ĐẠI SỐ TỔ HỢP
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG I. QUY TẮC ĐẾM
BÀI 1.1 : Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên :
1) gồm 4 chữ số ? 2) gồm 4 chữ số khác nhau ? 3) lẻ gồm 4 chữ số.
4) lẻ gồm 4 chữ số khác nhau. 5) chẵn gồm 4 chữ số. 6) chẵn gồm 4 chữ số khác nhau.
7) gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 4000 ? ĐS : 625, 120, 375, 72, 250, 48, 72.
BÀI 1.2 : Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên : 1) gồm 4 chữ số ? 2) gồm 4 chữ số khác nhau ?
3) lẻ gồm 4 chữ số khác nhau. 4) chẵn gồm 4 chữ số khác nhau. ĐS : 1080, 300, 144, 156
BÀI 1.3 : Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số
đó có bao nhiêu số không bắt đầu bởi chữ số 1. ĐS : 96
BÀI 1.4 : Có bao nhiêu số tự nhiên :
1) có 5 chữ số khác nhau ? ĐS : 27.216 2) có 5 chữ số và chia hết cho 5 ? ĐS : 18.000 3) có 5 chữ số biết rằng 2 chữ số đứng kề nhau phải khác nhau ? ĐS : 59.049 4) có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau ? ĐS : 900 5) có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ. ĐS : 45.000
BÀI 1.5 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau ? Hãy tính tổng của tất cả các số tự nhiên nói trên ? ĐS : 120 ; 9.333.240 BÀI 1.6 : Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau
và không chia hết cho 5 ? ĐS : 54
BÀI 1.7 : Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau và trong đó phải có chữ số 4 ? ĐS : 1560
BÀI 1.8 : Từ các chữ số 1, 3, 4, 7. Ta thành lập được bao nhiêu số thuộc khoảng (100 , 400) ? ĐS : 32 BÀI 1.9 : Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ
số lẻ. ĐS : 42.000
BÀI 1.10 : Xét dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) thỏa chữ số vị trí số 3 là số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, các chữ số vị trí thứ 4, 5, 6 đôi một khác nhau. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ? ĐS : 2.880.000
II. HOÁN VỊ
BÀI 2.1 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong
đó phải có 5 em đứng kề nhau ? ĐS : 4.838.400
BÀI 2.2 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng 7 chữ số : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho 2 chữ số chẵn không nằm liền nhau ? ĐS : 3600
BÀI 2.3 : Cho 5 chữ số : 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 có 3 chữ số khác
nhau từ 5 chữ số trên ? ĐS : 24
BÀI 2.4 : Sắp xếp 6 người vào một dãy 6 ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu :
1) có 3 người trong họ muốn ngồi kề nhau ? 2) có 2 người trong họ không muốn ngồi kề nhau ? 3) có 3 người trong họ không muốn ngồi kề nhau đôi một ? ĐS : 144, 480, 144 BÀI 2.5 : Sắp xếp 6 nam và 4 nữ vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu :
1) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau ? 2) Nữ sinh ngồi kề nhau ?
3) Chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau ? ĐS : 34.560, 120.960, 86.400
BÀI 2.6 : Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau : 1) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau. ĐS : 1.036.800 2) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. ĐS : 33.177.600 III. CHỈNH HỢP
BÀI 3.1 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10. ĐS : 3024
BÀI 3.2 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0
và chữ số 1 ? ĐS : 42.000
BÀI 3.3 : Từ các chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên :
1) gồm 5 chữ số khác nhau ? 2) chẵn gồm 5 chữ số khác nhau ? ĐS : 2160, 1260 BÀI 3.4 : Dùng 5 chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5 ? ĐS : 1560
BÀI 3.5 : Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau? ĐS : 2240 BÀI 3.6 TN : Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau? ĐS : 2296 BÀI 3.7 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số : 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các
số đó nhỏ hơn 345 ? ĐS : 50
BÀI 3.8 : Từ các chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, trong
đó hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau. ĐS : 444
IV. TỔ HỢP
BÀI 4.1 : Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. GV chủ nhiệm muốn chọn 4 em vào ban trật tự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu :
1) số nam và nữ trong ban là tùy ý. ĐS : 91.390 2) phải có 1 nam và 3 nữ. ĐS : 11.375 3) phải có 2 nam và 2 nữ. ĐS : 31.500 4) ít nhất phải có 1 nam. ĐS : 90.025 BÀI 4.2 : Trong một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh (trong đó có nam sinh tên A và nữ sinh tên B). Lập một ban cán sự lớp gồm 6 em với yêu cầu có ít nhất 2 nữ, ngoài ra biết rằng A và B không thể làm việc chung với nhau trong ban cán sự. Hỏi có bao nhiêu cách lập ban cán sự ? ĐS : 260 BÀI 4.3 : Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam lẫn nữ, cần có cả nhà toán học và nhà Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách ? ĐS : 90 BÀI 4.4 : Đội thành niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá hai trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? ĐS : 225 BÀI 4.5TN : Có 5 tem thư khác nhau, 6 bì thư khác nhau. Chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy ? ĐS : 1.200 BÀI 4.6 : Trong số 16 học sinh có 3 giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. ĐS : 7.560 BÀI 4.7 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó số 1 có mặt đúng
ba lần và các số khác đúng một lần. ĐS : 720
BÀI 4.8 : Có 8 bi xanh, 5 bi đỏ, 3 bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 4 viên bi nếu :
a) Có đúng 2 bi xanh b) Số bi xanh bằng số bi đỏ ĐS : 784, 400
BÀI 4.9 : Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ 3 màu ? ĐS : 645 BÀI 4.10 : Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho trong đó có 1 người được 2 đồ
vật và 2 người còn lại mỗi người được 3 đồ vật. ĐS : 1680
BÀI 4.11 : Có 6 chiếc bánh khác nhau và 3 hộp giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp 6 bánh vào 3 hộp, mỗi
hộp 2 bánh ? ĐS : 15
BÀI 4.12 : Xếp 3 bi đỏ khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào 7 ô. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ? Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho các bi cùng màu đứng cạnh nhau ? ĐS : 840 ; 36 BÀI 4.13 : Có bao nhiêu đường chéo trong một hình thập giác lồi ? ĐS : 35 BÀI 4.14 : Xác định số cạnh của một đa giác lồi biết số đường chéo gấp đôi số cạnh. ĐS : 7 BÀI 4.15 : Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét tam giác có đỉnh là đỉnh của H.
a) Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác ? ĐS : 20 b) Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ? ĐS : 320 c) Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác ? ĐS : 800
ĐẠI SỐ TỔ HỢP NÂNG CAO
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG A. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA Pn; Akn ; Cnk
BÀI 1 : Chứng minh các đẳng thức :
1) Cnn C0n 1 2) C1n n 3) Ckn Cnnk 4) Ckn Ckn1 Ckn11 BÀI 2 : Giải các phương trình sau (x N) :
1) x
6 x 5 x
4 C
1 C
1 C
1 2) x
2 C 7 C
C1x 2x 3x 3) A2x.Cxx1 48
4) 23
24 C
A A
4 x x 3
1 x
4
x
5) A3x Cxx2 14x 6) C14x C14x2 2.C14x1 7) C1x6.C2x6.C3x 9x214x 8)
x
2 x 2
x
xA 72 6A 2P
P 9) Cxx12 2.C3x1 7(x1)
ĐS : 1) x = 2 ; 2) x = 4 ; 3) x = 4 ; 4) x = 5 ; 5) x = 5 ; 6) x = 4 x = 8 ; 7) x = 7 ; 11) x = 3 x = 4 ; 9) x = 5 BÀI 3 : (DBĐH 2005) Tìm số nguyên n > 1 thỏa mãn đẳng thức : 2Pn6A2n PnA2n 12 ĐS : 2, 3 BÀI 4 : (DBĐH 2002) Tìm số n nguyên dương thỏa mãn :A3n 2Cnn2 9n ĐS : n = 3; n = 4 B. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. BÀI TOÁN CHỌN VẬT
BÀI 1 : (ĐH B 2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ
không ít hơn 2 ? ĐS : 56875
BÀI 2 : Có 5 cuốn sách giáo khoa giống nhau và 4 cuốn sách tham khảo đôi một khác nhau. Đem làm giải thưởng cho 8 học sinh, mỗi người được 1 cuốn sách (còn thừa 1 cuốn sách). Có bao nhiêu cách nhận giải
thưởng đối với 8 học sinh trên. ĐS : 3024
BÀI 3 : Xếp 3 bi đỏ khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào 7 ô. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ? Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho các bi cùng màu đứng cạnh nhau ? ĐS : 840 ; 36 BÀI 4 : Có bao nhiêu cách tặng 5 món quà khác nhau cho 3 người mà người nào cũng có quà.ĐS : 150 II. BÀI TOÁN CHỌN NGƯỜI
BÀI 5 : Một đoàn tàu có 3 toa chở khách : toa I, toa II, toa III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn bị lên tàu.
Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi : a) Có bao nhiêu khả năng xếp 4 vị khách lên tàu.
b) Có bao nhiêu khả năng xếp 4 khách lên tàu sao cho 1 trong 3 toa tàu có 3 trong 4 vị khách nói trên?
ĐS : 81, 24
BÀI 6 : Có bao nhiêu cách chia 12 học sinh thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 3 người để làm lao động. Trong đó có hai nhóm trồng cây và hai nhóm làm vệ sinh sân trường (không phân biệt thứ tự các nhóm cùng làm
một việc giống nhau). ĐS : 92400
BÀI 7 : (ĐH B 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đở 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1
nữ ? ĐS : 207900
BÀI 8 : (ĐH D 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này không thuộc quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? ĐS : 225 BÀI 9 : (DBĐH 2005) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ ? ĐS : 3690 BÀI 10 : (DBĐH 2003) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? ĐS : 462
BÀI 11 : (DBĐH 2002) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao
cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn ? ĐS : 41811
BÀI 12 : (DBĐH 2006) Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách chia như vậy ? ĐS : 43068078553500
III. BÀI TOÁN ĐẾM SỐ ĐIỂM – SỐ ĐA GIÁC – SỐ CẠNH
BÀI 13 : (ĐH D 2014) Cho một đa giác đều n đỉnh, n N và n 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27
đường chéo. ĐS : n = 9
BÀI 14 : (DBĐH 2006) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2). Biết rằng có 2800 tam giác có các đỉnh là các điểm đã
cho. Tìm n. ĐS : 20
BÀI 15 : (ĐH B 2002) Cho đa giác đều A1A2 … A2n (n 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, … , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4
trong 2n điểm A1, A2, … , A2n . Tìm n. ĐS : n = 8
BÀI 16 : Cho một họ gồm m đường thẳng song song, cắt một họ gồm n đường thẳng song song khác.
Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành ? ĐS : C2mC2n
BÀI 17 : Cho p điểm trong không gian trong đó có q 4 điểm đồng phẳng trên mặt phẳng (R) và không có 4 điểm không cùng thuộc (R) mà đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 điểm trong số đó ? Có bao nhiêu tứ diện tạo bởi 4 đỉnh là 4 điểm trong số đó ? ĐS : C3pC3q 1 ; C4pC4q IV. BÀI TOÁN TẠO SỐ
BÀI 18 : (DBĐH 2008) Cho tập hợp E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ
số khác nhau được lập từ các chữ số của E ? ĐS : 320
BÀI 19 : (DBĐH 2003) Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau? ĐS: 952 BÀI 20 :
a) (DBĐH 2004) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 2158? ĐS : 314 b) (DBĐH 2008) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2500. ĐS : 3808 BÀI 21 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó số 1 có mặt đúng
ba lần và các số khác đúng một lần. ĐS : 720
BÀI 22 : (DBĐH 2003) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6
chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 ? ĐS : 192
BÀI 23 : (DBĐH 2003) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và thỏa mãn điều kiện : sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số
đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ? ĐS : 108
BÀI 24 : (DBĐH 2005) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8 ? ĐS : 1440 BÀI 25 : (DBĐH 2003) Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà
mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau ? ĐS : 90720
BÀI 26 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn khác nhau mà mỗi số :
a) (DBĐH 2007) Gồm 4 chữ số ? ĐS : 420
b) (DBĐH 2006) Có 5 chữ số, trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau ?ĐS : 360
c) (DBĐH 2006) Lập được đều nhỏ hơn 25000 ? ĐS : 360
BÀI 27 : (DBĐH 2006) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau ? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. ĐS : 962599980
BÀI 28 : (DBĐH 2007) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau ? ĐS : 2016 ------
BÀI TẬP BỔ SUNG ĐẠI SỐ TỔ HỢP
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
A. Công thức tổng quát tìm ước số dương của một số X.
Phân tích X về thừa số nguyên tố, giả sử : UAx.By.Cz.Dt (A, B, C, D là các số nguyên tố) Tổng tất cả các ước số của X là : (x + 1)(y + 1)(z + 1)(t + 1).
B. Các dấu hiệu chia hết
1) Chia hết cho 2 : số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 (Thí dụ : 102, 1008, 45014) 2) Chia hết cho 3 : số có tổng các chữ số chia hết cho 3 (Thí dụ : 1023, 1008, 45015) 3) Chia hết cho 4 : số có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4 (Thí dụ : 1000, 1008, 2345016) 4) Chia hết cho 5 : số có chữ số tận cùng là 0, 5 (Thí dụ : 1000, 45015)
5) Chia hết cho 7 : (Thí dụ : 2275, 24668)
Dấu hiệu 1 : Lấy chữ số đầu tiên bên trái nhân với 3 rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của 7;
được bao nhiêu nhân với 3 cộng với chữ số thứ 3 rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với 3 cộng với chữ số thứ 4 rồi trừ cho bội của 7, … nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.
Thí dụ : a) số 2275 chia hết cho 7 vì : b) số 24668 chia hết cho 7 vì :
Có (2.3 + 2) – 1.7 = 1 Có (2.3 + 4) – 1.7 = 3
Có (1.3 + 7) – 1.7 = 3 Có (3.3 + 6) – 2.7 = 1
Có (3.3 + 5) – 2.7 = 0 Có (1.3 + 6) – 1.7 = 2
Có (2.3 + 8) – 2.7 = 0
Dấu hiệu 2 : Lấy chữ số đầu tiên bên phải nhân với 5 rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của 7;
được bao nhiêu nhân với 5 cộng với chữ số thứ 3 rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với 5 cộng với chữ số thứ 4 rồi trừ cho bội của 7; … nếu kết quả cuối cùng là một số chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.
Thí dụ : a) số 2275 chia hết cho 7 vì : b) số 24668 chia hết cho 7 vì :
Có (5.5 + 7) – 4.7 = 4 Có (8.5 + 6) – 6.7 = 4
Có (4.5 + 2) – 3.7 = 1 Có (4.5 + 6) – 3.7 = 5
Có (1.5 + 2) – 1.7 = 0 Có (5.5 + 4) – 4.7 = 1
Có (1.5 + 2) – 1.7 = 0 6) Chia hết cho 8 : số có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 (Thí dụ : 1000, 1008, 45016) 7) Chia hết cho 9 : số có tổng các chữ số chia hết cho 9 (Thí dụ : 1017, 1008, 45018) 8) Chia hết cho 10 : số có chữ số tận cùng là 0 (Thí dụ : 1000, 45010)
9) Chia hết cho 11 : số có hiệu của tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn chia hết cho 11 (Thí dụ : 1345729 vì (1 + 4 + 7 + 9) – (3 + 5 + 2) = 11)
12) Chia hết cho 25 : số có 2 chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75 (Thí dụ : 1000, 45025) 13) Chia hết cho 6 : số vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 (Thí dụ : 120, 1008, 5016) 14) Chia hết cho 15 : số vừa chia hết cho 3 và vừa chia hết cho 5 (Thí dụ : 120, 1005) 15) Chia hết cho 18 : số vừa chia hết cho 9 và vừa chia hết cho 2 (Thí dụ : 180, 5274)
16) Chia hết cho 20 : số chia hết cho 10 và được bao nhiêu thì chia hết cho 2 (nghĩa là chữ số hàng đơn vị là chữ số 0 và chữ số hàng chục phải là một số chẵn (Thí dụ : 180, 5240)
BÀI TẬP
BÀI 1.11 : Tìm tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số đầu và chữ số cuối bằng 10, tổng chữ số thứ hai và thứ năm bằng 10, tổng chữ số thứ ba và thứ tư bằng 10. ĐS : 192 BÀI 1.12 :
a) Tìm số các ước số dương của số A23.34.57.76. ĐS : 1120
b) Tìm số các ước số dương của số 490.000. ĐS : 75
BÀI 1.13 : Số 35.280 có bao nhiêu ước số ? ĐS : 90
BÀI 1.14 : Có bao nhiêu số tự nhiên X có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và X chia
hết cho 2. ĐS : 6216
BÀI 1.15 : Từ các chữ số 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và
số tự nhiên đó chia hết cho 3. ĐS : 24
BÀI 1.16 : (CĐ khối A năm 2017) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3? ĐS : 216
BÀI 1.17 : Cho tập E = {0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau là
các phần tử của E và chia hết cho 3 ? ĐS : 40
BÀI 1.18 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên:
a) Có 2 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 2. ĐS : 11
b) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. ĐS : 62
BÀI 1.19 : Từ các chữ số 0, 1, 2 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên (không bắt đầu bằng 0) là bội số
của 3 và bé hơn 2.108. ĐS : 4373
BÀI 1.20 : Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập từ A sao cho tổng 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ
số sau đúng 1 đơn vị. ĐS : 108
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ A và chia hết cho 4. ĐS : 96 BÀI 1.21 : Tính số các số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 4. ĐS : 225 BÀI 1.22 : (CĐ Công Nghệ Dệt May Thời Trang TP.HCM năm 2017) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 5. ĐS : 108 BÀI 1.23 : Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, sao cho:
a) Chia hết cho 5 và bắt đầu bằng 5. ĐS : 336
b) Chia hết cho 2 và bắt đầu bằng 4. ĐS : 1344
BÀI 1.24 : (Đề thi tuyển sinh Đại học Quốc gia Hà Nội khối B năm 2000) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5. ĐS : 54 BÀI 1.25 : Xét dãy số gồm 7 chữ số khác nhau (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, ..., 8, 9) thỏa chữ số đầu tiên bằng 7, chữ số cuối không chia hết cho 5. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. ĐS : 47040 BÀI 1.26 : Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập thành được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau và số đó
chia hết cho 6 ? ĐS : 5
BÀI 1.27 : Cho tập E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập từ E sao cho số tự nhiên đó chia hết cho 6, và có mặt chữ số 1. ĐS : 42 BÀI 1.28 : Cho 5 chữ số 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6. Từ 5 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số
khác nhau và số tự nhiên đó không chia hết cho 6. ĐS : 36
BÀI 1.29 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia
hết cho 8? ĐS : 10
BÀI 1.30 : Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 ? ĐS : 5000 BÀI 1.31 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau
không chia hết cho 9. ĐS : 84
BÀI 1.32 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và không chia hết cho 10. ĐS : 24192 BÀI 1.33 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và
chia hết cho 15? ĐS : 8
BÀI 1.34 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau
không chia hết cho 18. ĐS : 93
BÀI 1.35 : Từ chín chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 người ta lập ra các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm là 4.
a) Có bao nhiêu số tự nhiên như thế? ĐS : 40320
b) Trong những số đó có bao nhiêu số chia hết cho 25. ĐS : 1440
BÀI 1.36 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 20? ĐS : 1344 ------
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP LUYỆN THI THPT QG
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
Câu 1. (ĐMH 2018) Cho tập hợp M có 10 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là
A. A 108 B. A 102 C. C 102 D. 102
Câu 2. (THPT QG 2018) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 34 học sinh?
A. 234 B. A234 C. 342 D. C342
Câu 3. (THPT QG 2018) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 2 chữ số khác nhau?
A. C27 B. 27 C. 72 D. A27
Câu 4. (THPT QG 2018) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 2 chữ số khác nhau?
A. 28 B. C28 C. A28 D. 82
Câu 5. (THPT QG 2019) Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
A. 27 B. A27 C. C27 D. 72
Câu 6. (ĐMH 2020 ĐỢT 1) Từ một nhóm học sinh gồm 6 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh?
A. 14 B. 48 C. 6 D. 8
Câu 7. (ĐMH 2020 ĐỢT 2) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?
A. C102 B. A210 C. 102 D. 210
Câu 8. (THPT QG 2020 ĐỢT 1) Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc?
A. 36 B. 720 C. 6 D. 1
Câu 9. (THPT QG 2020 ĐỢT 2) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ một nhóm gồm 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ?
A. 9 B. 54 C. 15 D. 6
Câu 10. (ĐMH 2021) Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh từ một nhóm có 5 học sinh?
A. 5! B. A 35 C. C 35 D. 53
Câu 11. (THPT QG 2021 ĐỢT 2) Với n là số nguyên dương bất kì, n 5, công thức nào dưới đây đúng?
A. C5n
n 5 !n!
B. C5n 5! n 5 !
n!
C. C5n
n 5 !5!.n!
D. 5
n
n 5 !
C n!
------
LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ TỔ HỢP
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
I. QUY TẮC ĐẾM
1) Quy tắc cộng : Nếu có m cách chọn đối tượng a, n cách chọn đối tượng b và nếu cách chọn đối tượng a không trùng bất kỳ cách chọn đối tượng b nào thì sẽ có tất cả : m + n cách chọn đối tượng a hoặc b.
Thí dụ 1 : Có 10 quyển sách Toán khác nhau và 5 quyển sách Văn khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 trong các quyển sách đó ?
Giải : Có 10 cách chọn 1 quyển sách Toán và 5 cách chọn 1 quyển sách Văn và khi đã chọn sách Toán thì không chọn sách Văn. Do đó 10 + 5 = 15 cách chọn 1 trong các quyển sách đã cho.
2) Quy tắc nhân : Nếu có m cách chọn đối tượng a và sau đó với mỗi cách chọn a như vậy có n cách chọn đối tượng b thì sẽ có tất cả : m.n cách chọn đối tượng (a , b).
Thí dụ 2 : Một cơ quan có 4 cổng ra vào.
1) Hỏi một người khách có thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đó ?
2) Có thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đó bằng 2 cổng khác nhau (cổng ra khác cổng vào).
Giải :
1) Người khách chọn 1 trong 4 cổng để đi vào do đó có 4 cách chọn cổng vào. Cũng có 4 cách chọn cổng ra. Vậy có 4.4 = 16 cách chọn cổng vào ra.
2) Có 4 cách chọn cổng để đi vào. Sau khi vào rồi thì lúc ra chỉ còn có 3 cổng nên có 3 cách chọn cổng để đi ra. Do đó có 4.3 = 12 cách chọn cổng vào ra.
II. HOÁN VỊ
1) Định nghĩa : Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1). Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của A gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn
Pn = n = n.(n – 1).(n – 2) …1 (n 1)
Chú ý : Ta có : n(n 1) )!
2 n (
! ) 2 n )(
1 n ( n )!
2 n (
!
n
Qui ước : 0! = 1 và 1! = 1
Cho X = a, b, c. Các hoán vị của 3 phần tử đã cho là : abc, acb, bac, bca, cab, cba.
2) Dấu hiệu : Một bài toán hoán vị cần có 3 dấu hiệu đồng thời để nhận dạng nó : _ Số phần tử phải bằng số vị trí.
_ Một phần tử phải được xếp vào một vị trí và một vị trí cũng chỉ luôn phải chứa một phần tử.
_ Hai hoán vị là khác nhau khi trong 2 dãy sắp xếp tương ứng sai khác nhau ít nhất một vị trí sắp xếp.
3) Hoán vị không lặp lại : Mỗi cách sắp đặt các phần tử của một tập hợp có n phần tử khác nhau, theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị không lặp lại của n phần tử.
Số hoán vị n phần tử là Pn = n!
Thí dụ 3 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh vào ngồi trong một bàn dài có đủ 4 chỗ ngồi ? Giải : Mỗi cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi là một hoán vị của 4 phần tử.
Vậy số cách sắp xếp là : P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 cách III. CHỈNH HỢP
1) Định nghĩa : Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k phần tử sắp thứ tự của A (1 k n) gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là Akn.
Akn =
)!
k n (
! n
(1 k n)
Nếu n = k thì 1 chỉnh hợp n chập n chính là hoán vị của n phần tử.
Qui ước : A0n = 1
Cho X = a, b, c. Có 6 chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử là : (a,b) ; (b, a) ; (a,c) ; (c, a) ; (b,c) ; (c; b)
2) Dấu hiệu : Ta sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi gặp tình huống _ Phải chọn k phần tử từ n phần tử.
_ Sắp thứ tự k phần tử ấy.
Thí dụ 4 : Một người muốn sắp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu người đó :
1) có 6 pho tượng khác nhau ? 2) có 4 pho tượng khác nhau ? 3) có 8 pho tượng khác nhau ? Giải
1) Xếp 6 pho tượng khác nhau vào 6 vị trí thì số cách sắp xếp là : P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1. = 120 cách 2) Số cách sắp xếp 4 pho tượng khác nhau vào 6 vị trí là số chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Ta có :
4
A6 = 6.5.4.3 = 360 cách
3) Từ 8 pho tượng khác nhau, lấy ra 6 rồi sắp xếp vào 6 chỗ là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử.
Ta có : A68 = 8.7.6.5.4.3 = 20.160 cách IV. TỔ HỢP
1) Định nghĩa :
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A ( 0 k n ) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A. Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là Ckn
)!
k n (
! k
! Ckn n
(0 k n)
2) Dấu hiệu :
_ Nếu đếm các đối tượng mà không có sự sắp xếp thứ tự như đếm số đoạn thẳng, số tam giác, … thì ta dùng khái niệm tổ hợp.
_ Để thực hiện một hành động (H) phải qua nhiều giai đoạn liên tiếp thì ta áp dụng quy tắc nhân.
3) Các trường hợp riêng thường gặp :
1) C0n Cnn 1 2) C1n Cnn1 n 3)
2 ) 1 n ( C n
C2n nn 2
Hai hệ thức tổ hợp thường dùng : 1) Ckn Cnnk (0 k n) 2) Ckn11 Ckn1 Ckn (1 k n –1)
Thí dụ 5 : Có bao nhiêu cách phân phối 5 vé xem xiếc cho một nhóm 8 học sinh ? Giải : Số cách phân phối có được là : C5856 cách.
Thí dụ 6 : Cho 3 điểm A, B, C.
1) Có bao nhiêu cách ghi điểm A, B, C đã cho nằm trên một đường thẳng ? 2) Với 3 điểm này, ta có thể xác lập được bao nhiêu vectơ khác 0 ?
3) Giả sử A, B, C không thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua 3 điểm đó ? Giải :
1) Đây là số hoán vị 3 vật không lập lại. Ta có : P3 = 3! = 6 cách
2) Đây là số chỉnh hợp 3 vật lấy 2 không lặp lại. Ta có : A23 = 3.2 = 6 vectơ 3) Đây là số tổ hợp 3 vật lấy 2 không lặp lại. Ta có :
! 1
! 2
!
C23 3 = 3 đường thẳng
Thí dụ 7 : Một tổ trực gồm 8 nam sinh và 6 nữ sinh. Giáo viên trực muốn chọn ra một nhóm 5 học sinh.
Có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này phải có ít nhất 1 nữ sinh ? Giải :
Số cách chọn ra 5 học sinh trong số 14 học sinh là : C145 = 2002 cách Số cách chọn ra 5 học sinh toàn là nam : C58 = 56 cách.
Vậy số cách chọn ra 5 học sinh mà có ít nhất 1 nữ là : 2002 – 56 = 1946 cách.
Cách khác: C16C84C26C38C36C28 C46C18C56
------
