Đoàn Ngọc Dũng -

NHỊ THỨC NEWTON

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

 DẠNG 1 : Xác định hệ số hoặc số hạng trong một khai triển BÀI 1 :

1) Tìm hệ số của x¹² y¹³ trong khai triển : (x + y)²⁵ ĐS :C¹³₂₅

2) Tìm hệ số của x¹⁰¹ y⁹⁹ trong khai triển : (2x – 3y)²⁰⁰ ĐS :2¹⁰¹.3⁹⁹C¹⁰¹₂₀₀ 3) Tìm hệ số của x⁸ y⁹ trong khai triển : (3x + 2y)¹⁷ ĐS :3⁸.2⁹C⁹₁₇ BÀI 2 : Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển của

n 2 3

x x 2 



 



  (x > 0), biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn 92

C C

A²_n ⁿ_n^1 ⁿ_n^2  ĐS : 1120

BÀI 3 : Tìm hệ số của :

1) x⁷ trong khai triển : (1 – x)¹² ĐS : –792

2) x¹⁰ trong khai triển : (5 – 3x)⁷⁵ ĐS : 3¹⁰.5⁶⁵C¹⁰₇₅

3) x⁷ trong khai triển : (1 + x)¹¹ ĐS : 330

4) Tìm hệ số của x⁷ trong khai triển : x



23x



⁹ ĐS : 489888 5) x³ trong khai triển :

6 2

2 



 

 

x x ĐS : 12

6) x⁴ trong khai triển :

12

x 3 3

x 



 

  _{ĐS :}

9 55

BÀI 4 :

1) Biết tổng các hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba trong

n 2 3

x x 1 



 

  là 11. Tìm hệ số của x². ĐS : 6 2) Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển (x² + 2)ⁿ, biết A³_n8C²_nC¹_n49. ĐS : 280 BÀI 5 :

1) Tìm hệ số của x³ trong khai triển : (x1)²(x1)³(x1)⁴(x1)⁵ ĐS : 15 2) Tìm hệ số của x³ trong khai triển : (2x1)³(3x1)⁴(x1)⁷ ĐS : –65 3) Tìm hệ số của x¹⁵ trong khai triển :(1x)2(1x)²3(1x)³...20(1x)²⁰ ĐS : 400995 4) Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển : x(12x)⁵x²(13x)¹⁰ (ĐH D 2007) ĐS : 3320 5) Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển : (x2)⁴(x1)⁵ ĐS : 242 6) Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển thành đa thức của



^{1x2(1x)}



⁸ (ĐH A 2004) ĐS : 238 7) Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển :



^12x3x2



^{10 ĐS : 8085}

8) Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển :



^{1xx2x3}



⁵ ĐS : 101 9) Tìm hệ số của x¹⁰y⁴z³t³ trong khai triển :



xyzt



²⁰ ĐS :C C C¹⁰_{20 10}^{4 3}₆ BÀI 6 :

1) Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển của (1 – 2x)¹² ĐS : C₁₂⁷.2⁷.x⁷

2) Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển của

9

2 2 x



 

  _{ĐS : C}⁵_9.x⁵

2

1

3) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển của (x³ – xy)¹⁵ ĐS : C₁₅⁷x³¹y⁷; C⁸₁₅x²⁹y⁸ 4) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển của

2012

x2

x 4 



 

  _{ĐS :}

1006 1006 1006

2012 x

4 1 . C

5) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển của (a³ + ab)³¹ ĐS : C¹⁵₃₁a⁶³b¹⁵ ; C¹⁶₃₁a⁶¹b¹⁶ BÀI 7 :

1) Tìm số hạng chứa x⁸ trong khai triển nhị thức :



2x1



¹⁰ ĐS : 11520 2) Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển nhị thức :

7

x x 1



 

  ĐS : 21x³

3) Tìm hạng tử chứa x⁴ trong khai triển nhị thức ^{2 17} x x 1

2 



 



  ĐS : C¹⁰₁₇2⁷x⁴

BÀI 8 : (ĐH A, A1 2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cⁿ_n^1C³_n. Tìm số hạng chứa x⁵ trong khai triển nhị thức Newton

2 n

x 1 14 nx 

 



  , x  0. ĐS : x⁵

16 35



BÀI 9 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : 1)

n 3 2x x

1 



 



  , biết Cⁿ_n^_¹₄ Cⁿ_n3 7(n3) (với x > 0). ĐS : C₁₂⁹ 2⁹

2)

n 4 2

x x 1 



 



  , biết C⁰_n 2C¹_n A²_n 109 ĐS : C₁₂⁴ = 495

3)

n 2

x

x 1



 



  , biết tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, hai, ba là 46. ĐS : 84

4)

n

x x 1



 

  , biết hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ 2 là 35. ĐS : 252 BÀI 10 : Cho biết hệ số thứ ba trong

n

3 x 1



 

  bằng 5. Tìm số hạng đứng giữa của khai triển. ĐS : ¹₅C x₁₀^{5 5}

9

 DẠNG 2 : Tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức BÀI 11 : Tính tổng:

1)

S

₁

 C

₁₀⁰

 C

¹₁₀

 C

₁₀²

 ...  C

¹⁰₁₀ ĐS : S₁2¹⁰

2) S₂ C₁₀⁰ 2C¹₁₀2²C₁₀² ...2¹⁰C¹⁰₁₀ ĐS : S₂ 3¹⁰

3)

S

₃

 C

₁₀⁰

 C

¹₁₀

 C

₁₀²

 ...  C

¹⁰₁₀ ĐS : S₃ 0

4) ¹⁰10

4 10 2

10 0

10

4

C C C ... C

S     

ĐS : S₄ 2⁹

5)

S

₅

 C

¹₁₀

 C

₁₀³

 C

₁₀⁵

 ...  C

₁₀⁹ _{ĐS :} S₅ 2⁹

BÀI 12 : Tính tổng:

1)

S  C

⁰_2n

 C

¹_2n

 C

²_2n

 ...  C

²₂ⁿ_n ĐS : S4¹⁰

2)

S  C

⁰_2n

 C

²_2n

 C

⁴_2n

 ...  C

²₂ⁿ_n ĐS : S2^2n1

3) 3



n



ⁿn

2 n 1 n

n

3 C 7 C ... 2 1 C

C

S      

ĐS :

S  3

ⁿ

 2

ⁿ

4)

S

₁

 3

¹⁰

C

₁₀⁰

 3

⁹

C

¹₁₀

 3

⁸

C

₁₀²

 ...  C

¹⁰₁₀ ĐS : S₁2¹⁰ 5)

S

₂

 2

¹⁰

C

₁₀⁰

 2

⁹

. 5 C

¹₁₀

 2

⁸

. 5

²

C

₁₀²

 ...  5

¹⁰

C

¹⁰₁₀ ĐS : S₂ 7¹⁰ 6)

S

₃

 3

¹⁰

C

₁₀⁰

 3

⁹

. 2 C

¹₁₀

 3

⁸

. 2

²

C

₁₀²

 ...  2

¹⁰

C

¹⁰₁₀ ĐS : S₃ 1 7)

       

ⁿn ²

2 2 n 1 2

n 0 2

n

4 C C C ... C

S      ĐS : S₄ Cⁿ_2n

BÀI 13 : Chứng minh:

1)

C

⁰_2n

 C

¹_2n

 C

²_2n

 ...  C

ⁿ_2n^1

 C

ⁿ_2n^1

 C

ⁿ_2n^2

 C

ⁿ_2n^3

 ...  C

²₂ⁿ_n

2)

1  2 . C

¹_n

 2

²

. C

²_n

 ...  2

ⁿ

. C

ⁿ_n

 3

ⁿ 3)

C

⁰_2n1

 C

¹_2n1

 C

²_2n1

 ...  C

ⁿ_2n1

 2

²ⁿ

4)

C

⁰_4n2

 C

²_4n2

 C

⁴_4n2

 ...  C

²₄ⁿ_n2

 2

⁴ⁿ

5)

C 3 C 3 C ... 3 C

²2ⁿn

2

^{2n 1}

 22n 1 

n 2 4

n 2 4 2

n 2 2 0

n

2

    

^



6)

2

⁰

3

ⁿ

C

⁰_n

 2

¹

3

^n1

C

¹_n

 2

²

3

^n2

C

²_n

 ...  2

ⁿ

3

⁰

C

ⁿ_n

 5

ⁿ

BÀI 14 : Với k, n  Z⁺ (với n  k + 2). Chứng minh rằng : C⁰₂C^k_n2 C¹₂C^k_n^_¹₂ C²₂C^k_n^_²₂ C^k_n

BÀI 15 : Với k, n  Z (với 4  k  n). Chứng minh rằng : C^k_n 4C^k_n^16C^k_n^2 4C^k_n^3C^k_n^4 C^k_n4 BÀI 16 : (ĐH D 2005) Tính : M =

)!

1 n (

A 3 A⁴_{n 1} ³_n



  , biết C²_n1 2C²_n2 2C²_n3 C²_n4 149 ĐS : M = 4 3

 DẠNG 3 : Biết giá trị của hệ số hoặc số hạng. Tìm giá trị của ẩn.

BÀI 17 : Tìm số nguyên dương n sao cho :

1) C⁰_n 2.C¹_n 4.C²_n ...2ⁿ.Cⁿ_n 243 (ĐH D 2002) ĐS : n = 5

2) C¹_2n C³_2n C⁵_2n ...C²₂ⁿ_n^1 2048 ĐS : n = 6

3) C¹_2n1C²_2n1C³_2n1...Cⁿ_2n12¹⁰1 ĐS : n = 5 4) C¹_2n1C³_2n1C⁵_2n1...C²₂ⁿ_n^_¹₁ 1024 ĐS : n = 10 BÀI 18 : Giải phương trình :

C

^x_x^1

 C

^x_x^2

 C

^x_x^3

 ...  C

^x_x^10

 1023

ĐS : x = 10 BÀI 19 : (DBĐH 2003) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn : C²_xC^x_x^22C²_xC³_x C³_xC^x_x^3 100 ĐS : x = 4 BÀI 20 : Tìm n  Z⁺ biết hệ số của x^{n – 2} trong khai triển của

n

x 



 

  4

1 là 31. ĐS : n = 32

BÀI 21 : Tìm số tự nhiên n, biết rằng trong khai triển của

n

2 x 1



 

  thành đa thức đối với biến x, hệ số của

x⁶ bằng 4 lần hệ số của x⁴. ĐS : n = 10

BÀI 22 : (ĐH A 2002) Cho khai triển nhị thức (n nguyên dương):

n 3

x n n 1 n 3

x 2

1 x 1 n n 3

1 x n 2

1 x 1

n n 2

1 x 0 n n 3

x 2

1 x

2 C 2

. 2 C ...

2 . 2

C 2

C 2

2 









 



















 





















 







 











 

 

 



 



 



Biết rằng trong khai triển đó C³_n 5.C¹_n và số hạng thứ 4 bằng 20n. Tìm n và x. ĐS : n = 7 ; x = 4

NHỊ THỨC NEWTON

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

1) Khai triển : (ab)ⁿ ;(ab)ⁿ: a, b  R, n  N :

















       





 ⁿ

0 k

k k n k n n

n n 1 n 1 n n k

k n k n 2

2 n 2 n 1 n 1 n n 0 n

n C a C a b C a b ... C a b ... C ab C b C a b

) b a

( (1)

Trong khai triển (a + b)ⁿ : 1) Số số hạng = số mũ + 1.

2) Số mũ của a giảm dần từ n tới 0.

3) Số số mũ của b tăng dần từ 0 đến n.

4) Tổng hai số mũ của a và b trong mỗi số hạng đều bằng n.

5) Số hạng thứ k + 1 là Tk + 1 = C^k_na^nkb^k (0  k  n)

6) Các C^k_n được gọi là hệ số của các số hạng. Các hệ số có tính chất đối xứng.

 Chú ý :



 







   









 ⁿ

0 k

k k n k n k n

0 k

k k n k n n

n [a ( b)] C a ( b) ( 1) C a b

) b a (





1 x



²ⁿ C⁰2n C x¹2n ¹C x²2n ²C x³2n ³C x⁴2n ⁴ ... C^{2n 1}2n^x^{2n 1} C x²ⁿ2n ²ⁿ

2) Khai triển đặc biệt :

 Thay a = 1 và b = x vào (1), ta có :

n n n 3

3 n 2 2 n 1 n 0 0 n

n C x C x C x C x ... C x

) x 1

(        (2)

và khi thay x = 1 vào (2), ta có : C⁰_nC¹_n C²_n...Cⁿ_n 2ⁿ

 Thay a = 1 và b = –x vào (1), ta có :

n n n n 3

3 n 2 2 n 1 n 0 n

n C C x C x C x ... ( 1) C x

) x 1

(         (3)

và khi thay x = 1 vào (3), ta có : C⁰_nC¹_nC²_n...(1)ⁿCⁿ_n 0

 Thí dụ :

a) Khai triển : (1x)¹⁰. b) So sánh hai số (1,1)¹⁰ và 2.

 Hướng dẫn :

a) Ta có : (1x)¹⁰C₁₀⁰ C¹₁₀xC₁₀²x²C³₁₀x³...C¹⁰₁₀x¹⁰ Trong khai triển đó :

có 11 số hạng, do đó có 1 số hạng đứng giữa, đó là số hạng thứ 6.

Các hệ số nhị thức đối xứng nhau qua số hạng thứ 6 của khai triển thì bằng nhau.

Vì vậy ta chỉ cần tìm các hệ số của 6 số hạng đầu của công thức khai triển, đó là các hệ số : .

252 C

; 210 C

; 120 C

; 45 C

; 10 C

; 1

C₁₀⁰  ¹₁₀ ₁₀²  ₁₀³  ₁₀⁴  ₁₀⁵ 

Do đó, ta có : (1x)¹⁰110x45x²120x³210x⁴252x⁵210x⁶120x⁷45x⁸10x⁹x¹⁰ b) Từ khai triển trên với x > 0, ta có : (1x)¹⁰ 110x

Từ đó, với x = 0,1 ta có : (1,1)¹⁰ > 2.

3) Tính chất :

1) C⁰_n Cⁿ_n 1 2) C¹_n Cⁿ_n^1 n 3)

2 ) 1 n ( C n

C²_n  ⁿ_n^2   4) C^k_n Cⁿ_n^k (0  k  n) 5) C^k_n^_¹₁ C^k_n1 C^k_n (1  k  n –1) 6) A^k_n C^k_n.k!

7) C⁰_n C¹_n C²_n ...Cⁿ_n 2ⁿ 4) Công thức :

Pn = n! (n  1) A^k_n =

)!

k n (

! n

 (1  k  n)

)!

k n (

! k

! C^k_n n

  (0  k  n)

5) Tam giác Pascal :

 Các hệ số của khai triển (a + b)⁰, (a + b)¹, (a + b)², …, (a + b)ⁿ có thể xếp thành một tam giác gọi là tam giác Pascal.

 Trong công thức nhị thức Newton, cho n = 0, 1, 2, … và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được một tam giác, gọi là tam giác Pascal.

 Ngoài ra, tam giác Pascal còn được phát biểu đơn giản như sau :

“Trong tam giác, ta đi từ số 1. Mỗi số trong tam giác bằng số bên trên cộng số bên trái.”

 Hằng đẳng thức tam giác Pascal :

n = 0 : 1 (a + b)⁰ = 1

n = 1 : 1 1 (a + b)¹ = a + b

n = 2 : 1 2 1 (a + b)² = a² + 2ab + b²

n = 3 : 1 3 3 1 (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

n = 4 : 1 4 6 4 1 (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

n = 5 : 1 5 10 10 5 1 (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

n = 6 : 1 6 15 20 15 6 1 (a + b)⁶ = a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶ Ta thấy : C^k_n^_¹₁ + C^k_n1

 C^k_n 6) Chú ý :

a) Để khai triển nhị thức (ab)ⁿ ta dùng công thức khai triển rồi tính các giá trị tổ hợp. Công thức trên là công thức khai triển nhị thức (ab)ⁿ theo lũy thừa giảm của a và tăng của b.

Nếu muốn viết khai triển nhị thức (ab)ⁿ theo lũy thừa tăng của a và giảm của b thì công thức sẽ có dạng:





 





 ⁿ

0 k

k k k k n n

n (b a) C a b

) b a (

b) Đại lượng C^k_n ứng với nhị thức (1x)ⁿ Đại lượng C^k_2n ứng với nhị thức (1x)²ⁿ

c) Khai triển dạng (A + B + C)ⁿ, (A – B + C)ⁿ, (A + B – C + D)ⁿ thì ta ghép nhóm thích hợp để đưa về khai triển nhị thức Newton.

7) Các dạng toán và phương pháp giải :

 DẠNG 1 : Xác định hệ số hoặc số hạng trong một khai triển

 Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển là : Tk + 1 = C^k_na^nkb^k (0  k  n)

 Tìm k và thay k tìm được vào ta sẽ được số hạng hay hệ số cần tìm.

 Chú ý : Khi tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ta nhớ: nếu n chẵn thì số hạng đứng chính giữa là số hạng thứ 1

2 n

 DẠNG 2 : Tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức

Dựa vào khai triển của nhị thức Newton (ab)ⁿ C⁰_naⁿC¹_na^n1bC²_na^n2b²...C^k_na^nkb^k...Cⁿ_n^1ab^n1Cⁿ_nbⁿ ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Hoặc :

 Viết khai triển của (1x)ⁿ, (1x)ⁿ.

Dựa vào yêu cầu bài toán ta chọn x một hay hai giá trị thích hợp.

 DẠNG 3 : Biết giá trị của hệ số hoặc số hạng. Tìm giá trị của n.

 Viết khai triển của (1x)ⁿ, (1x)ⁿ.

Dựa vào yêu cầu bài toán ta chọn x một giá trị thích hợp Hoặc có thể đồng nhất các hệ số.

Ví dụ : Tìm hệ số của x⁴ trong khai triển của ³ ₂ ⁿ x x 2 



 



  (x > 0), biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn 92

C C

A²_n ⁿ_n^1 ⁿ_n^2  ĐS : 1120

 Hướng dẫn :

 Bước 1: Tìm n

Chuyển sang chế độ bảng và nhập vào máy phương trình: A²_nCⁿ_n^1Cⁿ_n^292

Ta có:

 

^k8

 

^{3 8 k 2k}

k k

2 k 3 8 k 8 1

k ( 2) C x x

x x 2

C

T _ ^    ^{ }



 



  

 Bước 2: Tìm hệ số của x⁴.

Chọn chế độ ở hai hàm F(X) và G(X) trong MODE 7 Chọn phần mũ ở F(X) và phần hệ số ở G(X)

Vậy hệ số của x⁴ là 1120.