BÀI TẬP NGUYÊN HÀM
GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG
BÀI 1 : Tìm các nguyên hàm sau :
1)
x1
x x 1
dx25 x5 xC 2) 13x e Cx dx 2
x
e x x 13
x x
2
x 2
2
3) 3x 9lnx 3 C
2 dx x 3 x
x2 2
4)
4xx 4xdx31
4x
3 31
4x
3 C5)
C3 ln 2
9 6 ln 2 6 2 ln 2 dx 4 3
2x x 2 x x x
6)
axexdx1axlnexaC7) e e 2dx 2 e e 2 C
x 2 x x
x
(x 0) 8) 1 1exexdxxln(1ex)C
9) sin 3x cos 5xdx 1 cos8x cos 2x C
2 8 2
10)
sin2x.cos2xdx = 81x321 sin4xC11) sin4x C
32 x 1 2 4sin x 1 8 xdx 3
sin4
12)
4cos3xdx 3sinx31sin3xC13) C
x 4 x 1 ln x dx
2 1 x
x4 4 3 4
14)
sin2x4cos2xdx4
tanxcotx
C15) dx
cotx tanx
Cx cos x sin
x 2 cos
2
2
16)
4sinx2cos2xtan2xdx 2cosxtanxxC17) C
5 x
1 25
x 10 x
dx
2
18)
x2dx5x6ln xx23 CBÀI 2 : Tìm các nguyên hàm sau :
1) dx
5 x 6 x 2
3 x 2
2 = 21ln 2x2 6x5 C 2)
x24x6x1211dx = 21ln(x2 6x11)C3) dx ln
e e
Ce e
e
e x x
x x
x
x
4) eexxdx1ln
ex 1
C
5) dx lnsinx cosx C
x cos x sin
x cos x
sin
6)
1xdxx2 12ln1x2 CBÀI 3 : Tìm các nguyên hàm sau :
1) C
1 x cos
1 x lncos 2 1 x sin
dx
2)
cosdxx 21lnsinsinxx11 C3) tan2x C
4 1 x 4 cos 1
dx
4)
1sindx2x 21cot 4 xCBÀI 4 : Tìm các nguyên hàm sau :
1)
tan2xdx tanxxC 2)
cot2xdx cotxxC3) tan x lncosx C
2 x 1 4tan xdx 1
tan5 4 2
4)
tan6xdx 51tan5x13tan3xtanxxCBÀI 5 : Tìm các nguyên hàm sau :
1)
(2x1)(x2 x7)3dx= 41(x2 x7)4C 2)
(32x)(x2 3x4)3dx= 14(x23x4)4C3)
x5(1x3)6dx = 31(17x3)7 (18x3)8C 4)
x(1 x) 2012dx = (1 x)20142014 (1 x)20132013CBÀI 6 : Tìm các nguyên hàm sau :
1)
xdxlnx = ln(lnx) + C 2)
xlnx(dx1lnx) = ln 1lnlnxx CIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
BÀI 7 : Tìm các nguyên hàm sau : 1)
exdx1 = xln(ex1)C 2)
dx8 e
e
x
x = 2 ex 8C
BÀI 8 : Tìm các nguyên hàm sau : 1) dx 4 1 x C
x 1 x
2)
(1dxx) x = ln 11 xx CBÀI 9 : Tìm các nguyên hàm sau :
1)
sin3x.cosxdx= 41sin4xC 2)
sin(sin2x)cos2xdx= 21cos(sin2x)C3)
esinx.cosxdx = esinx C 4)
sin2x.cos5xdx= 13sin3x52sin5x71sin7xCBÀI 10 : Tìm các nguyên hàm sau :
1)
e3cosx.sinxdx = 31e3cosx C 2)
esin2x.sin2xdx = esin2x C3)
sincosxdx2x = cos1x C 4)
sin3x.cos9xdx= 101 cos10x121 cos12xCBÀI 11 : Tìm các nguyên hàm sau : 1) etan x2
cos xdx
= etan xC 2)
cosdx4x = tan x33 tan xC3)
sincos5xdx7x = tan x66 C 4)
1 tan xcos x 2 dx= 23 (1 tan x) 3 CBÀI 12 : Tìm các nguyên hàm sau :
1)
sindx4x= cot x33 cot xC 2)
sindx6x = cotgx32cotg3x51cotg5xC3) cotx 12 dx 2cotx 1 cotx 1 C
sin x 3
4)
sin x cos x4 dx 4 8cot 2x83cot 2x3 C BÀI 13 : Tìm các nguyên hàm sau :1) dx 34
3x 5x 6
C6 x 5 x 3 2
5 x
6 3 2 2
3 2
2)
x 3x2 2dx = 91 (3x2 2)3 C3) dx 83
x 1
C1 x
x 3 4 2
3 4
3
4)
2xx353dx = 181 (2x23)3 12 2x33C5) 3 2 (x2 1)2 2 x2 1 2
x x 1dx x 1 x 1 C
5 3
6)
x x 1dx 2(x 1)5 2 x 1 2(x 1)3 x 1 C BÀI 14 : Tìm các nguyên hàm sau :
1)
xcosxdxxsinxcosxC 2)
2xsin2xdxxcos2x21sin2xC5) cosx xsinx cosx C
2 dx x 2 cosx 2 x
sinx
x 2
4)
2x1
exdx
2x3
exCBÀI 15 : Tìm các nguyên hàm sau :
1)
lnxdxx
lnx1
C 2)
ln xdx2 x ln x2 2 x ln x
x
C3)
ln x
x21 dx
x ln x
x2 1
x2 1 C 4)
x ln xdx2 12x ln x2 2 12x ln x2 14x2CBÀI 16 : Tìm các nguyên hàm sau : 1) e sin xdxx 1ex
sin x cos x
C 2
2)
sin
lnx dx 2x
sin
lnx cos
lnx
C3) xdx2 x cot x ln sin x C
sin x
4)
xtan2xdx xtanx21xlncosx CĐỀ THI TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
A. DẠNG 1 : TÌM NGUYÊN HÀM
Câu 1. (CÂU 11 ĐMH 2020 – LẦN 2) Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu
A. F ’(x) = f(x), x K B. f ’(x) = F(x), x K
C. F ’(x) = f(x), x K D. f ’(x) = F(x), x K
Câu 2. (CÂU 14 THPT QG 2020 – LẦN 1)
x2dx bằngA. 2x + C B. x C
3
1 3 C. x3 + C D. 3x3 + C
Câu 3. (CÂU 14 THPT QG 2020 – LẦN 2)
6x5dx bằngA. 6x6 + C B. x6 + C C. x C
6
1 6 D. 30x4 + C
Câu 4. (CÂU 9 ĐMH 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 1 là
A. x3 + C B. x C
3 x3
C. 6x + C D. x3 + x + C
Câu 5. (CÂU 15 THPT QG 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + 5 là
A. x2 + 5x + C B. 2x2 + 5x + C C. 2x2 + C D. x2 + C
Câu 6. (CÂU 7 THPT QG 2018) Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 + x là
A. x4 + x2 + C B. 3x2 + 1 + C C. x3 + x + C D. x C
2 x 1 4
1 4 2
Câu 7. (CÂU 4 THPT QG 2018) Nguyên hàm của hàm số f(x) = x4 + x là
A. x4 + x + C B. 4x3 + 1 + C C. x5 + x2 + C D. x C
2 x 1 5
1 5 2
Câu 8. (CÂU 14 THPT QG 2018) Nguyên hàm của hàm số f(x) = x4 + x2 là
A. 4x3 + 2x + C B. x C
3 x 1 5
1 5 3 C. x4 + x2 + C D. x5 + x3 + C Câu 9. (CÂU 6 THPT QG 2018) Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 + x2 là
A. x4 + x3 + C B. x C
3 x 1 4
1 4 3 C. 3x2 + 2x + C D. x3 + x2 + C Câu 10. (CÂU 10 ĐMH 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = ex + x là
A. ex + x2 + C B. x C
2
ex1 2 C. x C
2 e 1 1 x
1 x 2
D. ex + 1 + C
Câu 11. (CÂU 2 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
2 x 5 x 1
f .
A. ln5x 2 C
5 1 2 x 5
dx
B.
5xdx2 12ln
5x2
CC. 5ln5x 2 C
2 x 5
dx
D.
5xdx2ln5x2 CCâu 12. (CÂU 8 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx.
A.
2sinxdx2cosxC B.
2sinxdxsin2xCC.
2sinxdxsin2xC D.
2sinxdx2cosxCIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Câu 13. (CÂU 11 ĐMH 2020 – LẦN 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx + 6x là A. sinx + 3x2 + C B. sinx + 3x2 + C C. sinx + 6x2 + C D. sinx + C Câu 14. (CÂU 22 ĐMH 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos2x.
A.
sin2x C 2dx 1 x
f
B.
f
xdx21sin2xCC.
f
xdx2sin2xC D.
f
x dx2sin2xCCâu 15. (CÂU 2 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x.
A.
cos3xdx3sin3xC B.
cos3xdxsin33xC C.
cos3xdxsin33xC D.
cos3xdxsin3xCCâu 16. (CÂU 10 ĐMH 2017)Tìm nguyên hàm của hàm số
2 2x x 2 x
f
A.
Cx 2 3 dx x x
f 3
B.
f
xdxx33 x1C C.
f
xdxx33 x2 C D.
f
xdx x33 x1 CCâu 17. (CÂU 9 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 7x.
A.
7xdx7xln7C B.
7xdxln7x7C C.
7xdx7x1C D.
7xdx x7x11 CCâu 18. (CÂU 33 ĐMH 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x(1 + lnx) là
A. 2x2lnx + 3x2 B. 2x2lnx + x2 C. 2x2lnx + 3x2 + C D. 2x2lnx + x2 + C Câu 19. (CÂU 23 ĐMH 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f
x 2x1.A.
2x 1
2x 1 C 3dx 2 x
f
B.
f
x dx 13
2x1
2x1CC.
2x 1 C3 dx 1 x
f
D.
f
x dx 21 2x1CCâu 20. (CÂU 39 THPT QG 2020 – LẦN 1) Cho hàm số
2 x x x
f 2 . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x) = (x + 1)f ’(x) là
A. C
2 x 2
2 x 2 x
2
2
B. C
2 x
2 x
2
C. C
2 x
2 x x 2
2
2
D. C
2 x 2
2 x
2
Câu 21. (CÂU 40 THPT QG 2020 – LẦN 2) Biết F(x) = ex – 2x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Khi đó
f
2x dx bằngA. 2ex – 4x2 + C B. e 4x C 2
1 2x 2 C. e2x – 8x2 + C D. e 2x C
2
1 2x 2
Câu 22. (CÂU 31 THPT QG 2019)
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) =
x 1
21 x 2
trên khoảng (1; ) là
A. C
1 x ) 2 1 x ln(
2
B. C
1 x ) 3 1 x ln(
2
C. C
1 x ) 2 1 x ln(
2
D. C
1 x ) 3 1 x ln(
2
Câu 23. (CÂU 24 ĐMH 2020 – LẦN 1)
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x
2 x
trên khoảng (1; ) là A. x + 3ln(x – 1) + C B. x – 3ln(x – 1) + C C.
x 1
Cx 3 2
D.
x 1
Cx 3 2
Câu 24. (CÂU 28 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + cosx thỏa mãn 2 F 2
.
A. F(x) = cosx – sinx + 3 B. F(x) = cosx + sinx + 3
C. F(x) = cosx + sinx – 1 D. F(x) = cosx + sinx + 1
B. DẠNG 2 : TÌM NGUYÊN HÀM. CHO F(a) TÌM F(b).
Áp dụng công thức : f(x)dx F(x)ab F(b) F(a)
b
a
( ) b ( ) ( )a
F b
f x dx F a Câu 25. (CÂU 12 THPT QG 2017) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
x x x ln
f .
Tính I = F(e) – F(1).
A. I = e B.
e
I 1 C.
2
I 1 D. I = 1
Câu 26. (CÂU 24 ĐMH 2017) Biết F(x) là môït nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 x
1
và F(2) = 1. Tính F(3).
A. F(3) = ln2 – 1 B. F(3) = ln2 + 1 C. F(3) = 2
1 D. F(3) =
4 7
Câu 27. Hàm số f x( )x x 1 có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 2 thì F(3) bằng A. F(3) = 146
15 B. F(3) = 116
15 C. F(3) = 886
105 D. F(3) = 806
105 Câu 28. Hàm số ( )f x x 1 x( )3 có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 1 thì F(1) bằng A. F(1) = 21
20 B. F(1) = 19
20 C. F(1) = 21
20 D. F(1) = 19
20 Câu 29. Hàm số ( ) sin
cos f x x
1 3 x
có một nguyên hàm là F(x). Nếu F 2 2
thì F(0) bằng A. F(0) = 1ln
3 2 2
B. F(0) = 2ln
3 2 2
C. F(0) = 2ln
3 2 2
D. F(0) = 1ln
3 2 2
Câu 30. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx và đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm M(0 ; 1).
Tính F 2
.
A. F 2
2
B. F 1
2
C. F 0
2
D. F 1
2
Câu 31. Biết F(x) là môït nguyên hàm của hàm số ( ) 2x 1
f x x 1
và ( )F 1 2. Tính F(2).
A. ( ) ln2
F 2 4
3 B. ( ) ln2 F 2 2
3 C. ( ) ln2 F 2 4
3 D. ( ) ln2
F 2 2
3 Câu 32. Biết F(x) là môït nguyên hàm của hàm số ( )
( )( )
f x 1
x 3 x 3
và ( ) 5ln
F 1 2
6 . Tính F(2).
A. ( ) ln 1ln
F 2 2 5
6 B. ( ) ln 1ln
F 2 2 5
6 C. ( ) ln 1ln
F 2 2 5
6 D. ( ) ln 1ln
F 2 2 5
6 Câu 33. Biết F(x) là môït nguyên hàm của hàm số ( ) 21
f x x 4
và ( )F 0 8
. Tính F(2).
A. ( )F 2 2
B. ( ) 3
F 2 4
C. ( )F 2
4
D. ( )F 2
4
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
C. DẠNG 3 : TÌM NGUYÊN HÀM. CHO F(a) TÌM F(x) (Tìm F(x) chứ không phải tìm F(b)).
Câu 34. Biết F(x) là môït nguyên hàm của hàm số ( ) 2x 32 ( )
f x x 0
x
và F 1( )1. F(x) là biểu thức nào sau đây
A. ( ) 3
F x 2x 2
x B. ( ) ln 3
F x 2 x 2
x
C. ( ) 3
F x 2x 4
x D. ( ) ln 3
F x 2 x 4
x
Câu 35. (CÂU 28 THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + cosx thỏa mãn 2 F 2
. A. F(x) = cosx – sinx + 3 B. F(x) = cosx + sinx + 3 C. F(x) = cosx + sinx – 1 D. F(x) = cosx + sinx + 1 Câu 36. (THPT QG 2017) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = ex + 2x thỏa mãn F 0
32. A. F x
ex x2 1 2 B. F x
ex x2 5 2 C. F x
ex x2 3 2 D. F x
2ex x2 1 2
Câu 37. (CÂU 13 THPT QG 2017) Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = ex + 2x thỏa mãn 2
) 3 0 (
F . Tìm F(x).
A. 2
x 3 e ) x (
F x 2 B.
2 x 1 e 2 ) x (
F x 2 C.
2 x 5 e ) x (
F x 2 D.
2 x 1 e ) x (
F x 2 D. DẠNG 4 : TÌM NGUYÊN HÀM. HÀM ẨN
Tính chất :
f(x)dx
' = f(x) hay f(x)
f'(x)dx (tức là f(x) là nguyên hàm của hàm số f ’(x)).Câu 38. (CÂU 32 THPT QG 2017) Cho F(x) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x)e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f ’(x)e2x.
A.
f'
x e2xdxx22xC B.
f'
x e2xdxx2xCC.
f'
x e2xdx2x2 2xC D.
f'
x e2xdx2x2 2xCCâu 39. (CÂU 40 THPT QG 2017) Cho F(x) = (x – 1)ex là một nguyên hàm của hàm số f(x)e2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f ’(x)e2x.
A.
f'
x e2xdx
42x
ex C B.
f'
x e2xdx22xex CC.
f'
x e2xdx
2x
ex C D.
f'
x e2xdx
x2
ex CCâu 40. (CÂU 37 ĐMH 2018) Cho hàm số f(x) xác định trên
2
\ 1
R thỏa mãn f ’(x) = 1 x 2
2
, f(0) = 1 và f(1) = 2. Giá trị của biểu thức f(1) + f(3) bằng
A. 4 + ln15 B. 2 + ln15 C. 3 + ln15 D. ln15
Câu 41. (CÂU 37 THPT QG 2017) Cho 3 3 ) 1
(x x
F là một nguyên hàm của hàm số x
) x (
f . Tìm nguyên hàm của hàm số f ’(x)lnx
A.
f'(x)lnxdx lnx3x 51x5 C B.
f'(x)lnxdx lnx3x51x5 CC.
f'(x)lnxdx lnx3x 31x3 C D.
f'(x)lnxdx lnx3x 31x3 CCâu 42. (CÂU 42 THPT QG 2017) Cho F(x) = 2 x 2
1 là một nguyên hàm của hàm số
x x
f . Tìm nguyên hàm của hàm số f ’(x)lnx.
A.
Cx 2
1 x
x xdx ln
ln x '
f 2 2
B.
f'
x lnxdx lnx2xx12 CC.
Cx 1 x
x xdx ln
ln x '
f 2 2
D.
f'
x lnxdx lnx2x21x2 CCâu 43. Cho hàm số y = f(x) có f ’(x) = 1 x
x
4 3
. Biết f(1) = ln2. Tính f(2).
A.
ln24 17 3 4ln 2 1
f B.
ln24 17 1 4ln 2 1
f
C.
ln24 17 1 4ln 2 1
f D.
ln24 17 3 4ln 2 1
f
Câu 44. Cho hàm số f(x) xác định trên R\1/2 thỏa
1 x 2 ) 2 x ( '
f , f(0) = 1. Giá trị của f(1) + f(3) bằng
A. 4 + ln15 B. 3 + ln15 C. 2 + ln15 D. ln15
Câu 45. Cho hàm số f(x) xác định trên R\
2;1
thỏa mãn2 x x ) 1 x ( '
f 2
, f(–3) – f(3) = 0 và 3
) 1 0 (
f . Giá trị của biểu thức f(4) + f(–1) – f(4) bằng
A. ln2
3 1 3
1 B. 1 + ln80 C.
5 ln4 3 2 1 ln
1 D.
5 ln8 3 11
Câu 46. Cho hàm số f(x) xác định trên R\
1;1
thỏa1 x ) 1 x ( '
f 2
; 2
2 f 1 2
f 1
và f(–3) + f(3) = 0.
Tính giá trị của biểu thức P = f(0) + f(4)
A. 5
ln3 2
P B.
5 ln3 1
P C.
5 ln3 2
11 D.
5 ln3 2 P1
Câu 47. Cho hàm f(x) xác định trên R\
1;1
thỏa1 x ) 1 x ( '
f 2
; 2
2 f 1 2
f 1
và f(–3) + f(3) = 0.
Tính giá trị của biểu thức T = f(–2) + f(0) + f(4) bằng:
A. 9
ln5 2 2 1
T B.
5 ln9 2 1 1
T C.
5 ln9 2 3 1
T D.
5 ln9 2 T1
Câu 48. Cho hàm số f(x) xác định trên R thỏa mãn f ’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5. Phương trình f(x) = 5 có 2 nghiệm x1, x2. Tính tổng Slog2 x1 log2 x2
A. S = 1. B. S = 2. C. S = 0. D. S = 4.
Câu 49. Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên (0 ; +) thỏa mãn
15 ) 1 2 (
f và
2x 4
f (x) 0 )x ( '
f 2 . Tính tổng f(1) + f(2) + f(3) A. 7
15. B. 11
15. C. 11
30. D. 7
30.
Câu 50. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R. Biết f6(x).f'(x)12x130 và f(0) = 2. Khi đó phương trình f(x) = 3 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2. B. 3. C. 7. D. 1.
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Câu 51. Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn
; 2
0 thỏa f(x).f'(x)cosx. 1f2(x) với mọi
0; 2
x và f(0) 3. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn
; 2 6
A. ;M 2 2
2
m 21 B. ;M 3
2
m 5 C. ;M 3
2
m 5 D. m 3;M2 2 Câu 52. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(x) > 0, x R. Biết f(0) = 1 và 2 2x
) x ( f
) x ( '
f . Tìm
các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt.
A. m > e. B. 0 < m 1. C. 0 < m < e. D. 1 < m < e.
Câu 53. Cho hàm số y = f(x) với x 0 thỏa mãn
1 ) 0 ( f
0 ) x ( ' f
0 ) x ( xf ) x ( ' f 2 ) x ( f ).
x (
"
f 2 3
. Tính f(1)?
A. 2
3. B. 3
2. C. 6
7. D. 7
6. Câu 54. Cho hàm số f(x) liên tục, dương trên R thỏa f(0) = 1và
1 x
x ) x ( f
) x ( ' f
2
. Khi đó Tf
2 2 2f(1)thuộc
A. (2 ; 3). B. (7 ; 9). C. (0 ; 1). D. (9 ; 12).
Câu 55. Cho hàm số f(x) liên tục, dương trên khoảng (0 ; +) và thỏa mãn f(1) = 1 và f(x)f'(x) 3x1 với mọi x > 0. mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4 < f(5) < 5. B. 2 < f(5) < 3. C. 3 < f(5) < 4. D. 1 < f(5) < 2.
Câu 56. Cho hàm f(x) thỏa
f'(x)
2f(x).f"(x)15x412x, x R và f(0) = f ’(0) = 1. Giá trị của f2(1) bằngA. 9
2. B. 5
2. C. 10. D. 8.
Câu 57. Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0 ; +); y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng (0 ; +) và thỏa mãn
3 ) 2 3 (
f và
f'(x)
2
x1
f(x). mệnh đề nào sau đây đúng?A. 2613 < f2(8) < 2614. B. 2614 < f2(8) < 2615. C. 2618 < f2(8) < 2619. D. 2616 < f2(8) < 2617.
ĐÁP ÁN NGUYÊN HÀM
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án C B B D A D D B B B
Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Đáp án A D A A B A B D B B
Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Đáp án B B A D C B A A B A
Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Đáp án C D C D D A D C C B
Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Đáp án C A D C B C B A D A
Câu 51 52 53 54 55 56 57
Đáp án A C C C C D A
LÝ THUYẾT NGUYÊN HÀM
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG I. ĐỊNH NGHĨA.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu F’(x) = f(x),x (a ; b).
Thí dụ : F(x) = x2 là một nguyên hàm của f(x) = 2x vì (x2)’ = 2x.
Định lý : Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b). Khi đó : a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
b) Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc khoảng (a ; b).
Thí dụ : Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x2 trên R thỏa mãn điều kiện F(1) = –1.
Giải : Vì y = x3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 nên F(x) = x3 + C. Vì F(1) = –1 nên 13 + C = –1.
Suy ra C = –2. Vậy F(x) = x3 – 2.
Nếu hàm số f(x) có một nguyên hàm F(x) thì nó có vô số nguyên hàm, và tất cả các nguyên hàm đó đều có dạng F(x) + C, trong đó C là hằng số tùy ý. Người ta dùng ký hiệu
f(x)dx để chỉ họ tất cả các nguyên hàm của f(x).
f(x)dx = F(x) + C F’(x) = f(x) Thí dụ1 :
1)
2xdx = x2 + C 2)
dxx = ln x + C 3) 22 ln x 1 x
x 1
dx
+ C4) ln x x 1 C
1 x
dx 2
2
5)
xdx2a2 ln x x2a2 C 6)
x2dxa2 2a1 ln x ax a C (a0) Thí dụ2 :
1) Tìm a, b để hàm số F(x) ax b x 5
là một nguyên hàm của hàm số 1 2 f (x)
(x 5)
và F(6) = 8.
2) Tìm nguyên hàm của hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x2 – x + 3 và đồ thị hàm F(x) đi qua điểm M(6 ; 5).
Mọi hàm số liên tục trên (a ; b) đều có nguyên hàm trên khoảng đó. Trong chương này ta luôn giả thiết các hàm đang xét đều liên tục trên khoảng xác định của chúng nên chúng đều có nguyên hàm trên khoảng đó. Trong các bài toán tìm nguyên hàm, nếu không nói gì thêm ta hiểu là cần tìm nguyên hàm trên mỗi khoảng xác định của chúng.
Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm và nói chung là khó hơn.
II. CÁC TÍNH CHẤT
Tính chất 1 :
f(x)dx
' = f(x) Tính chất 2 :
af(x)dxa
f(x)dx (a 0) Tính chất 3 :
[f(x)g(x)]dx
f(x)dx
g(x)dxIII. SỰ TỒN TẠI CỦA NGUYÊN HÀM
Định lý : Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
IV. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
1) Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp
1)
0dx= C 2)
1dx= x + C 3)
xdx = x22 + C 4)
exdx = ex + C5)
axdx lnaxa C (0 < a 1) 6) (ax22 bx c) ' 2dx ln ax bx c C (a 0) ax bx c
7) tan xdx sin x dx (cos x) 'dx ln cos x C cos x cos x
8)
cot xdx
cos xsin x dx
(sin x) 'sin x dxln sin x C2) Bảng nguyên hàm
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Một số công thức nguyên hàm mở rộng 1)
xndx nxn11 C (n –1; n R) 1)
(axb)ndx= a1(axnb1)n1 C2)
dxx = ln x + C 2) dxaxb
= a1ln axb C (a 0)3)
dxx2 = x1+ C 3)
xdxn (n1)1xn1 C (x 0)4) 2 x C
x
dx
(x 0) 4)
axdxb = a2 axbC (a 0)5)
cosx.dxsinxC 5)
cos(axb)dx = a1sin(axb)C (a 0)6)
sinx.dxcosxC 6)
sin(axb)dx = a1cos(axb)C (a 0)7)
exdx = ex + C 7) ax b 1 ax be dx e C
a
8) 2
2
dx 1 tan x dx tan x C
cos x
8)
cos (ax2dx b) 1atan(ax b) C9) 2
2
dx 1 cot x dx cot x C
sin x
9)
sin (ax2 dxb) 1acot(ax b) C3) Một số kỹ thuật đổi biến :
1) Nếu hàm số có chứa dấu ngoặc hoặc kèm theo lũy thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có lũy thừa cao nhất.
2) Xét xem hàm số dưới dấu tích phân có biểu thức nào là đạo hàm của biểu thức kia không ? 3) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa mẫu số thì đôi khi đặt t là mẫu số.
4) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa x
dx thì có thể đặt t = lnx.
5) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa exdx thì có thể đặt t = ex. 6) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa
x
dx thì có thể đặt t = x . 7) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa cosxdx thì có thể đặt t = sinx.
8) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa sinxdx thì có thể đặt t = cosx.
9) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa x cos
dx
2 thì có thể đặt t = tgx.
10) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa x sin
dx
2 thì có thể đặt t = cotgx.
11) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn thức.
a) Nếu bậc trong căn lớn hơn bậc ngoài căn một bậc thì đặt t là biểu thức bên trong dấu căn.
b) Nếu bậc trong căn nhỏ hơn hoặc bằng bậc ngoài căn thì đặt t là nguyên biểu thức căn.
4) Phương pháp nguyên hàm từng phần :
Loại 1 : I = dx e
x cos
x sin . ) x ( p
x
. Đặt u = p(x) và đặt dv =
ex
x cos
x sin
dx.
Loại 2 : I =
ba
xdx ln ).
x (
p . Đặt u = lnx và đặt dv = p(x)dx
Loại 3 :I
sin(axb).exdxhayI
cos(axb).exdx.Đặt u = hàm lượng giác và tính vi phân; đặt dv = hàm mũ và tính nguyên hàm (hoặc ngược lại).
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG
Nguyên hàm cơ bản :
1)
(axb)ndx= a1(axnb1)n1 C2)
axdxb = a1ln axb C (a 0)3) C
x ) 1 n (
1 x
dx
1 n
n
(x 0)4) dx n 1 1 n 1
(ax b) a (n 1)(ax b) C
(n 1 ; a 0) Một số phép biến đổi đồng nhất :
1) xdx (x 1) 1 1
dx 1 dx
x 1 x 1 x 1
2) xdx5 (x 1) 15 1 4 1 5
dx dx
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
3) dx 1 1
x(x 1) x x 1 dx
4)I
x2dx9
x 3 x 3 dx
16
x 31 x 31 dx5) 2 1 1 1 1
I dx dx dx
x 5x 6 (x 3)(x 2) x 3 x 2
6) dx2 (x 1) x dx dx2 1 1 1 1 1
dx dx dx
x(x 1) x(x 1)(x 1) x(x 1) x 1 x 1 x 2 x 1 x 1
7)
2 2
2 2 2 2
dx x (x 1) dx x 1 dx 1 1
dx dx dx
x (x 1) x (x 1) x 1 x x 1 x x
8) x3 1
x3 1
2 (x 1)(x2 x 1) 2 2 2dx dx dx x x 1 dx
x 1 x 1 x 1 x 1
9)
x3(dxx1)
xx33(x(x31) 1)dx
xdx1
(x1)(xx23x1)dx
xdx1
x1x12 x13dx10)
x3dxx5
(1x3(x12)x2x)2dx
x13 x(11x2)dx
x13dx
(1x(1x2)x2)x2dx
x13dx
x11xx2dx11)
x x x
x x x
dx 1 (e 2014 e ) 1 e
dx 1 dx
e 2014 2014 e 2014 2014 e 2014
12)
3 3 2
2 2 2
x 2x 1 (x 1) 3(x 1) 5(x 1) 2 dx dx
dx dx (x 1)dx 3 dx 5 2
x 2x 1 (x 1) x 1 (x 1)
13)
2 2
5 5 3 4 2
2x 1 2(x 1) 4(x 1) 3 dx dx dx
dx dx 2 4 3
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
14)
2 2
4 2 2 2 2 2
xdx x[(x 2) (x 1)] x x
dx dx dx
x 3x 2 (x 1)(x 2) x 1 x 2
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
I. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH & BIẾN ĐỔI
Để tính
f(x)dx ta phân tích f(x) dưới dấu tích phân theo một tổng những hàm số rồi áp dụng những công thức nguyên hàm căn bản. Nguyên hàm chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x) mà không phụ thuộc vào ký hiệu biến số. Nói cách khác, các nguyên hàm :
f(x)dx,
f(t)dt,
f(u)du, … là như nhau. Nếu tử thức là một đạo hàm của mẫu thức dạng :
(axax22bxbxcc)'dx = ln ax2 bxc C (a 0)1) Nếu gặp dạng lượng giác mà có thể biến đổi được thì nên biến đổi trước khi lấy nguyên hàm.
Nếu gặp dạng lượng giác mà có thể biến đổi được thì nên biến đổi trước khi lấy nguyên hàm.
Một số công thức biến đổi lượng giác thường dùng : sin2 + cos2 = 1 ; tan =
cos
sin ; cot =
sin
cos ; tan.cot = 1 ; 1 + tan2 =
cos2
1 ; 1 + cot2 =
sin2
1 cos2a =
2 a 2 cos
1 ; sin2a = 2
a 2 cos
1 ; sin3a = 3sina – 4sin3a sin3a =
4 3 sin sin
3 a a
cos3a = 4cos