CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
1. TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định lý : (Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. Nếu f(a) f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và (b), tồn tại ít nhất một điểm c (a ; b) sao cho f(c) = M.
Ý nghĩa hình học của định lý :
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và M là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c (a ; b).
Hệ quả 1 : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c (a ; b) sao cho f(c) = 0.
Hệ quả 2 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a).f(b) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a ; b).
Ý nghĩa hình học của hệ quả :
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị của hàm số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c (a ; b).
2. PHƯƠNG PHÁP
Chứng minh phương trình f(x) = g(x) có nghiệm là một ứng dụng rất quan trọng của hàm số liên tục trên đoạn.
Cần nhớ : Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên khoảng (a ; b), ta thực hiện các bước sau :
Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b].
Chứng minh f(a).f(b) < 0.
Phương pháp chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm
1) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm, ta thực hiện các bước sau : Bước 1 : biến đổi phương trình thành dạng f(x) = 0.
Bước 2 : Tìm hai số a, b sao cho f(a).f(b) < 0.
Bước 3 : Chứng minh hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b].
Bước 4 : Kết luận phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 (a ; b).
2) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất n nghiệm, ta thực hiện các bước sau : Bước 1 : biến đổi phương trình thành dạng f(x) = 0.
Bước 2 : Tìm n cặp số ai, bi sao cho các khoảng (ai ; bi) rời nhau và f(ai).f(bi) < 0, với I = 1, 2, … , n Bước 3 : Chứng minh hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b].
Bước 4 : Kết luận phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xi (ai ; bi).
Chú ý 1 :
Khi phương trình f(x) = 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho :
f(a), f(b) không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi (hoặc chỉ dương hoặc chỉ âm)
Hoặc f(a), f(b) chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.
Chú ý 2 :
Nếu f(a).f(b) 0 thì phương trình có nghiệm thuộc [a ; b].
Để tìm được f(a) và f(b) thỏa f(a).f(b) 0, chúng ta có thể dùng các kết quả sau : + Trong bốn số thỏa f(a)f(b)f(c)f(d) 0 luôn có hai số có tích 0.
+ Trong ba số thỏa f(a) + f(b) + f(c) = 0 luôn có hai số có tích 0.
Có thể thay f(a) hay f(b) bởi giới hạn của f(x) khi x . Khi đó, ta có : + Nếu f liên tục trên [a ; ) và có f
a.lim f
x 0x
thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a ; ).
Nếu f liên tục trên ( ; a] và f
a.lim f
x 0x
thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc ( ; a).
3. BÀI TẬP BÀI 1 :
1)
Chứng minh rằng phương trình 2x5 + 3x + 2 = 0 có nghiệm. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = 2x5 + 3x + 2
Ta có f(x) là một hàm số liên tục trên R. Mặt khác : f(–1) = 3 < 0 ; f(0) = 2 > 0
f
1.f 0 0Vậy phương trình luôn có một nghiệm thuộc khoảng (–1 ; 0).
2)
Chứng minh rằng : 3x44x36x212x200 có nghiệm. Hướng dẫn :
Đặt f
x 3x44x36x212x20Vì hàm số f là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R
hàm số liên tục trên các đoạn
3,0
và
0 ,3
1 Trên đoạn
3,0
, ta có :
20 0
f
241 20 3 12 3 6 3 4 3 3 3
f 4 3 2
3 .f 0 241.
20
4820 0f
2Từ
1 và
2 phương trình f
x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
3,0
Trên đoạn
0 , ta có : ,3
97 20 3 . 12 3 . 6 3 . 4 3 . 3 3 f
20 0
f
2 3 4
0 .f 3 20.97 1940 0f
3Từ
1 và
3 phương trình f
x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
0,3Vậy phương trình : 3x44x36x212x200 có ít nhất 2 nghiệm thuộc
3,3
.3)
Chứng minh rằng phương trình x5 + 2x4 – 3x – 2 = 0 có ít nhất một nghiệm. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = x5 + 2x4 – 3x – 2
Ta có f(x) là một hàm số liên tục trên R. Mặt khác : f(0) = 2, f(1) = 2, f
0 .f 1 0Theo kết quả của định lý 4 nên tồn tại (1 ; 0) sao cho f() = 0. Điều này chứng tỏ là một nghiệm của phương trình.
4)
Chứng minh rằng phương trình
x199
4. x200
32x3990 có ít nhất một nghiệm thực. Hướng dẫn :
Đặt f
x x199
4. x200
32x399.Hàm số f là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R hàm số f liên tục trên
199,200
.Ta có :
f
199 .f 200 1 .1 1 0 1399 200 . 2 200 200 . 199 200 200
f
1 399 199 . 2 200 199 . 199 199 199
f
3 4
3 4
phương trình f
x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
199;200
Vậy phương trình
x199
4. x200
32x3990 có ít nhất một nghiệm thực.5)
Chứng minh phương trình : 4x4 + 2x2 + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (1 ; 1). Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = 4x4 + 2x2 + x – 3 trên [0; 1] và [1 ; 0] ta có :
f liên tục trên [1 ; 0] và [0 ; 1]
f(1).f(0) = 2.(–3) < 0 và f(0).f(1) = –3.4 < 0
Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 (1 ; 0) và x2 (0 ; 1).
6)
Chứng minh rằng phương trình : 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên khoảng (–2 ; 2). Hướng dẫn :
Hàm số f
x 2x36x1 liên tục trên đoạn
2;2
Ta có :
2 3 0f ; f
0 10 ; f
1 30 ; f
2 50
2 .f 0 0f
nên phương trình có nghiệm
2;0
f
0 .f1 0 nên phương trình có nghiệm
0 ;1 f
1.f 2 0 nên phương trình có nghiệm
1;2Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên khoảng (–2 ; 2).
7)
Chứng minh rằng phương trình : 2x36x10 vô nghiệm trên các khoảng
;2
và
2;
(tức là vô nghiệm khi x 2). Hướng dẫn :
Hàm số f
x 2x36x1 liên tục trên đoạn
2;2
Ta có : f
2 30, f
0 10, f
1 30, f
2 50
2 .f 0 0f
nên phương trình có nghiệm
2;0
0 .f 1 0f nên phương trình có nghiệm
0 ;1
1 .f 2 0f nên phương trình có nghiệm
1;2Vậy ta có thể viết phương trình đã cho dưới dạng : 2x36x12
xx1
xx2
xx3
0Suy ra phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm x1, x2, x3 mà cả 3 nghiệm này đều nằm trong khoảng
2;2
. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm trên 2 khoảng
;2
và
2;
.8)
x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm trong khoảng (2 ; 5). Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2 liên tục trên R
f(x) liên tục trên đoạn [0 ; 1], [1 ; 2] và [2 ; 3] chứa trong [2 ; 5].
Mặt khác, ta có: f(0) = 2 và f(1) = 1, f(2) = 8 và f(3) = 13.
Do đó f(0).f(1) < 0, f(1).f(2) < 0 và f(2).f(3) < 0. Suy ra f(x) = 0 có ba nghiệm, một nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1), một nghiệm thuộc khoảng (1 ; 2) và nghiệm còn lại thuộc khoảng (2 ; 3).
Vậy f(x) = 0 có ba nghiệm trong khoảng (2 ; 5).
9)
Chứng minh rằng phương trình x36x120 có nghiệm dương. Hướng dẫn :
Xét hàm số f
x x36x12Ta có : f(0) = 1 – 2 = –1 < 0 ; f(1) = 822 220 f(0).f(1) < 0 Mặt khác f(x) liên tục trên [0 ; 1]
phương trình có nghiệm x (0 ; 1)
phương trình có nghiệm dương.
10)
x5 – 5x – 1 = 0 có ít nhất ba nghiệm. Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = x5 – 5x – 1 trên các đoạn [2 ; 1], [1 ; 0] và [0 ; 3].
Từ đó suy ra, phương trình x5 – 5x – 1 = 0 có ít nhất ba nghiệm.
11)
2x3 – 10x – 7 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = 2x3 – 10x – 7, ta có: f(1) = 1 ; f(0) = 7 ; f(3) = 17 Nên f(1).f(0) = 7 < 0 và f(0).f(3) = 119 < 0
Mặt khác: f(x) = 2x3 – 10x – 7 là hàm đa thức nên liên tục trên [1 ; 0] và [0 ; 3].
Suy ra, phương trình 2x3 – 10x – 7 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
12)
Chứng minh rằng phương trình x3 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn –1. Hướng dẫn : Đặt f(x) = x3 + x + 1
Hàm số y = f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R
Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
2
; 1
1 . (1)
Mặt khác, ta có : f(–1) = 1, f(0) = 1, f
1.f 0 (1).10 (2)Từ (1) và (2) Phương trình x3 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (–1 ; 0).
phương trình x3 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn –1.
13)
Chứng minh : phương trình x32x23x7 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2. Hướng dẫn :
Đặt f
x x32x23x7Ta có : hàm số f là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R f(x) liên tục trên
,3 10
21
1Ta có :
11 7 3 . 3 3 . 2 3 3 f
259 , 0 10 7
3 21 10
2 21 10
21 10
f 21
2 3
2 3
f
3 0,259.11 2,849 0 10f 21
2Từ
1 và
2 suy ra : phương trình f
x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
;3 10 21 . Vậy phương trình : x32x23x70 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2.
14)
100x3 – 10x – 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm âm. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = 100x3 – 10x – 1, hàm số xác định và liên tục trên R liên tục trên mọi đoạn trong R
f(1) = 91 < 0 ; 0
5 1 5
f 1
; f(0) = 1 < 0
5 0
f 1 1 f
5
; 1 1 đoạn trên tục liên f
phương trình f(x) = 0 có nghiệm x1
5
; 1 1
0 0 5 f f 1
0 5; đoạn 1 trên tục liên f
phương trình f(x) = 0 có nghiệm x2
;0 5 1
Vậy phương trình 100x3 – 10x – 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm âm.
15)
Chứng minh rằng phương trình : x5 26x210 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng
1;1
. Hướng dẫn :
Đặt f
x x5 26x2 1Hàm số có tập xác định là R nên liên tục trên R liên tục trên
1;1
f
1 1 261 260 f
0 10 f
1 1 2610Vì f
1.f 0 0 nên phương trình có nghiệm thuộc
1;0
Vì f
0 .f1 0 nên phương trình có nghiệm thuộc
0 ;1 Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc
1;1
.16)
Chứng minh rằng phương trình x2cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; ). Hướng dẫn :
Đặt f(x) = x2cosx + xsinx + 1
Hàm số f(x) xác định trên R nên liên tục trên R.
hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0 ; ]. (1)
Mặt khác : f(0) = 1 > 0 và f() = 2cos + sin + 1 = 1 – 2 < 0
f(0).f() = 1 – 2 < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; ).
17)
Chứng minh phương trình cosx = x2 + x có nghiệm. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = cosx – x2 – x
Vì hàm số f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên R
hàm số liên tục trên
; 2
0 (1)
f(0) = cos0 – 0 – 0 = 1 > 0
4 2 2
2 cos 2
f 2 2
2
< 0.
Ta có :
04 2 f 2
0
f 2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
; 2
0 .
18)
x5 – 5x3 + x2 + 5 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = x5 – 5x3 + x2 + 5. Hàm số f(x) liên tục trên R.
Ta có: f(0) = 5 > 0
Vì
f x
xlim nên tồn tại một số âm a sao cho f(a) < 0.
Vì f(0).f(a) < 0 nên theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực c (a ; 0) sao cho f(c) = 0.
Số x = c là một nghiệm âm của phương trình đã cho.
19)
x3 + 2018x2 + 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. Hướng dẫn :
Hàm số f(x) = x3 + 2018x2 + 0,1 liên tục trên R.
Ta có: f(0) = 0,1 > 0.
Vì
f x
xlim nên tồn tại một số thực a sao cho f(a) < 0.
Vì f(0).f(a) < 0 nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực c (a ; 0) sao cho f(c) = 0.
Vậy x = c là một nghiệm âm của phương trình đã cho.
20)
x3 – 2018x2 – 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm dương. Hướng dẫn :
Hàm số f(x) = x3 – 2018x2 – 0,01 liên tục trên R.
Ta có: f(0) = 0,01 < 0.
Vì
f x
xlim nên tồn tại một số thực b đủ lớn sao cho f(b) > 0.
Vì f(0).f(b) < 0 nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực c (0 ; b) sao cho f(c) = 0.
Vậy x = c là một nghiệm dương của phương trình đã cho.
21)
x3 + ax2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c R. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = x3 + ax2 + bx + c
Hàm số f(x) xác định trên R nên liên tục trên R.
Nhận xét rằng :
f x lim
x nên tồn tại một số âm x1 sao cho f(x1) < 0.
f x
xlim nên tồn tại một số dương x2 sao cho f(x2) > 0.
f(x1). f(x2) < 0
phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi số thực a, b, c.
22)
Chứng minh rằng phương trình : 03 2 3
b cx 2 bx ax
x4 3 2 luôn có nghiệm.
Hướng dẫn : Xét hàm số
3 2 3
b cx 2 bx
ax x ) x (
f 4 3 2 ta có :
f liên tục trên R
3 2 3
b 0 2
f ;
3 c 1 3 a b ) 1 (
f và
3 c 1 3 a b 1
f
f(0) + f(1) + f(1) = 0 trong ba số f(0), f(1), f(1) phải có hai số có tích 0
phương trình đã cho có nghiệm.
23)
Chứng minh rằng phương trình x3 + 1011x2 + 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = x3 + 1001x2 + 0,1
Hàm số f(x) xác định trên R nên liên tục trên R.
Ta có f(0) = 0,1 > 0
Mặt khác vì
f x lim
x nên tồn tại một số âm a sao cho f(a) < 0.
Vì f(0).f(a) < 0 nên theo hệ quả của định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số thực c thuộc khoảng (a ; 0) sao cho f(c) = 0. Số x = c là một nghiệm âm của phương trình đã cho.
Chú ý :
Nếu hàm số f liên tục trên [a ; ) và có f
a.lim f
x 0x
thì PT f(x) = 0 có nghiệm thuộc (a ; ).
24)
Chứng minh rằng phương trình x4 – x – 3 = 0 có nghiệm x0 (1 ; 2) và x0 712 . Hướng dẫn :
Xét f(x) = x4 – x – 3 trên [1 ; 2], ta có : f liên tục trên [1 ; 2]
f(1).f(2) = 3.3 < 0
phương trình có nghiệm x0 (1 ; 2)
Khi đó : x40x030x40 x032 3x0 x80 12x0x70 12x0 712 Dấu “=” xảy ra x0 = 3 (vô lí), vậy x0 712.
25)
x5 – x – 2 = 0 có nghiệm duy nhất x0 3 2.Xét hàm f(x) = x5 – x – 2 liên tục trên R và f(1) = 2 ; f(2) = 28 f(1).f(2) < 0
Ta chứng minh được hàm f(x) đồng biến trên (1 ; 2) nên x5 – x – 2 có nghiệm duy nhất x0 (1 ; 2).
Ta có: x50 x0 22 2x0 x010 8x0 x09 8x0 3 2.
26)
x3 – 3x2 – 1 có nghiệm x0 (3 ; 4). Không tính f
5 36 ; f
15 36
. Hãy chứng minh x0 15 36 a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 (3 ; 4).f(x) = x3 – 3x2 – 1: hàm số xác định và liên tục trên R nên liên tục trên mọi đoạn trong R.
Ta có: f(3) = 27 – 27 – 1 = 1 và f(4) = 64 – 48 – 1 = 15
Khi đó:
0 4 f.
3 f
4
; 3 đoạn trên tục liên
f phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 (3 ; 4) b) Không tính f
5 36 ; f
15 36
. Hãy chứng minh x0 15 36Ta có: f(x) = x3 – 3x2 – 1 = x3 – 3x2 + 3x – 3x + 3 – 3 – 1 = (x – 1)3 – 3(x – 1) – 3 x0 là nghiệm của phương trình f(x) = 0 (x0 – 1)3 – 3(x0 – 1) – 3 = 0
Đặt t0 = x0 – 1. Vì x0 (3 ; 4) nên t0 = x0 – 1 (2 ; 3) và t03 – 3t0 – 3 = 0 t03 = 3t0 + 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm 3t0 và 3, ta có:
3 . t 3 2 3 t 3
t03 0 0 t06 4.9t0 t05 36 t0 5 36
Dấu “=” xảy ra 3t0 = 3 t0 = 1 (2 ; 3) t0 5 36 x0 15 36
27)
x3 + x – 1 = 0 có nghiệm duy nhất x0 thỏa mãn2 x 1
0 0 . Xét hàm số f(x) = x3 + x – 1, ta có f(0) = 1 và f(1) = 1 nên f(0).f(1) < 0.
Mặt khác: f(x) = x3 + x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [0 ; 1].
x x x x 1x x
1 x x x x x x x
x
1 x x 1 x x x
x x f x
f 2
2 2 1 2 1 2
1
2 2 2 1 2 1 2 1 2
1
1 3 2 1
3 1 2
1 2
1
0 4 1
x 3 2
x x
2 2 2
1 2
với mọi x1, x2 thuộc R
Suy ra f(x) = x3 + x – 1 đồng biến trên R nên phương trình x3 + x – 1 = 0 có nghiệm duy nhất x0 (0 ; 1).
Theo bất đẳng thức Cô-si:
2 x 1 2 0
x 1 x
2 1 x
2 x x
1 03 0 04 02 02 0
28)
ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x0 [0 ; 1] biết 2a + 2b + 3c = 0.Giả thiết cho 2a + 2b + 3c = 0 a + b = c 2
3
Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1)
Ta có: f(x) = ax2 + bx + c là đa thức liên tục trên R (1) f(0) = c ; f(1) = a + b + c = c
2 c 1 2c
3
f(0).f(1) = c 0
2 1 2
(2)
Từ (1) và (2) (1) có nghiệm x0 [0 ; 1]
29)
ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm thuộc (0 ; 1) với 2a + 3b + 6c = 0.Xét f(x) = ax2 + bx + c trên [0; 1] ta có :
f(x) liên tục trên [0 ; 1]
f(0) = c,
3 c 9
c 3 c 6 b 3 a 2 2 9
c 9 b 6 a c 4 3
b 2 9
a 4 3
f 2
3 c 3 f 2 0
f 2
_ Nếu c = 0 thì (1) có nghiệm
a x b 0
x
Vì
0;13 2 a 0 b b 3 a
2
_ Nếu c 0 thì
0 3 f 2 0f
tồn tại
0;13
;2 0
x0
sao cho f(x0) = 0.
Vậy phương trình luôn có nghiệm thuộc (0 ; 1).
30)
ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm trong 3;1
0 và thỏa mãn 2a + 6b + 19c = 0.
Xét hàm số f(x) = ax2 + bx + c (a 0) liên tục trên R.
Tính: f(0) = c ;
a 3b 9c
9 1 3
f 1
;
03 f 1 18 0
f
Suy ra: f(0),
3
f 1 trái dấu hoặc
0 3 f 1 0f
Vậy phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm trong 3
;1 0 .
31)
atan2x + btanx + c = 0 thỏa 2a + 3b + 6c = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng
k
;4
k , k Z.
atan2x + btanx + c = 0 (1) và 2a + 3b + 6c = C
Đặt t = tanx với
k
;4 k
x t (0 ; 1), ta có: at2 + bt + c = 0 (2)
TH1: Nếu c = 0 thì at2 + bt = 0 + Khi a = 0 thì b = 0 ...
+ Khi a 0 thì
3 2 a b
, từ phương trình at2 + bt = 0
3 t 2 0 t ...
TH2: Nếu c 0, ta có: f(0) = c và
3 c c 9 c 9 12 1 3
f 2
...
Phương trình (2) có nghiệm
0;1 3;2 0
Nêân phương trình (1) có nghiệm trong khoảng
k
;4
k , k Z.
BÀI 2 : Chứng minh rằng phương trình :
1)
Chứng minh rằng phương trình m(x – 1)(x + 2) + 2x + 1 = 0 luôn luôn có nghiệm m R. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = m(x – 1)(x + 2) + 2x + 1. Hàm số f(x) xác định trên R nên liên tục trên R.
Mặt khác : f(1) = 3 và f(–2) = –3 f(1).f(–2) = 3.(–3) < 0, m R
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–2 ; 1).
Vậy phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm m R.
2)
Chứng minh rằng phương trình m(x – 1)2018(x – 3) + 2x – 5 = 0 luôn luôn có nghiệm m R. Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = m(x – 1)2018(x – 3) + 2x – 5 trên [1 ; 3], ta có :
f(x) liên tục trên [1 ; 3]
f(1) = 3 và f(3) = 1 f(1).f(3) < 0
Vậy tồn tại x0 (1 ; 3) sao cho f(x0) = 0. Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
3)
x4 + mx2 – (4m + 1)x + 3m – 3 = 0 luôn luôn có nghiệm với mọi tham số m. Hướng dẫn:
Ta có: x4 + mx2 – (4m + 1)x + 3m – 3 = 0 m(x2 – 4x + 3) + x4 – x – 3 = 0
Đặt f(x) = m(x2 – 4x + 3) + x4 – x – 3, hàm số xác định và liên tục trên R liên tục trên mọi đoạn trong R f(1) = 3 < 0 ; f(3) = 75 > 0
Ta có:
0 3 f.
1 f
3
; 1 đoạn trên tục liên
f phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 (1 ; 3)
Vậy phương trình: x4 + mx2 – (4m + 1)x + 3m – 3 = 0 luôn luôn có nghiệm với mọi tham số m.
4)
Chứng minh rằng m phương trình mx sin
1 x cos
1 luôn có nghiệm.
Hướng dẫn : Điều kiện :
2
x k, k Z
1 sinxcosxm.sinx.cosx0Xét hàm số f
x sinxcosxm.sinx.cosx liên tục trên đoạn
;2
0 . Ta có :
0f 2 . 0 0 f
2 1 f
0 1 0 f
phương trình f
x 0 luôn có một nghiệm thuộc
; 2 0
Vậy phương trình luôn có một nghiệm thuộc khoảng
; 2
0 .
5)
Chứng minh rằng m phương trình cosx + m.cos2x = 0 luôn có nghiệm. Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = cosx + mcos2x trên 4
;3
4 , ta có :
f(x) liên tục trên 4
;3
4 .
2
2 f 4
;
2 2 4
f 3
0
4 f 3
f 4
, m R
Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
6)
Chứng minh rằng phương trình 2sinx + cosx + m.cos2x = 0 luôn có nghiệm với mọi m. Hướng dẫn:
Đặt f(x) = 2sinx + cosx + m.cos2x.
Ta có f(x) liên tục trên R và có: 0 2 2 2 2
2 2 f 4
f 4
Do đó phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc
;4 4 .
7)
Chứng minh rằng phương trình (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 = 0 luôn luôn có nghiệm m R. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3
Hàm số f(x) xác định trên R nên liên tục trên R.
Ta có : f
1 10, f
2 m220,mf
1.f 2 0 nên phương trình có nghiệm
2;1
Vậy phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm m R.
8)
Chứng minh rằng phương trình (m2 + 1)(x3 – 1) – 6 = 0 có ít nhất một nghiệm thực với mọi số thực m. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = (m2 + 1)(x3 – 1) – 6 Phương trình trở thành f(x) = 0
Vì f(x) là hàm đa thức, xác định trên R nên cũng liên tục trên R. Ta có :
f(1) = 6 < 0
f(2) = (m2 + 1)(23 – 1) – 6 = 7(m2 + 1) – 6 = 7m2 + 51 > 0
f(1).f(2) < 0 mà f(x) liên tục trên R nên cũng liên tục trên (1 ; 2)
phương trình f(x) = 0 có nghiệm nằm trong (1 ; 2)
phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thực m R
9)
Chứng minh rằng phương trình (m2 + 2m + 3)x4 + 2x – 2 = 0 luôn luôn có nghiệm m R. Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = (m2 + 2m + 3)x4 + 2x – 2 = 0 trên [0 ; 1], ta có :
f(x) liên tục trên [0 ; 1]
f(0 = 2 và f(1) = m2 + 2m + 3 > 0, m Suy ra f(0).f(1) < 0, m R.
Vậy tồn tại x0 (0 ; 1) sao cho f(x0) = 0. Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
10)
Chứng minh rằng phương trình (m2 + m + 3)(x – 2) + 4 = 0 luôn luôn có nghiệm m R. Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = (m2 + m + 3)(x – 2) + 4 trên [0 ; 1] ta có :
f(x) liên tục trên [0 ; 1]
f(2) = 4 > 0 và f(0) = –2m2 – 2m – 2 = –2(m2 + m + 1) < 0 f(0).f(2) < 0, m R Vậy tồn tại c (0 ; 2) sao cho f(c) = 0. Suy ra phương trình đã cho có nghiệm.
11)
Chứng minh rằng phương trình 2012x2012 + mx2013 – m2x – 2010 = 0 luôn có nghiệm m R. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = 2012x2012 + mx2013 – m2x – 2010 Hàm số f(x) xác định trên R nên liên tục trên R.
Ta có : f
0 20100, f
1 2012mm22010m2m20,m
1.f 0 0f
nên phương trình có nghiệm
1;0
Vậy phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm m R.
12)
Chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1, ta có f(0) = 1 và f(1) = m2 + 1 Nên f(1).f(0) = (m2 + 1) < 0, m R
Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [1 ; 0].
Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x0 (1 ; 0).
Vậy phương trình (1 – m)2x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
13)
Chứng minh rằng phương trình : (m2 + 1)x3 – 2m2x2 – 4x + m2 + 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt m R. Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = (m2 + 1)x3 – 2m2x2 – 4x + m2 + 1 trên các đoạn [3 ; 0], [0 ; 1] và [1 ; 2].
Ta có :
f(3) = 44m2 – 14 < 0, m f(0) = m2 + 1 > 0, m f(1) = 2 < 0, m f(2) = m2 + 1 > 0, m
Do đó, ta có : f(3).f(0) < 0 ; f(0).f(1) < 0 và f(1).f(2) < 0 với mọi m.
f liên tục trên các đoạn [3 ; 0], [0 ; 1] và [1 ; 2].
Do đó tồn tại x1 ; x2 ; x3 sao cho 3 < x1 < 0 < x2 < 1 < x3 < 2 sao cho f(x1) = f(x2) = f(x3) = 0.
Suy ra phương trình đã cho có ba nghiệm là : x1 ; x2 ; x3.
14)
Chứng minh rằng với mọi m phương trình x3 + mx2 – 1 = 0 luôn có một nghiệm dương. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = x3 + mx2 – 1
Hàm số f(x) xác định trên R nên liên tục trên R.
f(0) = –1 < 0
Mặt khác vì
f x
xlim nên tồn tại một số dương a sao cho f(a) > 0.
f(0).f(a) < 0 phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm thuộc (0 ; c).
Vậy phương trình luôn có một nghiệm dương.
15)
(m2 – m + 3).x2018 – 2x – 4 = 0 luôn có nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m Hướng dẫn:
Đặt : f(x) = (m2 – m + 3).x2018 – 2x – 4 f(0) = 4
f(2) = (m2 – m + 3).(2)2018 – 2.(2) – 4 = (m2 – m + 3).22018 > 0, m R
f(2).f(0) < 0 ; m R (1)
Hàm số xác định và liên tục trên R f liên tục trên đoạn [2 ; 0] (2)
Từ (1) và (2) phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (2 ; 0) ; m R
phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m
16)
x1
3 mxm1 luôn có một nghiệm lớn hơn 1. Hướng dẫn :
Đặt t x1, điều kiện: t 0.
Khi đó, phương trình có dạng: f(t) = t3 + mt2 – t = 0.
Xét hàm số y = f(t) liên tục trên [0 ; ).
Ta có: f(0) = 1 < 0,
f t
tlim vậy tồn tại c > 0 để f(c) > 0
Suy ra: f(0).f(c) < 0. Vậy phương trình f(t) = 0 luôn có nghiệm t0 (0 ; c), khi đó: x1t0 t02 + 1 > 1 Vậy, với mọi m thì phương trình luôn có một nghiệm lớn hơn 1.
17)
Chứng minh rằng phương trình x3 – 3x = m có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của m (2 ; 2). Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = x3 – 3x – m, ta có : f liên tục trên [1 ; 1] và [1 ; )
f(1) = 2 – m > 0 ; f(1) = 2 – m < 0 và
f x
xlim
f(1).f(1) = m2 – 4 < 0 và dấu của lim f
xx và f(1) trái dấu nhau Vậy phương trình đã cho có nghiệm x1 (1 ; 1), x2 (1 ; ).
18)
Cho phương trình 1x 12x 13x m với m > 3 là tham số. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm và nghiệm đó là duy nhất. Hướng dẫn:
Đặt f(x) = 1x 12x 13x m
Tập xác định:
;
3
D 1 f(x) liên tục trên D Ta có: f(0) = 3 – m < 0
f(m2) > 0 (hoặc
f x
xlim )
Nên theo định lí giá trị trung gian thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm.
Ta chứng minh f(x) đồng biến trên D:
x1, x2 D, giả sử x1 < x2 suy ra f(x1) < f(x2) nên f(x) đồng biến trên D.
Nên phương trình có nghiệm duy nhất.
19)
Chứng minh với mọi m phương trình x 3 – mx2 + (m +1) x – 2 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt. Hướng dẫn :
Đặt x = t 0, ta có : t3 – mt2 + (m + 1)t – 2 = 0 (1) Xét hàm số f(t) = t3 – mt2 + (m + 1)t – 2
Đặt f(x) = x 1
m x 1 m
x4 2 2
Hàm số f(t) xác định trên R nên liên tục trên R. Ta có : f(0) = –2 < 0 Nhận xét rằng :
f t
xlim nên tồn tại một số dương a sao cho f(a) > 0.
f(a). f(0) < 0, (1) có nghiệm t1 (0 ; a) x = t1.
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
20)
Chứng minh rằng phương trình mx4 + 2x2 – x – m = 0 luôn luôn có 2 nghiệm m R. Hướng dẫn :
Xét m = 0. Phương trình trở thành : 2x2 – x = 0 x = 0 x = 2
1 : phương trình có 2 nghiệm.
Xét m 0. Phương trình trở thành : x 1 0 m
x 1 m
x4 2 2
Đặt f(x) = x 1
m x 1 m
x4 2 2
Hàm số f(x) xác định trên R nên liên tục trên R.
Nhận xét rằng :
f x
xlim nên tồn tại một số âm a sao cho f(a) > 0.
f x lim
x nên tồn tại một số dương b sao cho f(b) > 0.
f(0) = –1 < 0
f(a). f(0) < 0 và f(0). f(b) < 0
Vậy phương trình đã cho luôn luôn có 2 nghiệm m R.
21)
Chứng minh rằng phương trình x5 + 4mx2 = (2m + 1)x3 + m có ít nhất hai nghiệm phân biệt m R. Hướng dẫn :
Xét m = 0. Phương trình trở thành : x5 = x3 x3 (x2 – 1) = 0 x = 0 x = 1 : phương trình có 2 nghiệm.
Xét m 0. Phương trình trở thành : x5 + 4mx2 – (2m + 1)x3 – m = 0 x 1 0 m
2 1 x m 4
x 2
5
Đặt f(x) = x 1 0
m 2 1 x m 4
x 2
5
Hàm số f(x) xác định trên R nên liên tục trên R.
Ta có : f(0) = –1 < 0
f x lim
x nên tồn tại một số âm a sao cho f(a) > 0.
f(a). f(0) < 0 và f(0). f(b) < 0
phương trình đã cho luôn luôn có 2 nghiệm m R.
Vậy phương trình x5 + 4mx2 = (2m + 1)x3 + m có ít nhất hai nghiệm phân biệt m R.
BÀI 3 :
1)
Chứng minh rằng phương trình : acos4x + bcos3x – 2c.cosx = 2asin3x luôn có nghiệm với mọi a, b, c. Hướng dẫn :
Đặt acos4x + bcos3x – 2c.cosx = 2asin3x (1)
Xét hàm số f(x) = acos4x + bcos3x – 2c.cosx 2asin3x trên
;2
2 , ta có :
f liên tục trên
;2 2
2a 2a
4a 0 f 2f 2 2
Vậy phương trình f(x) có nghiệm
;2
x 2 , do đó (1) có nghiệm với mọi a, b, c.
2)
Chứng minh rằng phương trình : a.sin3x + b.cos2x + c.cosx + sinx = 0 luôn có nghiệm. Hướng dẫn :
Đặt f(x) = a.sin3x + b.cos2x + c.cosx + sinx Hàm số f(x) xác định trên R nên liên tục trên R.
Ta có : f
0 bc ; a b 1 f 2
; f
bc ; a b 1 2f 3
nên 0, a,b,c
2 f 3 ) ( 2 f f ) 0 (
f
Do đó tồn tại 2 giá trị
2
;3 2;
; 0 q ,
p thỏa f(p).(q) 0.
Vậy phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm m R.
3)
Chứng minh rằng phương trình : ab(x – a)(x – b) + bc(x – b)(x – c) + ca(x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm. Hướng dẫn :
Xét f(x) = ab(x – a)(x – b) + bc(x – b)(x – c) + ca(x – c)(x – a) liên tục trên R, ta có : f(a) = bc(a – b)(a – c)
f(b) = ca(b – c)(b – a) f(c) = ab(c – a)(c – b)
f(0).f(a).f(b).f(c) = –a2b2c2(a – b)2(b – c)2(c – a)2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = M
Nếu M = 0 thì phương trình có nghiệm là 0, a, hay b, hay c.
Nếu M < 0 thì trong 4 số f(0), f(a), f(b) và f(c) phải có hai số trái dấu nhau.
Vậy phương trình có nghiệm.
4)
Chứng minh rằng phương trình : a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 luôn có nghiệm. Hướng dẫn :
Xét f(x) = a(x – b)(x – c) + b(x – c) + c(x – a)(x – b) liên tục trên R, ta có : f(0) = 3abcf(a) = a(a – b)(a – c)
f(b) = b(b – a)(b – c) f(c) = c(c – a)(c – b)
f(0).f(a).f(b).f(c) = (abc)2(a – b)2(b – c)2(c – a)2 = M 0
Nếu M = 0 thì trong 4 số f(0), f(a), f(b), f(c) có ít nhất một số bằng 0 phương trình có nghiệm
Nếu M < 0 thì trong 4 số f(0), f(a), f(b), f(c) có ít nhất hai số trái dấu nhau phương trình có nghiệm
5)
Cho hàm số f(x) = m x 32 2x3 3 2 2 (m là tham số). Chứng minh rằng : nếu m < –2 hay m > 2 thì phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thỏa điều kiện x1 < 0 < x2 < x3.
Hướng dẫn:
Hàm số y = f(x) = m x 32 2
x3 3 2 2 xác định và liên tục trên R nên liên tục trên các đoạn của R.
Ta có: f(0) = 32 > 0 ; f
m2 21 64m6
; khi m < 2 hay m > 2 thì 21
64m6
0 và m2 > 0
m x 32
2 x 3 lim x
f
lim 3 2 2
x
x a < 0 sao cho f(a) < 0
m x 32
2 x 3 lim x
f
lim 3 2 2
x
x b > m2 sao cho f(b) > 0
Do đó, ta có:
0 b f.
m f
0 m f.
0 f
0 0 f.
a f
b
; m , m
; 0 , 0
; a : đoạn các trên tục liên f
2 2
2 2
Nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm lần lượt thuộc các khoảng: (a ; 0), (0 ; m2), (m2 ; b)
Mà nếu phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thì f(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3) nên phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm x1, x2, x3.
Vậy: m < 2 hay m > 2 thì phương trình
m x 32 02 x 3 x
f 3 2 2 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
6)
Cho f(x) = ax2 + bx + c (1) và cho m > 0 thỏa 0 mc 1 m
b 2 m
a
. Chứng minh phương trình f(x) = 0
có nghiệm trong (0 ; 1).
Hướng dẫn :
Xét hàm số f(x) = ax2 + bx + c liên tục trên R.
Khi c = 0, ta có : ax2 + bx = 0 và 0 1 m
b 2 m
a
_ Nếu a = 0 thì từ giả thiết 0 1 m
b 2 m
a
ta suy ra được b = 0, phương trình ax2 + bx = 0 có vô số nghiệm nên phương trình có nghiệm trong khoảng (0 ; 1).
_ Nếu a 0, ta có: ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0
a b 2 m
1 m 1 m
b 2
m 0 a 1 m
b 2 m Do a 1
; 2 0 m
1 m a x b
0 x
+ Khi c 0, ta có:
f(0) = c
cm c 2
m 1 c m
1 m
b 2 m
a 2 m
1 c m
2 m
1 b m 2 m
1 a m 2 m
1
f m 2 2
2
m
m 2
c 2
m m
2 m m 1 m
c 2
m
m 2
0c 2
m 1 f m 0
f 2
Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng
0;1 2m 1
;m
0
.
Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm trong (0 ; 1).
7)
Giả sử hai hàm số y = f(x) và y =
2 x 1
f đều liên tục trên [0 ; 1] và f(0) = f(1). Chứng minh rằng
phương trình :
02 x 1 f x
f
luôn có nghiệm trong 2
;1 0 .
Hướng dẫn :
Xét hàm số
2
x 1 f x f x
g liên tục trên trên 2
;1
0 ta có :
2
f 1 0 f 0
g và f
12 f 1 2
g 1
02 f 1 0 f 1
2 f f 1 2 f 1 0 2 f
g 1 0 g
2
Vậy phương trình g(x) = 0 có nghiệm 2
;1 0
x .
Nghĩa là phương trình :
2
x 1 f ) x (
f có nghiệm 2
;1 0
x .
BÀI 4 : Cho f là hàm số liên tục trên [a ; b] và m, n là hai số dương tùy ý. Chứng minh phương trình
n m
b nf a x mf
f
có nghiệm thuộc [a ; b].
Hướng dẫn :
Xét hàm số
f x f a f b x
g có nghiệm trên [a ; b], ta có :
g(x) liên tục trên [a ; b]
f a f a f b f a f b f a f b f a f b a
g
f b f a f b f b f b f a f b f b f a b
g
Do đó :
a f
b 0b f g a
g 2 2
Vậy tồn tại x0 [a , b] sao cho g(x0) = 0 phương trình đã cho có nghiệm.
BÀI 5 : Cho hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên đoạn [a ; b].
Chứng minh rằng với mọi dãy hữu hạn các số c1, c2, c3, …, cn đều thuộc đoạn [a ; b] thì phương trình :
f c1 f c2 f c3 f cn
n ) 1 x (
f luôn có nghiệm trong đoạn [a ; b].
Hướng dẫn:
Từ giả thiết suy ra: a c1 b ; a c2 b ; a c3 b ; ... ; a cn b Vì f(x) đồng biến trên [a ; b] nên:
f(a) f(c1) f(b) ; f(a) f(c2) f(b) ; f(a) f(c3) f(b) ; ... ; f(a) f(cn) f(b)
f
c f c f c f
c
f
bn a 1 f b nf c f c
f c f c f a
nf 1 2 3 n 1 2 3 n
Đặt
f
c1 f c2 f c3 f
cn
n
M 1 và xét hàm số g(x) = f(x) – M
Ta có: g(a) = f(a) – M M và g(b) = f(b) – M 0 g(a).g(b) 0
Trường hợp g(a).g(b) = 0 thì a hoặc b là nghiệm của phương trình g(x) = 0 hay f(x) = M.
Trường hợp g(a).g(b) < 0. Do f(x) liên tục trên [a ; b] và M là hằng số nên g(x) liên tục trên [a ; b]
phương trình g(x) = 0 có nghiệm thuộc (a ; b) hay phương trình f(x) = M có nghiệm thuộc (a ; b).
Vậy phương trình
f
c1 f c2 f c3 f
cn
n x 1
f luôn có nghiệm trong đoạn [a ; b].
BÀI 6 : Cho f là hàm số liên tục trên [a ; b]. Chứng minh với mọi cách chọn xi [a ; b], i = 1, … , n tồn tại c [a ; b] sao cho :
n
x f ...
x f x c f
f 1 2 n .
Hướng dẫn :
Không mất tính tổng quát, ta giả sử : a x1 x2 … xn b
Xét hàm số g(x) = nf(x) – [f(x1) + f(x2) + … + f(xn)] trên [a ; b], ta có :
g liên tục trên [a ; b] (do f liên tục trên [a ; b])
Ta có : g(x) = f(x) – f(x1) + f(x) – f(x2) + … + f(xn) Do đó :
Nếu f(x1) = f(x2) = … = f(xn) thì ta chọn c là một trong các giá trị xi (i = 1, 2, … , n). Khi đó, g(c) = 0 nên ta có điều phải chứng minh.
Giả sử f(x1) f(x2) … f(xn), trong đó có ít nhất một bất đẳng thức thực sự.
Khi đó ta có : g(x1) = [f(x1) – f(x2)] + … + [f(x1) – f(xn)] < 0
Và g(xn) = [f(xn) – f(x1)] + [f(xn) – f(x2)] + … + [f(xn) – f(xn – 1)] > 0
g(x1).g(xn) < 0 tồn tại c (x1 ; xn) [a ; b], sao cho g(c) = 0
c [a ; b] sao cho nf(c) – f(x1) – f(x2) – … f(xn) = 0
c [a ; b] sao cho
f
x1 f x2 ...f
xn
n c 1
f (điều phải chứng minh)
------
