1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA HHKG
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
HÌNH HÌNH MINH HỌA
1) Hình chóp S.ABC có : SA (ABC) ;
ABC vuông tại A.
B
BÀÀI 12I 12 :(ĐẠI HỌC D 2007)
ABCD là hình thang vuơng tại A và B. Biết BA = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và SA =a 2. Vẽ AH SB.
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy
S
A C
B
y
x
z
2) Hình chóp S.ABC
có : SA (ABC) ;
ABC vuông tại B.
BBÀÀI 12I 12 :(ĐẠI HỌC D 2007)
ABCD là hình thang vuơng tại A và B. Biết BA = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và SA =a 2. Vẽ AH SB.
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy
S
A C
B
y z
x
B
BÀÀI 12I 12 :(ĐẠI HỌC D 2007)
ABCD là hình thang vuơng tại A và B. Biết BA = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và SA =a 2. Vẽ AH SB.
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy
S
A B
C
y z
x
BBÀÀI 12I 12 :(ĐẠI HỌC D 2007)
ABCD là hình thang vuơng tại A và B. Biết BA = BC = a, Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy
S
B A
C
y
x
z
Hình 2 Hình 3 Hình 4 3) Hình chóp S.ABC
có : SA (ABC) ;
ABC cân tại B.
BÀBÀI 12I 12 :(ĐẠI HỌC D 2007)
ABCD là hình thang vuơng tại A và B. Biết BA = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và SA =a 2. Vẽ AH SB.
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy
S
A C
B
y z
x
BÀBÀI 12I 12 :(ĐẠI HỌC D 2007)
ABCD là hình thang vuơng tại A và B. Biết BA = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và SA =a 2. Vẽ AH SB.
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy
S
B
M A
y z
x
C
Hình 5 Hình 6 4) Hình chóp S.ABC
có : ABC đều.
Ngoài cách chọn trong hình 5, hình 6, còn có thể chọn như hình 7, hình 8.
BÀBÀI 6cI 6c : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân
H S
B
A
C z
O y
x
B
BÀÀI 6cI 6c :Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân
H S
B
A
C z
O
y
x
5) Hình chóp đều S.ABC, có thể lựa chọn một trong hai cách sau :
B
BÀÀI 1I 1 : Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a. Tính thể tích của khối chĩp theo a vàtrong mỗi trường hợp sau :
D
C S
A
B
O
y z
x
BÀBÀI 1I 1 : Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a. Tính thể tích của khối chĩp theo a vàtrong mỗi trường hợp sau :
D C
S
A
B
O z
y x
Hình 9 Hình 10 6) Hình chóp
S.ABCD có SA (ABCD) ; có đáy là hình vuông hoặc hình chữ nhật thì chọn hình 11.
Nếu Đáy là hình thoi thì chọn hình 12
B
BÀÀI 11I 11 :(ĐẠI HỌC B 2006)Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy SA (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC.
ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = , SA = aa 2
S
A D
B C
z
y
x
B
BÀÀI 11I 11 :(ĐẠI HỌC B 2006)Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy SA (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC.
ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = , SA = aa 2
S
A D
B C
z
y
x O
Hình 11 Hình 12 Hình 1
Hình 7
Giả sử có AB = a, AC = b và SA = h.
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho : A(0 ; 0 ; 0), B(a ; 0 ; 0), C(0 ; b ; 0) và S(0 ; 0 ; h).
Hình 8
2 7) Hình chóp
S.ABCD có :
SA (ABCD) ; đáy là hình thang vuông.
ABCD là hình thang vuơng tại A và B. Biết BA = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và SA =a 2. Vẽ AH SB.
S
A D
B C
y
x
z
Hình 13 8) Hình chóp
S.ABCD có mặt bên vuông góc với mặt đáy.
S
A B
D C H
N Chứng minh GE SA và GF SB
z
y x
S
A
B
D
C H
(SAB) (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
BBÀÀI 6I 6 :(ĐẠI HỌC B 2008)
ABCD là hình vuơng cạnh 2a, SA = a, SB = Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáya 3
z
x
y
Hình 14 Hình 15 11) Hình lập
phương, hình hộp chữ nhật có thể chọn hình 16, hình 17.
Hình hộp có đáy là hình thoi ABCD thì chọn hình 18.
A
C D A’
C’
D’
B B’
z
y x
A
C D A’
C’
D’
B B’
z
y x
A
C D A’
C’
D’
B B’
z
x O
y O’
Hình 16 Hình 17 Hình 18 9) Hình lăng trụ
đứng có đáy là tam giác vuông tại B.
B
A
C B’
A’
C’
z
x y
Hình 19 10) Hình lăng trụ
đứng có đáy là tam giác cân tại A, chọn hình 20, 21, 22.
Nếu ABC đều thì ngoài cách chọn ở các hình 20, 21, 22 thì có thể chọn hình 23.
B
A C B’
A’
C’
z
x y
O B
A C B’
A’
C’
z
x
y A
B C A’
B’
C’
z
x
M y B
A C B’
A’
z C’
x O y
Hình 20 Hình 21 Hình 22 Hình 23
Chú ý : Giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ sẽ dễ dàng hơn đối với các hình đặc biệt như : hình tam diện vuông, hình tứ diện vuông, hình lập phương, hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz đúng, sẽ dẫn đến việc tìm tọa độ các điểm dễ dàng, việc này sẽ quyết định việc giải bài toán thành công. Tuy nhiên, không phải bài toán hình học không gian nào giải theo phương pháp tọa độ cũng dễ dàng. Nếu việc chọn các điểm làm cho bài toán có cách giải quá nặng nề thì cách tốt nhất là giải theo phương pháp cổ điển.
Giả sử có :
BB’ = h, AB = a, BC = b.
Chọn hệ trục tọa độ Bxyz sao cho : B(0 ; 0 ; 0), A(a ; 0 ; 0), C(0 ; b ; 0), B’(0 ; 0 ; h), A’(a ; 0 ; h), C’(0 ; b ; h).
Giả sử có :
SA = h, AB = BC = a và AD = 2a Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho : A(0 ; 0 ; 0), B(a ; 0 ; 0), C(a ; a ; 0), D(0 ; 2a ; 0), S(0 ; 0 ; h).
3 A. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
I. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1) Định nghĩa : Tích có hướng của hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3) và b = (b1 ; b2 ; b3) là vectơ c vuông góc với a, b có tọa độ định bởi : c = [a, b ] =
2 1
2 1 1 3
1 3 3 2
3 2
b b
a
; a b b
a
; a b b
a a
Ký hiệu : c = [a, b ] (đọc là tích có hướng của a,b)
Thí dụ : Cho u(1; 0 ; 1)
và v(2 ;1;1)
, ta có : u , v
= 0 1 1 1 1 0
; ; (1; 3 ;1)
1 1 1 2 2 1
2) Tính chất :
a cùng phương b [a,b ] = 0
c = [a,b ] a và c = [a,b ] b
3) Điều kiện đồng phẳng giữa 3 vectơ : a, b , c đồng phẳng [a,b ].c = 0 4) Vectơ không đồng phẳng : Nếu [a, b ]. c 0 thì a, b , c không đồng phẳng 5) Cho tứ diện ABCD, ta có : V =
6
1 [AB,AC].AD = 3
1.SABC .d(D, (ABC)) II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
Định nghĩa : Vectơ n 0 được gọi là một vectơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (), nếu vectơ n có giá vuông góc với mặt phẳng (). Ký hiệu n ().
Chú ý :
_ Nếu n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng () thì k.n cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ().
_ Nếu mặt phẳng () qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng thì vectơ n = [AB,AC] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ().
2) Tính chất :
_ Mỗi mặt phẳng có vô số pháp vectơ.
_ Hai mặt phẳng phân biệt có cùng một pháp vectơ thì song song với nhau.
_ Một mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một pháp vectơ của nó.
3) Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng () là : Ax + By + Cz + D = 0 (với A2 + B2 + C2 > 0)
Nếu mặt phẳng () qua điểm M(x0 ; y0 ; z0) và có VTPT n = (A ; B ; C) thì phương trình tổng quát là : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
4) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :
Mặt phẳng (P) cắt 3 trục Ox, Oy, Oz tại A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) : (P) : 1 c z b y a
x
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1) Phương trình tổng quát của đường thẳng (D) :
0 D z C y B x A
0 D z C y B x A
2 2 2 2
1 1 1
1 (A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2) 2) Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng (D) qua M(x0 ; y0 ; z0) và có vectơ chỉ phương a = (a1, a2 , a3) có phương trình tham số là :
(D) :
3 0
2 0
1 0
a . t z z
a . t y y
a . t x x
(a12 + a22 + a32 0 và t R) 3) Phương trình chính tắc của đường thẳng
Đường thẳng (D) qua M(x0 ; y0 ; z0) và có vectơ chỉ phương a = (a1, a2 , a3) có phương trình chính tắc là : (D) :
3 0 2
0 1
0
a z z a
y y a
x
x
(a1, a2 , a3 0)
IV. GÓC
1) Cho mp() : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 có n = (A1 , B1 , C1) mp() : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 có n = (A2 , B2 , C2) Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng thỏa : 0
2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
n .n A A B B C C
cos
n . n A B C . A B C
2) Cho hai đường thẳng d, d’ lần lượt có vectơ chỉ phương u = (a1, a2 , a3), u' = (b1, b2 , b3). Gọi là góc giữa hai đường thẳng d và d’, ta có :
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
u.u ' a b a b a b cos
u . u ' a a a . b b b
(0 90)
3) Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u = (a1, a2 , a3) và mp() có vectơ pháp tuyến n= (A ; B ; C).
Gọi là góc giữa đường thẳng d và mp(), ta có :
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
u.n a A a B a C
sin
u . n a a a . A B C
V. KHOẢNG CÁCH
1) Khoảng cách từ điểm M(x0 ; y0 ; z0) đến mp() : Ax + By + Cz + D = 0:d M , ( )
Ax By Cz D0 2 0 2 02A B C
2) Khoảng cách từ điểm M1(x1; y1; z1) đến đường thẳng d : Cho đường thẳng d :
3 0 2
0 1
0
a z z a
y y a
x
x
qua M(x0 ; y0 ; z0) và có vectơ chỉ phương u = (a1, a2 , a3) và một điểm M1(x1 ; y1 ; z1). Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d là :
1
1[MM , u]
d M , (d)
u
3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (d) và (d’) (đoạn vuông góc chung) : Trong (Oxyz), cho hai đường thẳng d và d’ :
Đường thẳng d đi qua M(x0 ; y0 ; z0) và có vectơ chỉ phương u = (a1, a2 , a3).
Đường thẳng d’ đi qua M’(x’0 ; y’0 ; z’0) và có vectơ chỉ phương u' = (b1, b2 , b3).
Khoảng cách (đoạn vuông góc chung) giữa 2 đường thẳng chéo nhau d và d’ là:
[u , u'].MM' d (d) , (d')[u , u']
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và CD là:
[AB , CD].AC d AB , CD[AB , CD]
5 1) Tính tích có hướng và tích hổn tạp : Cho ba vectơ u
3;7;0
, v
2;3;1
, w
3; 2; 4
. CASIO fx-570VN PLUS : w811 3=7=0=
w821 2=3=1=
w831 3=–2=4=
Bấm C
Tính tích có hướng [u,v] : q53Oq54= (7 ; –3 ; –5) Tính tích hổn tạp [u,v]w :
Bấm C
(q53Oq54)q57q55 7 0 Hoặc :
Tính tích có hướng [u,v] : q53Oq54= (7 ; –3 ; –5) Lưu vào bộ nhớ q56 VctAns
Bấm tiếp q57 VctAns
Tính tích hổn tạp [u,v]w : q55 VctAnsVctC 7 0
CASIO fx-580VN X :
MENU 513 3=7=0=
OPTN 123 2=3=1=
OPTN 133 3=–2=4=
Bấm C
Tính tích có hướng [u,v] : OPTN 3O OPTN 4= (7 ; –3 ; –5) Tính tích hổn tạp [u,v]w :
Bấm C
(OPTN3OOPTN4)OPTNR2OPTN5= 7 0
2) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biết: A 1; 0 ;1 2
; B 0 ;1; 1 2
; C(1 ; 1 ; 1) ; D 1; 1; 0 2
CASIO fx-570VN PLUS : Tính AB
: w811 0 – 1= 1P2–0= 1–1P2= AB 1;1 1;
2 2
Tính CD
: w821 1P2–1= 1–1= 0 – 1= CD 1; 0 ; 1
2
Bấm C
(q53q57q54) (VctAVctB)
P(qcq53)O(qcq54))= 0.7071067812 (dòng trên có trên màn hình là : (VctAVctB)P(Abs(VctA) (Abs(VctB)))
Nhấn : w1qkM)= 90 (tức là 90) hoặc bấm thêm nút x 900’0”
CASIO fx-580VN X : Tính AB
: MENU 513 0 – 1= 1P2–0= 1–1P2= AB 1;1 1; 2 2
Tính CD
: OPTN 123 1P2–1= 1–1= 0 – 1= CD 1; 0 ; 1 2
Bấm C
OPTNR3OPTN3q) OPTN4)= 90 Vậy góc giữa đường thẳng MP và C’N là 90.
VÍ DỤ 1 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa đường thẳng MP và C’N:
A. 30
B. 120
C. 60
D. 90
Hướng dẫn
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho :
A(0 ; 0 ; 0) ; B(1 ; 0 ; 0) ; C(1 ; 1 ; 0) ; D(0 ; 1 ; 0) A’(0 ; 0 ; 1) ; B’(1 ; 0 ; 1) ; C’(1 ; 1 ; 1) ; D’(0 ; 1 ; 1)
Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’ nên M 1; 0 ;1 2
; N 1; 1; 0 2
; P 0 ;1; 1 2
MP 1;1 1; 2 2
; C ' N 1; 0 ; 1 2
Có thể không cần tính MP
; C ' N
ngoài giấy mà tính luôn khi nhập vec-tơ như sau:
CASIO fx-570VN PLUS : Tính MP
: w811 0 – 1= 1P2–0= 1–1P2= MP 1;1 1;
2 2
Tính C ' N
: w821 1P2–1= 1–1= 0 – 1= C ' N 1; 0 ; 1
2
Bấm C
(q53q57q54) (VctAVctB)
P(qcq53)O(qcq54))= 0.7071067812 (dòng trên có trên màn hình là : (VctAVctB)P(Abs(VctA) (Abs(VctB)))
Nhấn : w1qkM)= 90 (tức là 90) hoặc bấm thêm nút x 900’0”
CASIO fx-580VN X : Tính MP
: MENU 513 0 – 1= 1P2–0= 1–1P2= MP 1;1 1; 2 2
Tính C ' N
: OPTN 123 1P2–1= 1–1= 0 – 1= 1
C ' N ; 0 ; 1 2
Bấm C
OPTNR3OPTN3q) OPTN4)= 90 Vậy góc giữa đường thẳng MP và C’N là 90.
VÍ DỤ 2 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
Khoảng cách giữa đường thẳng A’B và B’D:
A. a 3 B. a 3
3 C. a 6 D. a 6
6
Hướng dẫn
7 Công thức:
[A'B , B'D].A'B'd d , d'
[A'B , B'D]
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A(0 ; 0 ; 0)
Sau đó chọn các điểm sắp xếp như sau để dễ tính các vec-tơ A’(0 ; 0 ; 1) ; B’(1 ; 0 ; 1)
B(1 ; 0 ; 0) ; D(0 ; 1 ; 0) VctA : Tính A ' B
: MENU 513 1–0= 0–0= 0–1= A ' B
1; 0 ; 1
VctB : Tính B' D
: OPTN 123 0–1= 1–0= 0–1= B' D
1;1; 1
VctC : Tính A ' B'
: OPTN 133 1–0= 0–0= 1–1= A ' B'
1; 0 ; 0
Bấm C
Abs((VctAVctB)VctC)P Abs(VctAVctB) 0,4082482905 Lưu vào biến X : STO X
Bấm MENU 1sQ(d= 6
6 a 6
6 (Bấm như vậy mới ra 6
6 , còn không ra số thập phân) VÍ DỤ 3 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có cạnh
BC a 2 , biết A’B = 3a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’C A. 2a 2
3 B. a 2
3 C. a 3
3 D. a 2
2
Hướng dẫn
Công thức:
[AB , A'C].AA' d AB , A'C[AB , A'C]
ABC vuông cân tại A coÙ: BC a 2 AB AC BC 2 a 2 2 a
2 2
A’AB vuông tại A coÙ: AA' A'B AB2 2 9a a2 2 8a2 2a 2 Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: (Sắp như ở dưới cho dễ tính)
A(0 ; 0 ; 0) ; A' 0 ; 0 ; 2 2
B(1 ; 0 ; 0) ; C(0 ; 1 ; 0)
VctA:AB
1; 0 ; 0
; VctB:A 'C
0 ;1;2 2
; VctC:AA '
0 ; 0 ; 2 2
Abs((VctAVctB)VctC)P Abs(VctAVctB) 0,9428090416 Lưu vào biến X : STO X
Bấm MENU 1sQ(d= 2 2
3 2a 2 3
VÍ DỤ 4 : (ĐH D 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; AC = AD
= 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
Hướng dẫn
ABC có : AB2 + AC2 = 32 + 42 = 52 = BC2
ABC vuông tại A AB AC.
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho :
A(0 ; 0 ; 0) ; B(3 ; 0 ; 0) ; C(0 ; 4 ; 0) ; D(0 ; 0 ; 4)
BC 3; 4;0
; BD
3;0; 4
nBC,BD
16 ;12 ;12 hay 4 ; 3; 3
4(x – 3) + 3(y – 0) + 3(z – 0) = 0 4x + 3y + 3z – 12 = 0 Hoặc : Phương trình (BCD) : 1
4 z 4 y 3
x 4x + 3y + 3z – 12 = 0
17 34 6 34
34 12 34 12 3
3 4
12 0 0 BCD 0
, A
d 2 2 2
(cm)
VÍ DỤ 5 : (ĐH B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, ADa 2, SA
= a và SA (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC.
Chứng minh rằng (SAC) (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Hướng dẫn
Ta có: VANIB 1 AB,AN .AI
6
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho :
A(0 ; 0 ; 0) ; B(1 ; 0 ; 0) ; C 1; 2 ; 0
; D(0 ; 1 ; 0) ; S(0 ; 0 ; 1) M là trung điểm của AD nên M 0 ; 2 ; 02
N là trung điểm của SC nên N 1; 2 1;
2 2 2
BD AC = H AH và BM là 2 đường trung tuyến của ABD. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của ABD
x 1 1 x 2 0 x 3x 1 3
2 1 2
IC 2IA 2 y 2 0 y 3y 2 y I ; ; 0
3 3 3
0 z 2 0 z 3z 0 z 0
VctA:AB
1; 0 ; 0
; VctB:AN 1; 2 1;2 2 2
; VctC:AI 1; 2 ; 0
3 3
Abs((VctAVctB)VctC)P6 0,03928371007 Lưu vào biến X : STO X
Bấm MENU 1Q(d=sM= 2
36 a 23 36 ------
9 BÀI 1 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa đường thẳng MP và C’N:
A. 30 B. 120 C. 60 D. 90
BÀI 2 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’. Tính góc giữa đường thẳng AC’ và (MNP):
A. 30 B. 120 C. 60 D. 90
BÀI 3 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa đường thẳng A’B và B’D:
A. a 3 B. a 3
3 C. a 6 D. a 6
6
BÀI 4 : (ĐỀ MINH HỌA 2018) Cho hình lập phươngABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng
A. a3 B. a C.
2 a
3 D. 2 a
BÀI 5 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Khoảng cách giữa đường thẳng MN và A’C:
A. 1
2 B. 2
4 C. 1
2 D. 3
2 2
BÀI 6 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, C’D’ và DD’. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ.
A. 3
8 B. 1
8 C. 1
12 D. 1
24
BÀI 7 : (THPT QG 2018) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng
A. 85 85
6 B.
85 85
7 C.
65 13
17 D.
65 13 6
BÀI 8 : (ĐỀ MINH HỌA 2018) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai mặt phẳng (A’B’CD) và (ABC’D’) bằng
A. 30o B. 60o C. 45o D. 90o
BÀI 9 : (ĐH B 2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.
A. a 3
3 B. a 2
3 C. a 6
6 D. a 2
2
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa MP và C1N.
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
BÀI 10 : (ĐH A 2003) Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’có A trùng với gốc tọa độ, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), A’(0 ; 0 ; b) (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm CC’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
A. 1 a b2
4 B. 1 a b2
2 C. 1 ab2
4 D. 1 ab2
2 b) Xác định tỷ số
b
a để hai mặt phẳng (ABD)và (MBD) vuông góc với nhau.
A. a 1
b B. a 2
3 C. a 3
3 D. a 2
2
BÀI 11 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc AD’, điểm N thuộc
đoạn BD sao cho AM = DN = x 0 x a 2 2
. Tìm x theo a để đoạn MN ngắn nhất.
A. x a 2
3 B. x a 2
4 C. x a
3 D. x a
2
BÀI 12 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có cạnh BC a 2 , biết A’B = 3a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’C
A. 2a 2
3 B. a 2
3 C. a 3
3 D. a 2
2
BÀI 13 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có cạnh BC 2, biết A’B = 3a. Gọi I là giao điểm của AC’ và A’C. Tính khoảng cách từ I đến (BCC’B’).
A. a 3
2 B. a 2
4 C. a 3
4 D. a 2
2
BÀI 14 : (ĐỀ MINH HỌA 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB2 3 và AA’ = 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, A’C’ và BC. Cô-sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) bằng
A. 65 13
6 B.
65
13 C.
65 13
17 D.
65 13 18
BÀI 15 : (ĐH D 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
A. 6 34
17 B. 3 34
17 C. 2 34
17 D. 34
17
BÀI 16 : (ĐH B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, ADa 2, SA = a và SA (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
A. 2a 23
72 B. a 23
72 C. a 23
36 D. 2a 23
36
BÀI 17 : (ĐH A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a;
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60o.
a) Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.
A. 2a 3 3 B. a 3 3 C. a 33
2 D. a 33
3 b) Tính khoảng cách giữa AB và SN theo a.
A. 3a 12
13 B. 2a 12
13 C. a 12
13 D. 4a 12
13
BÀI 18 : (ĐỀ MINH HỌA 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC. Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa 2 đường thẳng OM và AB bằng
A. 90o B. 30o C. 60o D. 45o
BÀI 19 : (THPT QG 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
A. 2 a
6 B.
3 a
2 C.
2
a D.
3 a
1D 2D 3D 4B 5B 6D 7B 8D 9a) A 9b) C 10b) A 10b) A
11A 12A 13B 14A 15A 16C 17a) B 17b) C 18C 19B
