Đoàn Ngọc Dũng -

(1)

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

I. CÁC HÀM SỐ y = sinx VÀ y = cosx

Hàm số y = sinx Hàm số y = cosx

 Có tập xác định là R.

 Có tập giá trị là [–1 ; 1].

 Là hàm số lẻ.

(Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng)

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2.

 Đồng biến trên mỗi khoảng _



 



  k2

; 2 2 2 k

 Nghịch biến trên mỗi khoảng _



 



    2 2 k

;3 2 2 k

 Có đồ thị là một đường hình sin.

 Có tập xác định là R.

 Có tập giá trị là [–1 ; 1].

 Là hàm số chẵn.

(Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng)

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2.

 Đồng biến trên mỗi khoảng



^^^^k²^^;^k²^



^{, kZ}

 Nghịch biến trên mỗi khoảng



k2;k2



, kZ

 Có đồ thị là một đường hình sin.

II. CÁC HÀM SỐ y = tanx VÀ y = cotx

Hàm số y = tanx Hàm số y = cotx

 Có tập xác định là D1 = R\







   Z k 2 k

 Có tập giá trị là R.

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ .

 Đồng biến trên mỗi khoảng _



 



  k

;2 2 k

 Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x =   2 k (k  Z) làm một đường tiệm cận.

 Có tập xác định là D2 = R\k  k  R

 Có tập giá trị là R.

 Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ .

 Nghịch biến trên mỗi khoảng



k;k



 Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = k (k  Z) làm một đường tiệm cận.

A. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

BÀI 1 : Từ đồ thị của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị : 1^SGK) y = –sinx

2^SGK) y =  sinx  3^SGK) y = sin x 

 Hướng dẫn : 1) y = sinx

Đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [ ; ]

Đồ thị hàm số y = sinx và đồ thị y = sinx đối xứng nhau qua trục Ox.

(2)

2) y₁ sinx

Gọi (C1) là đồ thị của hàm số y sinx

Ta có : y₁ sinx0  (C1) nằm ở phía trên trục Ox 









 

0 y khi y

0 y khi y₁ y

Do đó (C1) suy từ (C) như sau :

 Phần của (C) ở phía trên trục Ox thì giữ nguyên.

 Phần của (C) ở dưới trục Ox thì bỏ đi và lấy đối xứng của phần này qua trục Ox.

3) y₂sinx

Gọi (C2) là đồ thị của hàm số ysinx

 x  0  x = x  y2 = y  đồ thị hàm số ysinx trùng với đồ thị hàm số y = sinx khi x  0

 f(x) = sinx sinx = f(x)  hàm số y2 là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số y2 đối xứng nhau qua trục Oy

 Phần của (C) bên phải trục Oy giữ nguyên.

 Phần của (C) bên trái trục Oy thì bỏ đi và lấy phần đối xứng của phần bên phải của (C) qua trục Oy.

B. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) f(x)

y 1 được xác định 



 

tại tồn ) x ( f

0 ) x ( f

2) y²ⁿf(x) được xác định 



 

tại tồn ) x ( f

0 ) x ( f

3) Hàm số y = sinx và y = cosx xác định trên R. Do đó:

 ^y^^sin



^f⁽^x⁾



được xác định  f(x) xác định.

 ycos



f(x)



được xác định  f(x) xác định.

4) Hàm số y = tanx xác định trên







   Z k

| 2 k

\ R

 y = tan[u(x)] xác định













 

Z k

; 2 k ) x ( u

) x (

u xácđịnh

5) Hàm số y = cotx xác định trên R\



k|kZ



 y = cot[u(x)] xác định









 

Z k

; k ) x ( u

) x (

u xácđịnh

BÀI 2 : Tìm tập xác định của các hàm số sau :

1) tanx

y 1 ĐS :







  

 |k Z

2

\ k R D 2^SGK)

x cos 1

x sin y 1



  ĐS : D = R\



k2|kZ



3) ² x²

sin 4

y  

 ĐS :  _^^ ^_^

;2

D 2

4) ycos x ĐS : ^D^



⁰^;^^



5^SGK) ytan_^2x^_^ ĐS : _^   _^

 

 k |k Z

\ R D

(3)

6) y = cot2x ÑS :







  

 |k Z

2

\ k R D

7) 







x 3 cot

y 1 ÑS :







   

 |k Z

3

;k 3 k

\ 6 R

D

8) cot



3x 2



1 y 1



  ÑS :







       

 |k Z

3 k 3

;2 3 k 12 3

\ 2 R

D

9) sinx 1

x y cot

  ÑS :







   

 k2 ;k |k Z

\ 2 R

D

10) cos x

x cos

y 1 ₂ ÑS :







  

 k2 |k Z

\ 2 R D

11) _



 







 

4 x 2 sin 3

y ÑS : D = R\

 

2

12^SGK) y = 3sinx ÑS : D = R

13) 2 cosx

y 1

  ÑS : D = R

14) y = 1sin(x²)1 ÑS : D = R

15)y 1cos2019x ÑS : D = R

16) y = cosxsinx ÑS : D = R

17) y =sin x²3x4 ÑS : D =



^^^;^⁴

 

^¹^;^



18) cos 9 x²

2 x sin 1

y  

  ÑS : D =



3;3



\

 

2

19) ²^cos



¹ ^x²



2 x sin 1 3

y  

  ÑS : D =



^2;^^



20) 1 2sinxcosx y 1

  ÑS : D = R\







   Z k

| 4 k

21) y = tan x  ÑS : D = R\







   Z k

| 2 k 22^SGK) y =

x x sin

cos 1

ÑS : DR\



k|kZ



23) y =

x sin 1

x tan

 ÑS : D = R\







   Z k

| 2 k

24)

 

x cos x 2 cos

2 x y sin



  ÑS :







  

 |k Z

3 2

\ k R

D

25) y = tanx + cotx ÑS :







  

 |k Z

2

\ k R D

26) sinx cosx y 1

  ÑS : D = R\







   Z k

|

4 k

27) sin x cos x

y ₂ 1 ₂

  ÑS : D = R\







   Z k 2 | k

4

28) sin3x sinx x cos 2 y 1



  ÑS :







  





 |k Z

2 k

; 4 k

\ R

D

29) 1 sin3x x cot y 1

2



  ÑS :







    

 |k,n Z

3 2 n

;6 k

\ R D

(4)

30) 3sin2x cos2x x 2 y tan

  ĐS :







     

 |k Z

2 k

;12 2 k

\ 4 R D

31) _



 



 



 



 

 .cot x 3

x 4 tan

y ĐS :







     

 k |k Z

;3 4 k

\ 3 R

D

32) ytan3x.cot5x ĐS :







   

 |k,n Z

5

;n 3 k

\ 6 R

D

33)

x 2 cos x 2 sin 3

x 2 y tan

  ĐS :







    

 /k Z

2 k 12

;5 2 k

\ 4 R D 34)

3 2 x cos 3 x tan 2 x sin y 1





  ĐS :







    

 k / k Z

; 2 3 k

\ R D

35)

x cos 1

x sin y 2



  ĐS : DR\



k2|kZ



36)



 



 



 

x 3 sin 1

x 5 cos 2

y 3 ĐS :







  

 k2 |k Z

\ 6 R D

37*) y tan cos x 2

 

   ĐS : ^D^^{R \ h2 ;}



^{  }^{h2 | h}^ ^^Z



38*) Tìm m để hàm số y 2m1cosx xác định trên R. ĐS : m  0.

39*) Tìm m để hàm số 2cos4x m

1

y m  xác định trên R. ĐS : –1  m < 0.

40*) Tìm m để hàm số

1 x cos m

x 2 sin y 2



  có tập xác định là R ĐS : 2.

41*) Số giá trị nguyên của m để hàm số y 1m²2msinx xác định trên đoạn



 

;2

0 ĐS:–1 < m < 1 C. HÀM SỐ TUẦN HOÀN

Các hàm số y = sinx, y = cosx là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2; các hàm số y = tanx, y = cotx là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ .

 Tổng quát : Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T  0 sao cho với mọi x  D ta có : x + T  D, x – T  D và f(x + T) = f(x). Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn vơi chu kỳ T.

 Các hàm y = sin(ax + b) ; y = cos(ax + b) với a  0 có chu kỳ cơ sở a T2

 Các hàm y = tan(ax + b) ; y = cot(ax + b) với a  0 có chu kỳ cơ sở T a BÀI 3 : Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ cơ sở của các hàm số sau :

1) y = sinx ĐS : Chu kỳ T = 2. 2) y = tanx ĐS : Chu kỳ T = .

3) y = sin²x ĐS : Chu kỳ T =  4) y = sin⁶x + cos⁶x ĐS : Chu kỳ

2 4

T 2 



 5) y = cos3x(1 + cosx) ĐS : Chu kỳ T = 2 6) y = xcosx ĐS : không tuần hoàn.

7) ycos x ĐS : không tuần hoàn. 8) y = 2cosx – cos2x ĐS : Chu kỳ T = 2

9) y = sin²⁰x + cos²⁰x ĐS : Chu kỳ T 2

 10) 1

3 2 cot x

y 



 



 





 ĐS : Chu kỳ T = 2

11) ycos²xtan



2x



ĐS : Chu kỳ T = . 12) y2cos²xsin²2x ĐS : Chu kỳ T = .

13) Tìm m để hàm số    2x3 1sin

) 1 x 2 cos(

y , m  N* tuần hoàn với chu kỳ là 3. ĐS : m = 3.

(5)

D. XÉT TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

 Hàm số y = f(x) chẵn trên D

 

   





















 

D x , x f x f

xứng đối tập D

x D x

 Hàm số y = f(x) lẻ trên D _^^

 

 

 

 









 

D x , x f x f

D x D x Một số tập đối xứng thường gặp là:

D = R ; D = R \ {0} ; D = (–2 ; 2) ; D = [–2 ; 2] ; (– ; –1)  (1 + ) ; (– ; –1]  [1 + ) ; …







  

 k / k Z

\ 2 R

D ;







  

 k /k Z

\ 2 R

D ; D = R \ {k, k  Z} ; …

 Chú ý : Hàm số f(x) không chẵn, cũng không lẻ trên D nếu :

 Hoặc x0  D nhưng x0  D

 Hoặc x0  D sao cho

   





















0 0

0

x f x f

D x

 Chú ý :  A  A  (a)²ⁿ = a²ⁿ

Tính chất : _ Tổng hai hàm chẵn là một hàm chẵn và Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn.

_ Tổng hai hàm lẻ là một hàm lẻ và Tích của hai hàm lẻ là một hàm chẵn.

_ Tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.

BÀI 4 : Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau :

1) y = 2x – sin3x ĐS : hàm lẻ 2) y12x²cos3x ĐS : hàm chẵn 3) y = 3sinx – 2 ĐS : không chẵn, không lẻ 4) ysinxcos²xtanx ĐS : hàm lẻ 5) y = sinx – cosx ĐS : không chẵn, không lẻ 6) ytanxsin2x ĐS : hàm lẻ

7) 



 



 



 2x

2 cos 5 x sin 2

y ĐS : hàm chẵn 8) x

2 x 3 2 cos x

y 



 



  

 ĐS : hàm lẻ

9)y cosxvới _^^ ^_^

;2

x 2 ĐS : hàm chẵn 10) y sinxx ĐS : hàm chẵn

11) yx²xcosx1 ĐS : không chẵn, không lẻ 12) yx²sinx ĐS : hàm lẻ 13) cosx

y x ĐS : hàm lẻ 14) y4x²sin 3x ĐS : hàm lẻ

15) ytanx2cos3x ĐS : không chẵn, không lẻ 16) ysinxcos²xtanx ĐS : hàm lẻ

17) y = – 2sinx ĐS : hàm lẻ 18) y = tan x  ĐS : hàm chẵn

19) y = cos 



 

  4

x  ĐS : không chẵn, không lẻ 20)

x cos 1

x y tan ₂

  ĐS : hàm lẻ

21) y = sinx.sin2x ĐS : hàm chẵn 22) y = x + sinx ĐS : hàm lẻ

23) sinx

y 1 ĐS : hàm lẻ 24) y = cotx – sin5x ĐS : hàm lẻ

25) _



 

 

 x

tan 2

y ĐS : hàm lẻ 26)

x cos

x tan x

ysin  ĐS : hàm lẻ 27) ysin³x.cotx ĐS : hàm chẵn 28) ysin x² 1 ĐS : hàm chẵn 29) y = cotx – 1 ĐS : không chẵn, không lẻ 30) ysinx.cosx ĐS : hàm chẵn

31)

 

x 2 cos 2

3 x tan 5 2 x

cos 5 2

y 









 



 

 ĐS : hàm lẻ 32)

x 2 cos

x 2 sin

y x ₃ ĐS : hàm lẻ

(6)

E. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

 DẠNG 1 : Sử dụng tập giá trị của hàm số lượng giác

–1  sinx, cosx  1 ; 0  sin²x, cos²x  1 ; 0   sinx ,  cosx  1.

 sin²x  1  sin⁴x  sin²x mà sin²x  1 nên sin⁴x  1

nhân hai vế cho sin²x, ta có : sin⁶x  sin²x mà sin²x  1 nên sin⁶x  1 nhân hai vế cho sin²x, ta có : sin⁸x  sin²x .

Tương tự : cos¹²x  cos²x

 sinx  1  sin³x  sin²x mà sin²x  1 nên sin³x  1

nhân hai vế cho sin²x, ta có : sin⁵x  sin²x mà sin²x  1 nên sin⁵x  1 Tiếp tục như vậy, ta có : sin⁷x  sin²x

Tương tự : cos¹¹x  cos²x

Từ trên, ta có:  cosx   1   cosⁿx   cos²x  sinx   1   sinⁿx   sin²x

Vậy  cosⁿx + sinⁿx    cosⁿx  +  sinⁿx   cos²x + sin²x = 1 BÀI 5 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

1^SGK) y = 2sin2x + 3 ĐS : 1  y  5

2^SGK) y = 1 – 2 sin3x  ĐS : –1  y  1 3^SGK) y = sinx với _^ ^ ^_^

4

;7 4

x 5 ĐS :

2 y 2 1 

 4^SGK) y = cosx với  _^



 

 ;3

x 3 ĐS : y 1

2 1  

5^SGK) y = 2cos 3

x 3



 



  ĐS : 1  y  5

6^SGK) y = 



 



  

 3

x 2 sin x

sin ĐS : –1  y  1

7) 2019

2020 x 10 8 cos 2020

y 



 



 



 ĐS : –1  y  4039

8) y2cos²x2 3sinxcosx1 ĐS : 0  y  4 9) y =

3 x cos 4

1 ² ĐS :

3 1 y 

3 5 10) y = 3 – 4sin²xcos²x ĐS : 2  y  3

11) y = 2sin²x – cos2x ĐS : –1  y  3

12^SGK) y = 1sin(x²)1 ĐS : –1  y  2– 1

13^SGK) y = 4sin x ĐS : – 4  y  4

14) sin x 2sinx 2 y ₂ 1



  ĐS : y 51

5 1 

15^SGK) y = sin⁴x + cos⁴x ĐS : y 1

2

1  

16) y = sin⁷x + cos¹¹x ĐS : –1  y  1

17) y = 3sin¹⁰x – 4cos⁸x ĐS : –4  y  3

(7)

 DẠNG 2 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = asinx + bcosx (a và b là hằng số, a² + b² 0)

Ta có : y = asinx + bcosx = 



 





 

  cosx

b a x b sin b a b a

a 2 2 2 2

2 2

Đặt



^Do^cos ^sin ¹



b a sin b

b a cos a

2 2

2

2  









 



 



Khi đó : y a² b²



cos.sinxsin.cosx



 a² b².sin



x



Vì 1  sin(x + )  1  a²b²  a²b².sin



x



 a²b²

 giá trị lớn nhất là a²b² và giá trị nhỏ nhất là  a²b² Ví dụ :

1) y = sinx + cosx có GTLN là 2và GTNN là  2vì : 2 x cos x sin 2 1

1 x cos x sin 1

1² ²    ² ²    



2) y = 8sinx + 6cosx có GTLN là 10 và GTNN là –10 vì :

10 x cos 6 x sin 6 y 10 6

8 x cos 6 x sin 6 y 6

8²  ²     ² ²     



 Chú ý : Tại sao ta có thể đặt









 



 



2 2

b a sin b

b a cos a

được ?

Ta có : 1

b a

b a b a

b b

a a b

a b b

a a

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2

2 



 

 

 



 





 



 







 Tồn tại một điểm M có tọa độ M 

 







 ² ² ²

2 a b

; b b a

a thuộc đường tròn lượng giác.

 Có một số  thỏa thỏa









 



 



2 2

b a sin b

b a cos a

Do đó, ta có : yasinxbcosx a²b²



cossinxsincosx



 a²b².sin



x



BÀI 6 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

1) y = sinx + cosx ĐS : – 2 y  2

2) y = 8sinx + 6cosx ĐS : –10  y  10

3)y(2sinxcosx)(2cosxsinx) ĐS :

2 y 5 2 5 



4^SGK) y = 4cos2x – 3sin2x + 6 ĐS : 1  y  11

5)ysin²xsinxcosx3cos²x ĐS: 2

2 y 5 2 2

5    



(8)

 DẠNG 3 : Phương pháp dùng bảng biến thiên Xét hàm số f(x) = ax² + bx + c (a  0)

Khi a > 0 Khi a < 0

x –

a 2

 b + x –

a 2

 b +

+ + _



 



a 2 f b

f(x) f(x)



 



a 2

f b – –

Khi đặt sinx = t hoặc cosx = t thì t  [–1 ; 1]. Khi đó xảy ra một trong hai trường hợp sau :

–1 1 –1 1 –1 1

( ) hoặc ( ) ( )

a 2

 b

a 2

 b a 2

 b

BÀI 7 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

1) y = sin²x + cosx + 2 ĐS : 1  y  13/4

2) y = cos²x – 4cosx + 3 ĐS : 0  y  8

3) y = sin²x – sinx + 2 ĐS : 7/4  y  4

4) y = sin²x – sinx + 2 với _^^ ^_^

;6

x 6 ĐS :

4 y 11 4 7 

5) y2cos²x2 3sinxcosx1 với



 

 12

;7 0

x ĐS : 0  y  3

6) y = sin⁴x – 2cos²x + 1 ĐS : 1  y  13/4

 DẠNG 4 : Tìm miền giá trị của hàm số.

Ngoài phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Max, min ta có thể dùng phương pháp tìm miền giá trị của hàm số hay dùng bất đẳng thức.

Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x), ta chú ý hai tập hợp :

D = x  R / y tồn tại thì D được gọi là tập xác định của hàm số.

T = y  R / phương trình f(x) = y (ẩn số x) có nghiệm thì T được gọi là tập giá trị của hàm số.

y0 thuộc miền giá trị của hàm số y = f(x), x  D khi và chỉ khi phương trình f(x) = y0 có nghiệm x

 D. Chẳng hạn, hàm số y = x² – 3x + 3 ta có y0 = 1 thuộc miền giá trị vì phương trình x² – 3x + 3

= 1 hay x² – 3x + 2 = 0 có nghiệm x1 = 1 ; x2 = 2. Còn lấy y0 = –1 thì phương trình x² – 3x + 3 = –1

 x² – 3x + 4 = 0 vô nghiệm, nên y0 = –1 không thuộc miền giá trị của hàm số.

 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : asinx + bcosx = c

Biểu thức có dạng : asinx + bcosx = c nên phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm  a² + b²  c². BÀI 8 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

1) 2sinx cosx 3 3 x cos 2 x y sin



  ĐS : y 2

2 1   2) y =

x x cos 2

sin 1 3

  ĐS : 1 3y1 3



 

(9)

3) y =

x cos 2

x sin 1



 ĐS : 0  y 

3 4

4) 2 cosx

3 x cos 2 x y sin



  ĐS : y 2

3 2 

5) 2cosx sinx 4 3 x sin 2 x y cos







  ĐS : y 2

11 2  

F. MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

BÀI 9 : Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức 12

4 8 cos t 3

h 



 



 

 

 . Mực nước của

kênh cao nhất khi mấy giờ? ĐS : 14 (giờ)

BÀI 10 : (SGK) Số giờ có ánh sáng của một thành phố A ở vĩ độ 40 bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi một hàm số



t 80



12

sin 182 3 ) t (

d 

  

 , với t  Z và 0 < t  365.

a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

ĐS : a) ngày thứ 80 và ngày thứ 262; b) 9 giờ, ngày thứ 353 trong năm ; c) 15 giờ, ngày thứ 171 trong năm BÀI 11 : (SGK) Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-

na-vơ-ran (Canaveral) ở Mỹ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng (quanh đường xích đạo) của mặt đất như hình bên: điểm M mô tả cho con tàu, đường thẳng  mô tả cho đường xích đạo. Khoảng cách h (km) từ M đến  được tính theo công thức

d

h , trong đó  _^ 



t10



_^

cos 45 4000

d , t (phút) là thời gian trôi qua

kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, d > 0 nếu M ở phía trên , d < 0 nếu M ở phía dưới .

a) Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi Ca-na-vơ-ran (tức là ứng với t = 0).

Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng , trong đó C là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca- na-vơ-ran.

b) Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = 2000.

c) Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có d = –1236.

ĐS : a)  3064,178 (km) ; b) t = 25 phút ; c) t = 37,000 phút.

BÀI 12 : (SGK) Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m ; trục của nó đặt cách mặt nước 2,5m như hình vẽ minh họa. Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính

theo công thức h d , trong đó _



 



 



 

 





 4

x 1 2 sin 5 , 2 2

y , với x là thời gian quay

của guồng (x  0), tính bằng phút ; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở bên trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước. Hỏi:

a) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất? ĐS : 0 phút, 1 phút, 2 phút, 3 phút, …

b) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất? ĐS : 0,5 phút, 1,5 phút, 2,5 phút, 3,5 phút, … c) Chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tiên khi nào? ĐS : 0,25 phút

(10)

BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

BÀI 1 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = sin2x trên đoạn



 

;2 2

 Hướng dẫn : Bảng biến thiên :

x

2

 4

 0 4

 2

 2x –

2

 0

2

 

0 1

y = sin2x 0 0

–1 Hàm số đồng biến trên khoảng _



 



 

; 4 4 . Hàm số nghịch biến trên các khoảng _



 



 

; 4

2 và _



 



 

;2 4 .

 Chú ý : Dùng máy tính để kiểm tra đồng biến, nghịch biến của hàm số lượng giác:

Chuyển sang chế độ radian : SHIFT + MODE + 4

MODE 7 f(X) = Start? – End?  Step? 2 : 24

   3,1415  1,571 2 

  0,7854

4 

  2,3561

4

3  4,7123

4 6

 5,4977 4

7 ^ 2  6,2831 ^ 0,866

2

3  ^ 0,7071

2 2 

 Chú ý : Ngoài ra ta có thể kiểm tra như sau:

Bước 1 : Chuyển sang chế độ radian : SHIFT + MODE + 4

Bước 2 : Bấm SHIFT + dấâu tích phân và nhập



sin(2X)



x :2 0.1 dx

d    –1.960133156  HSNB

Bước 3 : Chỉnh sửa lại



^sin(²^X⁾



^x ^:⁴ ⁰^.¹

dx

d    0.3973386616  HSĐB



^sin(²^X⁾



^x ⁰ ⁰^.¹

dx

d    1.960133156  HSĐB



^sin(²^X⁾



^x ⁰ ⁰^.¹

dx

d    –0. 3973386616  HSNB

BÀI 2 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên đoạn _^^ ^_^

; 2 2

x

2

 4

 0 4

 2

 2x –

2

 0

2

 

0 2

y = 2sin2x 0 0

–2

(11)

Hàm số đồng biến trên khoảng _



 



 

; 4

4 . Hàm số nghịch biến trên các khoảng _



 



 

; 4

2 và _



 



 

;2 4 . BÀI 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = sinx trên đoạn



  4

;7 4 Bảng biến thiên :

x 4

 2

 4

3  4

5

4 6

4 7

1

y = sinx

2

2 2

0

2

 2

2

 2 –1 Hàm số đồng biến trên các khoảng _



 



 

; 2

4 và _



 



   4

;7 4

6 .

Hàm số nghịch biến trên khoảng _



 



  4

;6

2 .

BÀI 4 : Lập bảng biến thiên của hàm số sin2x x 6

6 cos x sin 4

y 



 



 



 



 

 trên một chu kỳ của nó. Từ đó

suy ra sự biến thiên trên toàn trục số của nó.

 Hướng dẫn :

Ta có : sin2x y sin2x 3

sin3 x 2 sin 2 x 2 6 sin x 6 cos x sin 4

y    



 



  







 



 



 



 



Do đó hàm số đã có chu kỳ 



 2

2 a

T 2 nên ta xét sự biến thiên trên đoạn [0 ; ].

Bảng biến thiên :

x 0 4

 2

 4

3  2x 0

2

 

2

3 2

1 3

3 x 2 sin

y  3 3 3

1 3 Hàm số đồng biến trên các khoảng _



 



 

; 4

0 và _



 



   4 ;

3 .



 



  4

;3

4 .

BÀI 5 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = 1 – sinx trên đoạn



;



x –

2

 0 2

 

2

y = 1 – sinx 1 1 1

0

(12)

Hàm số đồng biến trên các khoảng _



 



 

; 2 và _



 



 

2; . Hàm số nghịch biến trên khoảng _



 



 

;2 2 . BÀI 6 : Lập bảng biến thiên của hàm số

2 cosx

y trên đoạn



;



x –

2

 0 2

 

1

2 cosx

y

2 2

0 0 Hàm số đồng biến trên khoảng



^^^;⁰



^.

Hàm số nghịch biến trên khoảng



0;



.

BÀI 7 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = cos2x trên đoạn



  2

;3 2

x

2

 0 2

  2 3

2x – 0  2 3

1 1

y = cos2x

–1 –1 –1

Hàm số đồng biến trên các khoảng _



 



  ;0

2 và _



 



  2; . Hàm số nghịch biến trên các khoảng _



 



 

;2

0 và _



 



 

 2

;3 .

BÀI 8 : Lập bảng biến thiên của hàm số y3cos2x trên đoạn

 

0;

x 0 4

 2

 4

3  2x 0

2

 

2

3 2

3 3

y3cos2x 0 0

–3

Hàm số đồng biến trên khoảng 



 



  2; . Hàm số nghịch biến trên khoảng _^ ^_^.

(13)

BÀI 9 : Lập bảng biến thiên của hàm số _



 



 

2cos 2x 3

y trên đoạn



   12

;7 12 5

x

12

5

6

 12

 3

 12 7

x 3

2  

2

 0 2

 

2

3

2



 



 

2cos 2x 3

y 0 0 0

–2 Hàm số đồng biến trên các khoảng _



 



 

 

 ; 6 12

5 và _



 



  12

;7

3 .



 



 

;3 6 .

BÀI 10 : Lập bảng biến thiên của hàm số 2 x 3

2 cos 2

y 



 



 



 trên đoạn



  12

;7 0

2 3 x 3

3 2 3 6 7 x 3

3 2 6 x 7 2 12 0

x 7 12 0

;7 0

x            

 





x 0 12

 3

 12

7

x 3

2   3

 2

 

2

3

3

2

x 3 2 cos 2

y 



 



 

 2 2

0

Hàm số đồng biến trên khoảng _



 



  12

;7

3 .



 



 

;3 0 .

------

(14)

TRẮC NGHIỆM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

(15)

(16)

II. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ

(17)

III. TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

(18)

Câu 19. Hàm số sau

x 2 cos

x 2 sin

y x ₃ là hàm số

A. Là hàm số không chẵn, không lẻ. B. Là hàm số lẻ.

C. Là hàm số chẵn. D. Đồ thị đối xứng qua Ox.

Câu 20. Hàm số sau

 

x 2 cos 2

3 x tan 5 2 x

cos 5 2

y 









 



 

 là hàm số

A. Là hàm số không chẵn, không lẻ. B. Là hàm số lẻ.

C. Là hàm số chẵn. D. Đồ thị đối xứng qua Ox.

IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

(19)

Câu 10. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2sin²x + 3sin2x – 4cos²x.

Câu 11. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = sin²x + 3sin2x + 3cos²x.

(20)

(21)

Câu 34. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y3(3sinx4cosx)²4(3sinx4cosx)1

Câu 35. Giá trị lớn nhất của hàm số y = cos⁴x + sin³x trên R là:

A. 2 B. 2 C. 1 D. 0

Câu 36. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 12cosx – 5sinx trên R:

A. 7 B. 13 C. 17 D. 12

Câu 37. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4sin2x – 6cos²x + 3 là:

A. 7 B. 1

C. 5 D. Không có giá trị nhỏ nhất

Câu 38. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 9sin x sin x 1²₂ y 9sin x sin x 1

 

   trên đoạn 0 ;

6

 

 

  là :

A. 1 ; 0 B. 1 ; 1/3 C. 3/2 ; 1 D. 3/2 ; 1/3

Câu 39. Cho hàm số y 3cosx4sinx8 với x  [0 ; 2]. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Khi đó tổng M + m bằng bao nhiêu ?

A. 8 2 B. 7 3 C. 8 3 D. 16

Câu 40. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos2x + sinx là:

A.

9

8 B. 0 C.

8

7 D. 1

Câu 41. Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ycosx



1sinx



trên đoạn [0 ; 2] là :

A. 0 B. –1 C.

3

5 D.  5 Câu 42. Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 x cos x sin

1 x cos 2 x y sin



  là :

A. 0 B. –1 C. –2 D.  2

Câu 43. Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 x cos

1 x cos x cos y 2

2



  là :

A. 0 B. 1 C. 2 D. 2

Câu 44. Đặt m là giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 x sin x sin

1 x y ₂sin



  . Tìm m?

A.

3

m1 B. m = 1 C. m = 0 D.

3 m 2 Câu 45. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)2sin²x4sinx3.

A. –5 B. –3 C. –6 D. –1

Câu 46. Đặt m là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)sinx2cos²x2. Tìm m?

A.

8

m1 B. m = –3 C. m = –1 D.

4 m 1

Câu 47. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 x cos

1 x cos x cos ) 2

x ( f

2



  .

Tìm giá trị của biểu thức P = M + m?

A. P = 3 B. P = 2 C. P = 4 D. P = 5

(22)

Câu 48. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sinxcosx 3 2

x 3 cos x sin ) x (

f  ⁴  ⁴   .

A. P = 5 B. P = 2 C. P = 3 D. P = 7

Câu 49. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x)sinxcosx2sinxcosx2. Tìm giá trị của biểu thức P = M + m?

A.

4 2 4

P5 B.

4 2 4

P5 C.

4 2 2

P1 D.

4 2 4 P15

Câu 50. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 x sin x sin

1 x sin 5 x ) sin x (

f ₂

2







  .

A. P = –1 B. P = –2 C. P = 1 D. P = 3

---- HẾT ----

ĐÁP ÁN TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án D D C C A D D B B A

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án C C D B D A B A D D

ĐÁP ÁN TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án B A D D A C C B D D

Câu 11 12 13 14

Đáp án B A B B

ĐÁP ÁN TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án C D D A A C D A B D

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án C B D B B A A C B B

ĐÁP ÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án A D A B A A D C A B

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án A C C A A D D C D D

Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Đáp án B A D C D C A B B D

Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Đáp án D D C C C B B D B C

Câu 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Đáp án B C C C A B A D D B