Đoàn Ngọc Dũng -

(1)

SỐ PHỨC

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

 VẤN ĐỀ 1 : BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SỐ PHỨC BÀI 1 : Cho i

2 3 2

z1 . Tính:  z  ; –z ; z ; z

1 ; z² ;

 

^z ³; 1 + z + z² ; zz ; zz ; z.z ; z z. BÀI 2 : Thực hiện các phép tính sau:

1) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i) 2)

) i 3 2 )(

i 1 (

i 5





3) ii²i³...i⁹⁹i¹⁰⁰ 4) 1 (1 i) (1 i)    ² (1 i)³  ... (1 i)²⁰¹⁴ ĐS : 1) 10 ; 2) 12/13 + 5/13i ; 3) 10 ; 4) –2¹⁰⁰⁷ + (1 – 2¹⁰⁰⁷)i

BÀI 3 : Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết:

1) 1 i 3

i ) 3 3 4 ( 3 3 z 4







  2) 1 i tan

z 1 i tan

 

   3) 



 

 

 ⁷ ₇

i i 1 i 2

z 1

4) z.zz²(z2z)103i 5) ^z^

 

¹^ⁱ ^z^

 

¹^²ⁱ² ⁶⁾⁽¹^ⁱ⁾²⁽²^ⁱ⁾^z^⁸^ⁱ^⁽¹^²ⁱ⁾^z ^{(CĐ 2009)}

7) (23i)z(4i)z(13i)². (CĐ 2010) 8) z( 2i)²(1 2i) (ĐH A 2010)

9)

3

i 1

3 i

z 1 











  (ĐH B 2011) 10)

i ) 1 i 3 2 )(

i 3 2 ( ) i 1 i ( 1

i

z 1 ¹⁰

33









 



 







 

ĐS : 1) 4 và 3; 2) cos2 và sin2; 3) –1 và 0 ; 4) (2 và 3) hay –5/2 và –3/8; 5) 10 và 3 ; 6) 2 và –3 ; 7) –2 và 5 ; 8) 5 và 2; 9) 2 và 2 ; 10) 13 và – 32.

BÀI 4 : (THPT QG 2015) Cho số phức z thỏa(1i)z15i0. Tìm phần thực và phần ảo của z. ĐS: 3 ;–2 BÀI 5 : (ĐH A, A1 2014) Tìm phần thực và phần ảo của z biết: z



2i



z35i. ĐS : 2, 3.

BÀI 6 : (CĐ 2011) Cho số phức z thỏaz²2(1i)z2i0. Tìm phần thực và phần ảo của z

1. ĐS: 1/2;–1/2 BÀI 7 : (CĐ 2013) Tìm phần thực và phần ảo của z biết:(3 2 ) i z (2 i)²  4 i. ĐS : 3 ; –1 BÀI 8 : (THPT QG 2016) Cho số phức z = 1 + 2i. Tìm phần thực và phần ảo của số phứcw2zz. ĐS: 3; 2 BÀI 9 : Cho số phức z thỏa mãn :

5 i 7 6 i 3 1

z z  

  . Tìm phần thực của số phức z²⁰¹². ĐS : 2¹⁰⁰⁶; 0 BÀI 10 : (ĐH A 2010) Cho số phức z thỏa

i 1

) i 3 1 z (

3



  . Tìm môđun của số phức ziz. ĐS : 8 2

BÀI 11 : (ĐH A 2012) Cho số phức z thỏa ^{5 z i}

 

z 1 2 i

  

 . Tính môđun của số phứcw  1 z z² ĐS : 13 BÀI 12 : (ĐH B 2014) Cho số phức z thỏa 2z3

 

1i z19i. Tìm môđun của z. ĐS : z  13 BÀI 13 : (ĐH D 2014) Cho số phức z thỏa



3zz

  

1i 5z8i1. Tính môđun của z. ĐS : z  13 BÀI 14 : (ĐH D 2012) Cho số phức z thỏa ^{2 1 2i}

 

(2 i)z 7 8i

1 i

    

 . Tính môđun củaw z 1 i   ĐS: w 5 BÀI 15 : Tính môđun của số phức z, biết Số phức z thỏa mãn:

1)⁽²^z^¹⁾⁽¹^ⁱ⁾^

 

^z^¹⁽¹^ⁱ⁾^²^²ⁱ (ĐH A 2011) 2)(12i)²zz4i20 (CĐ 2011) ĐS : 1) 2/3; 2) 5 BÀI 16 : Tìm số phức z, biết :

1) z(23i)z19i (ĐH D 2011) 2) 1 0 z

3 i

z5   (ĐH B 2011) ĐS : 2 – i ; 2)1i 3;2i 3 BÀI 17 : Tìm số phức z có mô-đun nhỏ nhất, biết số phức z thỏa: z24i  z2i. ĐS : z = 2 + 2i.

BÀI 18 : Tìm số phức z, biết:

(2)

1)  z – (2 + i)  = 10 và z.z = 25. (ĐH B 2009) ĐS : z = 3 + 4i ; z = 5 2) z  2 và z² là số thuần ảo. (ĐH D 2010) ĐS : 1  i ; –1  i

3)  z  = 5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. ĐS : z₁2 5 5i ; z₂  2 5 5i BÀI 19 : Cho hai số phức z1 và z2 thỏa: z₁  z₂ 1 ; z₁z₂  3. Tính z₁z₂ . ĐS : z₁z₂ = 1

 VẤN ĐỀ 2 : TÌM TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC BÀI 20 : Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

1) Phần thực của z bằng 1. 2) Phần ảo của z bằng 2.

3) Số phức cĩ phần thực lớn hơn hoặc bằng 1. 4) Số phức cĩ phần ảo của z thuộc [–1 ; 2].

5) Phần thực của z thuộc [–1 ; 2], phần ảo thuộc [0 ; 1]. 6)  z  = 1 .

7)  z   2. 8)  z – 1 + 2i  = 4. 9)  z + i – 2   3. 10) 2 <  z   4.

11) 1   z  2 và phần thực không âm. 12) 1 i z

i

z 



 . 13) i z

1

 là số ảo BÀI 21 : (ĐH B 2010) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa:

1) zi  (1i)z (ĐH B 2010) 2) z – (3 – 4i)  = 2 (ĐH D 2009) 3)(1 2i)z ^{2 i} (3 i)z 1 i

    

 ^{(CĐ 2012)}

4) z4 z4 10 5) z 2   z 2 10 ĐS : 1) Đường trịn tâm I (0 ; –1) và R = 2 ; 2) Đường tròn tâm I(3 ; 4) và R = 2 ; 3) M(1/10 ; 7/10) ; 4) (E): x²/25 + y²/9 = 1 ; 5) (E): x²/25 + y²/21 = 1.

 VẤN ĐỀ 3 : BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM PHỨC BÀI 22 : Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: 1) 3 + 4i 2)

i 2

i 2 1



 3) (1 + i)⁸ 4) 12 6i ĐS : 1) 1 + 2i và –1 – 2i ; 2) i

2 1 2

1  và i

2 1 2 1 

 ; 3) 4i và –4i ; 4)



²^ ³ⁱ



^và^



²^ ³ⁱ



BÀI 23 : Giải các phương trình sau trên tập số phức:

1) –3x² + 2x – 1 = 0 2) 7x² + 3x + 2 = 0 3) x⁴ + x² – 6 = 0 4) x⁴ – 8 = 0 5) x⁴ + 4 = 0.

ĐS : 1)^{1 i 2} 3

 ;^{1 i 2} 3

 ; 2) ^{3 i 47} 14

  ; ^{3 i 47} 14

  ; 3) x i 3 ; x  2 ; 4)x ⁴8 ; x i 8⁴ ; 5) (1i);(1i) BÀI 24 : (CĐ 2011) Cho số phức z thỏaz²2(1i)z2i0. Tìm phần thực và phần ảo của

z

1. ĐS : 2 1 ;–

2 1

BÀI 25 : (ĐH A 2009) Cho phương trình z² + 2z + 10 = 0. Tính z₁²  z₂² ; z₁⁴ z₂ ⁴. ĐS : 20 ; 200 BÀI 26 : 1) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm z1 = 6 – i và z2 = 4 + 3i.

2) Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 1 + 8i và tích của chúng bằng –29/2 + i.

3) Tìm số phức B để phương trình bậc hai z² + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 4) Tìm các số thực b, c để phương trình z² + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm

ĐS : 1) z² – (10 + 2i) + 27 + 14i = 0 ; 2) z1 = 2 + 6i; z2 = –1 + 2i ; 3) B =(3 + i) ; 4) b = –2, c = 2 BÀI 27 : Giải các hệ phương trình sau: (với x, y  C hoặc với z1, z2  C)

1) 













i 2 5 y x 2

i 3 2 y 3

x 2)

















0 4 x xy 3 y x 3

3 y x 2

2

2 3)















i 2 5 z z

i 4 z z

2 2 2 1

2

1 4)

















i 2 5 z

z

i 5 5 z . z

2 2 2 1

2 1

BÀI 28 : Giải phương trình sau trên tập số phức:

1) z² + 3(1 + i)z + 5i = 0. (ĐH D 2012) 2) z 2i i

z i 7 3 z

4  



 (CĐ 2009) 3) z² – (1 + i)z + 6 + 3i = 0 (CĐ 2010)

ĐS : 1) z = –1 – 2i hay z = –2 – i ; 2) 3 + i hay 1 + 2i ; 3) 1 – 2i hay 3i.

BÀI 29 : Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z3i  z2i . Tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất?

BÀI 30 : Trong các số phức z thỏa mãn z24i  z2i . Tìm số phức có mô-đun nhỏ nhất?

(3)

SỐ PHỨC

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

I. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

 Đơn vị ảo: Số i mà i² = –1.

 Số phức z = a + bi với a, b  R. (Dạng đại số của số phức)

 Tập số phức:^C^



^a^^bi^/^a^,^b^^R^,ⁱ²^^¹



^.

Trong đó a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo của z.

 z là số thực  phần ảo của z bằng 0. Tập R  C.

 z là số ảo (thuần ảo)  phần thực của z bằng 0.

 z = 0 là số phức duy nhất vừa là số thực, vừa là số ảo.

a) Hai số phức bằng nhau :

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’+ b’i . Ta có: z = z’ 







 ' b b

' a a

b) Biểu diễn hình học của số phức :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z = a + bi (a, b  R) được biểu diễn bởi duy nhất một điểm M(a; b). Mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức gọi là mặt phẳng phức, trục Ox là trục thực, trục Oy là trục ảo.

c) Một số hằng đẳng thức cần nhớ :

 (1 + i)² = 2i  (1 – i)² = –2i  (a + bi)² = a² – b² + 2abi

 (a – bi)² = a² – b² – 2abi  (a + bi)(a – bi) = a² + b² d) Số phức liên hợp

 Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số phức zabi. Vậy zabiabi

 Với mọi số phức z và z’, ta có:  zz  zz'zz'  z.z'z.z'  zza²b²= z ²

 Trên mặt phẳng phức, hai số phức liên hợp được biểu diễn bằng các điểm đối xứng nhau qua trục thực.

e) Mô đun của số phức :

Mô-đun của số phức z = a + bi là z  a² b² là độ dài của vectơ OM với M(a ; b) là điểm biểu diễn số phức z.

 Nếu z = a + bi với a, b  R thì z  a²b²  z.z= OM

 Kết quả: z, z’  C, ta có:  z 0  z 0  z = 0  z ²  z²

 z.z'  z . z'  zz'  z  z'  z ² z²  z ² z²  z là số thực.

2) Các phép toán trên số phức : Cho các số phức: z = a + bi và z’ = a’ + b’i (với a, a’, b, b’  R) a) Phép cộng : z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i

b) Phép trừ : z – z’ = (a – a’) + (b – b’)i c) Phép nhân : z.z’ = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i d) Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi. (z + (–z) = 0)

Kết quả :  i³ = i².i = –i  i⁴ = i².i² = (–1).(–1) = 1 hay i⁴ = i³.i = 1

 i⁵ = i⁴.i = i  i⁶ = i⁵.i = –1.

e) Số nghịch đảo của số phức z khác 0, ký hiệu z^–1. Ta có: z z

1 z

z^¹ 1 ₂ 

f) Phép chia: Cho các số phức z và z’.

 Nếu z  0 thì

z . z

z . ' z z

z . ' z z '.

z z ' z

2

1  

 ^ 

z ' z z

' z 



 



 ;

z ' z z

' z 

(4)

II. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1) Định nghĩa : Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z² = w được gọi là một căn bậc hai của số phức w.

Cách tìm căn bậc hai của số phức w là tìm nghiệm của phương trình (ẩn z) z² – w = 0.

a) Trường hợp w là số thực w = a  R :

 Nếu w = a = 0  z² – w = 0  z² = 0  z = 0. Vậy căn bậc hai của 0 là 0.

 Nếu w = a > 0  z² – w = 0  z² – a = 0 ^



^z^ ^a



^z^ ^a



^⁰^^{z =} ^a ^{hay z = –} ^a

Vậy số thực a dương có hai căn bậc hai là các số thực đối nhau:  a và a .

 Nếu w = a < 0  z² – w = 0  z² – a = 0 ^



^z^ⁱ ^^a



^z^ⁱ ^^a



^⁰^^{z =}ⁱ ^^a^hay^ⁱ ^^a^.

Vậy số thực a âm có hai căn bậc hai là i a và i a.

 Căn bậc hai của 1 là  i vì ( i)² = –1.

 Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là  a .

 Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là i a

 (1 + i)² = 2i nên 2i có các căn bậc hai là (1 + i) và (1 – i)² = –2i nên –2i có các căn bậc hai là (1 – i).

b) Trường hợp w = a + bi (a, b  R với b  0) :

* Số phức z = x + yi (với x; y  R) là căn bậc hai của w = a + bi khi và chỉ khi z² = w  (x + yi)² = a + bi  x² – y² + 2xyi = a + bi







 

b xy 2

a y x² ²

(I) Giải hệ phương trình hai ẩn (I) để xác định các phần thực và phần ảo của căn bậc hai.

 Mỗi một số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau.

 Số phức bi (b  R và b > 0) có hai căn bậc hai là (1 i) 2

b 



 Số phức –bi (b  R và b > 0) có hai căn bậc hai là (1 i) 2

b 

 2) Phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai Az² + Bz + C = 0 (1), (A, B, C là các số thực và A  0). Tính biệt thức  = B² – 4AC

 Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

A 2 z₁  B;

A 2 z₂  B Trong đó  là một căn bậc hai của  (² = B² – 4AC).

_ Khi  > 0,   R thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

A 2

z₁  B  ;

A 2 z₂ B  _ Khi  < 0,   R thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

A 2

i z₁  B  ;

A 2

i z₂ B 

 Nếu  = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép

A 2 z B z₁  ₂  3) Định lý Vi-ét thuận

Nếu  và  là hai nghiệm của phương trình bậc hai Az² + Bz + C = 0 thì :

A SBvà

A . C P 4) Định lý Vi-ét đảo : Hai số phức  và  là các nghiệm của phương trình bậc hai : x² – ( + )x + . = 0.

Chú ý : Phương trình bậc hai Az² + Bz + C = 0:

 Nếu có A + B + C = 0 thì phương trình có nghiệm z = 1.

 Nếu có A – B + C = 0 thì phương trình có nghiệm z = –1.

III. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 1) Dạng lượng giác của số phức :

Số phức dạng: z = r(cos + isin), trong đó r > 0 là số thực,  là góc lượng giác có số đo bằng radian được gọi là dạng lượng giác của số phức. Số r là mođun của z,  là một acgumen của Z.

(5)

Đưa số phức z = a + bi về dạng lượng giác z = r(cos + isin) thì r  a²b² ,  là một acgumen của z thì  là số thực sao cho cos =

r

a, sin = r b.

Số  chính là số đo của góc lượng giác mà tia đầu là Ox, tia cuối là OM, trong đó M(a ; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng phức.

QUI TẮC : Với r > 0, ta nhớ:

1) z = r[(+) + i(–)] dùng cung đối.

2) z = r[(–) + i(+)] dùng cung bù.

3) z = r[(–) + i(–)] dùng cung hơn kém .

3) Nhân và chia số phức dạng lượng giác : Nếu z = r(cos + isin), z’ = r’(cos’ + isin’), r, r’ > 0 thì

















 

 ' k2 ,k Z '

r ' r

z z )

1

   



cos ' isin '



' r . r ' zz )

2    

   



cos ' isin '



' r r ' z ) z

3    

4) Công thức Moavrơ : Với mọi n nguyên dương ta đều có:



r



cosisin

 

ⁿ rⁿ



cosnisinn



Chú ý : Khi r = 1  (cos + isin)ⁿ = cosn + isinn

5) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

Số phức z = r(cos + isin), (với r > 0) có 2 căn bậc hai là: _



 



  

sin2 2 i cos

r và _



 



 



 









 



 sin 2 2 i

cos

r .

Có khi ta biểu diễn z² rồi đưa về dạng lượng giác của z.

Vào môi trường số phức: MENU 2 Màn hình phía trên có chữ i (đã ở trong môi trường số phức)

(6)