Đoàn Ngọc Dũng -

(1)

BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

GVBM :ĐOÀN NGỌC DŨNG

C. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BÀI 20 : Giải các bất phương trình sau :

1) –5x² + 4x + 12 < 0 2) 16x² + 40x + 25 < 0 3) 3x² – 4x + 4  0 4) x² – x – 6  0

5) 0

4 x 5 x

14 x 9 x

2 2

 





 6) 1

10 x 3 x

7 x 7 x 2

2 2



 





 7) (2x1)(x²x30)0 8) x⁴ – 3x²  0 ĐS : 1) x < –6/5  x > 2; 2) x  ; 3) x  R; 4) –2 ≤ x ≤ 3; 5) (x < 1)  (2 < x < 4)  (x > 7); 6) (x < –2)  (1

≤ x ≤ 3)  (x > 5); 7) (–6 ≤ x ≤ –1/2)  (x ≥ 5); 8)  3x 3; BÀI 21 : Giải các bất phương trình sau :

1) 0

6 x 5 x

x x

2 2

4 



 S



3;2







1;1



2)

10 x 7 x

1 4

x 5 x

1

2

2   



 S

    

1;2  3;4  5;



3) x² 3 x⁴ 6x₂² 9

2 x x

  

  ĐS : S = ( ; 3]  [1 ; 0)  (0 ; 1]  [3 ; )

BÀI 22 : Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau : 1) y



2x5



12x



2)

1 x 3 x 2

4 x 5 y x ₂

2



  3) y x² 3x4 x8

4) 2x 1 x 2

1 x y x

2





  5)

5 x 2 x

1 5

x 7 x

y ₂ 1 ₂



 



  6) y x²5x14x3 ĐS : 1) D = [–5/2 ;–2] ; 2) D = (– ; –4]  [–1/2 ; +); 3) D = R ; 4) D = (– ; –1/3)  (3 ; +) ;

5) _



 



 



 



 

 ;0

2 29 7 2

29

; 7 0

D ; 6) D = (– ;–2]  [23 ; +)

BÀI 23 : Tìm a sao cho với mọi x, ta luôn có : 7 2 x 3 x 2

a x 5 1 x ₂

2

 





 

 ĐS : ^₃⁵^^a^¹

BÀI 24 : Giải các hệ bất phương trình sau : 1)











0 6 x x

0 7 x 9 x 2

2

2 2)

















0 10 x 3 x

0 4 x 5 x 2

2

2 3)

















0 6 x x

0 7 x 9 x 2

2

2 4)















0 ) 4 x 7 x 3 )(

1 x (

0 9 x

2

ĐS : 1)–1 < x < 2; 2) _







 





 



  



 ;2

4 57 5 4

57

; 5 5

S ; 3) _







 

 ;2

4 137

S 9 ; 4) ^; ¹



¹^;³



3

S 4 



 



BÀI 25 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm :















3 x ) 1 m (

0 15 x 2 x²

ĐS : ^m^^⁸₅^^m^⁰ D. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

BÀI 26 : Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương với mọi x  R : 1) (m² + 2)x² – 2(m + 1)x + 1 ĐS : m <

2 1 2) f(x) = (m + 4)x² – (3m + 1)x + 3m + 1 ĐS :

3 m 1

BÀI 27 : Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm với mọi x  R : 1) –x² +2m 2x – 2m² – 1 ĐS : m  R

2) (m – 2)x² – 2(m – 3)x + m – 1 ĐS : m  

BÀI 28 : Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm : 1) (m – 5)x² – 4mx + m – 2 = 0

2) (m + 1)x² + 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0

(2)

3) x² + (m – 2)x – 2m + 3 = 0

ĐS : m 1

3

m10  ; 2)

2 17 m 1

2 17

1    

 ; 3) ^m^^²



¹^ ³



^^m^^²



¹^ ³



BÀI 29 : Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kỳ giá trị nào : 1) x² – 2(m + 1)x + 2m² + m + 3 = 0

2) (m² + 1)x² + 2(m + 2)x + 6 = 0

BÀI 30 : Tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức :

1) f(x) = (m – 1)x²  (m  1)x + 2m + 1 luôn không âm với mọi x  R. ĐS : m  1 2) f(x) = (m – 2)x² + 2(m – 2)x – 6 luôn không dương với mọi x  R ĐS : 4  m  2 BÀI 31 : Cho f(x) = (m + 2)x² – 2mx + 3m

a) Tìm để bất phương trình f(x)  0 vơ nghiệm.

b) Tìm để bất phương trình f(x) > 0 cĩ nghiệm.

BÀI 32 : Tìm tất cả các giá trị m làm cho bất phương trình :

1) (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0 nghiệm đúng với mọi x  R. ĐS : m > 5

2) mx² + 6mx + 8m – 10  0 vô nghiệm. ĐS : –10 < m  0

3) (m + 1)x² – 2(m – 1)x + 2m – 3 < 0 có nghiệm. ĐS : m < 1

4) (m + 1)x² – 2(m – 1)x + 3m – 3  0 có nghiệm. ĐS : m  2

HẾT PHẦN 1

Ghi chú : Bài tập phần 2 sẽ đăng vào đầu tuần sau

(3)

HƯỚNG DẪN GIẢI C. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

BÀI 20 : Giải các bất phương trình sau :

1) –5x² + 4x + 12 < 0 2) 16x² + 40x + 25 < 0 3) 3x² – 4x + 4  0 4) x² – x – 6  0

5) 0

4 x 5 x

14 x 9 x

2

2 







 6) 1

10 x 3 x

7 x 7 x 2

2

2 





 7) (2x1)(x²x30)0 8) x⁴ – 3x²  0 ĐS : 1) x < –6/5  x > 2; 2) x  ; 3) x  R; 4) –2 ≤ x ≤ 3; 5) (x < 1)  (2 < x < 4)  (x > 7); 6) (x < –2)  (1

≤ x ≤ 3)  (x > 5); 7) (–6 ≤ x ≤ –1/2)  (x ≥ 5); 8)  3x 3;

 Hướng dẫn :

1)

5x² 4x120 

5

x6 hoặc x2

Tập nghiệm của bất phương trình là : 









 



 

 2;

5

; 6

S .

2)

¹⁶^x²⁴⁰^x²⁵⁰



⁴^x⁵



² ⁰ : vô nghiệm Tập nghiệm của bất phương trình là : S.

3)

3x²4x40 nghiệm đúng với mọi xR vì tam thức bậc hai 3x²4x4 có '4120 và 0

3

a  . Tập nghiệm của bất phương trình là SR.

4)

x²x602x3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : ^S^



^²^;³



.

5)

0

4 x 5 x

14 x 9 x

2

2 









x  1 2 4 7 +

14 x 9

x²  ^ ^ ⁰ ^ ^ ⁰ ^

4 x 5

x²  ^ ⁰ ^ ⁰ ^ ^

 

x

f   0   0 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S



;1

 

 2;4

 

 7;



.

6)

0

10 x 3 x

3 x 4 0 x

10 1 x 3 x

7 x 7 x 1 2

10 x 3 x

7 x 7 x 2

2 2 2

2 2

2

 





 



 





 



 







x  2 1 3 5 

3 x 4 x

4 ² 

 ^  0  0  

10 x 3

x²  ^ ⁰ ^ ^ ^ ⁰ ^

10 x 3 x

3 x 4 x

2 2





 _ _ ₀ _ ₀ _ _

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S



;2





  

1;3  5;



.

7)

(2x1)(x²x30)0. Ta có : f

  

x  2x1

 

x² x30



0

x  6

2

1 5 

1 x

2    0  

30 x

x²   0   0 

 

x

f  0  0  0 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 







 

 5;

2

; 1 6

S .

8)

x⁴ – 3x²  0

(4)

Ta có : ^x⁴ ^³^x² ^⁰^^x²



^x²^³



^⁰^^x² ^³^⁰^ ^x ^ ³^^x^



^ ³^; ³



^{. Vậy}^S^



^ ³^; ³



^.

BÀI 21 : Giải các bất phương trình sau :

1) 0

6 x 5 x

x x

2 2

4 



 S



3;2







1;1



2)

10 x 7 x

1 4

x 5 x

1

2

2   



 S

    

1;2  3;4  5;



3) x² 3 x⁴ 6x₂² 9

2 x x

  

  ĐS : S = ( ; 3]  [1 ; 0)  (0 ; 1]  [3 ; )

1)

0

6 x 5 x

x x

2 2

4 



 .

Ta có :

 

₀

6 x 5 x

1 0 x

6 x 5 x

1 x 0 x

6 x 5 x

x x

2 2 2

2 4

 



 

 



 

 







^vì^x² ^⁰

  

1

Xét dấu f

 

x (vế trái của bất phương trình (1))

x  3 2 1 1 

1

x² ^ ^ ^ ⁰ ^ ⁰ ^

6 x 5

x²   0  0   

 

x

f    0  0 

Tập nghiệm của bất phương trình là ^S^



^³^;^²



^



^¹^;¹



.

2)

x 7x 10

1 4

x 5 x

1

2

2   



 S

    

1;2  3;4  5;



Ta có : ^x² ^⁵¹^x^⁴ ^ ^x² ^⁷¹^x^¹⁰ ^ ^x² ^⁵¹^x^⁴ ^^x² ^⁷¹^x^¹⁰ ^⁰^



^x² ^⁵^x^^⁴²



^x^x^²⁶^⁷^x^¹⁰



^⁰

 

ⁱ

* Xét dấu f

 

x (vế trái của bất phương trình (i))

x  1 2 3 4 5 

6 x

2 

    0   

4 x 5

x²  ^ ⁰ ^ ^ ^ ⁰ ^ ^

10 x 7

x²   ^ ^ ⁰ ^ ^ ^ ⁰ ^

 

x

f    0   

Tập nghiệm của bất phương trình là S

  

1;2  3;4

 

 5;



.

3)

² ^x² ³ ^x⁴ ^6x₂² ⁹

x x

  

  ĐS : S = ( ; 3]  [1 ; 0)  (0 ; 1]  [3 ; )

Đặt 0

x 3

t x²   . Ta được : (4)  2 + t  t²  t² – t – 2  0  t  1 (loại) hay t  2 (nhận)



















 









 











 

 

 

 



3 x

1 x 0

0 x 1

3 x 9

x

1 x 0 0 9 x 6 x

0 4 x

x 9 x 6 2 x

x 3 x

2 2 2

2 4 2 4 2

Tập nghiệm của bất phương trình là : S = ( ; 3]  [1 ; 0)  (0 ; 1]  [3 ; ).

BÀI 22 : Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :

1)

y



2x5



12x



xác định khi và chỉ khi : (2x + 5)(1 – 2x)  0 

2 x 1 2 5  

 . Vậy txđ _ _^

2

;1 2 D 5

(5)

2)

2x 3x 1 4 x 5 y x²₂



  xác định khi và chỉ khi :

  

2x 1 ⁰

4 0 x

1 x 2 1 x

4 x 1 0 x

1 x 3 x 2

4 x 5 x

2

2 



 

 



 

 



 và x  1

 x  4 hay

2 x1

Vậy tập xác định là :

 





 

 









 ;

2 4 1

;

D .

3)

y x² 3x4 x8

Điều kiện xác định của hàm số là : x² 3x4 x80 x²3x4 x8

* Xét dấu x² 3x4

x  4 1 

4 x 3

x² 

 0  0 

 









 



















0 4 x 2 x

1 x hoặc 4 x 8 x 4 x 3 x

1 x hoặc 4 x

2

2  x4 hoặc x1  xD₁ 



;4

 

1;



 4 x 1 x D



4;1



2 x 6

1 x 4 0

12 x 4 x

1 x 4 8

x 4 x 3 x

1 x 4

2 2

2       











 













 

















Kết luận : Tập xác định của hàm số là DD₁D₂ R.

4)

2x 1 x 2 1 x y x

2





 

Điều kiện xác định của hàm số là 0 2 x 1 x 2

1 x

x² 





 

¹

Mà x²x10, xR (vì x²x1 có 0 và a0)

Nên bất phương trình

 

^{1 }²^x^¹^^x^²^⁰^²^x^¹^^x^²

 

²

 x 3

3 x 2 x 1 2 x 1 x 2 2 x 1



 







 















 3

x 1 3 x 1

2 x 1 2 x 1 x 2 2 x 1



















 















Vậy hàm số xác định 

3

x1 hoặc x3.

Tập xác định của hàm số là 









 



 

 3;

3

; 1

D .

5)

Hàm số

5 x 2 x

1 5

x 7 x

y ₂ 1 ₂



 



  được xác định khi và chỉ khi : 0

5 x 2 x

1 5

x 7 x

1

2

2 



 







^x^x² ²⁷^x^x ⁵⁵



^x^x² ²⁷^x^x ⁵⁵



⁰



^x² ⁷^x ⁵⁹



^x^x² ²^x ⁵



⁰

2

2 



 

 











  

2 29 x 7

0 



 hay

2 29 x 7



Vậy tập xác định là : _







  





 



 

 ;

2 29 7 2

29

;7 0

D .

6)

y x² 5x14x3

Điều kiện xác định của hàm số là : x²5x14x30 x² 5x14 x3

 

¹

x 

2

1 

1 x

2   0 

(6)

x  2 3 7 

14 x 5

x² 

 0   0 

3

x

  0  

 Khi x2 thì

 

^{1 đúng.}

 Khi x7 thì

 

^x ²³ ^x ²³

7 x 3

x 14 x 5 x

7

1 x₂ ₂  







 











 

Vậy tập xác định của hàm số là ^D^



^^^;^²

 

^ ²³^;^^



^.

BÀI 23 : Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có 7 2 x 3 x 2

a x 5

1 x²₂ 







 

 (1), x  R

Tam thức 2x² – 3x + 2 có















0 2 a

7 nên 2x² – 3x + 2 > 0, x  R Do đó : (1)  2x² + 3x – 2  x² + 5x + a < 14x² – 21x + 14, x  R

 



 















 

b 0 14 a x 26 x 13

a 0 2 a x 2 x 3

2 2

, x  R

   

3 ^a ¹

5 1

a 3 a 5 0 a 14 13 169 b '

0 2 a 3 1 a

'   











 





















  . Vậy a 1

3 5 



BÀI 24 : Giải các hệ bất phương trình sau : 1)











0 6 x x

0 7 x 9 x 2

2 2

2)

















0 10 x 3 x

0 4 x 5 x 2

2 2

3)

















0 6 x x

0 7 x 9 x 2

2 2

4)















0 ) 4 x 7 x 3 )(

1 x (

0 9 x

2 2

ĐS : 1)–1 < x < 2; 2) _







 





 



  

 ;2

4 57 5 4

57

; 5 5

S ; 3) _







 

 ;2

4 137

S 9 ; 4) ^; ¹



¹^;³



3

S 4 



 



Giải từng bất phương trình của hệ rồi tìm phần giao của hai tập nghiệm của hai bất phương trình thuộc hệ.

1)

1 x 2

2 x 3

1 x hoặc 2 x 7 0

6 x x

0 7 x 9 x 2

2 2





 













 

















Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là ^S^



^¹^;²



^.

2)

2

x 1 4 3 2

x 5 hoặc 2 x 1

2 4 x

3 0

5 x 12 x 4

0 6 x 5 x 4

2 2

























 

















Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là 



 



 2

;1 4

S 3 .

3)

x 2

4 137 9

2 x

3 4

137 x 9

4 hay 137 x 9

0 6 x x

0 7 x 9 x 2

2 2



 

 













 





 















 . Vậy _









 

 ;2

4 137 S 9

4)  

     

















2 0 4 x 7 x 3 1 x

1 0

9 x

2 2

 Giải x² – 9 < 0. Bằng cách lập các bảng xét dấu, ta được : x² – 9 < 0  3 < x < 3

 Giải (x – 1)(3x² + 7x + 4)  0  x 1 3

4  

 hay x  1

Do đó, ta có: x 1hay1 x 3

3 4 1

x hay 1 3 x

4

3 x 3











 

















. Vậy ; 1



1;3



3

S 4 

 

 .

(7)

BÀI 25 : Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm : _^^















3 x 1 m

0 15 x 2 x²

.

 Giải BPT : x² + 2x – 15 < 0  5 < x < 3

 Ta có : (m + 1)x  3

 Nếu m = 1 thì (m + 1)x  3  0x  3 : vô nghiệm  hệ vô nghiệm, nên loại m = 1.

 Nếu m > 1 thì

 

1 m x 3 3 x 1

m    

 Hệ có nghiệm 3 m 0

1 m

3   

  (thỏa m > 1)

 Nếu m  1 thì

 

1 m x 3 3 x 1

m    

 Hệ có nghiệm

5 m 8 5 m 5 3 1 5

m

3      

  (thỏa m < 1)

Tóm lại hệ có nghiệm khi và chỉ khi :

5

m8 hay m > 0 D. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

BÀI 26 : Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương với mọi x  R : 1) (m² + 2)x² – 2(m + 1)x + 1 ĐS : m <

2 1 2) f(x) = (m + 4)x² – (3m + 1)x + 3m + 1 ĐS :

3 m1

Nhớ : ax² bxc0,









 



 a 0

R 0 x

1)

Đặt f(x) =



m²2



x²2



m1



x10,xR  ^^'^



^m^¹



² ^



^m² ^²



^²^m^¹^⁰^^m^₂¹

2)

Đặt f(x) = (m + 4)x² – (3m + 1)x + 3m + 1

 TH1 : a = m + 4 = 0  m =  4

Khi đó : f(x) = 11x – 11 > 0  x > 1  x > 1 (không thỏa với mọi x)  m =  4 (loại)

 TH2 : a  0  m   4 f(x) > 0, x  R 

    

_^^







 







 















 











0 15 m 1 m 3

4 m 0

4 m 1 m 3 4 1 m 3

0 4 m 0

0 a

2

3 m 1 3 m 1 15 m

4 m





 





















Vậy m thỏa yêu cầu bài toán 

3 m 1.

BÀI 27 : Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm với mọi x  R : 1) –x² +2m 2x – 2m² – 1 ĐS : m  R

2) (m – 2)x² – 2(m – 3)x + m – 1 ĐS : m  

1)

Đặt f(x) = –x² +2m 2x – 2m² – 1, ta có : f(x) < 0

 x² 2m 2x2m² 10, xR  ^^'^⁰^^^'^²^m² ^



²^m²^¹



^^¹^⁰^,^^m

Vậy x²2m 2x2m² 10 với mọi x, mR

(8)

2)

Đặt f(x) =



m2



x²2



m3



xm10, xR

 TH1 : a = m – 2 = 0  m = 2

Khi đó : f(x) = –10x + 1 < 0  x > 1/10  m =  4 (loại do không thỏa với mọi x)

 TH2 : a  0  m   4

f(x) < 0, x  R

    









 

















 











 

2 m 3 m 7 2

m

0 7 m 3 1 m 2 m 3 m ' 0

2 m

0

' ²

: vô lí Vậy không có bất kì giá trị nào của m để đề bài thỏa mãn.

BÀI 28 : Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm : 1) (m – 5)x² – 4mx + m – 2 = 0

2) (m + 1)x² + 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 3) x² + (m – 2)x – 2m + 3 = 0

ĐS : m 1

3

m10  ; 2)

2 17 m 1

2 17

1    

 ; 3) ^m^^²



¹^ ³



^^m^^²



¹^ ³



1)

(m – 5)x² – 4mx + m – 2 = 0 (1)

 m – 5 = 0  m = 5 : phương trình (1) trở thành 20x + 3 = 0  20

x 3 tức là phương trình (1) có nghiệm,

nên nhận m = 5 (a)

 m – 5  0 : phương trình (1) có ’ = (2m)² – (m – 5)(m – 2) = 3m² + 7m – 10 (1) có nghiệm  ’  0  3m² + 7m – 10  0 

3

m10 hay m  1 (m  5) (b) (a) và (b) cho : phương trình (1) có nghiệm khi

3

m10 hay m  1.

2)

(m + 1)x² + 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (1)

 m + 1 = 0  m = 1 : phương trình (1) trở thành 4x – 5 = 0 

4

x5 tức là phương trình (1) có nghiệm,

nên nhận m = 1 (a)

 m + 1  0  m  1 : phương trình (1) có ’ = (m – 1)² – (m + 1)(2m – 3) = m² – m + 4 (1) có nghiệm  ’  0  m² – m + 4  0 

2 17 m 1

2 17

1    

 và m  1 (b)

(a) và (b) cho : phương trình (1) có nghiệm khi

2 17 m 1

2 17

1    

 .

3)

x² + (m – 2)x – 2m + 3 = 0 (1)

Phương trình (1) có  = (m – 2)² – 4(–2m + 3) = m² + 4m – 8

(1) có nghiệm    0  m² + 4m – 8  0  ^m^^²



¹^ ³



^^m^^²



¹^ ³



BÀI 29 : Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kỳ giá trị nào : 1) x² – 2(m + 1)x + 2m² + m + 3 = 0 2) (m² + 1)x² + 2(m + 2)x + 6 = 0

1)

x² – 2(m + 1)x + 2m² + m + 3 = 0 (1)

’ = (m + 1)² – (2m² + m + 3) = m² + m – 2 Tam thức ’ có :























0 1 a

0 7 8

1 nên ’ < 0, m

Vậy phương trình (1) vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào.

 Chú ý : 1 7 0, m

7 m m 1

1 2 m 1

) 2 m m ( 2 m m

2 2

2      



 

 

 





 

    

















(9)

2)

(m² + 1)x² + 2(m + 2)x + 6 = 0

’ = (m + 2)² – 6(m² + 1) = 5m² + 4m – 2 Tam thức ’ có :























0 5 a

0 6 10 4

' nên ’ < 0, m

Vậy phương trình (2) vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào.

BÀI 30 : Tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức :

1) f(x) = (m – 1)x²  (m  1)x + 2m + 1 luôn không âm với mọi x  R. ĐS : m  1 2) f(x) = (m – 2)x² + 2(m – 2)x – 6 luôn không dương với mọi x  R ĐS : 4  m  2

1)

f(x) = (m – 1)x²  (m  1)x + 2m + 1 luôn không âm với mọi x  R. ĐS : m  1

 TH1 : a = 0  m = 1. Khi đó : f(x) = 3  0, x  m = 1 (nhận)

 TH2 : a  0  m  1 f(x)  0, x  R

    

_^^













 









 











 









 

1 7 m

m 5 1 m 0 5 x 2 m 7

1 m 0 1 m 2 1 m 4 1 m

1 m 0 0 a

2 2  m > 1

Vậy m thỏa yêu cầu bài toán  m  1.

2)

f(x) = (m – 2)x² + 2(m – 2)x – 6 luôn không dương với mọi x  R ĐS : 4  m  2

 TH1 : a = 0  m = 2

Khi đó, f(x) = 0x – 6 < 0 x  R  m = 2 (nhận)

 TH2 : a  0  m  2 f(x)  0, x  R 

      

_^^  

 











 















 











0 4 m

2 m 0

4 m 2 m

2 m 0

2 m 6 2 m

0 2 m 0

' 0 a

2  4  m < 2

Vậy m thỏa yêu cầu bài toán   4  m  2.

BÀI 31 : Cho f(x) = (m + 2)x² – 2mx + 3m

a) Tìm để bất phương trình f(x)  0 vơ nghiệm. b) Tìm để bất phương trình f(x) > 0 cĩ nghiệm.

a) Tìm để bất phương trình f(x)  0 vơ nghiệm.

Ta có f(x)  0 vô nghiệm  f(x) > 0, x  R

 TH1 : a = 0  m = –2 : (1)  4x – 6 > 0  2

x 3  m = –2 không thỏa

 TH2 : a  0  m  –2 : f(x) > 0, x  R

 

^m ⁰

3 m

0 m

2 m 0

m 3 m

2 m 0 m 6 m 2

2 m 0

2 m m 3 m

0 2 m 0

' 0 a

2 2

2  





















 









 









 













 









 

Vậy với m > 0 thì f(x)  vơ nghiệm.

b) Tìm để bất phương trình f(x) > 0 cĩ nghiệm.

Ta có f(x) > 0 vô nghiệm  f(x)  0, x  R

 TH1 : a = 0  m = –2 : (1)  4x – 6  0  2

x 3  m = –2 không thỏa

 TH2 : a  0  m  –2 : f(x)  0, x  R

 

^m ³

3 m

0 m

2 m 0

m 3 m

2 m 0

2 m m 3 m

0 2 m 0

' 0 a

2

2  





















 









 













 









 

Do đó m  –3 là điều kiện để f(x) > 0 vô nghiệm. Suy ra rằng f(x) > 0 có nghiệm khi m > –3.

(10)

BÀI 32 : Định m để bất phương trình :

1) (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0 nghiệm đúng với mọi x  R. ĐS : m > 5

2) mx² + 6mx + 8m – 10  0 vô nghiệm. ĐS : –10 < m  0

3) (m + 1)x² – 2(m – 1)x + 2m – 3 < 0 có nghiệm. ĐS :

2 17 m 1

4) (m + 1)x² – 2(m – 1)x + 3m – 3  0 có nghiệm. ĐS : m  2

 Chú ý 1 :

1) f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x  R 









 0 0

a 2) f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x  R 









 0 0 a 3) f(x) > 0 vô nghiệm  f(x)  0, x  R 4) f(x)  0 vô nghiệm  f(x) > 0, x  R 5) Tìm m để f(x) < 0 có nghiệm.

Ta giải f(x) < 0 vô nghiệm  f(x)  0, x  R. Tìm được giá trị của m rồi kết luận ngược lại.

6) Tìm m để f(x)  0 có nghiệm

Ta giải f(x)  0 vô nghiệm  f(x) < 0, x  R. Tìm được giá trị của m rồi kết luận ngược lại.

 Chú ý 2 : khi hệ số a có chứa tham số thì cần xét hai trường hợp a = 0 và a  0.

1)

(m – 1)x² + 2(m + 1)x + 3m – 6 > 0 nghiệm đúng với mọi x  R. ĐS : m > 5 Đặt f(x) = (m – 1)x² + 2(m + 1)x + 3m – 6

 TH1 : a = 0  m = 1 : (1)  4x – 3 > 0  4

x 3  m = 1 không thỏa

 TH2 : a  0  m  1 : (1) nghiệm đúng với mọi x  R

    













 









 

0 6 m 3 1 m 1 m

0 1 m 0

' 0 a

2

5 5 m

2 m m 1

1 m 0

5 m 11 m 2

1 m

2  















 











 

Kết luận : (1) thỏa x  R  m > 5

2)

mx² + 6mx + 8m – 10  0 vô nghiệm. ĐS : –10 < m  0

Đặt f(x) = mx² + 6mx + 8m – 10, ta có f(x)  0 vô nghiệm  f(x) < 0, x  R

 TH1 : a = 0  m = 0 : f(x) = 10 < 0, x  R  m = 0 (thỏa)

 TH2 : a  0  m  0

f(x) < 0, x  R 10 m 0

0 m 10

0 m 0 m 10 m

0 m 0

) 10 m 8 ( m m 9

0 m 0

' 0 a

2

2   









 









 









 









 

Kết luận : m thỏa yêu cầu bài toán  –10 < m  0.

3)

(m + 1)x² – 2(m – 1)x + 2m – 3 < 0 có nghiệm. ĐS :

2 17 m 1

 Đặt f(x) = (m + 1)x² – 2(m – 1)x + 2m – 3. Ta có f(x) < 0 vô nghiệm  f(x)  0, x  R

 TH1 : a = 0  m = 1 : f(x) = 4x – 5  0  4

x5  m = 1 (không thỏa)

 TH2 : a  0  m  1 : f(x)  0, x  R

    

_^









 













 









 

0 4 m m

1 m 0 3 m 2 1 m 1 m

1 m 0 '

0 a

2 2



1,56



2 17 m 1

1 m

 

 

 







 

 









Do đó

2 17 m 1

 là điều kiện để f(x) < 0 vô nghiệm. Suy ra rằng f(x) < 0 có nghiệm khi

2 17 m 1



(11)

4)

(m + 1)x² – 2(m – 1)x + 3m – 3  0 có nghiệm. ĐS : m  2 Đặt f(x) = (m + 1)x² – 2(m – 1)x + 3m – 3. Ta có f(x)  0 vô nghiệm  f(x) < 0, x  R

 TH1 : a = 0  m = 1 : f(x) = 4x – 6 < 0  2

x 3  m = 1 (không thỏa)

 TH2 : a  0  m  1 : f(x) < 0, x  R

    













 









 

0 3 m 3 1 m 1 m

1 m 0

' 0 a

2

2 1 m

m 2 m

1 m 0

2 m m

1 m 0

4 m 2 m 2

1 m

2

2  















 













 











 

Do đó m < –2 là điều kiện để f(x) ≥ 0 vô nghiệm. Suy ra rằng f(x) ≥ 0 có nghiệm khi m ≥ –2.

Ghi chú : Bài tập phần 2 sẽ đăng vào đầu tuần sau

Các em xem và làm các ví dụ trước khi làm bài tập.

Sau đó hãy xem bài giải ở dưới.

Chúc các em thành công.