minh (Pm) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
ĐS : 1) m = 3.
BÀI 19 : Bằng phương pháp đồ thị, hãy biện luận tham số nghiệm của phương trình : x2 – 4x + 3 – m = 0 BÀI 20 : Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số :
1) y = x2 + 2x + 2 2) y = x2 + 4x – 1
BÀI 21 : Cho hàm số y = x2 – 4x + 3 có đồ thị là parabol (P).
a) Vẽ đồ thị (P). Từ đồ thị (P) hãy suy ra đồ thị (P’) của hàm số y x24x3 . b) Từ đồ thị (P) hãy suy ra đồ thị của hàm số yx2 4x 3.
c) Xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x24x 3m0 BÀI 22 : Vẽ đồ thị của hàm số sau rồi lập bảng biến thiên của nó:
1) 2
x 3 2x
y 1 2 2) yxx 2x1 3) y x2 2x 4) yx22x 3 BÀI 23 : Cho phương trình x2 + 2(m + 3)x + m2 – 3 = 0, m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và P = 5(x1 + x2) – 2x1x2 giá trị lớn nhất.
ĐS : m = 2
BÀI 24 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y3 x42x2 133 x211. ĐS : 4
5 khi
8 x 19 BÀI 25 : Cho các số thực a, b, thỏa mãn ab 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 a b b a a b b
P a22 22 . ĐS : minP1 khi a = b.
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI 0 : Định m để hàm số :
1) y x m xác định trên (1 ; +). 2) y x m 2x m 1 xác định với mọi x > 0.
3) x 2m
y x a 1
xác định trên (0 ; 1). 4) x m
y 2x 3m 4
x m 1
xác định với mọi x > 0.
5) y m x 2x 4m luôn xác định với mọi x (–4 ; –3).
ĐS : 1) m 1 ; 2) m –1 ; 3) m 1 hay m 2 ; 4) 1 m 4/3 ; 5) –3 m –2.
Hướng dẫn :
1)
y x m xác định trên (1 ; +).Hàm số được xác định x – m 0 x m
tập xác định của hàm số : D = [m ; )
Do đó : hàm số xác định trên (1 ; ) (1 ; ) [m ; ) m 1.
2)
y x m 2x m 1 xác định với mọi x > 0.Hàm số được xác định
2 1 x m
m x 0 1 m x 2
0 m x
Cách 1 :
TH1 : 2m m 1 m 1
2 1
m m
Khi đó tập xác định là : D = [m ; )
Do đó hàm số xác định với mọi x > 0 (0 ; ) [m ; ) m 0 (loại do m 1)
TH2 : m m 1 2m m 1
2 1
m
Khi đó tập xác định là :
;
2 1
D m
Do đó hàm số xác định với mọi x > 0
;
2 1
; m
0 0
2 1
m m 1 (nhận) Vậy với m 1 thì thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2 : Hàm số xác định với mọi x > 0 m 1 1
m 0 m 2 0
1 m
0 m
Vậy với m 1 thì thỏa yêu cầu bài toán.
3)
y x 2m x m 1
xác định trên (0 ; 1).
Hàm số được xác định x – m + 1 0 x m – 1 Khi đó tập xác định là : D = R\{m – 1}
Do đó hàm số xác định trên khoảng (0 ; 1)
1 m
2 m 0 1 m
1 m 1
Vậy với m 1 hay m 2 thì thỏa yêu cầu bài toán.
4)
y 2x 3m 4 x m x m 1
xác định với mọi x > 0.
Hàm số được xác định
m 1
x 2
4 m x 3 0
1 m x
0 4 m 3 x
2
Khi đó tập xác định là : ; \
1 m
2 4 m
D 3
Hay
;1 m 1 m; 2
4 m D 3
Do đó hàm số được xác định x > 0
3m 4 1 1 m
3 m 4 0
m 1
2 0 4 m 3
; 0 m 1
2 ; 4 m
; 3
0
Vậy với
3 m 4
1 thì thỏa yêu cầu bài toán.
5)
y m x 2x 4m luôn xác định với mọi x (–4 ; –3).Hàm số được xác định
1m 2 x
m x 0 m 4 x 2
0 x m
Nhớ : Nếu m = –2 thì 2m = –4 nên m > 2m. Còn nếu m = 2 thì 2m = 4 nên 2m > m.
TH1 : m 2m m 0
Khi đó : (1) 2m x m tập xác định là : D = [2m ; m]
Do đó hàm số được xác định với mọi x (4 ; 3) (4 ; 3) [2m ; m] 2m 4 < 3 m 2
m 3 3
m 2 m m
3 4 m
2
(nhận so với điều kiện)
TH2 : 2m > m m > 0
Khi đó : (1) x tập xác định là : D = . Do đó m > 0 (loại) Vậy với 3 m 2 thì thỏa yêu cầu bài toán.
Cách khác : Hàm số được xác định
m 2 x
m x 0 m 4 x 2
0 x m
Do đó hàm số được xác định với mọi x (4 ; 3) 3 m 2
2 m
3 m 4 m 2
m
3
BÀI 1 : Cho hàm số
1 2 m x y mx
với m là tham số.
a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số m.
b) Tìm m để hàm số xác định trên (0 ; 1).
Hướng dẫn :
a) Điều kiện xác định :
1 m x
2 m x 1 2 m x
0 2 m x
Suy ra tập xác định của hàm số là D = [m – 2 ; ) \ {m – 1}
b) Hàm số xác định trên (0 ; 1) (0 ; 1) [m – 2 ; m – 1) (m – 1 ; )
1 m
2 m 0
1 m
2 m
; 1 m 1
; 0
1 m
; 2 m 1
; 0
Vậy m ( ; 1] {2} là giá trị cần tìm.
BÀI 2 : Xét sự biến thiên của hàm số trên các khoảng của tập xác định D của hàm số
1) x x 2
4 y 2x2
2) y x1 3) y = 3x2 + 6x + 8 trên các khoảng (10 ; 2) và (3 ; 5)
Hướng dẫn :
1) x x 2
4 y 2x2
Tập xác định : D = R \ {1 ; 2}
Với x1, x2 D :
x 1
x 1
1 1
x 2 x 1 x
2 x x x
1 2
x x
4 x 2 x x
4 x x x
1 x
x x f x f
1 2 1
1 2
2 1 1 2
2 1
2 1 2
2 2
2 2 1 2 1
2 1 2
Do đó
1 2
1
2 x
x x f x f
< 0 x1, x2 ( ; 1)
x1, x2 (1 ; 2) và x1, x2 (2 ; +). Vậy f(x) luôn nghịch biến trên mỗi khoảng của miền xác định D.
2) y x1
Tập xác định : D = (1 ; +) Với x1, x2 D
1 x 1 x
x x 1
x 1 x
1 x 1 1 x
x 1 x x
f x f
1 2
1 2 1
2
1 1 2
2 1
2
1 x 1 x
1 x
x x f x f
1 1 2
2 1 2
x1, x2 (1 ; +)
x1 > 1 x1 + 1 > 0 x11 > 0 x2 > 1 x2 + 1 > 0 x2 1 > 0
0x x
x f x 0 f 1 x 1 x
1
1 2
1 2
1 2
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1 ; +).
3) y = 3x2 + 6x + 8 trên các khoảng (10 ; 2) và (3 ; 5)
x1, x2 R và x1 x2, ta có :
1 2
1 2 2
1 2 2 1
2
1 2 1 2
2 2 1
2 1 2
x x
x x 6 x x 3 x
x
8 x 6 x 3 8 x 6 x 3 x
x x f x f
1 2
1 2 1
2
x x
6 x x 3 x x
= 3(x1 + x2) + 6
Trên khoảng (10 ; 2) x1 < 2 x1 – 2 > 0 x2 < 2 x2 – 2 > 0
(x1 + x2) – 4 > 0 (x1 + x2) > 4 3(x1 + x2) > 12
1 2
1 2
x x
x f x f
= 3(x1 + x2) + 6 > 12 + 8 = 18 > 0 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (10 ; 2).
Trên khoảng (3 ; 5) x1 > 3
x2 > 3
x1 + x2 > 6 3(x1 + x2) < 18
1 2
1 2
x x
x f x f
= 3(x1 + x2) + 6 < 18 +6 = 12 < 0 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (3 ; 5).
BÀI 3 : Cho hàm số
1 x
a bx x ax
f
y 2 2
1) Với giá trị nào của a và b thì f(x) là một hàm số chẵn trên miền xác định D của nó ? 2) Với giá trị nào của a và b thì f(x) là một hàm số lẻ trên miền xác định D của nó ?
Hướng dẫn :
Tập xác định : D = R (do x2 + 1 > 0, x R ) nên x D x D
Nếu a = b = 0 thì f(x) là hàm hằng f(x) = 0, hàm số này vừa chẵn, vừa lẻ trên D.
Nếu a và b không đồng thời bằng 0, ta lập f(x) :
1 x
a bx x ax
f 2 2
1)
1 x
a bx ax 1
x
a bx x ax
f x
f 2 2 2 2
Hai vế bằng nhau khi b = 0, a 0. Vậy f(x) là hàm số chẵn khi b = 0, a 0.
2)
1 x
a bx ax 1
x
a bx x ax
f x
f 2 2 22
2ax2 + 2a = 0 a(x2 + 1) = 0
Vì x2 + 1 > 0 nên a = 0, b 0. Vậy f(x) là hàm số lẻ khi a = 0, b 0.
BÀI 4 : Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
4 x
a 4 bx x ax
f 2 2
trong đó a, b là các hằng số tùy ý.
Hướng dẫn :
Tập xác định của hàm số : D = R \ {2}
Hàm số f(x) là hàm số chẵn trên D khi và chỉ khi b = 0, a 0 tùy ý.
Hàm số f(x) là hàm số lẻ trên D khi và chỉ khi a = 0, b 0 tùy ý.
BÀI 5 : Tìm m để hàm số
m 1 x
x 2 m 2 2 x x x
f 2 2 2 2
là hàm số chẵn.
Hướng dẫn :
Điều kiện xác định : x21 m (*)
Giả sử hàm số chẵn, suy ra f(x) = f(x) với mọi x thỏa mãn điều kiện (*).
Ta có :
m 1 x
x 2 m 2 2 x x x
f 2 2 2 2
Suy ra f(x) = f(x) với x2 1mmọi x thỏa mãn điều kiện (*)
m 1 x
x 2 m 2 2 x x
2
2 2
2
=
m 1 x
x 2 m 2 2 x x
2
2 2
2
với mọi x thỏa mãn điều kiện (*) 2(2m2 – 2)x = 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện (*) 2m2 – 2 = 0 m = 1
Với m = 1, ta có hàm số là
1 1 x
2 x x x
f 22 2
Điều kiện xác định : x211x 0 Suy ra, tập xác định : D = R \ {0}
Ta thấy với mọi x R \ {0} ta có x R \ {0} và f(x) = f(x).
Do đó
1 1 x
2 x x x
f 22 2
là hàm số chẵn.
Với m = 1, ta có hàm số là
1 1 x
2 x x x
f 22 2
Tập xác định : D = R
Ta thấy với mọi x R ta có x R và (f(x) = f(x).
Do đó
1 1 x
2 x x x
f 22 2
là hàm số chẵn.
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
BÀI 6 :
a) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng: y = x3 – (m2 – 9)x2 + (m + 3)x + m – 3 b) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: y = x4 – (m2 – 3m + 2)x3 + m2 – 1
Hướng dẫn :
a) Ta có tập xác định : D = R x D x D
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ
f(x) = f(x), x R
(x)3 – (m2 – 9)(x)2 + (m + 3)(x) + m – 3 = [x3 – (m2 – 9)x2 + (m + 3)x + m – 3], x R
2(m2 – 9)x2 – 2(m – 3) = 0, x R
0 3 m
0 9 m2
m = 3
b) Ta có tập xác định : D = R x D x D
Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn
f(x) = f(x), x R
(x)4 – (m2 – 3m + 2)(x)3 + m2 – 1 = x4 – (m2 – 3m + 2)x3 + m2 – 1, x R
2(m2 – 3m + 2)x3 = 0, x R
m2 – 3m + 2 = 0
2 m
1 m
BÀI 7 : Xét sự biến thiên của hàm số y 4x5 x1 trên tập xác định của nó.
Áp dụng giải phương trình : a) 4x5 x13 b) 4x5 x1 4x2 9x
Hướng dẫn :
Điều kiện xác định : x 1
1
x 4
x 5 0
1 x
0 5 x
4
Suy ra, tập xác định : D = [1 ; )
Với mọi x1, x2 [1 ; ), x1 x2, ta có : f
x2 f x1 4x25 x21 4x15 x11
1 x 1 x
1 5
x 4 5 x 4 x 4 1 x
x 1 x
x x 5
x 4 5 x 4
x x 4
1 2
1 2
1 2 1
2
1 2 1
2
1 2
Suy ra
01 x 1 x
1 5
x 4 5 x 4
4 x
x x f x f
1 2
1 1 2
2 1
2
nên hàm số y 4x5 x1 đồng
biến trên khoảng [1 ; ).
a) Vì hàm số đã cho đồng biến trên [1 ; ) nên :
Nếu x > 1 f(x) > f(1) hay 4x5 x13 Suy ra phương trình 4x5 x13 vô nghiệm.
Nếu x < 1 f(x) < f(1) hay 4x5 x13 Suy ra phương trình 4x5 x13 vô nghiệm.
* Với x = 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b) Điều kiện xác định : x 1 Đặt x2 + 1 = t, t 1 x2 = t – 1
Phương trình trở thành : 4x5 x1 4t5 t1f
x f t Nếu x > t f(x) > f(t) hay 4x5 x1 4t5 t1 Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu x < t f(x) < f(t) hay 4x5 x1 4t5 t1 Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy f(x) = f(t) x = t hay x2 + 1 = x x2 – x + 1 = 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét :
* Hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì phương trình f(x) = 0 có tối đa một nghiệm.
* Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên D thì : f(x) > f(y) x > y (x < y) và f(x) = f(y) x = y x, y D
Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và các bài toán cực trị.
BÀI 8 : Chứng minh rằng hàm số y = x3 + x đồng biến trên R.
Áp dụng giải phương trình sau : x3x3 2x11.
Hướng dẫn :
Với mọi x1, x2 R, x1 x2 ta có :
x x x x 1 0x x
x x x x x
x x f x f
1 2 2 2 1 2 1
2
1 3 1 2 3 2 1
2 1
2
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên R.
Ta có : x3x3 2x11x3x2x13 2x1
Đặt 3 2x1y, phương trình trở thành x3 + x = y3 + y Do hàm số f(x) = x3 + x đồng biến trên R nên :
2 5 x 1
1 x 0 1 x 2 x x 1 x 2 y
x 3 3
BÀI 9 : Cho hàm số y x1x22x.
a) Xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên [1 ; ).
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2 ; 5].
Hướng dẫn :
a) Với mọi x1, x2 [1 ; ), x1 x2 ta có :
2 1
1 1
2 2 2 2
1
2 f x x 1 x 2x x 1 x 2x
x
f
x x
x x 2
1 x 1 x
x x
1 2 1 2 1
2
1
2
. Suy ra :
x x 2 01 x 1 x
1 x
x x f x f
1 2 1
1 2 2
1
2
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên [1 ; ).
b) Hàm số đã cho đồng biến trên [1 ; ) nên nó đồng biến trên [2 ; 5].
Vậy
y y
5 17 x 5max2;5 ,
y y
2 1 x 2min2;5 . BÀI 10 : Cho hàm số y = mx3 – 2(m2 + 1)x2 + 2m2 – m.
a) Tìm m để điểm M(1 ; 2) thuộc đồ thị hàm số đã cho.
b) Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua với mọi m.
Hướng dẫn :
a) Điểm M(1 ; 2) thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi 2 = m – 2(m2 + 1) + 2m2 – m m = 2 Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
b) Để N(x ; y) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua, điều kiện cần và đủ là : y = mx3 – 2(m2 + 1)x2 + 2m2 – m, m
2m2(1 – x2) + m(x3 – 1) – 2x2 – y = 0, m
y 2
1 x 0 y x 2
0 1 x
0 x 1
2 3
2
Vậy đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua điểm N(1 ; 2).
Chú ý : Nếu đa thức anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0 với mọi x K khi và chỉ khi an = an – 1 = ... = a0. BÀI 11 : Tìm trên đồ thị hàm số y = x3 + x2 + 3x – 4 hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Hướng dẫn :
Gọi M, N đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. M(x0 ; y0) N(x0 ; y0) Vì M, N thuộc đồ thị hàm số nên :
2 x
4 x 3 x x y 0
8 x 2
4 x 3 x x y 4 x 3 x x y
4 x 3 x x y
0
0 2 0 3 0 0 20
0 2 0 3 0 0 2 0
3 0 0 0
0 2 0 3 0 0
2 y
2 x
0
0 hoặc
2 y
2 x
0 0
Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ là (2 ; 2) và (2 ; 2).
BÀI 12 : Cho hai đường thẳng d : y = x + 2m, d’ : y = 3x + 2 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d, d’ cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng.
b) Tìm m để ba đường thẳng d, d’ và d” : y = mx + 2 phân biệt đồng quy.
Hướng dẫn :
a) Ta có : ad = 1 ad’ = 3 suy ra hai đường thẳng d, d’ cắt nhau.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d, d’ là nghiệm của hệ phương trình
1 m 3 y
1 m x 2
x 3 y
m 2 x y Suy ra d, d’ cắt nhau tại M(m – 1 ; 3m – 1).
b) Vì ba đường thẳng d, d’, d” đồng quy nên M d”, ta có : 3m – 1 = m(m – 1) + 2 m2 + 2m – 3 = 0
3 m
1 m
* Với m = 1, ta có ba đường thẳng là d : y = x + 2 ; d’ : y = 3x + 2 ; d” : y = x + 2 phân biệt và đồng quy tại M(0 ; 2).
* Với m = 3 ta có d’ d”, suy ra m = 3 không thỏa mãn.
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
II. HÀM SỐ BẬC HAI BÀI 13 :
a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y = x2 + 2 liên tiếp sang trái 2 đơn vị và xuống dưới 2
1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào ?
b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = x3 để được đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 6.
Hướng dẫn :
a) Ta tịnh tiến đồ thị hàm số y = x2 + 2 sang trái 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = (x + 2)2 + 2 rồi tịnh tiến lên trên
2
1 đơn vị ta được đồ thị hàm số
2 2 1 2 x
y 2 . b) Ta có x3 + 3x2 + 3x + 6 = (x + 1)3 + 5
Do đó tịnh tiến đồ thị hàm số y = x3 để được đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 6 ta làm như sau : Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y = x3 đi sang bên trái 1 đơn vị và lên trên đi 5 đơn vị.
BÀI 14 : (SGK) Cho hàm số y = –2x2 – 4x + 6 có đồ thị là parabol (P).
a) Tìm tọa độ đỉnh và phương trình trục đối xứng của (P).
b) Vẽ đồ thị (P).
c) Dựa vào đồ thị, hãy cho biết tập hợp các giá trị của x sao cho y 0.
Hướng dẫn : a) (P) có đỉnh là
a 8 y 4
a 1 2 x b :
I và có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.
b) (P) qua các điểm :
x 3 2 1 0 1
y 0 6 8 6 0
c) Theo đồ thị ta có : tập hợp các giá trị x sao cho y 0 là [3 ; 1].
BÀI 15 : Tìm hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c biết rằng hàm số đạt cực tiểu bằng 2 và đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x + 6 tại hai điểm có tung độ tương ứng bằng 2 và 10. Vẽ đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai tìm được.
Hướng dẫn :
Phương trình hoành độ các giao điểm : 2 = 2x + 6 x = 2
10 = 2x + 6 x = 2
Vậy có hai giao điểm là : A(2 ; 2) và B(2 ; 10).
Hàm số đạt cực tiểu bằng 2 nên 2 a 4 c b a 2
4
2
(a > 0)
Mặt khác đồ thị hàm số đi qua A và B nên ta có : 2 = 4a + 2b + c
10 = 4a – 2b + c
Giải hệ :
x 2x 4 2y 1 : P 4
c 2 b 2 a 1
10 c b 2 a 4
2 c b 2 a 4
a 2 4 c b
2 2
BÀI 16 : Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = a(x – m)2. Tìm Parabol (P) trong mỗi trường hợp sau:
a) Parabol (P) có đỉnh là I(–3 ; 0) và cắt trục tung tại điểm M(0 ; –5).
b) Đường thẳng y = 4 cắt (P) tại hai điểm A(–1 ; 4) và B(3 ; 4).
ĐS : a)
x 3
29 y 5 :
P ; b) y = (x – 1)2.
Hướng dẫn :
a) (P) có đỉnh là I(3 ; 0) và cắt y’y tại điểm M(0 ; 5) nên
9 a 5
0 a vì 3 m m
0 a 5
m 3 a 0
2 2
Vậy
x 3
29
y5 .
b) Đường thẳng y = 4 cắt (P) tại hai điểm A(1 ; 4), B(3 ; 4) nên A, B đối xứng nhau qua trục đối xứng m
x , do đó : 1
2 3 m 1
x (P) : y = a(x – 1)2 Ta lại có A(1 ; 4) (P) nên : 4 = a(1 – 1)2 a = 1 Vậy y = (x – 1)2.
BÀI 17 : Viết mỗi hàm số sau đây thành dạng y = a(x – p)2 + q. Từ đó hãy cho biết đồ thị của nó có thể được suy ra từ đồ thị của hàm số nào nhờ các phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ. Hãy mô tả cụ thể các phép tịnh tiến đó:
a) y = x2 – 8x + 12. b) y = –3x2 – 12x + 9.
Hướng dẫn :
a) y = x2 – 8x + 12 : (P) y = (x – 4)2 – 4
đồ thị (P) có được bằng cách tịnh tiến parabol y = x2 sang bên phải 4 đơn vị, rồi xuống dưới 4 đơn vị b) y = 3x2 – 12x + 9 : (P) y = 3(x + 2)2 + 21
đồ thị (P) có được bằng cách tịnh tiến parabol y = 3x2 sang bên trái 2 đơn vị, rồi lên trên 21 đơn vị BÀI 18 : Cho (Pm) : y = x2 – (m + 1)x + m – 6
1) Định m để (Pm) qua A(1 ; 2).
2) Khảo sát và vẽ (P) với m tìm được.
3) Chứng minh (Pm) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
Hướng dẫn :
1) Định m để (Pm) qua A(1 ; 2).
A(1 ; 2) (Pm) : 2 = (1)2 = (m + 1)(1) + m – 6 2 = 1 + m + 1 + m – 6 2m = 6 m = 3 2) Khảo sát và vẽ (P) với m tìm được.
Khi m = 3 y = x2 – 4x – 3
3) Chứng minh (Pm) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
Gọi A(x0 ; y0) là điểm cố định mà đồ thị (Pm) đi qua m : y0 = x02 – (m + 1)x0 + m – 6 , m
x02 – mx0 – x0 + m – 6 – y0 = 0 , m
m(1 – x0) + x02 – x0 – 6 – y0 = 0 , m
6 y
1 x 0 y 6 x x
0 x 1
0 0 0
0 2 0
0
Vậy (Pm) đi qua một điểm cố định A(1 ; 6).
BÀI 19 : Bằng phương pháp đồ thị, hãy biện luận tham số nghiệm của phương trình : x2 – 4x + 3 – m = 0
Hướng dẫn :
Ta có : x2 – 4x + 3 – m = 0 x2 – 4x + 3 = m
Do đó, số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị y = x2 – 4x + 3 và đường thẳng y = m.
Dựa vào đồ thị, ta có kết luận sau :
m < 1 : phương trình vô nghiệm
m = 1 : phương trình có nghiệm kép
m > 1 : phương trình có hai nghiệm phân biệt Đồ thị của hàm số nhận đường thẳng
3
x4 làm trục đối xứng và đi qua hai điểm A(0 ; 2),
B(1 ; 7). Ta có :
2 c
8 b
3 a 5 b a
2 c
a 8 b 3 7 c b a
2
c 3
4 a 2
b
. Vậy hàm số bậc hai là : y = 3x2 + 8x – 2.
BÀI 20 : Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số : 1) y = x2 + 2x + 2 2) y = x2 + 4x – 1 Hướng dẫn :
1) y = x2 + 2x + 2 Tập xác định : D = R Đỉnh của parabol :
1 2 2 1 2 1 . 2 1 y
2 1 2 a 2 x b I
2
Trục đối xứng : x = 1 Bảng biến thiên :
x 1 +
y
+ +
CT 1 Bảng giá trị :
x 0 1
y 2 5
2) y = x2 + 4x – 1 Tập xác định : D = R Đỉnh (P) :
3 1 8 4 1 2 . 4 2 y
2 2 4 a 2 x b I
2
Trục đối xứng : x = 2 Bảng biến thiên :
x 2 +
y
3
CĐ
Bảng giá trị :
x 0 1
y 1 2
BÀI 21 : Cho hàm số y = x2 – 4x + 3 có đồ thị là parabol (P).
a) Vẽ đồ thị (P). Từ đồ thị (P) hãy suy ra đồ thị (P’) của hàm số y x24x3 . b) Từ đồ thị (P) hãy suy ra đồ thị của hàm số yx2 4x 3.
c) Xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x24x 3m0 (1)
Hướng dẫn : a)
Vẽ (P): y = x2 – 4x + 3 (học sinh tự vẽ tương tự bài 39).
Vẽ (P’):
Cách 1: Đồ thị (P’) của hàm số y x24x3 được suy ra từ đồ thị (P) của hàm số y = x2 – 4x + 3 bằng cách giữ nguyên phần nằm trên và phía trên trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành phần nằm dưới trục hoành.
Cách 2:
Ta có y x 4x3 x
x24x4x33khi
khix x24x4x33002 2
2
Ta có thể vẽ (P’) như sau:
* Vẽ parabol (P): y = x2 – 4x + 3
* Vẽ parabol (P1): y = x2 + 4x – 3 bằng cách lấy đối xứng (P) qua trục Ox.
* Xóa đi các điểm của (P) và (P1) nằm ở phía dưới trục hoành, ta được đồ thị của hàm số y x24x3 . b) Ta có yx24x 3 là hàm số chẵn nên
đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng, khi x 0 thì 3
x 4 x
y 2 = x2 – 4x + 3 nên hai đồ thị trùng nhau trên [0 ; ). Từ đó ta suy ra cách vẽ đồ thị hàm số yx24x 3 từ đồ thị (P):
y = x2 – 4x + 3 như sau:
Giữ nguyên phần đồ thị (P) nằm bên phải của Oy (phần x 0).
Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị vừa xác định.
c) Ta có: x24x 3m0 (1)
x24x 3m
Do đó để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y = m phải cắt đồ thị của hàm số 3
x 4 x
y 2 tại 4 điểm phân biệt. Dựa vào đồ thị, ta có các giá trị cần tìm là 1 < m < 3.
BÀI 22 : Vẽ đồ thị của hàm số sau rồi lập bảng biến thiên của nó:
1) 2
x 3 2x
y 1 2 2) yxx 2x1 3) y x2 2x 4) yx22x 3
Hướng dẫn :
1) 2
x 3 2x
y 1 2 : (P1)
2 0 x 3 2x khi 1 2 x 3 2x 1
2 0 x 3 2x khi 1 2
x 3 2x 1 y
2 2
2 2
Đồ thị (P1) được vẽ như sau :
Trước tiên ta vẽ parabol (P) :
2 x 3 2x
1 2
Phần của (P) ở phía trên trục hoành : giữ nguyên.
Phần của (P) ở phía dưới trục hoành : thay bởi hình đối xứng của nó qua trục hoành.
Như thế (P1) là đường vẽ bằng nét liền trong hình.
2) yxx 2x1 có D = R
0 x khi 1 x 2 x
0 x khi 1 x 2
y x 2
2
Đồ thị (P1) : y = x2 – 2x – 1 (x 0) là 1 phần parabol (P1) có đỉnh I1(1 ;
2), qua các điểm (0 ; 1), (2 ; 1) và hướng bề lõm lên trên.
Đồ thị (P2) : y = x2 – 2x – 1 (x < 0) là 1 phần parabol (P2) có đỉnh I2(1 ; 0), qua các điểm (2 ; 1), (3 ; 4) và hướng bề lõm xuống dưới.
3) y x2 2x có D = R
0 x 2 khi x 2 x
0 x hay 2 x
khi x
2 y x 2
2
2 y 1 2
2 a
2
x b
Vẽ hai parabol
P1 :yx2 2x và
P2 :y
x2 2x
(chú ý rằng (P1) và (P2) đối xứng nhau qua trục hoành), sau đó ta xóa đi phần của (P1) và (P2) ở phía dưới trục hoành, vì y 0, x.Ta có bảng biến thiên :
x 2 1 0
y
2
1
0 0
4) yx22x 3 có D = R
x 2x 3 khix 0 0 x khi 3 x 2 y x22
* Vẽ (P1) : y = x2 + 2x + 3 (x 0)
(P1) có đỉnh I1(1 ; 4), qua các điểm (0 ; 3), (2 ; 3), (3 ; 0) và có bề lõm quay xuống.
* Vẽ (P2) : y = x2 – 2x + 3 ( x < 0)
(P2) có đỉnh I2(1 ; 4), qua các điểm (2 ; 3), (3 ; 0), (3 ; 0) và có bề lõm quay xuống.
Ta có bảng biến thiên :
x 1 0 1
y 4 4
3
BÀI 23 : Cho phương trình x2 + 2(m + 3)x + m2 – 3 = 0, m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và P = 5(x1 + x2) – 2x1x2 giá trị lớn nhất.
ĐS : m = 2
Hướng dẫn :
Ta có : ’ = (m + 3)2 – (m2 – 3) = 6m + 12. Phương trình có nghiệm ’ 0 6m + 12 0 m 2 Theo định lí Vi-ét, ta có :
3 m x x
3 m 2 x x
2 2 1
2 1
P = 10(m + 3) – 2(m2 – 3) = 2m2 – 10m – 24 Xét hàm số y = 2x2 – 10x – 24 với x [2 ; ).
Bảng biến thiên :
x 2
5 2
y = 2x2 – 10x – 24 12
Suy ra
maxy 12
;
2
khi và chỉ khi x = 2 Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
BÀI 24 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y3 x42x2 133 x211.
Hướng dẫn :
Đặt t 3 x2 1, t 1 t2 3 x42x21 Khi đó hàm số trở thành y = t2 – 3t + 1 với t 1.
Bảng biến thiên :
x 1
2
3
y = t2 – 3t + 1
1
4
5
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y3 x42x2133 x211 là 4
5 khi và chỉ khi 2 t 3 hay
2 1 3
3 x2
8 x 19 .
BÀI 25 : Cho các số thực a, b, thỏa mãn ab 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 a b b a a b b
P a22 22 . ĐS : minP1 khi a = b.
Hướng dẫn : Đặt
a b b
t a . Ta có : 2
a b b 2 a a b b a a b b
t a
2 a t
b b 2 a a b b
t2 a22 22 22 22 2 Ta có : P = t2 – 2 – t + 1 = t2 – t – 1
Xét hàm số f(t) = t2 – t – 1 với t ( ; 2] [2 ; ) Bảng biến thiên :
t 2 1 2
f(t) = t2 – t – 1
5
1 Từ bảng biến thiên ta có : minP min f
t 1; 2 2
;
khi t = 2 hay
a b b
2 a a = b
