Đoàn Ngọc Dũng - GIOI HAN HAM SO LUONG GIAC 2020

 Dạng 3 : Dạng vô định 0

0của một hàm số lượng giác.

BÀI 11 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng hàm số lượng giác)

1)



 



 



 



 





 







 

















2 cosx 2 sinx 2 sinx 2

2 cosx 2 sinx 2 sinx 2 lim 2 cosx 2 sinx 2 2

sin x 2

2 cosx 2 sinx 2 2

sin x 2 x lim sin ) x cos 1 (

x sin ) x cos 1 lim( x cos x sin 1

x cos x sin lim1

0 2 x

2

0 x 0

x 0

x

1

1 0

1 0 2 cosx 2 sinx

2 cosx 2 sinx lim

0

x 



 



 



2)

³

1 x sin

1 x lim sin ) 1 x sin 2 )(

1 x (sin

) 1 x sin 2 )(

1 x lim (sin 1 x sin 3 x sin 2

1 x sin x sin lim 2

x 6 x 6

2 2

x 6



 

 







 















3)

^{limcosx(cosx sinx) 1}

x cos

x sin x cos

) x sin x )(cos x sin x lim(cos x

cos x 1 sin

x sin x limcos

tgx 1

x 2 limcos

x 4 x 4

2 2

x 4 x 4





  

 



 

   ^



4)

1 cosx x 3 sin 1 lim 1

0

x 





 . Ta có :

x cos 1

) x sin 4 3 ( x sin x

cos 1

x sin 4 x sin 3 x cos 1

x 3 sin x

cos 1

x 3 sin 1 1 x cos 1

x 3 sin 1

1 ^{3 2}



 



 

 





 







(3 4sin x) 1 cosx

x cos 1

x cos 1 ) x sin 4 3

( ^{2 2} ₂





 



 

Do đó : ^lim



^{3 4sin2x 1 cosx}



^{3 2}

x cos 1

x 3 sin 1 lim 1

0 x 0

x    











5)

^{lim2(cosx sinx) 2(0 1) 2}

x cos

x cos x sin 2 x cos lim 2 x

cos

x 2 sin ) x 2 cos 1 lim ( x

cos

1 x 2 sin x 2 lim cos

x 2 2

x 2 x 2

x 2









 

 

 













6)    

1 sinx ⁰

x lim cos

x sin 1 x cos

x lim cos

x sin 1 x cos

x sin lim 1

x cos

x sin lim 1

x x tan cos lim 1

x 2 2

x 2 2

x 2 x 2

x 2 

 

 



 



 



  



 



  _

 

 

 

 



C. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.

1) Phương pháp dùng định lý hàm số kẹp giữa hai hàm số.

Đôi khi ta phải sử dụng định lý kẹp để tìm giới hạn các hàm số.

Định lý : (Định lý kẹp về giới hạn của hàm số)

Cho khoảng K chứa điểm x0 và ba hàm số f(x), u(x) và v(x). Nếu u(x)  f(x)  v(x) với mọi x  K\x0 và nếu : limu

 

x lim v

 

x L

0

0 x x

x

x  



 thì lim f

 

x L

x0

x 

 .

BÀI 17 : Tìm các giới hạn sau : (Giới hạn dạng của hàm số lượng giác)

1)

Tìm

x cos1 x lim ²

x0

Với mọi x  0, ta có : –1  x

cos1  1  –x²  x² x

cos1  x² Mặt khác : lim( x ) limx² 0

0 x 2 0

x   



 nên

x cos1 x lim ²

x0 = 0

2)

Tìm

1 x x

x cos 2 x 2 lim sin ₂

x  







ta có : x² + x + 1 > 0,  sin2x   1,  cosx   1, do đó :

1 x x

3 1

x x

x cos 2 x 2 sin 1 x x

3

2 2

2   





 







Vì 0

1 x x lim 3 1 x x

lim 3 ₂

2 x

x 





 













 nên 0

1 x x

x cos 2 x 2 lim sin ₂

x 











2) Phương pháp dùng định lý : 1 x

x limsin

0

x 

 .

Hệ quả : 1

) x ( u

) x ( u limsin

a

x 

 (nếu limu(x) 0

a

x 

 ) ; 1

x sin lim x

0

x 

 ; 1

x x limtan

0

x 



BÀI 18 : Tìm các giới hạn sau :

1)

3.1 3

x 3

x 3 3 sin x lim

x 3 limsin

0 x 0

x    





2)

2

25

25 4 2

x 5

2 x sin 5 2 x lim

x 5 cos

lim1 ₂

2

0 2 x

0

x 

 



 



 







3)

2( x 1 1) 4

x 2

x 2 limsin 1

1 x

) 1 1 x ( x 2 limsin 1 1 x

x 2 lim sin

0 x 0

x 0

x     







 



 ^{ }



4)      

3

2 x

3 x 3 sin 3

x 3 x 3 sin 2 lim

x 3 x 3 sin

x 3 x 3 sin 2 x lim

3 sin

x 3 sin 2 x lim

3 sin

x 2 cos x 3 2sin 2 1 x lim

3 sin

x cos 3 x limsin

x 3 x 3

x 3 x 3

x 3

 















 



 















 



 



 





 



 



 







 

 











5)

₂

2

0 2 x

2

2 2

0 2 x

0 2 x

2

0 2 x

2

0 x

2 . x 4

2 sin x 2 lim )

1 x 1 ( x

) 1 x 1 )(

1 x 1 lim( x

x cos lim1

x 1 x lim 1 x

x cos x

lim 1



 



 











 

 



 















2 1 1 2 1 2 1 1 x 1 lim 1

0 2

x    



 

