QUAN HỆ SONG SONG
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
§1.HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
BÀI 1 : Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ // CD.
BÀI 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD.
1) Chứng minh PQ // SA. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).
2) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng MN và PQ. Chứng minh rằng điểm K nằm trên một đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
3) Qua Q dựng đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB), Qy với (SCD).
BÀI 3 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm của SA và điểm F thuộc đoạn AB sao cho FA = 2FB.
1) Tìm giao tuyến của (EFO) và (SAD).
2) Gọi K = CD (EFO). Tìm giao điểm của EK và (SBD).
3) Gọi H là giao điểm của SD với (EFO) và (d) là giao tuyến của (EFO) và (SBC). Chứng minh (d) // HK.
BÀI 4 : (SGK) Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (PQR) và cạnh AD. Chứng minh AS = 2SD.
BÀI 5 : (SGK) Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD.
1) Chứng minh đường thẳng qua G và 1 đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy.
2) Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’.
§2.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
BÀI 6 : Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của ABD. M là một điểm trên BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).
BÀI 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.
1) Chứng minh rằng SB, SC đều song song với mặt phẳng (MNP).
2) Xác định thiết diện của mp(MNP) với hình chóp. Thiết diện là hình gì ? 3) Tìm PN mp(SBD).
BÀI 8 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A’B’ và CC’. Chứng minh CB’
song song (AC’M).
BÀI 9 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM.
1) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC).
2) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh NG // (SCD) và MG // (SCD).
BÀI 10 : Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
1) Chứng minh rằng OG // (SBC).
2) Gọi M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB).
3) Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho SC = 2
3SI. Chứng minh rằng SA // (BID).
BÀI 11 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD và ABC, E là trung điểm của AG.
a) Chứng minh HG // (ABD).
b) HE cắt AD tại K. Chứng minh AH = KG và HK vuông góc với AD.
c) Xác định thiết diện của (BEC) với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì? tính diện tích thiết diện theo a.
BÀI 12KT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh a, SAB vuông cân ở A. M di động trên AD. Mặt phẳng () đi qua M, () song song SA, () song song CD cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
1) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông.
2) Tìm tập hợp giao điểm I của MQ và NP khi M di động trên AD.
3) Tính diện tích MNPQ theo a khi AM = 3 AD
BÀI 13KT: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AB và AB = 2CD.
1) Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của SA, SB, AD. Chứng minh DE // (SBC) và FK // (SCD).
2) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng đi qua K, song song với SA và BD.
BÀI 14KT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.
1) Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh SC // (BED).
2) Gọi G, H lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, SAD. Chứng minh GH // (SAB).
3) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng chứa GH và song song với AB.
BÀI 15 : (KT HKI NGUYỄN THỊ MINH KHAI) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SC và G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD). Chứng minh I là trọng tâm của tam giác SBD.
b) Chứng minh IG // (SAB).
c) Mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại hai điểm E và F. Tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD.
d) Gọi K là giao điểm của ME và CD, J là giao điểm của MF và CD. Chứng minh ba điểm K, A, J nằm trên cùng một đường thẳng song song với EF. Tính tỉ số
KJ EF
BÀI 16 : (KT HKI NGUYỄN THỊ MINH KHAI) Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thang, cạnh đáy lớn AD = 2BC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và SI. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2MB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (KBC).
b) Tìm giao điểm J của đường thẳng BC và mặt phẳng (SKM).
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD. Chứng minh rằng JK song song với (GMC).
d) Chứng minh thiết diện tạo bởi (KBC) với hình chóp S.ABCD là một hình bình hành.
BÀI 17 : (HKI THPT GIA ĐỊNH) Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, BC, SA và O là giao điểm của AN với CM.
a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SCM).
b) Tìm giao điểm Q của CE và (SMN).
c) Chứng minh tứ giác SCAQ là hình bình hành.
d) Gọi H là giao điểm của EN với SO và K là giao điểm của SM với CH. Chứng minh KO // (SCN).
BÀI 18 : (HKI PTNK TP.HCM) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA, E là điểm thuộc cạnh SD sao cho SE = 2ED.
a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD) ; (SAD) và (BCE).
b) Tìm giao điểm N của CD và (MBE). Chứng minh MN // (SBC).
c) Tìm giao điểm I của BE và (SAD). Tính tỉ số BE
BI
BÀI 19 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các cạnh bên AA’, BB’, CC’. Gọi I, I’ tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh rằng AI // A’I’.
b) Tìm giao điểm của IA’ với (AB’C’).
c) Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (A’BC).
BÀI 20 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’.
1) Chứng minh rằng AM // A’M’.
2) Tìm giao điểm của IA’ với (AB’C’).
3) Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (A’BC).
BÀI 21 : Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cạnh AB, mp() là mặt phẳng qua M và song song với AD và SB.
1) Mặt phẳng () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ? 2) Chứng minh SC // mp().
BÀI 22 : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD ta lấy trung điểm M, trên cạnh BC ta lấy điểm N bất kỳ. Gọi mp() là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD.
1) Hãy tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng ().
2) Xác định vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là một hình bình hành.
BÀI 23 : Cho tứ diện ABCD. Từ điểm M trên AC ta dựng một mặt phẳng () song song với AB và CD;
mặt phẳng này lần lượt cắt BC, BD, AD lần lượt tại N, P và Q.
1) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
2) Giả sử AB CD. Tính SMNPQ, biết AM = x, AB = AC = CD = a. Tìm x để diện tích này lớn nhất.
§3.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
BÀI 24 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SA, SD. Chứng minh : mp(OMN) // mp(SCD) và mp(ONP) // mp(SBC).
BÀI 25 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SC, SD. Gọi E = BM CP, F = BN AP. Chứng minh : mp(SEF) // mp(ABCD).
BÀI 26 : Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD.
Chứng minh (G1G2G3) // (BCD).
BÀI 27 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, BCD, ABD. Chứng minh (MNP) // (ACD).
BÀI 28 : Cho hình chóp S.ABC. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các mặt bên SAB, SBC. K là điểm trên cạnh AC sao cho AC = 3CK.
a) Chứng minh : (IJK) // (SBC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(IJK).
BÀI 29 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SD.
1) Chứng minh (OMN) // (SBC).
2) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và ON. Chứng minh PQ // (SBC).
BÀI 30 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB vuông cân tại A, gọi M là 1 điểm trên AD với AM = x (0 < x < a). Mặt phẳng () qua M và song song với (SAB).
1) Mặt phẳng () cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ? vì sao ? 2) Tính diện tích thiết diện trên theo a và x.
BÀI 31 : Cho hình chóp S.ABCD vơiù đáy là hình thang ABCD có AD // BC, AD = 2BC. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của SA, AD, SD.
1) Chứng minh (EFB) // (SCD). Suy ra CI // (EFB).
2) Tìm (SBC) (SAD). Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến này, chứng minh rằng (SBF) // (KCD).
BÀI 32 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.
1) Chứng minh MN // (SBC); (MNP) // (EFB).
2) Gọi Q là giao điểm của (MNP)với SD. Chứng minh giao điểm I của MP và NQ nằm trên một đường thẳng cố định.
BÀI 33 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, AB, CD, SD.
1) Chứng minh (MNP) // (SBC).
2) Gọi H, G, K lần lượt là trọng tâm của SBA, ABC, SCD. Chứng minh (GHK) // (SBC).
3) Chứng minh (MNQ) // (GHK).
BÀI 34 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Các cạnh bên bằng nhau, M là điểm trên cạnh AD. Gọi I, J, G lần lượt là trung điểm của các cạnh DC, AB, SB.
1) Chứng minh (IJG) // (SAD).
2) Tìm giao tuyến của (SAC) với (IJG); (ACG) với (SAD).
3) Một mặt phẳng () qua M, song song với CD và SA, xác định thiết diện của () và hình chóp S.ABCD.
Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
BÀI 35 : (HKI THPT CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M là trung điểm của SC.
a) Chứng minh SA // (BMD).
b) Tìm giao điểm của SB và (AMD).
c) Gọi G, I lần lượt là trọng tâm của ABC và SCD, E là điểm trên BD sao cho BD 3
DE1 . Chứng minh (SAG) song song với (IEC).
BÀI 36 : (HKI THPT BÙI THỊ XUÂN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD, biết AD = 2BC, tam giác SAD cân tại S. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AD và SD. Lấy các điểm M, E, Q lần lượt trên các cạnh SC, cạnh AB và cạnh SB sao cho SC = 3SM, EB = 2EA và SB = 3SQ.
a) Tìm giao điểm N của BM và mặt phẳng (SAD).
b) Chứng mnh (CHK) song song với (SAB).
c) Chứng minh EM // (SAD).
d) Mặt phẳng (P) chứa EM và song song BC, cắt CD tại R. Xác định tính chất của thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P).
BÀI 37 : (HKI THPT NGUYỄN THƯỢNG HIỀN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E, I, N lần lượt là trung điểm của SA, BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ECD) và (SAB). Suy ra giao điểm F của đường thẳng SB và (ECD).
b) Chứng minh rằng (OEI) // (SCD). tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (EIN) và (SCD).
c) Lấy điểm H thuộc cạnh SB sao cho BH = 2SH, gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác SBC. Chứng minh rằng AH // (MNG).
BÀI 38 : (HKI THPT NGUYỄN THƯỢNG HIỀN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E, I, N lần lượt là trung điểm của SA, BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ECD) và (SAB). Suy ra giao điểm F của đường thẳng SB và (ECD).
b) Chứng minh rằng (OEI) // (SCD). tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (EIN) và (SCD).
c) Lấy điểm H thuộc cạnh SB sao cho BH = 2SH, gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác SBC. Chứng minh rằng AH // (MNG).
BÀI 39 : (KT HKI NGUYỄN THỊ MINH KHAI) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC, SB.
a) Tìm giao điểm Q của SA và (MNP).
b) Chứng minh SD // (MNP).
c) Chứng minh (SMC) // (ANP).
d) Gọi H = BD AN, K = BD MC, L = PK SH. Tính tỉ số diện tích
DSLP DSLK
S
S .
BÀI 40 : (KT HKI NGUYỄN THỊ MINH KHAI) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD = 3BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. I là điểm thuộc cạnh AD thỏa DI = 2AI, J là điểm thuộc SD thỏa DJ = 2SI.
1) Chứng minh: (SAB) // (CIJ)
2) Tìm giao tuyến của (JBC) và (SAD).
3) Gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh CD, N là giao điểm của SM và CJ, P là giao điểm của OM và AB, Q là giao điểm của OM và CI. Chứng minh: SP // QN.
4) Gọi E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của EJ và SC, K là giao điểm của SO và AF. Tính các tỉ số
ED EC ,
FS FC,
KO KS.
BÀI 41 : Cho tứ diện ABCD có A’ là trọng tâm của tam giác BCD.
Các điểm E, F, P, Q lần lượt là trung điểm của CD, BC, AB, AD.
a) Tìm giao tuyến của từng cặp mặt phẳng: (ABE) và (ADF) ; (ABA’) và (ACD).
b) M, N lần lượt là các điểm trên các đường thẳng AC và BD sao cho FM cắt NQ tại O. Chứng minh ba điểm A, B, O thẳng hàng.
c) Tìm giao điểm H của đường tròn PA’ với mp(ACD) ; giao điểm I của FQ và mp(ABE).
d) Chứng minh ba điểm P, I, E thẳng hàng. Tính tỉ số ' AAAI .
BÀI 42 : (KT HKI PTNK TP.HCM 2012-2013) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD), AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, AB.
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (MBC), (SBC) và (SND).
b) Tìm giao điểm I của SD và (CMN)
c) Tìm giao điểm J của MC và (SND). Chứng minh đường thẳng AJ đi qua trung điểm của SC.
BÀI 43 : (KT HKI PTNK TP.HCM 2013-2014) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, CD.
a) Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAN), (SAD) và (MAC).
b) Tìm giao điểm I của SA và (MCD). Chứng minh IN // (SBC).
c) Tìm giao điểm J của SN và (MAC). Chứng minh N là trung điểm của SJ.
BÀI 44 : (KT HKI PTNK TP.HCM 2014-2015) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. G là trọng tâm tam giác ACD.
a) Tìm giao tuyến của (MND) và (SAC); (OMN) và (SBC).
b) Tìm giao điểm của SB và (MND); MD và (SBC)
c) Tìm giao điểm I của MC và (SBD). Chứng minh IG // (SAD)
BÀI 45 : (KT HKI PTNK TP.HCM 2015-2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD // BC và AD
= 2BC.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC).
b) Chứng minh CM // (SAB). Tìm giao tuyến của (SAB) và (AMC).
c) Tìm giao điểm I của SC và (ABM). Chứng minh OI // (SAD).
BÀI 46 : (KT HKI PTNK TP.HCM 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có AD là đáy lớn, AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm SCD, SAB, E là trung điểm SD.
a) Mặt phẳng (BCE) cắt SA tại F. Chứng minh F là trung điểm SA.
b) Chứng minh G1G2 // (SAD).
c) Chứng minh (OG1G2) // (SBC).
d) Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho AB = 4AM. Mặt phẳng (P) qua M và song song với BC, SD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì?
BÀI 47 : (KT HKI PTNK TP.HCM 2019-2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, CD.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBN).
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ACD, K là trọng tâm tam giác SBD. Chứng minh GK // (SAD). BK cắt SD tại I. Chứng minh I thuộc mặt phẳng (OMN).
c) Chứng minh SB // (OMN) và tìm giao điểm của mặt phẳng (ANK) với SB.
BÀI 48 : (KT HKI PTNK TP.HCM 2020-2021) Cho hình chóp S.ABCD có O là tâm hình bình hành ABCD.
Gọi G, I lần lượt là trọng tâm của của tam giác SCD, tam giác ACD và H là trung điểm CD.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAH) và (SBD). Tìm giao điểm K của AG và (SBD).
b) Chứng minh GI // (SAB) và OH // d với d là giao tuyến của (SAD) và (SBC).
c) Mặt phẳng (P) chứa SB và song song với DG, (P) cắt CD tại E. Tính DE CE
BÀI 49 : (KT HKI THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2008-2009) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD = 2BC, M là điểm nằm trên cạnh BC. Mặt phẳng () qua M và song song với CD và SC;
() cắt AD, SA và SB lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh NQ // (SCD) và NP // SD.
b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của SD và AD. Chứng minh (CHK) // (SAB) c) CK là giao tuyến của (KPQ) với (SCD).
BÀI 50 : (KT HKI THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2009-2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC và N là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Chứng minh SB // (AMN).
b) Tìm giao tuyến của (AMN) với (SAB).
c) Tìm giao điểm I của SD với (AMN).
d) Gọi Q là trung điểm của ID. Chứng minh QC // (AMN).
BÀI 51 : (KT THPT HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2010-2011) Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M, N là 2 điểm trên cạnh SA sao cho SM = MN = NA.
a) Chứng minh GM // (SBC).
b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua G. Chứng minh (MCD) // (NBG).
c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng MD với (SBC). Chứng minh H là trọng tâm của tam giác SBC.
BÀI 52 : (KT HKI THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2011-2012) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
a) Tìm giao điểm E và giao điểm F của (BMN) lần lượt với AD và SD. Chứng minh FS = 2FD.
b) Gọi I là trung điểm của ME; AN cắt BD tại G. Chứng minh FG // (SAB) và (CDI) // (SAB).
c) Gọi H là giao điểm của MN và SG. Chứng minh OH // GF.
BÀI 53 : (KT HKI THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2012-2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD và SD.
a) Chứng minh SB // (EFG) và EG // (SBC).
b) Chứng minh (SEC) // (AFG) và tìm giao tuyến của (SAB) với (AFG).
c) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của BD với EC và AF; SK cắt GH tại M, SK cắt GO tại N. Chứng minh MH = 2MG và N là trung điểm của đoạn OG.
BÀI 54 : (KT HKI THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2013-2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là trung điểm của CD, K là trung điểm của SI, () là mặt phẳng chứa đường thẳng OK và song song với CD.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng () lần lượt với các mặt phẳng (ABCD) và (SCD).
b) Chứng minh mặt phẳng () song song với mặt phẳng (SAB).
c) Cho DK cắt SC tại M, AM cắt SO tại P. Chứng minh P là trung điểm của SO.
BÀI 55 : (KT HKI THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2014-2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD = 3BC. Gọi M là điểm trên cạnh AB thỏa AM = 2MB; N và P lần lượt là trung điểm của SB và SD.
a) Chứng minh đường thẳng NP // (ABCD). Tìm giao tuyến của (MNP) với (ABCD).
b) Xác định thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp.
c) Gọi () là mặt phẳng chứa đường thẳng BD và song song với mặt phẳng (MNP).
Xác định giao điểm K của SC với mặt phẳng () và tính tỉ số KS KC ?
BÀI 56 : (KT HKI THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2015-2016) Cho hình chóp S.ABC. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của các SAB và SBC.
a) Chứng minh GK // (ABC). Tìm giao tuyến của mặt phẳng (BGK) với mặt phẳng (ABC).
b) Gọi H là trọng tâm ABC. Chứng minh mặt phẳng (GHK) song song mặt phẳng (SAC).
c) Tìm thiết diện do mặt phẳng (GHK) cắt hình chóp.
BÀI 57 : (KT HKI THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy M trên cạnh SA sao cho MA = 2.MS và N trên cạnh BC sao cho NB = 2.NC.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAD) với mặt phẳng (MBN).
b) Chứng minh MN // (SCD).
c) Tìm giao điểm P của (MNO) với SB. Tính tỉ số
SBC SCP
S S
BÀI 58 : (KT HKI THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SCD) với mặt phẳng (SAB).
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC, F là trung điểm của AD, gọi H là giao điểm của AC và BF. Chứng minh GH // (SAB).
c) Gọi E trên tia đối của BA sao cho BE = 2.BA, M trên cạnh SE sao cho ME = 2.MS, gọi I là giao điểm của (MBD) với SC. Tính tỉ số
IC IS
BÀI 59 : (KT HKI LÊ HỒNG PHONG 2019-2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SA.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Chứng minh MN // (SCD).
c) Gọi K là giao điểm của MN và (SBD). Tính tỉ số KM KN
BÀI 60 : (KT HKI LÊ HỒNG PHONG 2020-2021) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên cạnh CD, AD, SA thỏa MD = 2MC, NA = 3ND, PA = 3PS. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC.
a) Tìm giao điểm K của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC).
b) Chứng minh mặt phẳng (NPK) song song mặt phẳng (SCD).
c) Chứng minh đường thẳng MG song song mặt phẳng (SAD).
------
§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có thể xảy ra hai trường hợp :
1) a và b không cùng nằm trên một mặt phẳng nào cả. Khi đó ta nói rằng a và b chéo nhau.
2) a và b cùng nằm trên một mặt phẳng nào đó. Khi đó ta nói rằng a và b đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng, nếu a và b đồng phẳng thì có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau :
a) a và b cắt nhau : có duy nhất một điểm chung.
b) a và b song song với nhau : cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung.
c) a và b trùng nhau : có hai điểm chung phân biệt.
a và b chéo nhau a b = M a // b a b
Chú ý :
Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.
Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
CÁC TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ HÌNH VẼ MINH HỌA
Tính chất 1 : Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
nhất duy ' d d
//
' d
d M , M ' qua
d
Tính chất 2 : Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba
thì song song với nhau. d'// d//d'
//
d
Định lý : (về giao tuyến của ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Nếu
c ) ( ) (
b ) ( ) (
a ) ( )
( thì
a, b, c đồng qui hoặc a // b // c
Hệ quả : Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).
2 1
2 1
2
1 d//d //d
( d
) ( d
d //
d
d ) ( ) (
Định lý Menulaus : Cho ABC. Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB ta lấy các điểm P, Q, R tương ứng sao cho mỗi điểm không trùng với đỉnh tam giác. Khi đó, ba điểm P, Q, R thẳng hàng khi và chỉ khi
RB 1 RA QA QC PC
PB
P, Q, R thẳng hàng
1
RB RA QA QC PC
PB
P B C
A
R Q
§3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng có ba vị trí tương đối :
1) Đường thẳng song song với mặt phẳng: Đường thẳng và mặt phẳng không có điểm nào chung.
2) Đường thẳng cắt mặt phẳng: Đường thẳng và mặt phẳng chỉ có một điểm chung duy nhất.
3) Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Đường thẳng và mặt phẳng có vô số điểm chung.
d // mp() d mp() = M d mp()
Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG
CÁC TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ HÌNH VẼ MINH HỌA
Định lý 1 : Nếu một đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng () và d song song với một đường thẳng d’ nào đó nằm trong mặt phẳng () thì đường thẳng d song song với mặt phẳng ().
) ( mp //
d ) ( mp ' d
' d //
d
) ( mp d
Định lý 2 : Cho đường thẳng a song song với mp(). Nếu mp() đi qua a và cắt mp() thì giao tuyến của mặt phẳng () và () song
song với đường thẳng a. b//a
b ) ( mp ) ( mp
) ( mp a
) ( mp //
a
Hệ quả : Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường
thẳng đó. d'//d
) ( mp //
d
) ( mp //
d
' d ) ( mp ) ( mp
Định lý 3 : Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng đi qua đường thẳng này và song song
với đường thẳng kia. a chéo b mp()
b //
M quanhất duy
Chú ý : Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
§4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Giữa hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối:
1) Hai mặt phẳng song song: Không có điểm chung (không có đường thẳng chung).
2) Hai mặt phẳng cắt nhau: Có hai điểm chung phân biệt (có một đường thẳng chung).
3) Hai mặt phẳng trùng nhau: Có 3 điểm chung không thẳng hàng (có 2 đường thẳng chung phân biệt).
mp(P) // mp(Q) mp(P) cắt mp(Q) mp(P) mp(Q)
Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.
II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
CÁC TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ HÌNH VẼ MINH HỌA
Định lý 1 : Nếu mặt phẳng () chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với một mặt phẳng () cho trước thì hai mặt phẳng () và () song song với nhau.
) //(
) ( ) //(
b
) //(
a
b
a
) ( b
; ) ( a
Tính chất 1 : Qua một điểm A bất kỳ cho trước nằm ngoài mặt phẳng () cho trước có một và chỉ một mặt phẳng () song song với
mặt phẳng ().
) ( A
) (
A mp()
) ( mp //
A quanhất duy
Hệ quả 1: Nếu trong một mặt phẳng có hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
) //(
) (
' b //
b
' a //
a
'
b ' a
) ( ' b
; ) ( ' a
b
a
) ( b
; ) ( a
Hệ quả 2 : Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng () thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng () song song với mặt phẳng
().
) ( a
) (
a mp()
) ( mp //
a chứanhất duy
Hệ quả 3 : Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
) Q ( //
) P ) (
R ( //
) Q (
) R ( //
) P
(
Tính chất 3 : Nếu hai mặt phẳng () và () song song thì mọi mặt phẳng () đã cắt mp() đều phải cắt () và các giao tuyến
của chúng song song. a//b
b ) ( mp ) ( mp
a ) ( mp ) ( mp
) ( mp //
) ( mp
Hệ quả 4 : Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn
thẳng bằng nhau. AB A'B'
' BB ) ( ) (
' AA ) ( ) (
) //(
) (
Định lý 2 : (Định lí Ta-Lét)
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lí Ta-Lét đảo :
Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau d và d’ lần lượt lấy các điểm A, B, C và A’, B’, C’ sao cho
' A ' C
CA ' C ' B
BC ' B ' A
AB . Khi đó, ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.
' A ' C
CA ' C ' B
BC ' B ' A
AB
' C ) R ( ' d
' B ) Q ( ' d
' A ) P ( ' d
C ) R ( d
B ) Q ( d
A ) P ( d
Định lý Menelaus : Cho ABC. Trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB ta lấy các điểm P, Q, R tương ứng sao cho mỗi điểm không trùng với đỉnh tam giác. Khi đó, ba điểm P, Q, R thẳng hàng khi và chỉ khi
RB 1 RA QA QC PC
PB
P, Q, R thẳng hàng khi và chỉ khi
1
RB RA QA QC PC
PB
§5. PHÉP CHIẾU SONG SONG
Định lý 1 : Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
Hệ quả : Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Tính chất 1 : Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Tính chất 2 : Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng
' D ' C
' B ' A CD
AB
' D ' C
' B ' A CD AB
P B C
A
R Q
