Đoàn Ngọc Dũng -

CHUYÊN ĐỀ 2 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

BÀI 1 : (ĐH B 2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ? ĐS : C₁₅²C¹₁₀C²₅ C₁₅²C₁₀²C¹₅ C₁₅³C¹₁₀C¹₅ 56875

 Hướng dẫn :

Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ trong mỗi đề là 2 hoặc 3. Ta có các trường hợp sau:

TH1: 2 dễ + 1 TB + 2 khó: C²₁₅C¹₁₀C²₅ 10500 TH2: 2 dễ + 2 TB + 1 khó: C²₁₅C²₁₀C¹₅23625 TH3: 3 dễ + 1 TB + 1 khó: C³₁₅C¹₁₀C¹₅ 22750

Vì các cách chọn trên đôi một khác nhau, nên ta có : 10500 + 23625 + 22750 = 56875

BÀI 2 : (ĐH B 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đở 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1

nữ ? ĐS : 207900

 Hướng dẫn :

Số cách chọn 4 nam và 1 nữ đi tỉnh thứ nhất: C₁₂⁴ 31485 Số cách chọn 4 nam và 1 nữ đi tỉnh thứ hai: C⁴₈2140 Số cách chọn 4 nam và 1 nữ đi tỉnh thứ ba: C⁴₄11

Vậy số cách chọn đội thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh là: 1485 . 140 . 1 = 207900 (cách)

BÀI 3 : (ĐH D 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này không thuộc quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? ĐS : 225

 Hướng dẫn :

 Số cách chọn 4 học sinh tùy ý từ 12 học sinh là : C₁₂⁴ 495 cách

 Số cách chọn 4 học sinh trong cả 3 lớp :

Chọn 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C : có C²₅C¹₄C¹₃120 cách Chọn 2 học sinh lớp B, 1 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp C : có C²₅C¹₄C¹₃120 cách Chọn 2 học sinh lớp C, 1 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B : có C¹₅C¹₄C²₃60 cách

 số cách chọn 4 học sinh trong cả 3 lớp là : 120 + 90 + 60 = 270 cách

Vậy số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp là : 495 – 270 = 225 (cách).

BÀI 4 : (DBĐH 2005) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ ? ĐS : 3690

 Hướng dẫn :

Số nữ có mặt trong nhóm phải  3, tức số nữ tham gia trong nhóm phải bằng 3 hoặc 4 hoặc 5.

Số cách lập nhóm đồng ca 8 người có đúng 3 nữ là: C³₅.C₁₀⁵ 102522520

Số cách có đúng 4 nữ: C⁴₅.C₁₀⁴ 52101050; Số cách có đúng 5 nữ: C⁵₅.C³₁₀ 120 Vậy toàn bộ có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách

BÀI 5 : (DBĐH 2003) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh

nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? ĐS : 462

 Hướng dẫn :

Có 3 TH : 5 nam và 1 nữ có C¹₇ cách chọn ; 4 nam và 2 nữ có C .C⁴₅ ²₇ cách ; 3 nam và 3 nữ có C .C³₅ ³₇ cách Tổng số cách chọn 6 em trong đó số nữ ít hơn 4 là: C C .C C .C¹₇ ⁴₅ ²₇ ³₅ ³₇ 7 5.21 10.35  462 cách

BÀI 6 : (DBĐH 2002) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho

mỗi khối có ít nhất một em được chọn ? ĐS : 41811

 Hướng dẫn :

Tổng số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là C⁸₁₈ 43758 Tổng số trên được phân làm hai bộ phận rời nhau :

Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối đều có em được chọn.

Bộ phận II gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em chỉ gồm hai khối (lưu ý là số em thuộc mỗi khối đều ít hơn 8 nên không có cách chọn nào cả 8 em thuộc cùng một khối).

Riêng bộ phận II có thể phân tích thành ba loại

 8 em được chọn từ khối 12 hoặc khối 11: có C₁₃⁸ cách chọn





 8 em được chọn từ khối 12 hoặc khối 10: có C₁₂⁸ cách chọn





 8 em được chọn từ khối 11 hoặc khối 10: có C₁₁⁸ cách chọn





Số cách phải tìm sẽ là: ^C





12 5 13 8

18      cách.

BÀI 7 : (DBĐH 2006) Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có

bao nhiêu cách chia như vậy ? ĐS : 43068078553500

 Hướng dẫn :

 Trường hợp 1: tổ 1 có 3 nữ và 7 nam; tổ 2 có 2 nữ và 9 nam; tổ 3 có 2 nữ và 10 nam Có C³₇.C⁷₂₆ cách chia tổ 1 ; Có C²₄.C⁹₁₉ cách chia tổ 2 ; Có C²₂.C¹⁰₁₀ cách chia tổ 3 Trường hợp này có: C³₇C⁷₂₆C²₄C₁₉⁹C²₂C¹⁰₁₀ 12760912164000 (cách)

 Trường hợp 2: tổ 1 có 2 nữ và 8 nam; tổ 2 có 3 nữ và 8 nam; tổ 3 có 2 nữ và 10 nam Trường hợp này có: C²₇C⁸₂₆C³₅C⁸₁₈C²₂C¹⁰₁₀14356026184500 (cách)

 Trường hợp 3: tổ 1 có 2 nữ và 8 nam; tổ 2 có 2 nữ và 9 nam; tổ 3 có 3 nữ và 9 nam Trường hợp này có: C²₇C⁸₂₆C²₅C₁₈⁹C³₃C⁹₉ 159511402050000 (cách)

Vậy tổng số cách chia tổ là: 12760912164000 + 14356026184500 + 159511402050000 = 43068078553500 BÀI 8 : (ĐH B 2002) Cho đa giác đều A1A2 … A2n (n  2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, … , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4

trong 2n điểm A1, A2, … , A2n . Tìm n. ĐS : n = 8

 Hướng dẫn :

Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, … , A2n là C ³_2n

Đa giác đều A1A2 … A2n có n đường chéo đi qua tâm. Cứ 2 trong n đường chéo đi qua tâm xác định 1 hình chữ nhật thỏa yêu cầu bài toán. Vậy số hình chữ nhật là C . Theo giả thiết ta có : ²_n

          

2 1 n 20 n 6

2 n 2 1 n 2 n 2

! 2 n

! 2

! 20 n

! 3 n 2

! 3

! n C 2

20

C³_2n ²_n      

 

 



  2n – 1 = 15  n = 8

BÀI 9 : (DBĐH 2006) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2). Biết rằng có 2800 tam giác có các đỉnh là các điểm đã

cho. Tìm n. ĐS : 20

 Hướng dẫn :

* Trường hợp 1 : Tam giác có một đỉnh trên d1 và hai đỉnh trên d2

Chọn một đỉnh trên d1 có 10 cách ; Chọn hai đỉnh trên d2 có C cách ²_n Trường hợp này có: 10 (tam giác) C²_n

* Trường hợp 2 : Tam giác có một đỉnh trên d2 và hai đỉnh trên d1

Chọn một đỉnh trên d2 có n cách ; Chọn hai đỉnh trên d1 có C₁₀² cách

Trường hợp này có: nC² (tam giác)  cả hai trường hợp có: 10 + C² nC² (tam giác)

Theo giả thiết, ta có: 10 + C²_n nC₁₀² = 2800 (n 2 , n  N)





! 2

!

10 n  

 

  5(n – 1)n + 45n = 2800  n² + 8n – 560 = 0  ^_^n^28

 

n  n = 20

BÀI 10 : (DBĐH 2003) Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau? ĐS: 952

 Hướng dẫn :

Số cần tìm có dạng a₁a₂a₃a₄ (a1  0). Số chia hết cho 5 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

TH1 : a4 = 0, có 1 cách chọn a4, có A³₉ cách chọn 3 chữ số còn lại.

TH2 : a4 = 5, có 1 cách chọn a4, có 8 cách chọn a1, có A²₈ cách chọn các chữ số còn lại  8A₈² cách Vậy có tất cả A³₉ + 8A₈² = 952 số

BÀI 11 : (DBĐH 2003) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6

chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 ? ĐS : 192

 Hướng dẫn :

Số cần tìm có dạng a₁a₂a₃a₄a₅a₆ (a1  0)

_ Ghép hai chữ số 2 và 3 thành một cặp có 2 cách.

_ Số các số có 6 chữ số, trong đó hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau kể cả số 0 đứng đầu là 2.5! số

_ Loại trừ các số thỏa ycbt nhưng có số 0 đứng đầu là : a1 = 0, có 1 cách chọn, chọn vị trí 3 chữ số còn lại và cặp số (2 , 3) có : 2.4! cách. Vậy có 2.5! – 2.4! = 192 số

BÀI 12 : (DBĐH 2003) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và thỏa mãn điều kiện : sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số

đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ? ĐS : 108

 Hướng dẫn :

Số cần tìm có dạng a₁a₂a₃a₄a₅a₆ (a1  0) Theo giả thiết, ta có :















 









































11 a a a

10 a a a 21

6 5 4 3 2 1 ) a a a ( ) a a a (

a a a 1 ) a a a (

6 5 4

3 2 1 6

5 4 3 2 1

6 5 4 3

2 1

Có 3 tổ hợp có tổng bằng 10 là : (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 3, 5)

Trong mỗi tổ hợp : Hoán vị ba chữ số đầu : có 3! cách ; Hoán vị 3 chữ số cuối : 3! cách.

Suy ra có 3!3! = 36 số. Vậy với 3 tổ hợp có : 3.36 = 108 số

BÀI 13 : (DBĐH 2005) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8 ? ĐS : 1440

 Hướng dẫn :

Số cần tìm có dạng a₁a₂a₃a₄a₅a₆ (a1  0). Theo giả thiết, ta có : a3 + a4 + a5 = 8 TH1 : a3 , a4 , a5  1, 2, 5.

Có 3! Cách chọn a3 , a4 , a5 . Có A³₆ cách chọn 3 chữ số còn lại  3! A³₆ = 720 số TH2 : a3 , a4 , a5  1, 3, 4

Có 3! Cách chọn a3 , a4 , a5 . Có A³₆ cách chọn 3 chữ số còn lại  3! A³₆ = 720 số Vậy có 720 + 720 = 1440 số

BÀI 14 : (DBĐH 2003) Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà

mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau ? ĐS : 90720

 Hướng dẫn :

Số cần tìm có dạng a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇ (a1  0)

TH1 : a7 = 0, có 1 cách chọn a7, có A₈⁶ cách chọn 6 chữ số còn lại.  1.A⁶₈ = 20160cách TH2 : a7  2, 4, 6, 8

Có 4 cách chọn a7, có 7 cách chọn a1, chọn 5 chữ số còn lại có A⁵₇ cách.  có 4.7.A⁵₇ = 70560 số Vậy có tất cả 20160 + 70560 = 90720 số

BÀI 15 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn khác nhau mà mỗi số :

a) gồm 4 chữ số ? (DBĐH 2007) ĐS : 420

b) có 5 chữ số, trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau ? (DBĐH 2006) ĐS : 360

c) lập được đều nhỏ hơn 25000 ? (DBĐH 2006) ĐS : 360

 Hướng dẫn : a) gồm 4 chữ số ?

Ta phân các phân số tạo thành ra 2 loại:

 Loại 1 : Vị trí cuối là 0: có A³₆ trường hợp

 Loại 2 : Vị trí cuối  0 và chẵn: 3 phương án ; Vị trí đầu  0: 5 phương án ; 2 vị trí giữa: A²₅ phương án Theo quy tắc nhân, loại 2 có 3.5A²₅ trường hợp

Số các số chẵn thỏa mãn đề bài có thể lập được là: A³₆ + 3.5A²₅ = 6.5.4 + 3.5.5.4 = 420 b) có 5 chữ số, trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau ? Số cần tìm có dạng: a₁a₂a₃a₄a₅ (a1  0)

* Trường hợp 1: a5 = 0

Có 3 cách chọn 2 chữ số lẻ là a1, a2 hoặc a2, a3 hoặc a4, a5

Có A cách chọn 2 chữ số lẻ để đặt vào vị trí ²₃ Có A²₃ cách chọn 2 chữ số còn lại

Trường hợp này có: 3.A²₃.A₃² 108 (số)

* Trường hợp 2: a5  0 và 2 chữ số lẻ ở vị trí a1, a2

Có 3 cách chọn a5 ; Có A cách chọn 2 chữ số lẻ ; Có ₃² A cách chọn 2 chữ số còn lại ²₃ Trường hợp này có: 3.A²₃.A₃² 108 (số)

* Trường hợp 3: a5  0 và 2 chữ số lẻ ở vị trí a2 , a3 hoặc a3 , a4

Có 3 cách chọn a5 ; Có 2 cách chọn a1 ; Có 2 cách chọn vị trí hai chữ số lẻ Có A²₃ cách chọn 2 chữ số lẻ để đặt vào vị trí ; Có 2 cách chọn 1 chữ số còn lại Trường hợp này có: 3.2.2A²₃.2144 (số)

Vậy có tất cả: 108 + 108 + 144 = 360 (số) c) có 5 chữ số lập được đều nhỏ hơn 25000 ?

Đặt A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}. Số cần tìm có dạng: a₁a₂a₃a₄a₅ (a1  0)

 Trường hợp 1: a1 = 1

Chọn a5  {0 , 2 , 4 , 6} : có 4 cách ; Chọn 3 chữ số còn lại thuộc A \ {1 , a5} : có A³₅ cách Trường hợp này có: 4.A³₅ 240 (số)

 Trường hợp 2: a1 = 1 , a2  {0 , 4}

Có 2 cách chọn a2 ; Có 2 cách chọn a5 Có A cách chọn 2 chữ số còn lại ²₄ Trường hợp này có: 2.3.A²₄ 72 (số) Vậy có tất cả: 240 + 48 + 72 = 360 (số)

BÀI 16 : (DBĐH 2006) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác

nhau ? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. ĐS : 96 ; 2599980

 Hướng dẫn :

Trong 120 số gồm 5 chữ số khác nhau kể cả các số có chữ số a1 = 0 , có 24 5

120  số mà hàng đơn vị lần lượt là 0, 1, 2, 3, 4. Do đó, tổng các chữ số thuộc hàng đơn vị là: 24.(0 + 1 + 2 + 3 + 4) = 24.10 = 240

Tương tự, có 24 số mà hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, hàng vạn lần lượt là 0, 1, 2, 3, 4 nên tổng các chữ số các hàng còn lại là: 24.10(10 + 10² + 10³ + 10⁴) = 2666400

Suy ra tổng của 120 số trên là: 2666400 + 240 = 2666640

Trong 24 số có chữ số đầu a1 = 0, có 6 số mà ở hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn lần lượt là 1, 2, 3, 4.

Do đó tổng các chữ số hàng đơn vị (cũng như hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn) là: 6(1 + 2 + 3 + 4) = 60 Tổng của 24 số này bằng: 60(1 + 10 + 10² + 10³) = 66660

Vậy tổng của 96 số phải tìm là: 2666640 – 66660 = 2599980.

BÀI 17 : (DBĐH 2004) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 2158?

ĐS : 314

 Hướng dẫn :

Số cần tìm có dạng: a₁a₂a₃a₄ (a1  0)

 Xét các số có dạng 1a₂a₃a₄. Có 5 cách chọn a1, có A²₈ cách chọn a2 và a3  có 5. A²₈ = 280 số

 Xét các số có dạng 20a₃a₄. Có 3 cách chọn a4, 7 cách chọn a3  có 3. 7 = 21 số

 Xét các số có dạng 210a₄ . Có 3 cách chọn a4  có 3 số

 Xét các số có dạng 213a₄. Có 4 cách chọn a4  có 4 số

 Xét các số có dạng 214a₄ . Có 3 cách chọn a4  có 3 số

 Xét các số có dạng 215a₄ . Có 3 cách chọn a4  có 3 số Vậy có tất cả : 280 + 21 + 3 + 4 + 3 + 3 = 314 số

BÀI 18 : (DBĐH 2007) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau ? ĐS : 2016

 Hướng dẫn :

Tập số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 gồm 4 chữ số khác nhau được phân làm 5 loại.

 Loại một có chữ số cuối cùng là 0 có số lượng là: A³₉A²₈ (do loại bỏ các số có chữ số đầu là 1)

 Loại 2, 3, 4, 5 tương ứng với chữ số tận cùng là 2, 4, 6, 8. Mỗi một trong bốn loại này gồm A³₉2A²₈ (do phải loại bỏ các số có chữ số đầu bằng 0 hoặc 1)

Vậy tạo được tất cả: A³₉A²₈ +

 

3 8

9 2A 5A 9A

A

4    = 5.9.8.7 – 9.8.7 = 4.9.8.7 = 36  56 = 2016 số thỏa mãn yêu cầu đặt ra.

BÀI 19 : (DBĐH 2008) Cho tập hợp E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ

số khác nhau được lập từ các chữ số của E ? ĐS : 320

 Hướng dẫn :

Số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau E có dạng : abcd , trong đó a khác 0 và d thuộc tập hợp {0, 2, 4}

Ta xét các trường hợp của d.

Nếu d = 0, các số có 3 chữ số abc bằng : A³₆120.

Xét d = 2 (hoặc d = 4), khi đó a có 5 cách chọn, ứng với mỗi cách chọn a ta có 5 cách chọn b, ứng với mỗi cách chọn hai chữ số a, b ta có 4 cách chọn chữ số c.

Vậy có tất cả 5.5.4 = 100 số.

Vậy có 120 + 100.2 = 320 số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số của E.

BÀI 20 : (DBĐH 2008) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2500.

ĐS : 3808

 Hướng dẫn :

Gọi số thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng abcd

Nếu a > 2, ta có 7 cách chọn a, A³₉ cách chọn b, c, d nên 7A³₉ 3528 cách chọn abcd . Nếu a = 2, ta có 5 cách chọn b, A cách chọn c, d nên ²₉ 5A²₉ 280 cách chọn abcd . Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3528 + 280 = 3808 số.