Đoàn Ngọc Dũng -

1

ĐÁP ÁN CỦA BGD VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

BÀI 1 : (ĐH A 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của SB, SC.

Tính theo a diện tích AMN, biết rằng (AMN)  (SBC).

 Hướng dẫn :

Gọi K là trung điểm của BC và ISKMN. Từ giả thiết

2 BC a 2 MN 1 

 , MN // BC

 I là trung điểm của SK và MN

Ta có SABSAC  hai trung tuyến tương ứng AMAN

 AMNcân tại A AIMN Mặt khác

   

   

 

AI



SBC



AI SK

MN AI

AMN AI

MN AMN

SBC

AMN SBC





























Suy ra SAKcân tại A

2 3 AK a SA 



2 2 2

2 2 2 3a a a

SK SB BK

4 4 2

    

2 2 2

2 2 2 SK 3a a a 10

AI SA SI SA

2 4 8 4

 

         Ta có

16 10 AI a

. 2MN

S_AMN 1  ² (đvdt)

S

A C

B

BÀBÀI 3I 3 :(ĐẠI HỌC A 2002)Cho hình chĩp tam giác đều

K N Tính diện tích tam giác AMN theo a.

trung điểm của SB, SC. Biết (AMN) (SBC).

S.ABC, cĩ độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là

M I

a 





BÀI 2 : (ĐH B 2002) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a.

a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.

b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh B1B, CD, A1D1. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1N.

 Hướng dẫn :

a) Ta có : AB



ABCD



AB BD

AD B A

AB B A

1 1 1

1 1

1

1

1    









Tương tự : ^A₁^C₁^B₁^DB₁^D



^A₁^BC₁



Gọi GB₁D



A₁BC₁



.

Do B₁A₁B₁BB₁C₁a nên GA₁GBGC₁

 G là tâm tam giác đều A1BC1 có cạnh bằng a 2

Gọi I là trung điểm của A1B thì IG là đường vuông góc chung của A1B và B1D, nên :

 

6 a 2 B 3 3A I 1 3C IG 1 D B , B A

d _{1 1}   ₁  ₁ 

b) Gọi E là trung điểm của CC1 thì ME



CDD1C1



 hình chiếu vuông góc của MP trên



CDD₁C₁



là ED1. Ta có :

N C E D N C D 90 N CC E D C E C D CN

C₁  _{1 1}  _{1 1}  ₁  ^o _{1 1}  ₁  ₁

 Từ đây,

theo định lý ba đường vuông góc ta có MPC₁N.

2 BÀI 3 : (ĐH D 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc

với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).

 Hướng dẫn :

 Cách 1 :

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A, do đó ABAC. Lại có ADmp



ABC



ADAB và ADAC nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau.

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC ; AK là đường cao của tam giác ADH thì AK chính là khoảng cách cần tính.

Dễ dàng chứng minh được hệ thức : ¹ ₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂ AK AD AB AC Thay ACAD4cm ; AB3cm

vào hệ thức trên ta tính được : AK ^{6 34}cm

 17

 Cách 2 :

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại A, do đó ABAC. Lại có ^ADmp



^ABC



^{ADAB và ADAC} nên AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi V là thể tích tứ diện ABCD, ta có :

8 AD . AC . 6 AB

V1 

Áp dụng công thức



^3V



AK dt BCD

 với V8 và dt



BCD



2 34 ta tính được AK ^{6 34}cm

 17

D

A C

B

Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

B

BÀÀI 10I 10 :(ĐẠI HỌC D 2002)Cho tứ diện ABCD cĩ cạnh AD (ABC) ; AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.

H K

BÀI 4 : (ĐH A 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B,A’C,D]

 Hướng dẫn :

Đặt ABa. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên A’C, suy ra C

' A

BH , mà ^BD



^A'AC



^BDA'C, do đó ^A'C



^BHD



DH C '

A 

 . Vậy góc phẳng nhị diện



^B;A'C;D



là góc BHD.

Xét A’DC vuông tại D có DH là đường cao, ta có D

' A . CD C ' A .

DH 

3 2 a 3 a

2 a . a C ' A

D ' A .

DH CD  



Tương tự, A’BC vuông tại B có BH là đường cao và

3 2 BHa . Mặt khác : 2a²BD² BH²DH²2BH . DH cos BHD

2 2 2

2a 2a 2a

2 cos BHD

3 3 3

    

. Do đó

2 D 1 H B cos  

 góc BHD = 120^o

 Cách khác :

Ta có BDACBDA'C (định lý ba đường vuông góc)

Tương tự, ^BC'A'C



^BC'D



^A'C. Gọi H là giao điểm của A’C và



^BC'D



 góc BHD là góc phẳng của



^B;A'C;D



3 BÀI 5 : (ĐH B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCDcó đáy

ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60⁰. Gọi M là trung điểm cạnh A

A và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minhB,M,D,Ncùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AAtheo a để tứ giác

MDN

B là hình vuông.

 Hướng dẫn :

Ta có A'M// NC  A’MCN là hình bình hành, do đó A’C và MN cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. Mặt khác A’DCB’ là hình bình hành nên trung điểm I của A’C cũng chính là trung điểm của B’D. Vậy MN và B’D cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên B’MDN là hình bình hành. Do đó B’, M, D, N thuộc cùng một mặt phẳng. Mặt khác DM² DA²AM²DC²CN² DN²,

hay DMDN. Vậy hình bình hành B’MDN là hình thoi. Do đó B’MDN là hình vuông MNB'DACB'D

2 2 2 2 2 2 2

AC B'D B'B BD 3a B'B a

      

BB' a 2 AA ' a 2

   

(ĐẠI HỌC B 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’

cĩ đ áy ABCD là hình thoi cạnh a, gĩc BAD

= 60. Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’.

Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng.

Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a đ ể tứ giác B’MDN là hình vuơng.

B BBÀÀI 19I 19 :

D C B’

D’

C’

M

I

A a A’



N

60

BÀI 6 : (ĐH D 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng . Trên  lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mp(P) lấy điểm C, trong mp(Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với  và ACBDAB . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và d(A;(BCD)).

 Hướng dẫn :

Ta có

   

P  Q và 

   

P  Q ,

mà ^{ACAC}

 

^{Q ACAD}, hay góc CAD = 90^o Tương tự, ta có BD   BD

 

P , do đó góc CBD = 90^o

Vậy A và B nằm trên mặt cầu đường kính CD và bán kính của mặt cầu là :

2 3 BD a

AC 2 AB

BD 1 2 BC

1 2

RCD  ² ²  ² ² ² 

Gọi I là trung điểm của BC  AI  BC. Do ^BD

 

^{P nên}

 

BDAIAI BCD .

Vậy AH là khoảng cách từ A đến



BCD và



2 2 BC a 2

AH1  . BÀI 7 : (ĐH B 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  (0 <  < 90). Tính tan của góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo . Tính VS.ABCD theo a và .

 Hướng dẫn :

Gọi giao điểm của AC và BD là O thì ^SO



^ABCD



, suy ra góc SAO

= . Gọi trung điểm của AB là M thì OMAB và SMAB  góc giữa hai mặt phẳng



SAB và

 

ABCD là góc SMO. Tam giác OAB



vuông cân tại O, nên

2 OM a,

2 2

OA a   tan 2

2

SO a .

Do đó :   2tan

OM O SO M S tan 









 a tan

6 tan 2 2

2 a a 3 SO 1 . 3S

V_S.ABCD 1 _ABCD ^{2 3}

B

BÀÀI 1I 1 : (ĐẠI HỌC A 2004)Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng (0< < 90). Tính tan của gĩc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo và tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a và.

S

A

C B

D

O M



a

4 BÀI 8 : (ĐH A 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O

và O’ bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB.

 Hướng dẫn :

Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’ và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D.

Do BHA'D và BHAA' nên BH



AOO'A'



. Suy ra : _OO'AB BH.S_AOO'

3 V 1

Ta có : A'B AB²A'A²  3aBD A'D²A'B² a

 BO’D đều 

2 3 BHa

Vì AOO’ là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên : _AOO' a² 2 S 1 Vậy thể tích khối tứ diện OO’AB là :

12 a 3 2 a 2

a 3 3

V1  ²  ³

        

a

A 

O O’

B A’

a

H D

2a a (ĐẠI HỌC B 2006)Cho

hình trụ cĩ các đáy là hai hình trịn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.

Trên đường trịn đáy tâm Olấy điểm A’, trên đường trịn đáy tâm O;

lấy điểm B sao cho AB

= 2a.Tínhthể tích khối tứ diện OO’AB theo a.

BÀI 14 :

BÀI 9 : (ĐH B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, ADa 2, SA = a và SA  (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC)  (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.

 Hướng dẫn :

Xét ABM và BCA vuông có

BC BA 2 1 AB

AM 

 ABM đồng dạng BCA  góc ABM = góc BCA

 góc ABM + góc BAC = góc BCA + góc BAC = 90^o

 góc AIB = 90^o  MBAC

 

¹



^ABCD



^{SA MB}

SA  

 

²

Từ

 

1 và

 

2 MB



SAC

 

 SMB

 

 SAC



Gọi H là trung điểm của AC  NH là đường trung bình của SAC

 2

a 2

NH SA và NH//SA nên NH



ABI



do đó _ANIB NH.S _ABI 3

V 1 _

3 3 AI a AM

1 AB

1 AI

1

2 2

2     ,

6 2 S a

3 6 BI a AI

AB

BI² ² ²   _ABI ² 36

2 a 6

2 a 2 a 3

V_ANIB 1  ²  ³



S

A D

C B

M

I

I = BM AC.Chứng minh (SAC) (SMB) và tính V_ANIB. B

BÀÀI 12I 12 :(ĐẠI HỌC B 2006)Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy SA (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC.

ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = , SA = aa 2

N 

H

5 BÀI 10 : (ĐH D 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là

tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính VA.BCNM.

 Hướng dẫn :

Gọi K là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SK. Do BCAK, BCSA nên BCAH.

Do AHSK, AHBC nên ^AH



^SBC



. Xét tam giác vuông SAK :

19 a 3 AH 2 AK

1 SA

1 AH

1

2 2

2    

Xét tam giác vuông SAB :

5 4 SB SA SB SB SM . SM

SA²    ₂² 

Xét tam giác vuông SAC :

5 4 SC SA SC SC SN . SN

SA²    ₂² 

Suy ra :

100 a 19 S 9

25 S 9

25 16 S

S ²

SBC BCNM

SBC

SMN    

Vậy thể tích của khối chóp A.BCNM:

50 a 3 S 3

. 3 AH

V1 _BCNM ³ BÀI 11 : (ĐH A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB , BC , CD . Chứng minh AM vuông góc với BP và thể tích của khối tứ diện CMNP.

 Hướng dẫn :

Gọi H là trung điểm của AD. Do SAD đều nên SHAD. Do



^SAD

 

^{ ABCD}



^{nên SH}



^ABCD



^{ SHBP}

 

¹

Xét hình vuông ABCD ta có : CDHBCPCHBP

 

²

Từ

 

1 và

 

2 suy ra BP



SHC



. Vì MN//SC và AN//CH nên



^AMN

 

^{// SHC}



. Suy ra : ^BP



^AMN



^BPAM

Kẻ MK



ABCD



, ^K



^ABCD



. Ta có : _CMNP MK.S_CNP 3

V 1 .

Vì 4

3 SH a 2

MK1  ,

8 CP a . 2CN

S_CNP1  ²nên

96 a

V_CMNP  3 ³ (đvtt)

S

A B

D C H

P M

K

N ABCD là hình vuơng cạnh a, SAD đều, (SAD) (ABCD) M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD.

Chứng minh AM BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP.

B

BÀÀI 5I 5 :(ĐẠI HỌC A 2007)Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy

BÀI 12 : (ĐH B 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

 Hướng dẫn :

Gọi P là trung điểm của SA. Ta có MNCP là hình bình hành nên MN song song với mặt phẳng



^{SAC .}



Mặt khác, BD



SAC



nên BDMN. Vì MN//



SAC



nên

         

4 2 BD a 4 SAC 1

; B 2d SAC 1

; N d AC

; MN

d     .

Vậy

 

4 2 AC a

; MN

d  .

BÀBÀI 2I 2 : (ĐẠI HỌC B 2007)Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đ áy là hình vuơng cạnh a. Gọi E là đi ểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung đi ểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

S

A

B C

D O

P

a

 E

M

N

6 BÀI 13 : (ĐH D 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,

góc ABC = góc BAD = 90^o, BA = BC = a, AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

 Hướng dẫn :

Gọi I là trung điểm của AD. Ta có : AC

CD a IC ID

IA    

Mặt khác, CDSA.

Suy ra CDSC nên tam giác SCD vuông tại C. Trong tam giác vuông SAB ta có :

3 2 a a 2

a 2 AB

SA SA SB

SA SB SH

2 2

2 2

2 2 2

2 

 

 



Gọi d1 và d2 lần lượt là khoảng cách từ B và H đến mặt phẳng



^SCD



thì _{2 1}

1

2 d

3 d 2 3 2 SB SH d

d    

Ta có :

SCD BCD SCD

SCD .

1 B S

S . SA S

V d 3 

BCD a2

2 BC 1 . 2AB

S  1 

2 a ID IC . BC AB 2 SA

CD 1 . 2SC

S_SCD 1  ² ² ^{2 2} ²  ²

 2 d₁ a.

Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng



SCD là :



3 d a 3

d₂  2 ₁  . BÀI 14 : (ĐH A 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’.

 Hướng dẫn :

Gọi H là trung điểm của BC.

Suy ra A'H



ABC



và a 3a a 2

BC 1 2

AH1  ²  ²  Do đó A'H² A'A²AH²3a²A'Ha 3 Vậy

2 S a

. H ' 3A

V_A'ABC 1 _ABC  ³ (đvtt) Trong tam giác vuông A’B’H có :

a 2 H ' A ' B ' A '

HB ² ²  nên tam giác B’BH cân tại B’.

Đặt  là góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ thì B'BH



 .

Vậy

4 1 a 2 . 2

cos a  .

BBÀÀI 20I 20::(ĐẠI HỌC A 2008)Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’

cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB = a, AC = ,hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh A’

trên (ABC) là trung đi ểm của BC. Tính thể tích khối chĩp A’.ABC và tính cosin của gĩc giữa AA’, BB’.

3 a

A

B

C A’

B’

C’

2a

a

3 a

H

7 BÀI 15 : (ĐH B 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

 Hướng dẫn :

Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH



ABCD



. Do đó SH là đường cao của hình chóp S.BMDN.

Ta có : SA²SB²a²3a²AB² nên tam giác SAB vuông tại S,

suy ra a

2

SM AB . Do đó SAM đều, suy ra

2 3 SHa . Diện tích tứ giác BMDN là _BMDN S_ABCD 2a²

2

S 1 

Thể tích khối chóp S.BMDN là

3 3 S a

. 3SH

V1 _BMDN  ³ (đvtt) Kẻ ME//DN



^EAD



^{suy ra} AE₂^a.

Đặt  là góc giữa hai đường thẳng SM và DN. Ta có : góc



SM,ME



= .

Theo định lý ba đường vuông góc ta có : SAAE Suy ra

2 5 AE a

SA

SE ² ²  ,

2 5 AE a

AM

ME ² ²  Tam giác SME cân tại E nên góc SME =  và

5 5 2

5 a2

a

cos 

S

A

B C

D M

E P K

N H

a 3 a

2a









(SAB) (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Tính thể tích S.BMDN và tính cosin của gĩc giữa SM, DN.

B

BÀÀI 6I 6 :(ĐẠI HỌC B 2008)

ABCD là hình vuơng cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy

BÀI 16 : (ĐH D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’=a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.

 Hướng dẫn :

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B. Thể tích khối lăng trụ là _{ABC.A'B'C' ABC} ² a³

2 a 2 2 2 1 a S

.' AA

V      (đvtt)

Gọi E là trung điểm của BB’. Khi đó mặt phẳng



AME song song



với B’C nên khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C bằng khoảng cách giữa B’C và mặt phẳng



^{AME .}



Nhận thấy khoảng cách từ B đến mặt phẳng



AME bằng khoảng



cách từ C đến mặt phẳng



^{AME .}



Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng



^{AME .}



Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên

2 2

2

2 BE

1 BM

1 BA

1 h

1   

7 7 h a a

7 a

2 a

4 a

1 h

1

2 2 2 2

2      



Khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AM bằng 7

7 a .

(ĐẠI HỌC D 2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng, AB = BC = a, AA’ = a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường

thẳng AM, B’C. A

BBÀÀI 17I 17 :

B

C A’

B’

C’

M a

2 a

a

E

8 BÀI 17 : (ĐH A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang

vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60^o. Gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

 Hướng dẫn :

  

^{SIB  ABCD}



và

  

^{SIC  ABCD}



; suy ra ^SI



^ABCD



. Kẻ IH  BC



^HBC



 ^BC



^SIH



 góc SHI = 60^o Diện tích hình thang ABCD : S_ABCD3a².

Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng 2 a 3 ² ; suy ra

2 a S_IBC3 ²

 

^{2 2 2S IBC 3 5a}

BC AB CD AD a 5 IH

BC 5

       

3 15a SH IH . tan SKH

    5

Thể tích khối chóp S.ABCD :

5 a 15 SI 3

. 3S

V1 _ABCD  ³ .

S

A B

H D

I

C

E 60



CD = a, ((SBC),(ABCD))= 60. Gọi l là trung điểm của AD.

Tính thể tích S.ABCD.

B

BÀÀI 7I 7 :(ĐẠI HỌC A 2009)

ABCD là hình thang vuơng tại A và D. Biết AB = AD = 2a, (SBI) (ABCD) và (SCI) (ABCD).



Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy

BÀI 18 : (ĐH B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’

= a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60; ABC vuông tại C và góc BAC = 60. Hình chiếu vuông góc của điểm B’

lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm củaABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

 Hướng dẫn :

Gọi D là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ABC, ta có ^B'G



^ABC



 góc B’BG = 60^o

 2

3 G a B ' B sin . B ' B G '

B   

và

2 BG a 

4 a BD3 Tam giác ABC có :

2 3 BC AB ,

2 AC AB 

4 CD AB

2 2 2

2 2 2 3AB AB 9a

BC CD BD

4 16 16

    

3a 13 AB 13

  ,

26 13 a AC3 ;

104 3 a S_ABC 9 ² Thể tích khối tứ diện A’ABC :

208 a S 9

. G ' 3B V 1

V_A'ABC _B'ABC _ABC ³ .

B

BÀÀI 21I 21 : : (ĐẠI HỌC B 2009)Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ BB’ = a, gĩc giữa BB’ và (ABC) bằng 60;

ABC vuơng tại C và gĩc BAC = 60. Hình chiếu vuơng gĩc của B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm của ABC.Tính theo a thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

B A C

B’ A’

C’

a

D ^60

G 60

9 BÀI 19 : (ĐH D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy

ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).

 Hướng dẫn :

Hạ IHAC



^HAC



 ^IH



^ABC



; IH là đường cao của tứ diện IABC  IH//AA'

3 a ' 4 3AA IH 2 3 2 ' CA

CI ' AA

IH     

 5 a A ' A C ' A

AC ² ²  , BC AC²AB² 2a Diện tích tam giác ABC : _ABC AB.BC a²

2

S_ 1  Thể tích khối tứ diện IABC :

9 a S 4

. 3IH

V1 _ABC  ³ Hạ AKA'B



KA'B



.

Vì BC



ABB'A'



nên AKBCAK



IBC



Khoảng cách từ A đến mặt phẳng



IBC là AK.



5 5 a 2 AB ' AA

AB .' AA B

' A S AK 2

2 2 B

'

AA 

 

 ^

(ĐẠI HỌC D 2009)Cho hình lăng trụ đ ứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung đi ểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao đi ểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). A

BÀBÀI 16I 16 :

B

C A’

B’

 C’

M

I

H K

a 2a 3a

BÀI 20 : (ĐH A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH  (ABCD) và SH

=a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDMN và tính khoảng cách giữa DM và SC theo a.

 Hướng dẫn :

 Thể tích khối chóp CDNMS. : S_CDNM S_ABCDS_AMNS_BCM

2 2 2

2 2

CDNM

1 1 a a 5a

S AB AM . AN BC . BM a

2 2 8 4 8

      

24 a 3 SH 5 . 3S

V_S.CDNM  1 _CDNM  ³

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC DCN

ADM

  góc ADM = góc DCN  DMCN, kết hợp với SH

DM , suy ra DM



SHC



Hạ HKSC



^KSC



, suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC, do đó : ^d



^DM,SC



^HK

Ta có :

5 a 2 CN

HC CD²  và

19 a 3 2 HC SH

HC . HK SH

2

2 

  ,

do đó :

 

19 a 3 SC 2

, DM

d 

S

A B

D C

M

Tính V_S.CDMNvà tính khoảng cách giữa DM và SC.

BBÀÀI 13I 13 :(ĐẠI HỌC A 2010)Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy của AB, AD. Gọi H = BM AC.Biết SH (ABCD),SH = ABCD là hình vuơng cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm

3 a

 N

H

K

10 BÀI 21 : (ĐH B 2010) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB

= a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60. Gọi G là trọng tâm A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

 Hướng dẫn :

 Thể tích khối lăng trụ

Gọi D là trung điểm BC, ta có : BCADBCA'D, suy ra : góc ADA’ = 60^o

Ta có :

2 a ' 3 A D A tan . AD '

AA  

; 4

3 S_ABC a² Do đó :

8 3 a ' 3 AA . S

V_ABC.A'B'C'  _ABC  ³

 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra :



^ABC



GH A

' A //

GH  

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, ta có I là giao điểm của GH với trung trực của AG trong mặt phẳng



AGH .



Gọi E là trung điểm AG, ta có :

GH 2 GA GH

GA . GI GE

R   ²

Ta có :

2 a 3

' GH AA  ;

3 3 AHa ;

12 a AH 7 GH

GA²  ² ²  ² . Do đó :

12 a 7 a 2 12 . 2

a

R 7 ²   .

(ĐẠI HỌC B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’

cĩ AB = a. Gĩc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60.

Gọi G là trọng tâm

A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

GABC theo a. A

B BÀÀI 18I 18 :

B

C A’

B’

C’

D a 60 

G

H E

I

BÀI 22 : (ĐH D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,

4

AH AC. Gọi CM là đường cao của SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

 Hướng dẫn :

 M là trung điểm SA 4

2 AHa ,

4 14 AH a

SA

SH ²  ²  4

2 a

HC3 , SC SH²HC² a 2SCAC

Do đó tam giác SAC cân tại C, suy ra M là trung điểm SA.

 Thể tích khối tứ diện SBCM M là trung điểm SA

ABC . S SCA

. B SCM

. B BCM . S SCA

SCM V

2 V 1

2 V 1

V 2S

S 1    



48 14 SH a

. 6S

V_S.BCM1 _ABC  ³



S

A B

D C B

BÀÀI 14I 14 :(ĐẠI HỌC D 2010)Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy của S trên (ABCD) là điểm H thuộc AC sao cho

ABCD là hình vuơng cạnh a, SA = a, hình chiếu vuơng gĩc

H

Chứng minh M là trung điểm của SA và tính V_SMBC. ⁴ AHAC

M

11 BÀI 23 : (ĐH A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông cân tại B, AB = BC = 2a; (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60^o. Tính VS.BCNM và d(AB ; SN) theo a.

 Hướng dẫn :



^{SAB và}

 

SAC cùng vuông góc với

 

^{ABC }



^SA



^ABC



BC SB BC

AB    góc SBA là góc giữa



SBC và

 

ABC



 góc SBA = 60^o SAABtanSBA2a 3

Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N  MN//BC và N là trung điểm AC

2 a

MN BC , a 2 BM AB

Diện tích :

 

2 a 3 2

BM MN

S_BCNM BC  ² .

Thể tích : S .SA a 3

3

V_S.BCNM1 _BCNM  ³ .

Kẻ đường thẳng  đi qua N, song song với AB. Hạ AD



D





SND



//

AB

 d



AB,SN



d



AB,



SND

 

d



A,



SND

 

Hạ AHSD



HSD



AH



SND



d



A,



SND

 

AH Tam giác SAD vuông tại A, có : AHSD và ADMNa

 

^2a₁₃³⁹

AD SA

AD . AH SA

SN , AB

d _{2 2} 

 





BÀBÀI 13I 13 : (ĐẠI HỌC A 2011)Cho hình chĩp S.ABC cĩ đ áy ABC là tam giác vuơng cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuơng gĩc (ABC). Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết ((SBC) , (ABC)) = 60.

S

A C

B

P N

M H K

60 

BÀI 24 : (ĐH B 2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 60^o. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và d(B1 , (A1BD)) theo a.

 Hướng dẫn :

Gọi O là giao điểm của AC và BD A₁O



ABCD



Gọi E là trung điểm AD  OEAD và A₁EAD

 góc A1EO là góc giữa hai mặt phẳng



ADD₁A₁



và



ABCD



 góc A1EO = 60^o

2 3 O a E A 2 tan O AB E A tan OE O

A₁  ₁  ₁ 

  

Diện tích đáy : S_ABCDAB.ADa² 3 Thể tích :

2 a O 3 A . S

V_{ABCD.A1B1C1D1}  _{ABCD 1}  ³

Ta có : B₁C//A₁DB₁C//



A₁BD



d



B₁,



A₁BD

 

d



C,



A₁BD

 

Hạ CHBD



^HBD



 ^CH



^A₁^BD



 ^d



^C,



^A₁^BD

 

^CH

Suy ra :

   

2 3 a CB CD

CB . CH CD

BD A , B

d 1 1 2 2 

 



B

BÀÀI 22I 22 :: (ĐẠI HỌC B 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A₁B₁C₁D₁cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = . Hình chiếu vuơng gĩc của điểm A₁trên (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Gĩc giữa hai mặt phẳng (ADD₁A₁) và (ABCD) bằng 60.Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B₁ đến (A₁BD) theo a.

3 a

A

B C

D A₁

B₁ C₁

D₁

O

 E

60 H

12 BÀI 25 : (ĐH D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a ; (SBC) vuông góc với (ABC). Biết SB

= 2a 3 và góc SBC = 30^o. Tính VS.ABC và d(B ; (SAC)) theo a.

 Hướng dẫn :

Hạ SHBC



HBC



;



SBC

 

 ABC



SH



ABC



; 3

a C B S sin . SB

SH  

Diện tích : _ABC BA.BC 6a² 2

S 1 

Thể tích : S .SH 2a 3

3

V_S.ABC1 _ABC  ³

Hạ HDAC



DAC



, HKSD



KSD





SAC



HK d



H,



SAC

 

HK  

 SB.cosSBC 3a BC 4HC d



B,



SAC

 

4.d



H,



SAC

 

BH      

Ta có : AC BA²BC² 5a ;

5 a 3 AC BA HC HD a

BH BC

HC      

14 7 a 3 HD SH

HD .

HK SH_{2 2} 

  . Vậy,

   

7 7 a HK 6 . 4 SAC , B

d  

B

BÀÀI 4I 4 :(ĐẠI HỌC D 2011)

ABC là tam giác vuơng tại B, BA = 3a, BC = 4a, Tính V_S.ABCvà khoảng cách từ điểm B đến (SAC).

Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy (SBC) (ABC), biết SB = và gĩc SBC = 30.2a 3

H S

B

A 30 C 3a

3 2a

4a

D K

BÀI 26 : (ĐH A, A1 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 60^o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

 Hướng dẫn :

Ta có góc SCH là góc giữa SC và



ABC



, suy ra góc SCH = 60^o Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Ta có :

6 HDa,

2 3 CDa ,

3 7 CD a

HD

HC ² ²  ,

3 21 60 a

tan . HC

SH ^o

12 7 a 4

3 a 3

21 a 3 S 1

. 3 SH

V_S.ABC 1 _ABC    ²  ³

Kẻ Ax//BC. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN.

Ta có : BC//



SAN



và HA 2 BA 3

nên

     

d



H,



SAN

 

2 SAN 3 , B d BC , SA

d  

Ta cũng có Ax



SHN



nên AxHK. Do đó HK



SAN



. Suy ra d



H,



SAN

 

HK.

3 a AH2 ,

3 3 60 a

sin AH

HN ^o  ,

12 42 a HN SH

HN . HK SH

2

2 

 

Vậy

 

8 42 BC a

, SA

d  .

13 BÀI 27 : (ĐH B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA =

2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC.

Chứng minh SC  (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.

 Hướng dẫn :

Gọi D là trung điểm của cạnh AB và O là tâm của ABC.

Ta có : ABCD và ABSO nên AB



SCD



, do đó ABSC. Mặt khác : SCAH, suy ra SC



ABH



.

Ta có :

2 3 CDa ,

3 3 OC a nên

3 33 OC a

SC

SO ²  ²  . Do đó :

4 11 a SC

CD .

DHSO  

8 a DH 11

. 2AB

S_ABH1  ² . Ta có :

4 a DH 7 CD

SC HC SC

SH    ² ²  .

Do đó :

96 a 11 S 7

. 3SH

V_S.ABH 1 _ABH ³ .

S

A C

B

BÀI 4 :(ĐẠI HỌC B 2012) Cho hình chĩp tam giác đều

D

H Tính diện tích tam giác AMN theo a.

trung điểm của SB, SC. Biết (AMN) (SBC).

S.ABC, cĩ độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là

O 2a

 



a

BÀI 28 : (ĐH D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến (BCD’) theo a.

 Hướng dẫn :

A’AC vuông cân tại A và A'Ca nên

2 AC a A '

A   . Do đó :

2 ' a C ' B

AB  . Ta có :

48 2 ' a BB . AB .' C ' 6B S 1

.' C ' 3B

V_ABB'C'1 _ABB'   ³ Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của A’AB.

Ta có : AHA'B và AHBC nên AH



A'BC



, nghĩa là



BCD'



AH . Do đó : AHd



A,



BCD'

 

. Ta có :

2 2 2

2 a

6 ' AA 1 AB

1 AH

1    . Do đó

   

6 6 AH a '

BCD , A

d   .

(ĐẠI HỌC D 2012) Cho hìnhlập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ cĩ cạnh bằng a.

B BÀI 23 :

D C B’

D’

C’

M

a A A’





 H P

BÀI 29 : (ĐH A, A1 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A. góc ABC bằng 30^o, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

 Hướng dẫn :

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SHBC. Mà



SBC



vuông góc với



ABC



theo giao tuyến BC, nên SH



ABC



. Ta có : BCa, suy ra

2 3 SH a ;

2 30 a sin BC

AC ^o  ;

2 3 30 a

cos BC

AB ^o  Do đó

16 AC a . AB . 6SH

V_S.ABC 1  ³

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên HB

HA . Mà SH



ABC



, suy ra SASBa. Gọi I là trung điểm của AB, suy ra SIAB. Do đó

4 13 a 4 SB AB

SI ²  ² 

Suy ra

   

13 39 a AB . SI

V 6 S

V SAB 3 , C

d ^S.ABC

SAB ABC .

S  





.

14 BÀI 30 : (ĐH B 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp SABCD và d(A, (SCD)).

 Hướng dẫn :

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SHAB và

2 3 SH a .

Mà



SAB



vuông góc với



ABCD



theo giao tuyến AB, nên



ABCD



SH . Do đó

6 3 S a

. 3SH

V_S.ABCD1 _ABCD ³

Do AB//CD và HAB nên d



A,



SCD

 

d



H,



SCD

 

.

Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu vuông góc của H trên SK. Ta có HKCD.

Mà SHCDCD



SHK



CDHI. Do đó HI



SCD



. Suy ra

   

7 21 a HK SH

HK . HI SH

SCD , A

d _{2 2} 

 

 .

BÀI 31 : (ĐH D 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc BAD bằng 120^o. Gọi M là trung điểm của BC và góc SMA bằng 45^o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến (SBC).

 Hướng dẫn :

Góc BAD = 120^o  góc ABC = 60^o

 ABC đều

2 3 S a

2 3

AM a  _ABCD ²



SAM vuông tại A có góc SMA = 45^o

 SAM vuông cân tại A

2 3 AM a SA 

 Do đó

4 S a

. 3SA

V_S.ABCD1 _ABCD ³

Do AD//BC nên d



D,



SBC

 

d



A,



SBC

 

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.

Ta có AMBC và SABC



SAM



BC AH AH



SBC



d



A,



SBC

 

AH

BC      

 Ta có

4 6 a 2

2

AH AM  , suy ra

   

4 6 SBC a

, D

d  .

S

A

B

D C

M BÀI 12 :(ĐẠI HỌC D 2013)Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy SA (ABCD).M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC.

ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = , SA = aa 2

H

a

2 a 3

a 120 45