Đoàn Ngọc Dũng -

(1)

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

TÍCH PHÂN HÀM CÓ CHỨA GTTĐ

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

BÀI 1 : Tính các tích phân sau : 1) I =



¹ ^ ^

0

2 4x 1dx

x

4 ĐS : I =

2

1 2) I =



² ^

0

dx 1 x

x ĐS : I = 1

3) I =









2

1

2

3 2x x 2 dx

x ĐS : I =

12

37 4) I =



² ^ ^

0

2 2x 3 dx

x ĐS : I = 4

5) I =



² ^ ^

0

2 3x 2 dx

x ĐS : I = 1 6) I =



¹ ^ ^ ^

0

2 4x 1dx x

4 ) 1 x

( ĐS : I =

4 3

7) I =



⁴ ^ ^

0

2

3 2x xdx

x ĐS : I = 8 8) I =







0

1

2 3

4 4x x dx

x

4 ĐS : I =

4 1

9) I =



² _^ ^ ^

0

dx 2 1 x

x 1 x

3 ĐS : I = 18ln24ln3 10) I =

  





5

3

dx 2 x 2

x ĐS : I = 8

11) I =



 

2

3

4 dx x

x ĐS : I =

3 ln8 4 1

 12) I =



² ^_ ^

0 2

2 dx x

2 x 3

x ĐS : I = 24ln336ln21

13) I =

  



1

2dx x 1 x

2 ĐS : I =

2

5 14) I =

  



1

2dx x 1 x

2 ĐS : I =

3 22

15) I =





2

4 1 dx

x ĐS : I = 12 16) ¹

1

I 2 x dx







 ^{ĐS :}^I⁶ ^² ²₃^¹ 17) ⁹

1

2 2 x

I dx

x





  ^{ĐS :}^I⁷ ^⁶^ln₂³ ¹⁸⁾ ^e

1 e

I ln x dx





x ^{ĐS :}^I⁴^¹

19) ² ^x ^x

1

I e e^ 2dx







  ^{ĐS :}Î⁸^²^_^ê^_e¹^ ê^ ¹_e^_^^⁴^{20) I =}





1

x dx e

1 ĐS : I = e 2

e 1  21) I =^ln



⁴ ^ ^

0

1 x x

2 e dx

e ĐS : I =

2 e 17 5

e²   22) I =



² ^ ^

0

x dx 2 x

3 ĐS : I =

2 ln 1 1

23) I =



^

0

dx x sin x

cos ĐS : I =

3

4 24) I =^









3 /

4 /

2

2x cot x 2dx

tan ĐS : I =

2 ln 3

 25) I =^



^/² ^

0

dx 1 x sin

2 ĐS : I =

2 6 3

2 



 26) I = ^



 4 / 3

4 /

dx x 2

sin ĐS : I = 1

27) I =^



^/⁴ ^ ^

0

dx x 3 x sin 2 x

tan ĐS : I =

32 2 3 2 2 2ln

1    ² 28) I =^



^/² ^

0

dx x x

sin ĐS : I = 1

8

2 



29) I =²



^ ^

0

dx x 2 cos

1 ĐS : I =4 2 30) I =



^ ^

0

dx x 2 sin

1 ĐS : I =2 2

31) I =²



^ ^

0

dx x sin

1 ĐS : I =4 2 32) I =



^ ^

0

dx x sin

1 ĐS : I =⁴



²^¹



33) I =¹⁰⁰



^ ^

0

dx x 2 cos

1 ĐS : I =200 2 34) I =



^ ^

0

dx ) x cos x (sin x cos

2 ĐS : I = 2

BÀI 2 : Tính các tích phân sau :

1) ²

 

0

I Max sin x ;cos x dx







^{ĐS :}^I² ^ ² ^²₃ ^{2) I =}



² ^ ^ ^

0

2 3x 1;x 2)dx

x

min( ĐS : I = ⁸

3

(2)

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

 VẤN ĐỀ 1 : DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b tính bởi công thức : S =



^b

a

dx x

f( ) (a  b)

1) Nếu f(x)  0 với mọi x  [a ; b] thì : S =



^b

a

dx x f( ) 2) Nếu f(x)  0 với mọi x  [a ; b] thì : S = –



^b

a

dx x f( )

3) Nếu thì : S =



^



^b

c c

a

dx x f dx x

f( ) ( )

4) Nếu thì : S = ^



^



^b

c c

a

dx x f dx x

f( ) ( )

II. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị (C) : y = f(x); (C’) : y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b tính bởi công thức : S =



^b ^

a

dx x g x

f( ) ( ) 1) Nếu f(x)  g(x) với mọi x  [a ; b] thì : S =



^b ^

a

dx x g x

f( ) ( )]

[

2) Nếu f(x)  g(x) với mọi x  [a ; b] thì : S =



^b ^

a

dx x f x

g( ) ( )]

[

3) Nếu thì : S =



^ ^



^b ^

c c

a

dx x f x g dx x g x

f( ) ( )] [ ( ) ( )]

[

4) Nếu thì : S =



^ ^



^b ^

c c

a

dx x g x f dx x f x

g( ) ( )] [ ( ) ( )]

[

 VẤN ĐỀ 2 : THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY I. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh

trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : y = f(x); trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b (với a  b) tính bởi công thức : II. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : y = f(x); (C’) : y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b (với a  b) tính bởi công thức :

(f(x)  g(x)  0,  x  [a ; b]) x a c b

f(x) + 0 – x a c b f(x) – 0 +

x a c b f(x) – g(x) + 0 –

x a c b f(x) – g(x) – 0 +

V = ^



^b

a

dx x f²( )

V = ^



^b ^

a

dx x g x

f ( ) ( )]

[ ² ²

(3)

III. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : x = g(y) và các đường thẳng y = c, y = d (với c  d) tính bởi công thức :

 Chú ý khi tính thể tích vật thể tròn xoay :

Hình phẳng giới hạn bởi 4 đường Quay quanh trục Thể tích khối tròn xoay

y = f(x) ; y = 0 ; x = a ; x = b Ox ^^



^b

a

2(x)dx f

V y = f(x) ; y = g(x) ; x = a ; x = b

(với f(x)  g(x)) Ox ^^



^b



^



a

2 2(x) g (x)dx f

V

x = f(y) ; x = 0 ; y = c ; y = d Oy ^^



^d

c

2(y)dy f

V BÀI 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

1) y = x² – 2x ; trục hoành ; x = –1 ; x = 2. 2) y = x(x + 1)(x – 2) ; trục hoành.

3) y = x⁴ – 2x² – 3 ; trục Ox. 4) y =

1 2

x ; trục Ox ; trục Oy ; x = 4 5) y = cos²x ; y = 0 ; x = 0 ; x = . 6) y = sinx ; y = 0 ; trục Oy ; x = 2.

7) y = (x + 2)e^2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 3. 8) y = x 2

x

ln ; y = 0 ; x = 1 ; x = e.

ĐS : 1) S = 8/3 ; 2) S = 37/12 ; 3) S = 32 3/5; 4) S = 2ln5 ; 5) /2 ; 6) S = 4 ; 7) S = 3/4(3e⁶ – 1); 8)2 e BÀI 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

1) y = –x³ + 3x + 1 ; y = x² + x + 1 ; x = –2; x = 2 2) y = x + sinx ; y = x ; x = 0 ; x = 2.

3) y = x³ + 2x² – 4 ; y = –x². 4) y = 3x³ – x² – 10x ; y = –x² + 2x.

5) y =

4 4 x

 2 ; y = 2 4

x² (ĐH B 2002) 6) y = 0 ; y =

1 x

) x 1 ( x

2 

 (DBĐH 2007)

7) y = (e +1)x, y =(1e^x)x (ĐH A 2007) 8) y = x² ; y = 2x² (DBĐH 2007)

9) y = x² – x + 3, y = 2x + 1. (ĐH A 2014)

ĐS : 1) 37/6 ; 2) 4 ; 3) 27/4 ; 4) 24 ; 5) 2 + 4/3 ; 6) /4ln 21; 7) e/2 – 1 ; 8) /2+ 1/3; 9) 1/6.

BÀI 3 : Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = –x² + 4x – 3 và các tiếp tuyến với nó tại

các điểm M1(0 ; –3); M2(3 ; 0). ĐS : S = 9/4(đvdt)

BÀI 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

1) y = x ; trục Ox ; y = x – 2. ĐS : S = 10/3 2) y = x ; trục Ox ; y = 6 – x. ĐS : S = 22/3 3) y = x² – 2x + 2; y = x² + 4x + 5; y = 1. ĐS : S =

4

9 4) y = x² ; y = 27 x² ; y =

x

27 ĐS : S = 27ln3 BÀI 5 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

1) y² = 2x + 1 ; y = x – 1 ĐS : S = 16/3 2) x = y³ ; y = 1 ; x = 8. ĐS : S = 17/4 BÀI 6 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

1) y =  x² – 4x + 3  ; y = x + 3 (ĐH A 2002) ĐS : 109/6 2) y =  x² – 1  ; y =  x  + 5 ĐS : 73/3 ; BÀI 7 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox phần hình phẳng được giới hạn bởi : 1) y = –x² + 2x ; y = 0. 2)

4 x y 4

  ; y = 0; x = 0; x = 2. 3) y = x² ; y = 3x 4) x

y 4; y = –x + 5 5) y = xlnx; y = 0; x = e (ĐH B 2007) 6) y = sin²x; y = 0; x = 0 ; x =  7) y = sinx ; trục Ox; x = 0; x =  ĐS : 1) V = 16/15; 2) V = 4 ; 3) V = 162/5 ; 4) V = 9 ; 5)^V^^



⁵^e³^²



^/²⁷; 6) V = 3²/8 ; 7) V = ²/2.

BÀI 8 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh Oy phần hình phẳng được giới hạn bởi : 1) y = ³ 2x1; y = 3; x = 0 ĐS : V = 480/7 (đvtt) 2) y = lnx; y = 0; x = e ĐS : V = /2(e² + 1)(đvtt)

x = g(y) V = ^



^d

c

2(y)dy g

(4)

HƯỚNG DẪN GIẢI

A. TÍCH PHÂN HÀM CÓ CHỨA GTTĐ

 Các bước thực hiện :

Bước 1 : Xét dấu hàm f(x) trên đoạn [a ; b] để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Bước 2 : Áp dụng công thức : I =



^



^



^b

c c

a b

a

dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x (

f (với c  [a ; b])

BÀI 1 : Tính các tích phân sau :

1)

¹ ²

0

I



4x 4x 1dx ^{ĐS : I =}₂¹

Ta có : ^



^ ^ ^

 

^



^



¹ ^

0 1

0 1 2

0

2 4x 1dx 2x 1 dx 2x 1dx

x 4

I . Xét dấu f(x) trên đoạn [0 ; 1].

x 0 1/2 1

2x – 1  0 



²^x ¹



^dx



²^x ¹



^dx



^x ^x

 

^x ^x



₂¹ ₄¹ ⁰ ₄¹ ₂¹ ₄¹ ¹₄ ₂¹

I ¹ ² ¹₀² ² ¹₁₂

2 1 2

1

0









 



 



 

 







 

 





















 

2)

I =



² ^

0

dx 1 x

x ĐS : I = 1

Xét dấu f(x) trên đoạn [0 ; 2]. Ta có : x – 1 = 0  x = 1.

x 0 1 2

x – 1  0 

       

1

2 x 3 x 2

x 3 dx x

x x dx x x dx

1 x x dx 1 x x I

2

1 2 1 3

0 2 2 3

1 1 2

0 2 2

1 1

0

 



 



 

 



 



 























   

3)

I =









2

1

2

3 2x x 2 dx

x ĐS : I =

12 37

Xét dấu f(x) trên đoạn



^^{1; 2}



. Ta có : ^x³^²^x²^^x^²^



^x³^²^x²



^



^x^²



^^x²



^x^²

 

^ ^x^²

 

^ ^x^²

 

^x² ^¹



x 1 1 2 x³ – 2x² – x + 2 – 0 + 0 – 0 +



^x ²^x ^x ²



^dx



^x ²^x ^x ²



^dx ₃⁸ ₁₂⁵ ₁₂³⁷

I ²

1

2 3 1

1

2

3         





 



4)

I =



² ^ ^

0

2 2x 3 dx

x ĐS : I = 4

Xét dấu f(x) trên đoạn [0 ; 2]. Ta có : x² + 2x – 3 = 0  x = 1  x = –3.

x 3 0 1 2

x² + 2x – 3 + 0  0 +



^x ²^x ³



^dx



^x ²^x ³



^dx ^x₃ ^x ³^x ^x₃ ^x ³^x ⁴

I

2

1 3 2

1

0 3 2

2

1 2 1

0

2  

 



  

 



 



  

















 

(5)

5)

I =



² ^ ^

0

2 3x 2 dx

x ĐS : I = 1

Xét dấu trên đoạn

 

0;2

Ta có : x² – 3x + 2 = 0  x = 1  x = 2

x 0 1 2

x² – 3x + 2 + 0 – +

   

² ¹

2 x 3 3 2 x

2 x 3 3 dx x 2 x 3 x dx 2 x 3 x I

2

1 2 1 3

0 2 2 3

1 2 1

0

2  



 



  

 



 



  















 

6)

I =



¹ ^ ^ ^

0

2 4x 1dx x

4 ) 1 x

( ĐS : I =

4 3

Ta có : ^

 

^



^ ^ ^

 

^

 

^



^



¹



^



^

0 1

0 1 2

0

2 4x 1dx x 1 2x 1 dx x 1 2x 1dx

x 4 1 x I

x  0

2

1 1 +

2x – 1  0 +

      



^ ^ ^ ^ ^





 ¹

2 1 2

1

0

dx 1 x 2 1 x dx 1 x 2 1 x I

Ta có :

    

x C

2 x 3 x dx 2 1 x x 2 dx 1 x 2 1

x  



²   ³ ²  



  

















 



 



  









 



 



  













24 x 11

2 x 3 x dx 2 1 x 2 1 x

24 x 7

2 x 3 x dx 2 1 x 2 1 x

I ₁

2 1 2 1 3

2 1

0 2 2 3

1

0 . Vậy

4 3 24 11 24

I 7   .

7)

I =



⁴ ^ ^

0

2

3 2x xdx

x ĐS : I = 8

Ta có : ^



^ ^ ^



^ ^ ^

 

^



^



⁴ ^

0 4

0 4 2

0

2 4

0

2

3 2x xdx x. x 2x 1dx x. x 1 dx x.x 1dx

x

I . Xét dấu f(x) trên [0 ; 4].

x  0 1 4 +

x – 1  0 

   

15 dx 4 1 x x dx 1 x x

I ⁴

1 1

0













 

8)

I =







0

1

2 3

4 4x x dx

x

4 ĐS : I =

4 1

Ta có :

    

  













0

1

0

1

0

1 2 2

2 2

3

4 4x x dx 2x x dx 2x xdx

x 4

I . Xét dấu 2x² + x  [–1 ; 0]

x  1

2

1 0 +

x² + x + 0  +

   

4 dx 1 x x 2 dx x x 2

I ⁰

2 1

2 2

1

2    





 



(6)

9)

I =



² _^ ^ ^

0

dx 2 1 x

x 1 x

3 ĐS : I = 18ln24ln3

Ta có :

  

 



_^ ^ ^ ^ ^ ^ _^ ^ ^ ^_ ^

 ²

0

2

0 2 2

0

1 dx x

3 x 2 dx x

1 x

1 x 2 x 1 x dx 3

2 1 x

x 1 x I 3

x  3 1 0 1 2 +

x² + 2x – 3 + 0   0 +

x + 1   0 + +

f(x)  +  +

3 ln 4 2 ln 8 1 1 dx x 1 4 x 1 dx

x 1 4 x 1 dx

x 3 x 2 dx x

1 x

3 x 2

I x ²

1 1

0 2

1 1 2

0

2    



 





 



 



 





 





 



 





 





   

10)

I =

  





5

3

dx 2 x 2

x ĐS : I = 8

Xét dấu



x2 x2



trên đoạn



3;5



x 3 2 2 5

x + 2  0 + +

x – 2   0 +

            



^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^







5

2 2

3 5

2 2

3

dx 4 xdx 2 dx 4 dx

2 x 2 x dx 2 x 2 x dx 2 x 2 x I

8 x 4 x

x 4

I ²₃ ²²₂ ⁵₂ 

 



11)

I =



 

2

3

4 dx x

x ĐS : I =

3 ln8 4 1



x 3 0 2

4 x

x

  0 +

  

⁰₃



²₀

2

0 0

3 2

0 0

3

4 x ln 4 x 4

x ln 4 x 4 dx

x 1 x 4 dx

x 1 4 4dx

x dx x 4 x

I x        



 

 

 



 



 

 





 _



   

   

3 ln8 4 1 4 ln 4 6 ln 4 2 3 3 ln 4

I      



12)

I =



² ^_ ^

0 2

2 dx x

2 x 3

x ĐS : I = 24ln336ln21

Xét dấu : x² – 3x + 2. Ta có : x² – 3x + 2 = 0  x = 1  x = 2

x  0 1 2 +

x² – 3x + 2 + 0  0 +

Dựa vào bảng xét dấu, ta có : ^



^_ ^ ^



² ^_ ^

1 1 2

0

2 dx

2 x

2 x 3 dx x

2 x

2 x 3 I x

Ta có : 5x 12lnx 2 C

2 dx x 2 x 5 12 x 2 dx

x 2 x 3

x² ²





 



 





 



 



























 



 



   

 









 



 



   

 









3 ln 12 2 ln 2 24 2 7

x ln 12 x 2 5 dx x 2 x

2 x 3 x

2 ln 12 3 ln 2 12 2 9

x ln 12 x 2 5 dx x 2 x

2 x 3 x

2

1 2 2

1 2

1

0 1 2

0 2

.

Vậy I24ln336ln21.

(7)

13)

I =

  



1

2dx x 1 x

2 ĐS : I =

2 5

Ta có :

         

¹

 

₁ ₂

1 1

1 1 2

1

2 2 1

1

2dx 2x 1 x 2x2x 1 dx 5x 4x 1dx 2 x 2x 1 dx I 2.I

x 1 x 2

I



  



    



  



  



 Tính ^I



⁵^x ⁴^x ¹



^dx ₃⁵^x ²^x ^x ¹ ¹⁶₃

1 2 3 1

1

1 2  



 



  













 Tính

  



 ¹

1

2 x 2x 1 dx

I Ta có : x = 0 ;

2 x 1 0 1 x

2    

x 1 0

2

1 1

x(2x – 1) + 0  0 +

     

¹

2 1 3 2

2 1

0 3 2

0

1 3 2

1

2 1 2

1

0 0

1

2 2

x x 3 2 2

x x 3 dx 2 1 x 2 x dx 1 x 2 x dx 1 x 2 x

I 

 



 

 



 



 

 



 



 















  



12 17 24

5 24

1 6

I₂  7  

 . Vậy

2 5 12 2 17 3 I 16 2 I

I ₁  ₂    

14)

I =

  



1

2dx x 1 x

2 ĐS : I =

3 22

             

3 1 22 3 0

64 1 9 1

1 3

1 x 3

1 x 3 3 dx 1 1 x dx 1 x 3 dx x 1 x 2 I

1

0 0 3

1 3 1

0 1 2

1 1 2

1

2               





 



  

15)

I =





2

4 1 dx

x ĐS : I = 12

Ta có : x⁴ – 1 = 0  (x² + 1)(x² – 1) = 0  x =  1 Xét dấu x² – 1 trên đoạn [–2 ; 2]

x 2 1 1 2

x⁴ – 1 + 0  0 +



^x ¹



^dx



¹ ^x



^dx



^x ¹



^dx ²⁶₅ ₅⁸ ²⁶₅ ¹²

I ²

1 4 1

2

4         





  



16)

¹

1

I 2 x dx









Ta có : ⁰ ¹ ⁰ ¹ ⁰

  

¹²

 

¹

 

¹²



1 0 1 0 1 0

I 2 x dx 2 x dx 2 xdx 2 xdx 2 x d 2 x 2 x d 2 x

  





 



 



 



 



  



 

   

3 1 2 x 2

2 x 3 2 x 2 2 x 3 2

2 ¹

0 0

1

 









Vậy I ^{2 2 1} 3

  .

 Chú ý :

Các bạn phải chứng minh nếu muốn sử dụng hai tính chất sau :

 Nếu hàm số f(x) chẵn (f(x) = f(x)) thì



^

  

^

 







0

dx x f 2 dx x

f (tách và đặt x = t)

 Nếu hàm số f(x) lẻ (f(x) = f(x)) thì



^f

 

xdx0





(đặt x = t)

(8)

17)

⁹

1

2 2 x

I dx

x





 

Xét phương trình : 2 x0x4

 

1;9 Với ^x^²^

 

¹^;⁴ ^²^ ^x^²^ ²^⁰

Suy ra : 2 x0 với x  [1 ; 4] và 2 x0 với x  [4 ; 9]

Khi đó : ⁴

 

⁹ ⁴ ⁹ ₁⁴

 

⁹₄

1 4 1 4

2 2 x 2 2 x dx 4 1 3

I dx dx dx 2 x 4 ln x 2 x 6 ln

x x x x x 2

     

















      

Vậy 3

I 6 ln

 2.

18)

^e

1 e

I ln x dx





x ^{ĐS :}^I⁴^¹

e 1 e 1 e 1 e

1 e 1 e 1 1 e 1 1 e 1

ln x ln x ln x ln x ln x

I dx dx dx dx dx ln xd ln x ln xd ln x

x x x x x













 







 







^ln₂^x ^ln₂^x ¹

e

1 1 2

e 1 2







 Vậy I = 1.

19)

² ^x ^x

1

I e e^ 2dx







  ^{ĐS :}Î⁸ ^²^_^ê^_e¹^ ê^ ¹_e^_^^⁴

Ta có :

  



   





 







 ²

1

2 x 2 x 2

1

2 x 2 x 2

1

x x

8 e e 2dx e e dx e e dx

I

 Cách 1 :

Do

 



 



































1

; 0 x , 0 e e e

e

0

; 1 x , 0 e e e

e

2 x 2 x 2 x 2 x

Nên 4

e e 1 e e 1 2 e

e 2 e

e 2 dx e e dx e e I

2

0 2 x 2 0 x

1 2 x 2 x 2

0

2 x 2 x 0

1

2 x 2 x

8 



 



   

 







 

 







 



 







 

 







 



 ^





Vậy 4

e e 1 e e 1 2

I₈ 



 



   

 .

 Cách 2 :

Xét phương trình e²^x e^²^x 0  x = 0  (1 ; 2)

Khi đó : 4

e e 1 e e 1 2 e

e 2 e

e 2 dx e e dx e e I

2

0 2 x 2 0 x

1 2 x 2 x 2

0

2 x 2 x 0

1

2 x 2 x

8 



 



   

 







 

 







 

 







 

 







 

 ^





Vậy 4

e e 1 e e 1 2

I₈ 



 



   

 .

20)

I =





1

x dx

e

1 ĐS : I = e 2

e 1  Xét dấu trên đoạn [1 ; 1]. Ta có : 1 – e^x = 0  e^x = 1 = e⁰  x = 0

x 1 0 1

1 – e^x + 0 



¹ ^e



^dx



^e ¹



^dx _e¹ ^e ²

I ¹

0 x 0

1

x     







 



(9)

21)

I =^ln



⁴ ^ ^

0

1 x x

2 e dx

e ĐS : I =

2 e 17 5 e²  

Ta có : e^2x – e^{x + 1} = 0  x = 1. Khi x > 1 thì e^2x – e^{x + 1} >0 và khi x < 1 thì e^2x – e^{x + 1} < 0. Do đó :

   

2 e 17 5 e e

2e e 1

2 e 1 dx e e dx e e dx e e

I ²

4 ln

1 1 x x 2 1

0 x 2 1 4 x

ln

1

1 x x 1 2

0

x 2 1 4 x

ln

0

1 x x

2    



 



 

 



 



 

















^



^



^ ^ ^

22)

I =



² ^ ^

0

x dx 2 x

3 ĐS : I =

2 ln 1 1 Ta có : 3 – x – 2^x = 0  2^x =  x + 3

Nhận xét : x = 1 là nghiệm của phương trình.

Mặt khác, ta có : hàm số





biến nghịch một hàm

là 3 + x

= y

biến đồng một hàm là

2x

= y

 đồ thị hai hàm số này chỉ cắt nhau tại 1 điểm duy nhất có hoành độ x = 1

 x = 1 là 1 nghiệm duy nhất của phương trình.

x 0 1 2

3 – x – 2^x + 0 

   

²

1 x 1 2

0 x 2 2

1 1 x

0

x

2 ln

2 2 x x 2 3

ln 2 2 x x 3 dx 2 x 3 dx 2 x 3

I 



 



  

 



 



  









 

2 ln 2 2 2 ln

4 2 ln

2 2 1 2 5 2 ln

2 2 3 1 2 ln 2 4 2 6

ln 2 2

ln 2 2 3 1

I  



 



  







 



 



 



  





 



  





 



 



 







 



  





23)

I =



^

0

dx x sin x

cos ĐS : I =

3 4

Vì cos x ^{cos x} ^{khi 0} ^x ² cos x khi x

2

   

    



nên ta có : ²

0 0 2

I cos x sin xdx cos x sin xdx cos x sin xdx

  















Đặt t  sinxt² sinx2tdt cosxdx

x 0 /2 

t 0 1 0

3 4 3

t dt 4 t 4 dt t 2 dt t 2 tdt 2 . t tdt 2 . t I

1

0 1 3

0 2 1

0 2 0

1 1

0













    

24)

I =^









3 /

4 /

2

2x cot x 2 dx

tan ĐS : I =

2 ln 3



   

3 3 3 3 3

2 2

4 4 4 4 4

sin x cos x I tan x cot x 2dx tan x cot x dx tan x cot x dx tan x cot x dx dx

cos x sin x

    





  



 



 



 





3 3

4 4

cos 2x

dx 2 cot 2x dx 1sin 2x

2

 





 



^.

Do x

4 3

   nên 2x ²

2 3

    cot2x  0, x  ;² 2 3

 

 

 

 

 

3 3 3 3

4 4 4 4

sin 2x '

cos 2x 1

I 2 cot 2x dx 2 cot 2xdx 2 dx 2 dx

sin 2x 2 sin 2x

   

 



 



 



 



  ^{ln sin 2x} ^³⁴  ^ln ₂³

(10)

25)

I =^



^/² ^

0

dx 1 x sin

2 ĐS : I =

2 6 3

2 



 Ta có : 2sinx – 1 = 0 

x 6 sin6

2 x 1

sin       (vì x  [0 ; /2]

 Khi x 6

0 



 : 2sinx 1 0

2 x 1

sin    

 Khi x 2 6

 

 : 2sinx 1 0

2 x 1

sin    

   

2 6 3 2 dx 1 x sin 2 dx x sin 2 1

I ²

6 6

0



















^





26)

I = ^



 4 / 3

4 /

dx x 2

sin ĐS : I = 1

Đặt dx

2 dx dt 2 dt x 2

t    

3 / 4 3 / 2

/ 4 / 2

I sin 2x dx 1 sin t dt 2

 

 







Vì

sin x khi x sin x 2

sin x khi x 3 2

   

     



nên ta có :

       

3 /2

3 2 2

/ 2

1 1 1 1 1 1 1 1

I sin t.dt sin t.dt cos t cos t 1 0 0 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

 

 







            

27)

I =^



^/⁴ ^ ^

0

dx x 3 x sin 2 x

tan ĐS : I =

32 2 3 2 2 2ln

1    ² Xét hàm số f(x) = tanx + 2sinx – 3x

x cos

x cos 3 x cos 2 3 1

x cos x 2

cos ) 1 x ('

f  ₂     ³ ₂ ²



         

₀

x cos

1 x cos 2 1 x cos x

cos

1 x cos x cos 2 1 x cos x

cos

1 x cos 3 x cos x 2

'f  ³  ₂ ²    ₂²     ² ₂  

 ,  _^{ }_^

;4 0 x

 f(x) luôn tăng trên 

 

;4

0

Bảng biến thiên :

x 0 /4

y ’ +

y

0

Dựa vào bảng biến thiên, ta có : f(x)  f(0) = 0  tanx + 2sinx – 3x  0, x  _^{ }_^

;4 0

Khi đó :

 

⁴

0 4 2

0 4

0 2

x x 3

cos 2 x cos ln dx x 3 x sin 2 x tan I



 















^ ¹₂^{ln 2}^ ²^{ }² ³₃₂^²

x ₄^ ^3₄

t ₂^ ^3₂

(11)

28)

I =^



^/² ^

0

dx x x

sin ĐS : I = 1

8

2

  Xét hàm số f(x) = sinx – x với _^{ }_^

;2 0

x  f ’(x) = cosx – 1  0,  _^{ }_^

;2 0 x x 0 /2

y ’ –

0

y

Dựa vào bảng biến thiên, ta có : f(x)  f(0) = 0  sinx – x  0,



 



x 0;2

Khi đó :

 

1

x 8 2 cos dx x

x sin x

I ²

2

0 2 2

0

 

 



 



 







 



29)

I =²



^ ^

0

dx x 2 cos

1 ĐS : I =4 2

Ta có : 1cos2x 2sin²x 2sinx ^ ^²



^

0

dx x sin 2 I

Vì 













 

2 x khi x sin

x 0 khi x x sin

sin nên ta có :

   



^cos^x ^cos^x



²



² ²



⁴ ²

2 xdx sin xdx

sin 2

I ² ₀ ²

0













 



 

 ^ ^ _^





30)

I =

0

1 sin 2x dx





 ^{ĐS : I =}^{2 2}

 Chú ý :

sinx + cosx = 2sin 



 



 

 4

x = 2cos 



 



 

4

x

sinx – cosx= 2sin 



 



 

 4

x = – 2cos 



 



 

 4 x

 cosx – sinx= – 2sin 



 



 

x 4 = 2cos 



 



  x 4

Ta có :

 

² ²

0 0 0 0

I 1 sin 2xdx sin x cos x dx 2 cos x dx 2 cos x dx

4 4

        





 



 



    



  

Đặt t x dt dx

4

   

x 0 

t 4

 5

4



5 4 2 5 4

2 5 4

4 2

4 4 2

I 2 cos t dt 2 cos tdt 2 cos tdt 2 sin t 2 sin t

    

 

  

 











  ^ ^{2 1}^^ ^ ₂²^^^ ²^^^ ₂²^{ }¹^^ ^{2 2}

31)

I =²



^ ^

0

dx x sin

1 ĐS : I =4 2



 



^ ^ ^ ^ ^_^ ^ ^_^ ^ ^ ^_^ ^_^ ^^^_^^_^ ^ ^ ^_^ ^^^_^ ^ ^ ^_^ ^^^_^



2

0 2

0

2 2

0

2

0 2 2 2

0

4 dx 2 sin x 2 4 dx

2 sin x 2 4 dx

2 sin x 2 2 dx

cosx 2 sinx dx

x sin 1

I

(12)

Đặt dx 2dt dx 2

dt x 4 2

t x    . Khi x = 0 

t 4 ; khi x = 2  4 t 5

 ⁵ ^/⁴ _/₄ ⁵ ^/⁴

4 / 4

/ 5

4 / 2

0

x cos 2 2 x cos 2 2 dx sin 2 2 dx sin 2 2 dt t sin 2 2 4 dx

2 sin x 2

I ^_ _^













 



 



 





   

2 4 2 2 1 1 2 2 2 1

2 2 2 2

1 2 2 2 x

cos 2 2 x cos 2

2 _/₄ ⁵ ^/⁴     





 









 









 ^_ _^

32)

I =



^ ^

0

dx x sin

1 ĐS : I =⁴



²^¹





^ ^ ^^ ^_^ ^ ^_^ ^^ ^_^ ^_^ ^^^_^^_^ ^ ^ ^_^ ^^^_^



0 0

2

0

2

0

4 dx 2 sin x 2 4 dx

2 sin x 2 2 dx

cosx 2 sinx dx

x sin 1 I

Đặt dx 2dt dx

2 dt 1 4 2

tx   

x 0 

t ^₄^

4



4 0 0

4 4

0 0

4 4

4

t cos 2 2 t

cos 2 2 tdt sin 2 2 tdt sin 2

2 dt t sin 2 2 dt 2 . t sin 2

I ^



























   



² ¹



4 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1

2 2 2 2

1 2 2 2

I        





 









 





33)

I =¹⁰⁰



^ ^

0

dx x 2 cos

1 ĐS : I =200 2

Ta có : 1cos2x 2sin²x 2sinx ^ ^¹⁰⁰



^

0

dx x sin 2 I



^









100

99 99

98 2

0

dx x sin 2 dx

x sin 2 ...

dx x sin 2 dx

x sin 2 I

Vì 













 

2 x khi x sin

x 0 khi x x sin

sin nên ta có :



^

