Đoàn Ngọc Dũng -

THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

V. KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG

BÀI 5.1 : (ĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).

BÀI 5.2 : (ĐH D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’=a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính VABC.A’B’C’ và d(AM, B’C).

BÀI 5.3 : (ĐH B 2010) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa (A’BC) và (ABC) bằng 60. Gọi G là trọng tâm A’BC. Tính VABC.A’B’C’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

BÀI 5.4 : (ĐH B 2003) Cho lăng trụ đứng ABCD.ABCDcó đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60⁰. Gọi M là trung điểm cạnh AAvà N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minhB,M,D,Ncùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AAtheo a để tứ giác BMDNlà hình vuông.

BÀI 5.5 : (CĐ 2013) Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a và đường thẳng A’B tạo với đáy một góc bằng 60. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B’C’. Tính VABC.A’B’C’ và độ dài MN.

BÀI 5.6 : Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ACa, CB2a, góc ACB = 120^o và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng



ABB'A'



một góc 30^o. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ đỉnh A’ đến mặt phẳng



ACM theo a.



BÀI 5.7 : Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và góc BAD bằng 60^o, AC’ = 2a. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của A’O và AC’. Tính thể tích khối tứ diện EABD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng



BDE .



BÀI 5.8 : Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc BAC = 60^o, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng

 

2 a 1

3 và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và AC bằng

5 15

a . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

BÀI 5.9 : Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và BC2a. Gọi M là trung điểm của BC, biết hai mặt phẳng



AB'M



và



BA'C'



vuông góc với nhau. Tính thể tích khối lăng trụ

' C ' B ' A .

ABC và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng



AC'M



theo a.

BÀI 5.10 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C ; đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng



^{ABB' A '}



một góc 60^o và ABAA'a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’, CC’ BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, NP theo a.

BÀI 5.11 : Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A ; góc ABC = 60^o ; a

2

AB , cạnh bên AA'3a. Gọi M là trung điểm cạnh B’C’. Tính khoảng cách từ C đến



A'BM



theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng



A'BM



và



ABC .



BÀI 5.12 : Cho lăng trụ đứng ABC.A₁B₁C₁ có đáy A₁B₁C₁ là tam giác vuông tại B1. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A1 lên AC1. Biết góc giữa đường thẳng A1K và mặt phẳng



AB₁C₁



bằng 30^o và A₁B₁ a,

5 a C

A_{1 1} . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A₁B₁C₁ theo a.

BÀI 5.13 : Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB2a, AA'a. Góc giữa mặt



^A'BC



^và



ABC bằng 30



^o. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa B’C’ và A’C.

ĐS : 1) 24

a 3 5 ³ ;

19 a 3 2 ; 2)

48 14 a³ ; 3)

9 a 4 ³ ;

5 5 a

2 ; 2) 2

2 a³ ;

7 7 a ; 3)

8 a 3

3 ³ ; R = 12

a

7 ; 4) a 2; 5) 3a³

V 4 ; a 13 2 ; 6)

14 105 V a

 3 ; 89

1335 a

2 ; 7)

36 3 V a

 3 ; 7

21 a ; 8)

2 a V 3

3

 ; 9) Va³ 2; 3

6 a 2 ;

10) 4 15 V a

3

 ;

5 15

a ; 11) d



C,



A'BM

 

3a ; 60^o ; 12) Va³ 15 ; 13) V2a³ 3 ; 2

3 a . VI. KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN

BÀI 6.1 : (ĐH A 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’.

BÀI 6.2 : (ĐH B 2009) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60; ABC vuông tại C và góc BAC = 60. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

BÀI 6.3 : (ĐH B 2014) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 60^o. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’).

BÀI 6.4 : (THPT QG 2016) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a.

Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A’B tạo với (ABC) một góc 45. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh A’B  B’C.

BÀI 6.5 : (ĐH B 2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 60^o. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và d(B1 , (A1BD)) theo a.

BÀI 6.6 : Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh huyền BCa 2 ; cạnh bên AA'2a và A’ cách đều các đỉnh A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và AC. Tính thể tích khối chóp C'.BMN và khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng



BMN .



BÀI 6.7 : Cho lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại C, AB2a, cạnh bên AA'a 3. Đỉnh B’ có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng



ABC



là trung điểm của BC. Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 60^o. Tính thể tích khối lăng trụ và góc giữa hai mặt phẳng



BCC'B'



và



ABB'A'



.

BÀI 6.8 : Cho lăng trụ ABC.A₁B₁C₁ có M là trung điểm cạnh AB, BC2a, góc ACB bằng 90^o và góc ABC bằng 60^o, cạnh bên CC1 tạo với mặt phẳng



ABC



một góc 45^o, hình chiếu vuông góc của C1 lên mặt phẳng



ABC



là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc tạo bởi hai mặt phẳng



ABC



và



ACC1A1



. ĐS : 1) a³

V 2 ,cos ¹

  4; 2) 9a³ V208 ; 3)

8 a 3

3 ³ ; ^{3a 13}

13 ; 4) V = a³ ; 5) 2 a V 3

 3; 2

3 a ; 6)

16 14 V a

 3 ;

71 994 a

3 ; 7)

4 3 a V 3

 3 ;

13 A 3 M C cos  

; 8) V2 3a³; arctan2 . VII. HÌNH HỘP

BÀI 7.1 : (ĐH D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.

BÀI 7.2 : Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC = 60^o, góc giữa mặt phẳng (A’BD) và mặt phẳng đáy bằng 60^o. Tính theo a thể tích của hình hộp và khoảng cách giữa đường thẳng CD’ và mặt phẳng (A’BD).

BÀI 7.3 : Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60^o, cạnh bên 2

a '

AA . Hình chiếu vuông góc của đỉnh D trên cạnh BB’ là điểm K và BB' 4

BK1 ; hình chiếu vuông góc của đỉnh B’ trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H nằm trên đoạn thẳng BD. Tính theo a thể tích khối hộp

' D ' C ' B ' A .

ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và C’D.

ĐS : 1) ^{a3 2}; ^{a 6} ;2) 3a³ ; ^{a 3} ; 3)  ^{a3 21} ; ^a .

HƯỚNG DẪN GIẢI V. KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG

BÀI 5.1 : (ĐH D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). ĐS : V =

9 a 4 ³ ;

5 5 a 2

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối tứ diện IABC Trong tam giác vuông A’AC, ta có :

5 a a 4 a 9 ' AA C

' A

AC ²  ²  ² ²  Trong tam giác vuông ABC, ta có :

a 2 a a 5 AB AC

BC ² ²  ²  ² 

Gọi H là hình chiếu của I trên AC thì IH  (ABC).

Vậy IH là chiều cao của tứ diện IABC.

Xét hai tam giác đồng dạng MIA’ và AIC, ta có : 2

1 AC

M ' A IC

'

IA   , suy ra

3 2 ' CA

CI 

Mặt khác : IH // AA’ nên ta có :

3 a ' 4 3 AA IH 2 3 2 ' CA

CI ' AA

IH      

Diện tích tam giác ABC là : _ABC a 2a a² 2

BC 1 2 AB

S 1     

Thể tích khối tứ diện IABC là :

9 a 4 3

a a 4 3 IH 1 3 S

V_IABC 1 _ABC   ²  ³

 Tính khoảng cách từ điểm A đến (IBC)

Vẽ HK  BC. Chứng minh BC  (IHK)  BC  IK.

Do HK // AB nên

3 a AB 2 3 HK 2 3

2 ' CA

CI CA CH AB

HK      

vuông IHK có :

3 5 a HK 2 IH

IK ² ² 

3 5 a 2 3

5 a a 2 2 2 IK 1 . 2BC S 1

2

IBC    



5 a 2 3

5 a 2

9 a .4 3 S

V )) 3 IBC ( A ( d )) IBC ( A ( d 3 S

V 1 ₂

3

IBC IABC IBC

IABC      

 Cách khác :

Kẻ AK  A’B (K  A’B) (3)

Ta có :







 ' AA BC

AB

BC  BC  (ABB’A’)  BC  AK (4)

Từ (3) và (4) suy ra : AK  (IBC)

Do đó AK là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) Tam giác A’AB vuông tại A, ta có :

5 5 a AK 2 a

1 a 4

1 AB

1 ' AA

1 AK

1

2 2 2 2

2       

   

5 5 a IBC 2 , A

d 

(ĐẠI HỌC D 2009)Cho hình lăng trụ đ ứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung đi ểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao đi ểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). A

BÀBÀI 16I 16 :

B

C A’

B’

 C’

M

I

H K

a 2a 3a

(Ð? I H? C D 2009)Cho hình lang tr? d ? ng ABC.A’B’C’ cĩ dáy ABC là tam giác vuơng t?i B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. G?i M là trung di ?m c?a do?n th?ng A’C’, I là giao di ?m c?a AM và A’C. Tính theo a th?

tích kh?i t? di?n IABC và kho?ng cách t? di?m A d?n m?t ph?ng (IBC). A

BÀBÀI 16I 16 :

B

C A’

B’

 C’

M

I

H a 2a 3a

K

BÀI 5.2 : (ĐH D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’=a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.

 Hướng dẫn :

Thể tích khối lăng trụ là :

2 2 2 a

2 a ' a AA S

V _ABC  ²   ³

Gọi N là trung điểm của BB’ thì MN là đường trung bình của BCB’.

Suy ra MN // CB’. Mà MN  (AMN) nên B’C // (AMN)

Do đó : d(AM , B’C) = d(B’C , (AMN)) = d(B’ , (AMN)) = d(B , (AMN)) Gọi BH là chiều cao của tứ diện BAMN thì d(B , (AMN)) = BH

Tứ diện BAMN có các cạnh BA, BM, BN đôi một vuông góc nên ta có : 7

7 BH a a

7 a

4 a 2

4 a

1 BN

1 BM

1 BA

1 BH

1

2 2 2 2 2 2

2

2          .

Vậy d(AM , B’C) = 7

7 a

BÀI 5.3 : (ĐH B 2010) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60. Gọi G là trọng tâm A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. ĐS : V =

8 a 3

3 ³ ; R = 12

a 7

 Hướng dẫn :

Gọi D là trung điểm của BC, ta có :

)) ABC ( ), BC ' A ((

BC AD

BC D ' A

BC ) ABC ( ) BC ' A (

 















= góc A’DA = 60

Vì AD là đường cao của đều ABC cạnh a nên

2 3 AD a

vuông A’AD có một góc bằng 60 nên là nửa tam giác đều.

 A'D2ADa 3 và

2 a 3 3 AD '

AA 

Vậy thể tích khối lăng trụ :

8 3 a 3 2

a 3 4

3 ' a AA . S V

3 2

ABC   

 (đvtt)

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC 

3 1 DA DH ' DA

DG    GH // AA’  GH  (ABC)

 GH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Vẽ mặt phẳng trung trực của GA, mặt phẳng này cắt GA tại E và cắt GH tại I, ta có IG = IA = IB = IC  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC

GEI đồng dạng GHA 

GH 2 GA GH

GA . GI GE GH

GE GA

GI     ²

GH // AA’ 

2 a 2

a 3 3 ' 1 3AA GH 1 3

1 DA DH ' AA

GH       

vuông GHA có :

12 a 7 2

3 a 3 2 2

AH a GH

GA

2 2 2

2

2  





 

 



 







 .

Do đó :

12 a 7 a 12

a 7 GH 2 GI GA

2

2  



(ĐẠI HỌC B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’

cĩ AB = a. Gĩc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60.

Gọi G là trọng tâm

A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

GABC theo a. A

BBÀÀI 18I 18 :

B

C A’

B’

C’

D a 60 

G

H E

I

BÀI 5.4 : (ĐH B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCDcó đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60⁰. Gọi M là trung điểm cạnh AAvà N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minhB,M,D,Ncùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDNlà hình vuông. ĐS : AA’ = a 2

 Hướng dẫn :

AD // B’C’ và AD = B’C’  AB’C’D là hình bình hành

 DB’ cắt AC’ tại trung điểm I (1)

AC // A’C’ và AC = A’C’ ACC’A’ là hình bình hành

 MN là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’

 MN cắt AC’ tại trung điểm của AC’  MN đi qua trung điểm I (2) Từ (1) và (2)  DB’ và MN cắt tại trung điểm I của mỗi đường

 B’, M, D, N cùng nằm trên một mặt phẳng.

Ta có: DM² = DA² + AM² = DC² + CN² = DN²  DM = DN

 hình bình hành B’MDN là hình thoi.

Hình thoi B’MDN là hình vuông  MN = B’D

 AC = B’D  AC² = B’D² = B’B² + BD²

 3a² = B’B² + a²  B’B² = 2a²  B’B = a 2 . Vậy A’A = a 2 .

 Cách khác :

a) Do M là trung điểm cạnh AAvà N là trung điểm cạnh CC’ nên ta có AM // NC’ và AM = NC’

 Tứ giác AMCN’ là hình bình hành.

Gọi I là giao điểm của MN và AC’ thì I là trung điểm của MN (1) Mặt khác, tứ giác AB’C’D là hình bình hành nên I = AC’  B’D

 I là trung điểm của B’D (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác B’MDN là hình bình hành Vậy B’, M, D, N cùng nằm trên một mặt phẳng.

b) ta có DAM = DCN  DM = DN

 Tứ giác B’MDN là hình thoi.

Do đó : B’MDN là hình vuông  MN = B’D (*)

BDB’ vuông tại B, ta có : B’D² = B’B² + DB². Khi đó :

(*)  MN² = B’D²  AC² = B’B² + BD² 

 

^{a 3 2= B’B2 + a2  B’B2 = 2a2  B'Ba 2 A'A}

Vậy A’A = a 2 .

BÀI 5.5 : (CĐ 2013) Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AB = a và đường thẳng A’B tạo với đáy một góc bằng 60. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B’C’. Tính VABC.A’B’C’ và độ dài MN.

 Hướng dẫn :

AA’  (ABC)  góc A’BA là góc giữa A’B với đáy

 góc A’BA = 60.

Ta cĩ AA’ = AB.tan60 AA^/ a 3

2 3

3 3

4 3 4

a a

V  a 

GoGọïii KK llaàø ttrruunngg đđiieểåmm ccuủûaa BBCC  MMNNKK vvuuoôânngg ttaạïii KK ccoóù ::

1 a

MK AB ; NK AA ' a 3

2 2

   

 

^{2 2 2}

2 13 13

3 2 4 2

a a a

MN  a      MN 

(ĐẠI HỌC B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’

cĩ đ áy ABCD là hình thoi cạnh a, gĩc BAD

= 60. Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’.

Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng.

Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a đ ể tứ giác B’MDN là hình vuơng.

B BBÀÀI 19I 19 :

D C B’

D’

C’

M

I

A a A’



N

60

A

B

C A’

B’

C’

K a

M



60

N



BÀI 5.6 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ACa, CB2a, góc ACB = 120^o và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng



ABB'A'



một góc 30^o. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ đỉnh A’ đến mặt phẳng



ACM theo a.



ĐS :

14 105

V_ABC.A'B'C' a³ ;

   

89 1335 a ACM 2 ,' A

d 

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Trong tam giác ABC kẻ đường cao CH thì CH



AA'B'B



 A’H là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng



AA'B'B



 góc CA’H = 30^o

Áp dụng định lí cô-sin trong ABC, ta có :

2 2

2 o 2

2

2 7a

2 a 1 2 . a 2 a 4 a 120 cos . BC . AC 2 BC AC

AB 



 















 7 a AB



Diện tích tam giác ABC là :

2 3 a 2 a 3 2 . 2a 120 1 sin . CB . 2AC

S_ABC 1 ^o    ²

Mặt khác :

7 21 a 7 a 2

3 2 a AB S CH 2 AB . 2CH S 1

2

ABC ABC  







 ^



Tam giác A’CH vuông tại H, ta có :

7 21 a 2 30 sin C CH '

A  _o 

Tam giác A’AC vuông tại A, ta có :

7 35 a a

7 21 a AC 2

C ' A '

AA ²

2 2

2   







 



 Thể tích khối lăng trụ đã cho là :

14 105 a 7

35 a 2

3 ' a AA . S

V _ABC  ²   ³ (đvtt)

 Tính khoảng cách từ đỉnh A’ đến (ACM) Dễ thấy d



A ,'



ACM

 

2d



B,



ACM

 

Trong tam giác ABC kẻ đường cao BK, ta có : AK



BKM



BM AK

BK

AK  









Mà BK



ACM



nên



ACM

 

 BKM



theo giao tuyến KM.

Trong tam giác BKM kẻ đường cao BI thì BI



ACM



. Suy ra d



B,



ACM

 

BI. Ta có : BKBC.sin60^o a 3.

Tam giác BKM vuông tại B, ta có :

89 1335 BI a

a 35

196 a

3 1 BM

1 BK

1 BI

1

2 2

2 2

2      

 

 

89 1335 ACM a

, B

d 



Vậy d A ' , ACM

   

^{2a 1335}

 89 .

BÀI 5.7 : Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và góc BAD bằng 60^o, AC’ = 2a. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của A’O và AC’. Tính thể tích khối tứ diện EABD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng



BDE .



ĐS :

36 3

V_EABD a³ (đvtt) ;

   

7 21 EBD a

, A

d 

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối tứ diện EABD

Ta có ABADa và góc BAD = 60^o nên ABD là tam giác đều cạnh a. Suy ra BDa, AC2AOa 3.

Tam giác ACC’ vuông tại C, ta có : a a 3 a 4 AC ' AC '

CC ² ²  ² ² 

Gọi IAC'A'C thì I là trung điểm AC’

 E là trọng tâm của A’AC

Trong AEO kẻ đường cao EH thì EH



ABD



. Do EH//A'A nên ta có :

3 A a ' 3A EH 1 3

1 ' OA OE A ' A

EH     

Thể tích khối tứ diện EABD là : 36

3 a 3 a 4

3 a 3 EH 1 . 3S

V_EABD 1 _ABD   ²   ³ (đvtt)

 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDE)

Ta có : BD



A'AO



BD A'O

' AA BD

AC

BD    









Tam giác EBD có EO vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên cân tại E.

Tam giác A’AO vuông tại A, ta có :

6 7 O a ' 3A EO 1 2

7 a 2

3 a a

AO A

' A O ' A

2 2

2

2     











 Diện tích tam giác EBD là :

12 7 EO a

. 2BD

S_EBD  1  ²

Ta có :

       

7 21 a 12

7 a 36 3 3 a S

V EBD 3

, A d EBD , A d . 3S

V 1 ₂

3

EBD EBD EABD

EABD  









Vậy

   

7 21 EBD a

, A

d  .

BÀI 5.8 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc BAC = 60^o, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng

 

2 a 1

3 và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và AC bằng

5 15

a . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'. ĐS :

2 a

V_ABC.A'B'C' 3 ³ (đvtt)

 Hướng dẫn :

Đặt ABx



x0



; ta có 2x 60 cos

AC AB_o  , BCAB.tan60^ox 3 Ta có :

2 3 BC x

. 2AB

S_ABC 1  ²

Mặt khác : S_ABCpr, với

   

2 x 3 BC 3

AC 2 AB

p 1 







 ,

 

2 a 1 r 3

   

_{x a}

2 a 1 3 2

x 3 3 2

3 x²



 

 





Dựng hình bình hành ADBC thì AC//



A'BD



, ta có :



AC,A'B



d



AC,



A'BD

 

d



A,



A'BD

 

d  

Trong tam giác ABD kẻ đường cao AK, ta có :



A'AK



' BD AA BD

AK

BD  









Mà BD



A'BD



nên



A'BD

 

 A'AK



theo giao tuyến A’K.

Trong tam giác A’AK kẻ đường cao AH thì AH



A'BD



     

5 15 AH a

BD ' A , A d B ' A , AC

d   



Tam giác A’AK vuông tại A có : _{2 2 2} AK

1 ' AA 1 AH

1  

Tam giác ABD vuông tại A, ta có : _{2 2 2} AD

1 AB

1 AK

1  

Do đó : AA' a 3

a 3

1 a

1 ' AA 1 a

3 5 AD

1 AB

1 ' AA 1 AH

1

2 2 2 2

2 2

2

2         

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là :

2 a 3 3 a . 3 a . 2a ' 1 AA . BC . 2AB ' 1 AA . S

V _ABC    ³ (đvtt)

BÀI 5.9 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và BC2a. Gọi M là trung điểm của BC, biết hai mặt phẳng



AB'M



và



BA'C'



vuông góc với nhau. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng



AC'M



theo a.

ĐS : V_ABC.A'B'C' a³ 2 (đvtt) ;

   

3 6 a M 2 ' AC ,' B

d 

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Ta có : A'C'



ABB'A'



' AA ' C ' A

' B ' A ' C '

A  









Trong tam giác A’AB kẻ đường cao AI, ta có :

 

 











' A ' ABB '

C ' A do ' C ' A AI

B ' A AI



BA'C'



AI



Mặt khác



AB'M

 

 BA'C'



nên AI



AB'M



hay IAB'A'B Suy ra tứ giác ABB’A’ là hình vuông.

Ta có : a 2

2 AB BC '

AA   .

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là : 2a .a 2 a 2 2

' 1 AA . S

V _ABC   ²  ³ (đvtt)

 Tính khoảng cách từ B’ đến (AC’M) Ta có : AM



BCC'B'



' BB AM

BC

AM  









Trong tam giác B’C’M kẻ đường cao B’H, ta có :

   

B'H



AC'M



' B ' BCC AM

do AM H

' B

M ' C H '

B  











 

 

d B' , AC' M B' H

 

Tam giác C’CM vuông tại C, ta có : C'M CC'²CM²  2a² a² a 3 Diện tích tam giác MB’C’ là : .2a.a 2 a 2

2 ' 1 BB .' C ' 2B

S_MB'C' 1   ²

Mặt khác

3 2 a 2 3 a

2 a 2 M ' C S H 2 ' B M ' C . H ' 2B

S_MB'C' 1   ^MB'C'  ² 

Vậy d B' , AC ' M

   

^{2a 6}

 3 .

BÀI 5.10 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C ; đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng



^{ABB' A '}



một góc 60^o và ABAA'a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’, CC’ BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, NP theo a.

ĐS :

4 15

V_ABC.A'B'C a³ (đvtt) ;

 

5 15 HK a

2 PN , AM

d  

 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Gọi I là trung điểm của A’B’ thì CI'A'B' (do A’B’C’ cân tại C’) Mặt khác C'IAA', suy ra CI'



ABB'A'



 BI là hình chiếu của BC’ trên mặt phẳng



ABB'A'



 góc C’BI = 60^o là góc hợp bởi BC’ với mặt phẳng



ABB'A'



BB’I vuông tại B’, ta có :

2 5 a 4 a a I' B ' BB

BI ² ²  ² ² 

BC’I vuông tại I, ta có :

2 15 60 a

tan . BI I'

C  ^o 

Diện tích tam giác A’B’C’ là :

4 15 a 2

15 a a 2 I' 1 C .' B ' 2A

S_A'B'C'  1     ²

Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là :

4 15 a a

4 15 ' a

AA . S

V _A'B'C'  ²   ³ (đvtt)

 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, NP

Gọi Q là trung điểm của B’C’ thì MQ//BC'//PN, suy ra BC’ và PN cùng song song với mặt phẳng



AMQ .



Do đó : d



AM,PN



d



PN,



AMQ

 

2d



BC ,'



AMQ

 

Trước hết ta tính khoảng cách từ BC’ đến mặt phẳng



AMQ .



Gọi HAMBI, ta có : ABMBBI'  góc BAM = góc B’BI

Mặt khác : góc AMB + góc BAM = 90^o  góc AMB + góc B’BI = 90^o  góc BHM = 90^o AMBI Ngoài ra AMCI'



doCI'



ABB'A'

 

, suy ra AM



BCI'



AMBC'

Kẻ HKBC'



KBC'



thì HK là đoạn vuông góc chung của AM và BC’, tức là :



AM,BC'



HK d



BC,'



AMQ

 

d  

ABM vuông tại B, ta có :

5 5 BH a a

5 a

4 a

1 BM

1 AB

1 BH

1

2 2 2 2 2

2       

BHK vuông tại K, ta có :

10 15 60 a

sin . BH

HK ^o 

Vậy ^{d AM , PN}

 

^{2HK a 15}

  5

BÀI 5.11 : Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A ; góc ABC = 60^o ; a

2

AB , cạnh bên AA'3a. Gọi M là trung điểm cạnh B’C’. Tính khoảng cách từ C đến



A'BM



theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng



A'BM



và



ABC .



ĐS : d



C,



A'BM

 

3a ; 60^o

 Hướng dẫn :

 Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (A’BM)

Tam giác ABC vuông tại A, ta có : ACAB.tan60^o 2a 3, 4a 60 cos BC AB_o 

a 2 ' C ' 2B M 1 '

A  



Trong tam giác A’B’C’ kẻ đường cao A’H, ta có : A'H.B'C'A'B.'A'C' 3

a a 4

3 a 2 . a 2 '

C ' B

' C ' A .' B ' H A '

A   



Thể tích khối chóp A'.BCM là :

3 a 2 3 a . a 3 . a 6 4 H 1 ' A . MN . 6BC H 1 ' A . 3S

V_A'.BCM1 _BCM     ³

Gọi I là trung điểm của A’M, ta có :

13 a a 9 a 4 ' BB ' B ' A B ' A

BM  ² ²  ² ² 

 A’BM cân tại B BIA'M

Diện tích tam giác A’BM là : A'M.BI 2

S_A'BM 1 , với BI A'B²AI'²  13a² a² 2a 3 3

a 2 3 a 2 . a 22

S_A'BM  1  ²



Mặt khác :

       

3a

3 a 2

3 a 6 S

V BM 3

' A , C d BM ' A , C d . 3S V 1

V ₂³

BM ' A

BCM '.

BM A ' A BM

' A . C BCM '.

A      

 Tính góc giữa hai mặt phẳng (A’BM) và (ABC)

Diện tích tam giác ABN là : a 3

2 a 3 2 . a 2 2 60 1 sin . BN . 2AB

S_ABN 1 ^o     ²

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng



A'BM



và



ABC , và N là trung điểm của BC.



Do ABN là hình chiếu của A’BM trên mặt phẳng



ABC nên ta có :



o 2

2

BM ' A BM ABN

' A

ABN 60

2 1 a 3 2

a 3 S

cos S cos

. S

S      

BÀI 5.12 : Cho lăng trụ đứng ABC.A₁B₁C₁ có đáy A₁B₁C₁ là tam giác vuông tại B1. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A1 lên AC1. Biết góc giữa đường thẳng A1K và mặt phẳng



AB1C1



bằng 30^o và A₁B₁ a,

5 a C

A_{1 1} . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A₁B₁C₁ theo a.

ĐS : V_ABC.A'B'C' a³ 15

 Hướng dẫn :

A1B1C1 vuông tại B1 ta có : B₁C₁  A₁C₁² A₁B₁²  5a²a² 2a Kẻ A₁HAB₁, ta có : BC



AAB



BC AH

AA C

B

B A C B

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1

1 1 1

1    









Từ đó : 1



1 1



1 1 1

1

1 A H ABC

C B H A

AB H

A  









 HK là hình chiếu vuông góc của A K trên mặt phẳng



ABC



Đặt AA₁ x



x0



AA1B1 vuông tại A1, ta có : _{2 2 2}

1 1 2 1 2

1 a

1 x

1 B A

1 AA

1 H

A

1    

 

1

AA1C1 vuông tại A1, ta có : _{2 2 2}

1 1 2 1

1 2 5a

1 x

1 C A

1 AA

1 K

A

1    

 

2

A1HK vuông tại H, ta có : AK

2 30 1 sin . K A H

A₁  ₁ ^o  ₁

 

3 Thế

 

3 vào

 

1 , ta có : _{2 2 2}

1 a

1 x

1 K A

4  

 

4

Từ

 

2 và

 

4 ta được : x 15a x a 15 a

1 x

1 a 5

1 x

4 1_{2 2} ₂  ₂  ²  ²  



 



 

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A₁B₁C₁ là :

15 a 15 a . a 2 . 2a AA 1 . C B . B 2A AA 1 . S

V _{ABC 1}  _{1 1 1 1 1}   ³

BÀI 5.13 : Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB2a, AA'a. Góc giữa mặt



^A'BC



^và



ABC bằng 30



^o. Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C’ và A’C.

 Hướng dẫn :

Vẽ ^AHBC



^A'HA



^BC  góc A’HA = 30^o 3

a 30 cot ' AA

AH ^o

3 a 2 a AC

12 1 a 4

1 a 3

1 AC

1 AC

1 AB

1 AH

1

2 2

2 2 2

2

2        

Do đó : 2a.2a 3.a 2a 3

2 ' 1 AA . AC . 2AB

V_ABC.A'B'C' 1    ³

 ^B'C'//



^A'BC



^d



^{B'C ,'A'C}

 

^{dB'C,'A'BC}

 

^dB,'A'BC



Gọi IAB'A'B  I trung điểm B’A  ^d



^B,'A'BC

 

^{d A,A'BC}



Vẽ ^{AKA'HAK}



^A'BC



^d



^A,A'BC



^AK

Ta có :

2 3 30 a

sin . AH

AK ^o  . Vậy

   

2 3 C a

' A ,' C ' B 2 d

3 BC a

' A , A

d    .

B

BÀÀI 20I 20::(ĐẠI HỌC A 2008)Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’

cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB = a, AC = ,hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh A’

trên (ABC) là trung đi ểm của BC. Tính thể tích khối chĩp A’.ABC và tính cosin của gĩc giữa AA’, BB’.

3 a

A

B

C A’

B’

C’

2a

a

3 a

H

VI. KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN

BÀI 6.1 : (ĐH A 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’.

 Hướng dẫn :

Gọi H là trung điểm của BC, theo giả thiết ta có : A’H  (ABC)

 A’H là đường cao của hình lăng trụ và cũng chính là đường cao của hình chóp A’ABC V ¹ S_ABC B' H

 3  . 2

3 3 a

a 2 a AC 1 2 AB

S_ABC 1      ²

ABC vuông tại A có :

a 2BC AH 1 a

2 a 3 a AC AB

BC ²  ²  ² ²    

vuông A’HA có : A'H AA'²AH²  4a²a² a 3 Thể tích khối chóp A’ABC là :

2 3 a 2 a

3 a 3 H 1 ' A 3 S

V1 _ABC   ²   ³

 Tính cosin của góc giữa AA’ và B’C’

Gọi  là góc giữa AA’ và B’C’.

Do BB’ // AA’ và BC // B’C’ nên ta có : góc (AA’ , B’C’) = góc (BB’ , BC) =  Tam giác HA’B’ vuông tại A’ ta có : B'H A'H²A'B'²  3a²a² 2aBB' Do đó, B’BH là tam giác cân tại B’. Vậy góc B’BH = 

B’H² = BB’² + BH² – 2BB’.BHcos  4a² = 4a² + a² – 2.2a.a.cos  cos = 4 1

 Cách khác :

Gọi  là góc giữa AA’ và B’C’.

Do BB’ // AA’ và BC // B’C’ nên ta có : góc (AA’, B’C’) = góc (BB’, BC) = 

HA’B’ vuông tại A’ ta có : B'H A'H² A'B'²  3a² a² 2aBB'

 B’BH cân tại B’ nên cos ^{BH a 1} 2.BB' 2.2 4

   

 Cách khác : Có thể tính thể tích hình chóp A’.ABC dựa trên thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ như sau : 2

a 3 3 2 a

3 H a

' A S V

3 2

ABC '

C ' B ' A .

ABC      . Vậy

2 a 2 a 3 3 V 1

3 V 1

3 3 '

C ' B ' A . ABC ABC

'

A     

BÀI 6.2 : (ĐH B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60; ABC vuông tại C và góc BAC = 60. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm củaABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

 Hướng dẫn :

Gọi M là trung điểm của AC và H là trọng tâm ABC  H  BM.

Theo giả thiết, ta có B’H  (ABC) nên B’H là đường cao của hình lăng trụ và cũng chính là đường cao của hình chóp A’ABC V ¹ S_ABC B' H

 3  . Do B’H  (ABC) nên BH là hình chiếu vuông góc của BB’ lên (ABC).

 góc B’BH là góc hợp bởi BB’ và (ABC)  góc B’BH = 60^o

 vuông B’HB có góc B’BH = 60^o nên là nửa tam giác đều

 ^BB'^a và   ^{a 3}

Do H là trọng tâm của ABC nên

4 a BH 3 2 BM 3  Vì BM là đường trung tuyến của ABC nên :

2 2 2 2 2

2 AB BC AC 1 AB BC 1 2

BM AC

2 4 2 2 4

 

     

9a² 1 ² 3AB² 1 AB² 9a² 2 ² AB²

AB 7AB

16 2 4 4 4 16 16 16

 

        

 

2 2 2

9a 3AB 2 9a 3a

AB AB

16 16 3 13

     

Suy ra AC = 13 2

a

3 , BC = 13 2

3 a 3

Diện tích tam giác ABC là :

104 3 a 9 13 2

3 a 3 13 2

a 3 2 BC 1 2 AC

S_ABC 1      ²

Thể tích khối tứ diện A’ABC là :

208 a 9 2

3 a 104

3 a 9 3 H 1 ' B 3 S

V1 _ABC   ²   ³

 Chú ý : Đặt AB = x (x > 0)

Tam giác vuông ABC có góc BAC = 60^o nên là nửa tam giác đều  AC = 2

x và BC =

2 3 3 x

. AC  Theo tính chất của đường trung tuyến, ta có : AB² + BC² = 2BM² +

2 AC²

 x² +

8 x 4

a 2 3 2

3

x ² ² ²



 



 







  x² =

13 a

9 ²  x = 13

3 . Suy ra AC = a 13 2

a

3 , BC = 13 2

3 a 3

BÀI 6.3 : (ĐH B 2014) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 60^o. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’).

 Hướng dẫn :

Gọi H trung điểm AB thì A’H  (ABC).

Hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABC) là HC.

Vậy góc A’C và (ABC) là A'CH60^o .

A’HC vuông

2 a 3 2

3 3 a H ' A HC 3

H ' 60 A

tan ^o      



 

8 3 a 3 4

3 a 2

a ABC 3 dt

. H ' A

V_LT     ²  ³

 Cách 1 : Do AB cắt (A’AC) tại A mà H là trung điểm AB nên ^d



^B,



^A'AC

 

^2d



^H,



^A'AC

 

.

Vẽ HI  AC. Vẽ HK  A’I (1) Do AC  (A’IH)  AC  HK (2) Từ (1) và (2)  HK  (A’AC)

A’HI vuông

13 2

a 3 16

a 3 4 a

9 4

3 a 2

a 3 I'

A HI '.

HK HA _{2 2} 



 



 . Vậy

 

13 a HK 3 2 AC ' A , B

d   .

 Cách 2 :

     

13

a 3 4 a

39 a 2 1 8

3 a 3 AC .I ' 2A 1 V AC

' A dt

V AC 3

' A , B d

3

LT ABC

'.

A 







 



BÀI 6.4 : (THPT QG 2016) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a.

Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A’B tạo với (ABC) một góc 45. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh A’B  B’C.

 Hướng dẫn :

a) Gọi H là trung điểm của AC.

Theo giả thiết A’H  (ABC)  A’H là đường cao của hình lăng trụ ABC.A’B’C’  VABC.A’B’C’ = SABC.A’H

ABC vuông cân tại B nên : 2 2 a

2 a 2 2

2 BC AC

AB    _ABC a 2 a 2 a²

2 AC 1 2 AB

S  1     

 _

Do A’H  (ABC) nên BH là hình chiếu vuông góc của A’B lên (ABC)  góc tạo bởi A’B và (ABC) là H

B ' A 

 A'BH

= 45^o  A’HB vuông cân tại H 2 a

BH AC H '

A   



Vậy VABC.A’B’C’ = a².a = a³ (đvtt).

b) Gọi I = A’B  AB’ (tính chất đường chéo của hình bình hành)

 HI / B’C (HI là đường trung tuyến của AB’C’)

HA’B vuông cân tại H nên đường trung tuyến HI xuất phát từ đỉnh nên cũng là đường cao  HI  A’B

Do A’B  HI và HI // B’C nên A’B  B’C.

 Cách khác :

Để chứng minh A’B  B’C ta chứng minh A’B  (AB’C) có chứa B’C.

 

 

 













ABC H

' A do H ' A AC

ABC cân vuông của

đỉnh từ phát xuất tuyến trung đường là BH do BH AC

AC  (A’HB)  AC  A’B

 vuông A’AH có : AA' A'H²AH²  a² a²  2a² a 2 Mà ABa 2  AA'ABa 2

Hình bình hành ABB’A’ có AA’ = AB nên là hình thoi  A’B  AB’

Vì A’B  AC và A’B  AB’ nên A’B  (AB’C)  A’B  B’C

BÀI 6.5 : (ĐH B 2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 60^o. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và d(B1 , (A1BD)) theo a.

 Hướng dẫn :

Gọi O là giao điểm của AC và BD  A1O  (ABCD).

 A1O là đường cao của hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1

 VABCD.A B C D1 1 1 1 SABCDA O1

Đáy lăng trụ là hình chữ nhật ABCD và biết hai cạnh ABa, 3

a

AD nên ta dễ dàng tính được diện tích S_ABCDa² 3. Gọi E là trung điểm của AD, ta có :

AD  OE (OE là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác cân OAD) AD  A1O (do A1O  (ABCD))  AD  (A1OE)  AD  A1E

Vì OE  AD và A1E  AD nên góc giữa (ADD1A1) và (ABCD) là góc A1EO  góc A1EO = 60.

Tam giác vuông AOE có một góc bằng 60 nên là nửa tam giác đều 

2 3 O a A₁ 

Vậy 3a

O A S

V

 3





B

BÀÀI 22I 22 :: (ĐẠI HỌC B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A₁B₁C₁D₁ cĩ đ áy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = . Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A₁trên (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Gĩc giữa hai mặt phẳng (ADD₁A₁) và (ABCD) bằng 60.Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B₁ đến (A₁BD) theo a.

3 a

A

B C

D A₁

B₁ C₁

D₁

O

 E

60 H

Vẽ CH  BD (H  BD)  CH  (A1BD)  d(C, (A1BD)) = CH Tam giác vuông CBD có : CH.BD = CB.CD 

2 3 a CB CD

CD . CB BD

CD . CH CB

2

2 

 

 Vậy d(B1, (A1BD)) =

2 3 a

 Cách khác : Do A1B là đường chéo của hình bình hành ABB1A1 nên S S .

1 1

1AB ABB

A 

 

 hình chóp D.A1AB và hình chóp D.A1BB1 có thể tích bằng nhau do có cùng chiều cao xuất phát từ D.

Mà 4

O a A . 3S V 1

V

3 1 ABD ABD

A AB A .

D ₁  ₁  _  và

2 3 O a

1 A . AD 2 AB

O 1 A . 2BD S 1

2 2

2 1

B

DA₁    



)) B DA ( , B ( d . 3S V 1

V_{D.ABB B.DAB DAB 1 1}

1 1

1 1

1   

 2

3 a S

V . )) 3 B DA ( , B ( d

B DA

BB A . D 1

1

1 1

1 







BÀI 6.6 : Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh huyền BCa 2 ; cạnh bên AA'2a và A’ cách đều các đỉnh A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và AC. Tính thể tích khối chóp BMNC'. và khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng



BMN .



 Hướng dẫn :

 Tính thể tích khối chóp C’.BMN

Gọi H là hình chiếu của A’ trên mặt phẳng



ABC ; do A’ cách đều các đỉnh A, B, C nên H là tâm đường



tròn ngoại tiếp ABC. Mà ABC vuông cân tại A nên H là trung điểm của BC. Gọi IAC'MN. Ta có CI'3AI nên d



C ,'



BMN

 

3d



A,



BMN

 

, suy ra _{C'.BMN A.BMN} V_A'.ABC

4 V 3

3

V  

Ta có BCa 2 nên ABACa và

2 2 AHa

Tam giác A’HA vuông tại H, ta có :

2 14 a 4 a a 2 4 AH ' AA H

'

A  ² ²  ² ² 

Thể tích khối chóp A'.ABC là

12 14 a 2

14 a a

2 1 3 H 1 ' A . 3S

V_A'.ABC 1 _ABC   ²  ³

Vậy

16 14

V_C'.BMN a³ (đvtt).

 Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (BMN)

Gọi K là trung điểm của AH thì MK là đường trung bình của A’AH, ta có : H

' A //

MK , A'H

2

MK1 và MK



ABC



Gọi J là hình chiếu của K trên BN, ta có : BN MJ MK

BN KJ

BN  









Mà MJ



BMN



nên



BMN

 

 MKJ



theo giao tuyến MJ.

Trong tam giác MKJ kẻ đường cao KP thì KP



BMN



 d



K,



BMN

 

KP Gọi GAHBN thì G là trọng