Đoàn Ngọc Dũng -

(1)

BÀI TẬP BỔ SUNG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

BÀI A : Giải các phương trình sau (x  N) :

1)

_x

6 x 5 x

4 C

1 C

1   (1)

Điều kiện :









 















N x

4 x 0 N

x

0 x 6

0 x 5

0 x 4

 

     

        

! 4 . 5 . 6

! x 4 x 5 x 6

! x

! 4 . 5

! x 4 x 5

! x

! 4

! x 4

! x

! x 6

! x

! 61

! x 5

! x

! 51

! x 4

! x

! 41

1         









    

₀

5 . 6

30 x 11 x 5

x 1 5

5 0 . 6

x 5 x 6 5

x 1 5

! 4

! x 4

!

x      ²  

 



     

 

 



 



  0

! 4

! x 4

! vì x

 

loại ^x ² 15

x

nhận 2

0 x 30 x 17 x 0 30 x 11 x x 6 30

30 ² ²   







 























2)

x

2 C 7 C

C¹_x ²_x  ³_x  (1)

Điều kiện : x 3 x N

 

 

            

_x

2 7 2

. 3

2 x 1 x x 2

1 x x x 2x 7

! 3 x

! 3

! x

! 2 x

! 2

! x

! 1 x

! 1

!

1 x        

 

 

2 0 7 6

2 x 3 x 2

1

1x  ²    

 (x = 0 không là nghiệm)

 



 









 



















 x 4 loại

nhận 4

16 x x 0 21 2 x 3 x 3 x 3

6 ² ²

3)

A²_x.C^x_x^¹48 (1) Điều kiện :







 













N x

2 x N

x

1 x x

2 x

     

¹ _x^x^!₂ _! _x ^x₁^!_!₁_!^⁴⁸^^x



^x^¹



^^x^⁴⁸^^x³^^x² ^⁴⁸^⁰^



^x^⁴

 x2 3x120

 

 

 



vônghiệm



^x ⁴

0 12 x 3 x

nhận 4

x

2  









 

4)

23

24 C

A A

4 x x 3

1 x

4x 

 ^



(1)

Điều kiện :







 



























N n

4 n

N n

0 4 n

4 n n

3 1 n

4 n

(2)

2

           

   

         

  

       



^x ⁵^x ⁶



²⁴



^x ¹

 x 5x 6 0 24x 144x 120 0 x 6x 5 0

23

0 3 x 2 x 24 1 x 24 . 24 3 x 2 x 24 . 23

! 0 4 24 3 x 2 x

1 x 23 24

! 4 x

! 0 x

! 4

! 4 x

! x 24

! 4 x 3 x 2 x

! x 1 x 24

! 4 x

! 23 x

! 0 4

! 4 x

! x 24

! 2 x

! 1 x 24

! 4 x

! 23 x C

A 24 A 23 1

2 2

4 xx 3 1 4 x

x















































 



 



 

 

 

 



 

 



 

 

 







 _ ^

  

nhận



^x ⁵

5 x

loại 1

x  







 

5)

A³_x C^x_x^² 14x (1)

Điều kiện :







 



















N x

3 x N

x

0 2 x

2 x x

3 x

         

    



x 2



!2! ¹⁴^x

! 2 x 1 x x

! 3 x

! 3 x 2 x 1 x x x

! 14 2

! 2 x

! x

! 3 x

!

1 x 



 



 

 

 





^x ³^x ²



^x ^x ²⁸^x ⁰ ²^x ⁶^x ⁴^x ^x ^x ²⁸^x ⁰ ²^x ⁵^x ²⁵^x ⁰

x

2 ²   ²    ³ ²  ²    ³ ² 



     

 

5 x

2 x 5

5 x

0 x 0 25 x 5 x

x ²  





















loại nhận loại

6)

C₁₄^x C₁₄^x^² 2.C₁₄^x^¹ (1)

Điều kiện :









 















































N x

12 x 0 N

x

13 x 1

12 x 2

14 x 0

N x

0 1 x 14

0 2 x 14

0 x 14

           

            

                 

 



nhận



^x ⁴ ^x ⁸

8 x

nhận 4

0 x 32 x 12 x

x 14 2 x 2 x 13 x 14 1 x 2 x x

13 1 x

2 1

x 2 x

1 x

13 x 14

1

! x 12 x 13

! x 1 x

2

! x 12

! x 1 x 2 x

1 x

13 x 14

! x

1

! x 13

! 1 x

! 2 14

! x 12

! 2 x

! 14

! x 14

! x

! 1 14

2     







 



















 

 



 



 



 





 



 



 

 

 

 

7)

C¹_x6.C²_x6.C³_x 9x²14x (1)

Điều kiện :







 















N x

3 x N x

3 x

2 x

1 x

            

₉_x ₁₄_x

2 . 3

2 x 1 x 6 x 1 . 2

1 x x x 6 x 14 x

! 9 3 x

! 3

! 6 x

! 2 x

! 2

! 6 x

! 1 x

! 1

!

1 x  ²         ²

 

 



 





x 1

 

x 1



x 2



9x 14 3

1      

(3)

  

nhận



^x ⁷

7 x

loại 2

0 x 14 x 9 x 0 14 x 9 2 x 3 x 3 x 3

1 ² ²   







 



























8)  2 x

2 x x

xA 72 6 A 2P

P    (1) (ĐHQG HN Khối B – 2001)

Điều kiện :







 











N x

2 x N x

2 x

1 x

               

            

            













 









 























































 



 

 

 



loại 3 x 4 x

3 x 0 12 x x

6

! 0 x

12 x x 6

! x 0 12 1 x x 6

! x

6

! x 12 6

! x 1 x x 72

! x . 12 1 x x 6 1 x x

! x

! x . 12 1 x 6 72 1 x x

! x

! x 2 1 x x 6 72 1 x x

! x

! 2 2 x

! 6 x

! 72 2 x

!

! x x 1

2 2

Vậy nghiệm là : x = 3  x = 4.

9)

C^x_x^_₁² 2.C³_x_₁ 7(x1) Điều kiện :







 

















N x

4 x N

x 3 1 x

2 x 1 x

   

             

7 x 1

2 . 3

3 x 2 x 1 x . 2 2

. 3

1 x x 1 1 x

x

! 7 4 x

! 3

! 1 2 x

! 3

! 2 x

! 1

1 x           



 

 

 



x 1

 

2 x 2



x 3



42

x     

 

loại ^x ⁵ 2

x

nhận 5

0 x 30 x 9 x 3 0 42 12 x 10 x 2 x

x² ² ²   









 



















BÀI B : Giải các bất phương trình sau :

1)

A³_x_₁C^x_x^_¹₁14



x1



Điều kiện :







 N x

2 x

   

             

4 2 x

0 7 28 x x 2 28 x x 2 x 2

2 14 1 x x x 1 x 2 14

x 1 1 x

x x 1 x 1 x

! 14 2

! 1 x

! 2 x

! 1 1 x

2

2         













 











 

 



 

Do x  N và x  2 nên x  {2 , 3}

Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 2  x = 3.

2)

A 0

4 C 5

C⁴_x_₁ ³_x_₁ ²_x_₂  (1) Điều kiện :







 N x

5 x

   

11 x 2

0 22 x 9 x 4 0

x 1 4 5 4 x

! 3

1 x

! 4

1 0 x

! 4 x 4

! 2 x 5

! 4 x

! 3

! 1 x

! 5 x

! 4

! 1

1 x ²













 



 

 

 

 



 



 

Vậy tập hợp các nghiệm của bất phương trình là : X = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

3)

C 10

x A 6 2A

1 3

x 2

x

2    (1)

(4)

4 Điều kiện :







 















N x

3 x N

x 3 x

2 x

2 x 2

   

            

4 x 12 x 3 10 2 x 3 x x x x x 2

x 10 2 x 1 x 1 x x x x 2 1 x 2 2 10 1

! 3 x

! 3

! x x 6

! 2 x

! x

! 2 x 2

! x 2 2 1 1

2 2

2          



 

 







 



 

 





Kết hợp với điều kiện x  3 và x  N, ta có nghiệm của bất phương trình là x = 3  x = 4.

4)   

x 1



! 15

! 2 x

A⁴_x ₄

 

^ (1)

Điều kiện :







 













































N x

2 x N x

2 x

0 x

1 x

N x

1 1 x

4 4 x

1 2 x

 

     

       

        

6 x 2 0 12 x 8 x

x 15 3 x 4

! x 1 x

15

! 2 x

! 1 x x

! 2 x 3 x 4 x

! 1 x

15

! 2 x

! x

! 4 x

! 1 x

15

! 2 x

! x

! 4 x 1

2      







 

 





 

 



 

 





Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là x = 3  x = 4  x = 5.

BÀI C : Giải các hệ phương trình sau :

1)

C^y_x_₁:C^y_x^¹:C^y_x^¹6:5:2 (I) Điều kiện :











 















 















N y , x

1 x y 1 N y , x

1 x y

1 y N y , x

1 y x

0 1 y

   

         

x 1 ! x! x!

I y! x y 1 !6 y 1 ! x y 1 !5 y 1 ! x y 1 !2

x 1 1 1

y. x y 1 . x y .6 y 1 . y.5 x y 1 . x y .2

   

       

   

      

       

             

²

x 1 1

x 1 1 x 3y 1

y. x y 1 . x y .6 x y 1 . x y .2

y.3

1 1 2 2y 1 2y 5y 5y

2 x y x y 1 5y y 1 y 1 . y.5 x y 1 . x y .2

    

          

  

               

     

 

2 2

x 3y 1

x 3y 1 x 3y 1 x 3y 1 x 8

y 0

3y y 3 0 y 3

4y 2y 1 5y 5y 3y 9y 0

y 3

 

      

     

   

              loại

nhận

2)

C^m_n_^₁¹ :C^m_n_₁:C^m_n_^₁¹ 5:5:3 Điều kiện :











 N m , n

m n

1 m

(a)

   



 















 



3 3 5 C

C

2 C

C 1

1 m

1 n m

1 n

m 1 n 1 m

1 n

(5)

   

     

 

n 1 m ^m ¹ ⁿ ¹ ^y ⁿ ²^m

1 1

m 1

! m 1 n

! m

! 1 n

! m n

! 1 m

! 1

2 n       



 

 





 





 

   

3



n 2 m



5m 3n 8m 6 0

m 2 n

5 m

3

! m 2 n

! 1 m

! 1 5 n

! m 1 n

! m

! 1 3 n

3        



 

 





 

 



 



Như vậy : hệ (2) và (3)







 











 

3 m

6 n 0 6 m 8 n 3

m 2

n (thỏa (a)).

Vậy hệ có nghiệm là :







 3 m

6 n

3)















80 C 2 A 5

90 C 5 A 2

yx yx

y x y

x (I)

Điều kiện :









 











N y , x

x y 0 N y , x

0 y

y x

   

 

y y y y y

x x x x x

y y y y y y

x x x x x x

x! 20

x y !

4A 10C 180 29A 580 A 20 A 20

I 25A 10C 400 4A 10C 180 80 10C 180 C 10 x!

y! x y ! 10

 

 

        

    

    

      

    

    

 



 

   

x! x!

20 20 x! y 2

20

x y ! x y ! y 2

x y ! x!

20 x x 1 20

1 x! 20

10 10 y! 2 x 2 !

y! x y ! y!

      

      

     

             

 

_^^ 

 













 









 

2 y

5 x loại

4 x 5 x

2 y 0 20 x x

2 y

2

BÀI 1.11 : Tìm tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số đầu và chữ số cuối bằng 10, tổng chữ số thứ hai và thứ năm bằng 10, tổng chữ số thứ ba và thứ tư bằng 10. ĐS : 192

 Hướng dẫn :

Gọi x = a₁a₂a₃a₄a₅a₆ là số phải tìm.

Theo đề ta có : a1 + a6 = 10 ; a2 + a5 = 10 ; a3 + a4 = 10, do đó 2 chữ số 0 và 5 không thỏa mãn bài toán.

Như vậy các chữ số a1, a2, a3, a4, a5 chỉ được chọn trong 8 số : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.

Có 8 cách chọn a1, tương ứng 1 cách chọn a6. Có 6 cách chọn a2, tương ứng 1 cách chọn a5. Có 4 cách chọn a3, tương ứng 1 cách chọn a4. Vậy có 8.1.6.1.4.1 = 192 số.

 Cách khác:

Có 4 cặp số mà tổng của chúng bằng 10.

Chọn 1 cặp số và xếp vào vị trí a1 và thì có: 4.2! = 8 cách.

Chọn 1 cặp số và xếp vào vị trí a2 và a5 thì có: 3.2! = 6 cách.

Chọn 1 cặp số và xếp vào vị trí a3 và a4 thì có: 2.2! = 4 cách.

Vậy có : 8.6.4 = 192 số.

BÀI 1.12 :

a) Tìm số các ước số dương của số A2³.3⁴.5⁷.7⁶. ĐS : 1120

b) Tìm số các ước số dương của số 490.000. ĐS : 75

(6)

6

a) Tìm số các ước số dương của số A2³.3⁴.5⁷.7⁶.

Mỗi ước số dương của A có dạng U2^m.3ⁿ.5^p.7^q trong đó m, n, p, q  Z, Nên ta có :

0  m  3  m có 4 cách chọn.

0  n  4  n có 5 cách chọn.

0  p  7  m có 8 cách chọn.

Vậy có 4.5.8.7 = 1.120 ước số dương của A.

b) Tìm số các ước số dương của số 490.000.

Vì B4900007².10⁴ 2⁴.5⁴.7²

Do đó các ước số dương của B có dạng U2^m.5ⁿ.7^p trong đó m, n, p  Z Nên ta có :

0  n  4  n có 5 cách chọn.

0  p  2  m có 3 cách chọn.

Vậy có 5.5.3 = 75 ước số dương của B.

BÀI 1.13 : Số 35.280 có bao nhiêu ước số ? ĐS : 90

Ta có : 35.2802⁴.3².5¹.7²

Do đó các ước số của 35.280 phải có dạng U2^x.3^y.5^z.5^t trong đó m, n, p  Z Nên ta có :

Có 5 cách chọn số thứ nhất 2^x (vì x  0, 1, 2, 3, 4).

Có 3 cách chọn số thứ hai 3^y (vì y  0, 1, 2).

Có 2 cách chọn số thứ ba 5^z (vì z  0, 1).

Có 3 cách chọn số thứ tư 7^t (vì t  0, 1, 2).

Vậy có 5.3.3.2 = 90 ước số của 35280.

BÀI 1.14 : Có bao nhiêu số tự nhiên X có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và X chia

hết cho 2. ĐS : 6216

Gọi x = a₁a₂a₃a₄a₅ là số phải tìm.

Ta nhận thấy x chia hết cho 2 nên a5 không thể là chữ số 1 được, do đó ta xét các trường hợp sau:

Nếu a5 = 0, khi đó:

Có 4 cách chọn vị trí trong X để xếp chữ số 1.

Có A³₈ 336 cách chọn 3 chữ số để xếp vào các chữ số còn lại trong X.

Suy ra trường hợp này có: 4.336 = 1344 số.

Nếu a5  0, khi đó ta xét hai trường hợp nhỏ sau:

 Nếu a1 = 1, khi đó:

Có 4 cách chọn a5.

Có A³₈ 336 cách chọn 3 chữ số để xếp vào các chữ số còn lại trong X.

Suy ra có: 4.336 = 1344 số.

 Nếu a1  1, khi đó:

Có 7 cách chọn a1, (khác a5, khác 0 và khác 1).

Có 3 cách chọn vị trí để xếp chữ số 1, (trừ a1 và a5).

Có A²₇ 42 cách chọn 2 chữ số để xếp vào các chữ số còn lại trong X.

Suy ra có: 4.7.3.42 = 3528 số.

Suy ra trường hợp này có: 1344 + 3528 = 4872 số.

Vậy tất cả có: 1344 + 4872 = 6216 số X.

(7)

BÀI 1.15 : Từ các chữ số 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và

số tự nhiên đó chia hết cho 3. ĐS : 24

Gọi x = a₁a₂a₃ là số cần tìm

Do x chia hết cho 3 nên a1 + a2 + a3 phải chia hết cho 3.

Suy ra a1, a2, a3 thuộc một trong các tập số sau: {1 ; 3 ; 5}, {1 ; 5 ; 6}, {3 ; 4 ; 5}, {4 ; 5 ; 6}

Mỗi tập số có thể lập được 3! = 6 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

Vậy có 4.6 = 24 số.

BÀI 1.16 : (CĐ khối A năm 2017) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3? ĐS : 216

Vì x chia hết cho 3 nên a1 + a2 + a3 + a4 + a5 chia hết cho 3.

Do đó a1, a2, a3, a4, a5 thuộc các tập số sau: {0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5}, {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}.

 Với tập số {0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 5} thì:

Có 4! cách chọn a2, a3, a4, a5.

Suy ra trường hợp này có 4.4! = 96 số.

 Với tập số {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} thì có 5! = 120 số.

Vậy tất cả có: 96 + 120 = 216 số.

BÀI 1.17 : Cho tập E = {0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau là các

phần tử của E và chia hết cho 3 ? ĐS : 40

Ta có : X = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

Gọi x = a₁a₂a₃ là số phải tìm

Một số chia hết cho 3 khi số đó có tổng các chữ số chia hết cho 3.

Do đó các tập con của E có 3 phần tử mà tổng 3 phần tử chia hết cho 3 là : E1 = {0, 1 , 2} ; E2 = {0, 1, 5} ; E3 = {0, 2, 4} ; E4 = {0, 4, 5}

E5 = {1, 2 , 3} ; E6 = {1, 3, 5} ; E7 = {2, 3, 4} ; E8 = {3, 4, 5}

Từ tập E1 = {0, 1 , 2}, ta lập thành được các số sau : 102, 120, 201, 210  có 4 số thỏa ycbt.

Tương tự cho E2; E3; E4.

Từ tập E5 = {1, 2 , 3}, ta lập thành được các số sau : 123, 132, 213, 232, 312, 321  có 6 số thỏa ycbt.

Tương tự cho E6; E7; E8. Vậy có 4.4 + 6.4 = 40 (số)

BÀI 1.18 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên:

a) Có 2 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 2. ĐS : 11

b) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. ĐS : 62

a) Có 2 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 2.

Gọi x = a₁a₂ là số phải tìm

 Nếu a1 = 2, thì có 6 cách chọn a2, tức là có 6 số x.

 Nếu a2 = 2, thì có 5 cách chọn a1, tức là có 5 số x.

Vậy có 6 + 5 = 11 số.

b) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

Do x chia hết cho 3 nên a1 + a2 + a3 phải chia hết cho 3.

Do đó a1, a2, a3 thuộc một trong các bộ số sau:

(8)

8

{0 ; 1 ; 2}, {0 ; 1 ; 5}, {0 ; 2 ; 4}, {0 ; 3 ; 6}, {0 ; 4 ; 5}, {1 ; 2 ; 3}

{1 ; 2 ; 6}, {1 ; 3 ; 5}, {1 ; 5 ; 6}, {2 ; 3 ; 4}, {3 ; 4 ; 5}, {4 ; 5 ; 6}

 Xét 5 tập hợp có chứa chữ số 0, mỗi tập hợp có thể lập được 2.2.1 = 4 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.

Suy ra có 5.4 = 20 số.

 Xét 7 tập hợp không chứa chữ số 0, mỗi tập hợp có thể lập được 3! = 6 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.

Vậy có tất cả có 20 + 42 = 62 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

BÀI 1.19 : Từ các chữ số 0, 1, 2 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên (không bắt đầu bằng 0) là bội số của

3 và bé hơn 2.10⁸. ĐS : 4373

 Hướng dẫn : Ta có : X = {0 , 1 , 2}

Gọi x = a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉ là số phải tìm

Vì x < 2.10⁸ nên a1  0 ; 1  a1 có 2 cách chọn (kể cả số 0 đứng đầu) Các chữ số từ a2 đến a8, mỗi số đều có 3 cách chọn.

Chữ số a9 chỉ có 1 cách chọn (vì nếu a1 + a2 + … + a8 chia cho 3 dư 0 thì chọn a9 = 0, dư 1 thì chọn a9 = 2 và dư 2 thì chọn a9 = 1.

 có tất cả là 2.3⁷ = 4374 số (kể cả số 000000000).

Vậy số các số thỏa ycbt là : 4374 – 1 = 4373 (số) BÀI 1.20 : Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập từ A sao cho tổng 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ

số sau đúng 1 đơn vị. ĐS : 108

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ A và chia hết cho 4. ĐS : 96

a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập từ A sao cho tổng 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ số sau đúng 1 đơn vị.

Ta có: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Vì số tự nhiên cần lập có 6 chữ số khác nhau và tổng 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ số sau 1 đơn vị, do đó tổng 3 chữ số đầu bằng 10 và tổng 3 chữ số sau bằng 11.

Suy ra 3 chữ số đầu thuộc một trong các tập số sau: {1 ; 3 ; 6}, {1 ; 4 ; 5}, {2 ; 3 ; 5}, còn lại là 3 chữ số sau.

Với mỗi tập số có 3! = 6 cách sắp xếp 3 chữ số đầu và 3! = 6 cách sắp xếp 3 chữ số sau.

Vậy có 3.6.6 = 108 số tự nhiên có 6 chữ số sao cho tổng 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ số sau 1 đơn vị.

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ A và chia hết cho 4.

Gọi x = a₁a₂a₃a₄ là số phải tìm.

Vì x chia hết cho 4 nên a₃a₄ phải chia hết cho 4.

Do đó a₃a₄ có thể là: 12 ; 16 ; 24 ; 32 ; 36 ; 52 ; 56 ; 64 (có 8 trường hợp của a₃a₄).

Mỗi trường hợp của a₃a₄ có A²₄ 12 cách chọn 2 chữ số cho a1 và a2. Vậy có 8.12 = 96 số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4.

BÀI 1.21 : Tính số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 4. ĐS : 225

Số có 3 chữ số lớn nhất chia hết cho 4 là 996.

Số có 3 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 4 là 100.

Khoảng cách giữa hai số liền kề chia hết cho 4 là 4.

Vậy số các số thỏa ycbt là : 1 225 4

100

996   (số)

BÀI 1.22 : (CĐ Công Nghệ Dệt May Thời Trang TP.HCM năm 2017) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 5. ĐS : 108

(9)

Vì x chia hết cho 5 nên a4 có thể là 0 hoặc 5.

 Nếu a4 = 0, khi đó có: A³₅ 60 số.

 Nếu a4 = 5, khi đó:

Có A²₄ 12 cách chọn a2, a3. Suy ra có: 4.12 = 48 số.

Vậy có tất cả: 60 + 48 = 108 số.

BÀI 1.23 : Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, sao cho:

a) Chia hết cho 5 và bắt đầu bằng 5. ĐS : 336

b) Chia hết cho 2 và bắt đầu bằng 4. ĐS : 1344

a) Chia hết cho 5 và bắt đầu bằng 5.

Chữ số đầu tiên bằng 5 nên a1 = 5 và chia hết cho 5 nên a5 = 0.

Có 8 cách chọn a2. Có 7 cách chọn a3. Có 6 cách chọn a4. Vậy có : 8.7.6 = 336 số.

b) Chia hết cho 2 và bắt đầu bằng 4.

Số tự nhiên có dạng x =4a₂a₃a₄a₅

Do x chia hết cho 2 nên a5  {0 ; 2 ; 6 ; 8}

 Nếu a5 = 0, khi đó có: A³₈ 336 cách chọn các chữ số a2, a3, a4. Suy ra trường hợp này có 336 số.

 Nếu a5  0, khi đó:

Có A³₈ 336 cách chọn các chữ số a2, a3, a4. Vậy trường hợp này có 3.336 = 1008 số.

Vậy tất cả có: 336 + 1008 = 1344 số.

BÀI 1.24 : (Đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối B năm 2000) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. ĐS : 54

 Trước hết ta tìm các số gồm 4 chữ số khác nhau:

Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0).

Có A khả năng chọn 3 chữ số cuối. ³₄ Vậy có 4.A³₄ 4.4!96 số.

 Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Nếu chữ số tận cùng là 0 thì: có A³₄ 24 số.

Nếu chữ số tận cùng là 5 thì có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có A²₃ 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy có 3.6 = 18 số. Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

Vậy có 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.

BÀI 1.25 : Xét dãy số gồm 7 chữ số khác nhau (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, ..., 8, 9) thỏa chữ số đầu tiên bằng 7, chữ số cuối không chia hết cho 5. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. ĐS : 47040

Gọi số tự nhiên cần lập có dạng x a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇. Có 1 cách chọn a1, là chữ số 7.

(10)

10

Có 7 cách chọn a7, trừ các số 0, 5, 7.

Có A⁵₈ 6720 cách chọn 5 chữ số xếp vào các vị trí còn lại trong x.

Vậy có 7.6720 = 47040 số.

BÀI 1.26 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập thành được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau và số đó

chia hết cho 6 ? ĐS : 5

Ta có : X = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. Gọi x = a₁a₂ là số phải tìm

Số chia hết cho 6 khi số đó vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3.

Do chia hết cho 2 nên a2  {2 , 4 , 6}

 Nếu a2 = 2 thì a1  1 ; 4  có 2 số với tận cùng là 2.

 Nếu a2 = 4 thì a1  2 ; 5  có 2 số với tận cùng là 4.

 Nếu a2 = 6 thì a1  3  có 1 số với tận cùng là 6.

Vậy có 2 + 2 + 1 = 5 (số)

BÀI 1.27 : Cho tập E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập từ E sao cho số tự nhiên đó chia hết cho 6, và có mặt chữ số 1. ĐS : 42

Số tự nhiên chia hết cho 6 là số tự nhiên vừa chia hết cho 2 và chia hết cho 3.

Do đó a4 chẵn và a1 + a2 + a3 + a4 phải chia hết cho 3, và luôn có mặt chữ số 1.

Suy ra a1, a2, a3, a4 thuộc một trong các tập số sau:

{1 ; 2 ; 3 ; 6}, {1 ; 2 ; 4 ; 5}, {1 ; 2 ; 5 ; 7}, {1 ; 3 ; 4 ; 7}, {1 ; 3 ; 5 ; 6}

 Xét 3 tập hợp chứa 1 chữ số chẵn là: {1 ; 2 ; 5 ; 7}, {1 ; 3 ; 4 ; 7}, {1 ; 3 ; 5 ; 6}

Mỗi tập hợp có 1 cách chọn a4, và 3! cách xếp 3 chữ số còn lại.

Suy ra có 3.1.3! = 18 số.

 Xét 2 tập chứa 2 chữ số chẵn là: {1 ; 2 ; 3 ; 6}, {1 ; 2 ; 4 ; 5}

Mỗi tập hợp có 2 cách chọn a4, và 3! cách xếp 3 chữ số còn lại.

Suy ra có 2.2.3! = 24 số.

Vậy tất cả có 18 + 24 = 42 số tự nhiên có 4 chữ só khác nhau, chia hết cho 6 và luôn có mặt chữ số 1.

BÀI 1.28 : Cho 5 chữ số 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6. Từ 5 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số

khác nhau và số tự nhiên đó không chia hết cho 6. ĐS : 36

Gọi x = a₁a₂a₃a₄a₅ là số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và không chia hết cho 6.

Số x phải không chia hết cho 3 hoặc không chia hết cho 2.

Ta nhận thấy 0 + 1 + 2 + 3 + 6 = 12 chia hết cho 3, do đó x luôn chia hết cho 3.

Do đó để x không chia hết cho 6 thì x phải là một số tự nhiên lẻ, khi đó:

Có 2 cách chọn a5. Có 3 cách chọn a1.

Có 3! cách chọn 3 chữ số còn lại xếp vào a2, a3, a4.

Vậy có 2.3.3! = 36 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và không chia hết cho 6.

BÀI 1.29 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia

hết cho 8? ĐS : 10

Vì n chia hết cho 8 nên a₃a₄a₅ phải chia hết cho 8, do đó a₃a₄a₅ có thể là: 152, 132, 352, 432, 512.

Mỗi trường hợp của a₃a₄a₅ có 2! cách chọn a1 và a2. Vậy có : 5.2! = 10 số.

BÀI 1.30 : Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 ? ĐS : 5000

(11)

Các chữ số có 6 chữ số chia hết cho 9. Viết theo thứ tự tăng dần là : 100017, 100026, 100035, …, 999999.

Số nhỏ nhất có 6 chữ số chia hết cho 9 là 100017 Số lớn nhất có 6 chữ số chia hết cho 9 là 999999

Ta thấy rằng trong đoạn từ 100017 đến 999999 cứ cách nhau 18 đơn vị thì có 1 số lẻ chia hết cho 9.

Vậy số các số thỏa ycbt là : 1 50000 18

100017

999999   (số)

 Cách khác : Các chữ số có 6 chữ số chia hết cho 9. Viết theo thứ tự tăng dần là : 100017, 100026, 100035, …, 999999.

Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành một cấp số cộng là : 100017, 100035, …, 999999 có công sai là d = 18.

Do đó, ta có : 100017 + (n – 1)18 = 999999  n = 5000 Vậy có tất cả 5000 số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9.

BÀI 1.31 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau

không chia hết cho 9. ĐS : 84

Gọi x = a₁a₂a₃ là số cần tìm Có 5 cách chọn a1.

Có A²₅ 20 cách chọn 2 chữ số xếp vào a2, a3. Suy ra có 5.20 = 100 số.

Xét các số tự nhiên dạng x = a₁a₂a₃ có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.

Suy ra a1 + a2 + a3 phải chia hết cho 9.

Do đó a1, a2, a3 thuộc một trong các tập số sau: {0 ; 4 ; 5}, {1 ; 3 ; 5}, {2 ; 3 ; 4}.

 Xét a1, a2, a3 thuộc tập số {0 ; 4 ; 5}:

Có 2 cách chọn a1. Có 2 cách chọn a2. Có 1 cách chọn a3. Suy ra có 2.2.1 = 4 số.

 Xét a1, a2, a3 thuộc một trong hai tập số {1 ; 3 ; 5}, {2 ; 3 ; 4}:

Mỗi tập số có thể lập được 3! = 6 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.

Vậy tất cả có 4 + 12 = 16 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9.

Vậy tất cả có 100 – 16 = 84 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 9.

BÀI 1.32 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và không chia hết cho 10. ĐS : 24192

Do x không chia hết cho 10 nên a5  0, khi đó:

Có A³₈ 336 cách chọn 3 chữ số xếp vào a2, a3, a4.

Vậy có 9.8.336 = 24192 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và không chia hết cho 10.

BÀI 1.33 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và

chia hết cho 15? ĐS : 8

Vì x chia hết cho 15 nên x vừa chia hết cho 3 và vừa chia hết cho 5.

(12)

12

Do đó ta có:

 

_^^



 



 









3 5 a a

5 a 3 a a a

5 a

2 1 3 3

2 1 3



Vậy a1, a2 thuộc một trong các tập số sau: {1 ; 3}, {1 ; 6}, {3 ; 4}, {4 ; 6}.

Mỗi tập số trên có 2! cách chọn a1, a2. Vậy có 4.2! = 8 số.

BÀI 1.34 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau

không chia hết cho 18. ĐS : 93

Gọi x = a₁a₂a₃ là số cần tìm Có 5 cách chọn a.

Có A²₅ 20 cách chọn 2 chữ số xếp vào a2, a3. Suy ra có 5.20 = 100 số.

Xét các số tự nhiên dạng x = a₁a₂a₃ có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 18.

Do x chia hết cho 18 nên x vừa chia hết cho 9 và vừa chia hết cho 2.

Suy ra a3 là một số chẵn và a1 + a2 + a3 phải chia hết cho 9.

Do đó a1, a2, a3 thuộc một trong các tập số sau : {0 ; 4 ; 5}, {2 ; 3 ; 4}.

Xét a1, a2, a3 thuộc tập số {0 ; 4 ; 5}:

Có thể lập được 3 số thỏa mãn : 450 hoặc 540 hoặc 504.

Suy ra có 2.2.1 = 4 số.

Xét a1, a2, a3 thuộc một trong 2 tập số {2 ; 3 ; 4}:

Do a3 chẵn nên:

Có 2 cách chọn a3. Có 2 cách chọn a1. Có 1 cách chọn a2.

Suy ra trường hợp này có 2.2.1 = 4 số.

Vậy tất cả có 3 + 4 = 7 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 18.

Suy ra có: 100 – 7 = 93 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 18.

BÀI 1.35 : Từ chín chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 người ta lập ra các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm là 4.

a) Có bao nhiêu số tự nhiên như thế? ĐS : 40320

b) Trong những số đó có bao nhiêu số chia hết cho 25. ĐS : 1440

a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm là 4 ĐS : 40320 Mỗi số tự nhiên tạo thành là một hoán vị của 8 số 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 (vì số 4 đã xếp ở hàng trăm).

Vậy có: 8! = 40320 số.

b) Trong những số đó có bao nhiêu số chia hết cho 25.

Các số tự nhiên có hai chữ số trở lên chia hết cho 25 thì hai chữ số tận cùng phải chia hết cho 25 thì hai số tận cùng có thể là 00, hoặc 25, hoặc 50, hoặc 75.

Do các chữ số khác nhau và khác 0 nên ta chỉ có 2 trường hợp của hai số tận cùng thỏa mãn là 25 hoặc 75.

Mỗi trường hợp có: 6! = 720 số được tạo thành.

Vậy các số tự nhiên thỏa mãn là: 2.720 = 1440 số.

BÀI 1.36 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 20? ĐS : 1344

Vì x chia hết cho 20 nên x vừa chia hết cho 10 và được bao nhiêu thì chia hết cho 2.

Nghĩa là trong số tự nhiên x phải có a5 = 0 và a4 là một chữ số chẵn. Khi đó:

(13)

Có A³₈ 336 cách chọn 3 chữ số xếp vào a1, a2, a3.

Vậy có: 4.336 = 1344 số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 20.