Tiêu đề cho tài liệu: Phép Biến Đổi Đồ Thị Hàm Số y = f(x)

PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(x)

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

1) DẠNG 1 : Phép dời hình đơn giản

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0, ta có:

a) Hàm số y = f(x + a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.

b) Hàm số y = f(x – a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.

c) Hàm số y = f(x) + a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.

d) Hàm số y = f(x) – a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.

Ví dụ 1.1 : Giả sử đồ thị của hàm số y = x⁴ – 2x² – 1 là (C), khi tịnh tiến (C) theo trục hoành qua trái 1 đơn vị thì sẽ được đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. y = x⁴ – 2x². B. y = (x – 1)⁴ – 2(x – 1)² – 1.

C. y = x⁴ – 2x² – 2. D. y = (x + 1)⁴ – 2(x + 1)² – 1.

 Hướng dẫn : chọn D

Đặt y = f(x) = x⁴ – 2x² – 1 (C) thì khi ta tịnh tiến đồ thị (C) theo trục hoành qua trái 1 đơn vị thì sẽ được đồ thị hàm số y = (x + 1)⁴ – 2(x + 1)² – 1.  chọn D

Ví dụ 1.2 : Giả sử đồ thị của hàm số y = f(x) là (C), khi tịnh tiến (C) theo trục hoành qua phải 1 đơn vị thì sẽ được đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. y = f(x) + 1. B. y = f(x + 1).

C. y = f(x – 1). D. y = f(x) – 1.

 Hướng dẫn : chọn C

Khi tịnh tiến (C) theo trục hoành qua phải 1 đơn vị thì sẽ được đồ thị của hàm số có dạng y = f(x – 1).

Ví dụ 1.3 : Giả sử đồ thị của hàm số y = x⁴ – 2x² – 1 là (C), khi tịnh tiến (C) theo trục tung lên trên 1 đơn vị thì sẽ được đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. y = x⁴ – 2x². B. y = (x – 1)⁴ – 2(x – 1)² – 1.

C. y = x⁴ – 2x² – 2. D. y = (x + 1)⁴ – 2(x + 1)² – 1.

 Hướng dẫn : chọn A

Đặt y = f(x) = x⁴ – 2x² – 1 (C) thì khi ta tịnh tiến đồ thị (C) theo trục tung lên trên 1 đơn vị thì sẽ được đồ thị hàm số y = f(x) + 1 = x⁴ – 2x² .  chọn A

Ví dụ 1.4 : Giả sử đồ thị của hàm số y = f(x) là (C), khi tịnh tiến (C) theo trục tung xuống dưới 1 đơn vị thì sẽ được đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. y = f(x) – 1. B. y = f(x – 1).

C. y = f(x) + 1. D. y = f(x + 1).

 Hướng dẫn : chọn A

Khi tịnh tiến (C) theo trục tung xuống dưới 1 đơn vị thì sẽ được đồ thị của hàm số có dạng y = f(x) – 1.

2) DẠNG 2 : Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị (C’) của hàm số y f(x). Ta có :









 

 f(x) khif(x) 0

0 f(x) khi ) f(x)

x ( f y

Từ đây, ta suy ra đồ thị hàm số y f(x) gồm 2 phần:

_ Phần 1 : đồ thị (C) : y = f(x) nằm phía trên trục hoành.

_ Phần 2 : đối xứng của đồ thị (C) : y = f(x) phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Do đó, từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) như sau :

_ Phần của đồ thị (C) ở phía trên Ox thì giữ nguyên (C’)  (C)

_ Phần của đồ thị (C) ở phía dưới trục Ox thì bỏ đi và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox.

 Từ đồ thị (C): y = x³ – 3x suy ra đồ thị (C’): y x³3x. Ta có: ^{y x 3x }_^x



^{x33x3 x}



^{khikhi x x00}

3 3

 Từ đồ thị (C):

1 x

1 y x



  suy ra đồ thị (C’):

1 x

1 y x



  .

Ta có: y = 1 x

1 x



 =









 

 

 



0 ) x ( f 1 Khi x

1 x

0 ) x ( f 1 Khi x

1 x

Do đó đồ thị y = 1 x

1 x



 gồm :

_ Giử nguyên phần trên trục Ox của đồ thị (C).

_ Lấy thêm đối xứng phần còn lại qua trục hoành.

Ví dụ 2.1 : Hàm số y x³3x2 có đồ thị nào dưới đây:

A. B. C. D.

 Hướng dẫn : chọn A

Ta thấy y = x³ 3x2  0 nên đồ thị phải nằm trên trục hoành, loại đáp án B.

Đáp án C, D: hai đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng là hàm chẵn (hàm chẵn có đồ thị đối xứng nhau

Ví dụ 2.2 : Hình bên là đồ thị của hàm số: y = x³ – 3x² + 2. Các giá trị của m để phương trình  x³ – 3x² + 2 

= – m + 2 có 6 nghiệm phân biệt là :

A. 0 < m < 4 B. m < 0

C. m = 0  m = 2 D. 0 < m < 2

 Hướng dẫn : chọn D

Ta có :  x³ – 3x² + 2  = –m + 2. Xét hai đồ thị :

















) d ( 2

m y

) C ( 2 x 3 x

y₁ ^{3 2} ₁

Vì y1 =  x³ – 3x² + 2   0  (C1) ở phía trên Ox.

Mặt khác, ta có : y1 =



























0 2 x 3 x khi ) 2 x 3 x (

0 2 x 3 x khi 2 x 3 x

2 3 2

3

2 3 2

3

Do đó, đồ thị (C1) được suy ra từ đồ thị (C) như sau :

_ Phần của đồ thị (C) ở phía trên Ox thì giữ nguyên (C1)  (C)

_ Phần của đồ thị (C) ở phía dưới trục Ox thì bỏ đi và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox.

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị (C1) và đường thẳng (d) : y = –m + 2 Dựa vào đồ thị, PT đã cho có 6 nghiệm phân biệt  0 < –m +2 < 2  –2 < –m < 0  0 < m < 2  chọn D Ví dụ 2.3 : Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tập hợp tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số y f(x)m có 3 điểm cực trị?

A. m  –3 hoặc m  1. B. m  –1 hoặc m  3.

C. m = –1 hoặc m = 3. D. 1  m  3.

 Hướng dẫn : chọn B

Dựa vào đồ thị đã cho, ta suy ra đồ thị hàm số y f(x)m gồm 2 phần như sau:

_ Phần 1 là phần của đồ thị y = f(x) + m nằm phía trên trục hoành.

_ Phần 2 là phần đối xứng của đồ thị y = f(x) + m nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Khi đó, đồ thị hàm số y f(x)m có 3 điểm cực trị  đồ thị hàm số y = f(x) + m và trục hoành có nhiều

nhất 2 điểm chung 









 













 

3 m

1 m 0 m 3

0 m 1

Ví dụ 2.4 : Cho hàm số y 3x⁴4x³12x²m . Tìm tập hợp tất cả các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị?

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

 Hướng dẫn : chọn B

Xét hàm số y = 3x⁴ – 4x³ – 12x² + m

Txđ : D = R. Ta có: y’ = 12x³ – 12x² – 24x ; y’ = 0

















 2 x

1 x

0 x

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = 3x⁴ – 4x³ – 12x² + m suy ra hàm số y 3x⁴4x³12x²m có 7

cực trị khi 0 m 5

0 m

0 5

m   









 . Vì m  Z nên m 1; 2; 3; 4  có 4 giá trị nguyên  chọn B

Ví dụ 2.5 : Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương m để đồ thị hàm số y f(x1)m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng

A. 9 B. 12.

C. 15. D. 18.

 Hướng dẫn : chọn B

Số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hoành bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x – 1) với trục hoành.

Vì m > 0 nên đồ thị hàm số y = f(x – 1) + m có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f(x – 1) lên trên m đơn vị.

 Nếu 0 < m < 3 thì đồ thị hàm số y f(x1)m có 7 điểm cực trị  loại trường hợp này.

 Nếu m = 3 thì đồ thị hàm số y f(x1)m có 5 điểm cực trị  nhận trường hợp này.

 Nếu 3 < m < 6 thì đồ thị hàm số y f(x1)m có 5 điểm cực trị  nhận trường hợp này.

 Nếu m  6 thì đồ thị hàm số y f(x1)m có 3 điểm cực trị  loại trường hợp này.

Kết hợp các trường hợp trên ta có : 3  m < 6 . Mặt khác, do m  N* nên m 3; 4; 5.

Vậy tổng tất cả các giá trị m của các phần tử S bằng 3 + 4 + 5 = 12  chọn B.

Ví dụ 2.6 : Biết rằng hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f



x2018



m có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các giá trị của tập S bằng

A. 12. B. 15.

C. 18. D. 9.

 Hướng dẫn : chọn A

Nhận xét : Số giao điểm của (C): y = f(x) với trục Ox bằng số giao điểm của (C’) : y = f(x – 2018) với trục Ox. Vì m > 0 (gt) nên (C’’): y = f(x – 2018) + m có được bằng cách tịnh tiến (C’): y = f(x – 2018) lên trên m đơn vị.

 TH1 : 0 < m < 3 : đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị (loại trường hợp này)

 TH2 : m = 3 : đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (nhận)

 TH3 : 3 < m < 6 : đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị (nhận)

 TH4 : m  6 : đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (loại trường hợp này)

Vậy 3  m < 6 và do m  Z* nên m  3, 4, 5  S = 3 + 4 + 5 = 12  chọn A.

3) DẠNG 3 : Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị (C’) của hàm số ^yf

 

^{x .}

Hàm số ^yf

 

^x là hàm chẵn nên đồ thị (C’) nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Ta có :

 









 

 f( x) khix 0 0 x khi )

x ( x f f y

Do đó, đồ thị (C’) được suy ra từ đồ thị (C) như sau : _ Phần của đồ thị (C) bên phải trục Oy giữ nguyên.

_ Phần của đồ thị (C) bên trái trục Oy thì bỏ đi và lấy phần đối xứng của phần bên phải của (C) qua trục Oy.

 Từ đồ thị (C): y = x³ – 3x suy ra đồ thị (C’): y x ³3 x . Ta có: ^{y x 3x }_^{xx33x3 x}



^x33x



^{khikhi x x00}

3 3

Ví dụ 3.1 : Cho đường cong (C) (hình 1). Hỏi đường cong (C’) (hình 2) là dạng đồ thị của hàm số nào?

A. y x ³3x B. y x³3x C. yx³3x D. y x³ 3x

 Hướng dẫn : chọn D

Nhận thấy rằng đồ thị (C) hình 1 ban đầu có dạng chữ N (hoặc dấu ngã) nên là đồ thị hàm bậc ba.

Vì ta xóa phần bên trái trục tung và lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung nên loại B và C.

Nhận thấy x  (– ; –1), đồ thị đi từ + về –2 nên chọn D.

Ví dụ 3.2 : Cho hàm số y = x³ – 6x² + 9x có đồ thị như hình 1. Khi đó hình 2 là của hàm số nào dưới đây?

A. y x ³6x²9 x B. y = –x³ + 6x² – 9x C. y x³6x² 9x D. y x ³6x² 9 x

 Hướng dẫn : chọn D

Nhận thấy rằng đồ thị xóa phần bên trái trục tung và lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung nên loại B và C. Từ đây suy ra đây là dạng đồ thị y x ³6x² 9 x  chọn D

Ví dụ 3.3 : (ĐẠI HỌC A 2006)

Hình bên là đồ thị của hàm số: y = 2x³ – 9x² + 12x – 4. Các giá trị của m để phương trình 2 x ³9x² 12 x m có 6 nghiệm phân biệt là:

A. 4 < m < 5 B. m < 0

C. m = 0  m = 2 D. 0 < m < 1

 Hướng dẫn : chọn A

Ta có : 2 x ³9x²12 x m2 x ³9 x ²12 x 4m4

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 4

x 12 x 9 x 2

y ³ ²   và đường thẳng y = m – 4.

Hàm số y2 x ³9 x ² 12x 4 là hàm chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đặt























 







 2x 9x 12x 4 nếu x 0

0 x nếu 4

x 12 x 9 x 4 2 x 12 x 9 x 2

y _{3 2}

2 3 3 2

1

Từ đồ thị hàm số y = 2x³ – 9x² + 12x – 4 ta suy ra đồ thị của hàm số 4

x 12 x 9 x 2

y ³ ²   .

Ta có đồ thị của y1 là đồ thị của hàm số ở câu 1 khi x  0 và lấy đối xứng qua trục Oy khi x  0. Dựa vào đồ thị, PT đã cho có 6 nghiệm phân biệt  0 < m – 4 < 1  4 < m < 5.  chọn A.

Ví dụ 3.4 : Hình bên là đồ thị của hàm số y = 2x³ – 3x². Sử dụng đồ thị của hàm số đã cho tìm tát cả các giá trị của m để phương trình ^{16 x 312x2}



^x21

 

^mx21



³ có nghiệm.

A. Với mọi m. B. –1  m  4. C. –1  m  0. D. 1  m  4.

 Hướng dẫn : chọn C

Ta có : ^{16 x 312x2}



^x21

 

^mx21



³

1 m x 12 x 1 x 16 x

2 2 3

2  



 





 

  m

1 x

x 3 2 1 x

x 2 2

2 2 3

2  



 





 

 

Đặt 0

1 x

x t 2₂ 

  , t  [0 ; 1]  Phương trình  2t³ – 3t² = m (*) Xét đồ thị hàm số y = 2t³ – 3t², t  [0 ; 1] và đường thẳng y = m.

Dựa vào đồ thị (ứng với x  [0 ; 1] trên trục Ox tương ứng với mọi y  [–1 ; 0] trên trục Oy) ta thấy PT đã cho có nghiệm khi (*) có nghiệm thuộc đoạn [0 ; 1]  –1  m  0.  chọn C Chú ý : Điều kiện của t có thể bấm máy : MODE + 7 :

1 x

x ) 2

X (

F ₂

 



^{vìx 1 x 1}



1 1 x

x 2 x

2 x 2 1 x

x 2 x 2

1 1 x x 1 2 1 . x 2 1

x^{2 2} _{2 2 2}  ²   ² 

 

 



 









4) DẠNG 4 : Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị (C’’) của hàm số ^{y f}

 

^{x .}

Với dạng ^{y f}

 

^x ta lần lượt biến đổi hai đồ thị ^yf

 

^{x và y f(x)}

 Từ đồ thị (C): y = x³ – 3x suy ra đồ thị (C’): y x ³3 x bằng các bước sau:

Bước 1 : Biến đổi đồ thị (C): y = f(x) để được đồ thị (C’): y x ³3 x .

Bước 2 : Biến đổi đồ thị (C’): y x ³3 x để được đồ thị (C’’): y x ³3 x .

Ví dụ 4.1 : Trong các đồ thị hàm số sau, đồ thị nào là đồ thị của hàm số y x ³3 x 1 :

 Hướng dẫn : chọn D

Từ đồ thị (C): y = x³ – 3x + 1 suy ra đồ thị (C’): y x ³3 x 1và tiếp tục biến đổi đồ thị (C’) ta sẽ có được đồ thị (C’’): y x ³3 x 1  chọn D.

Ví dụ 4.2 : Biết khoảng (a ; b) chứa tất cả tham số m thỏa mãn điều kiện phương trình 2

m 1 x 3

x ³   

 có 6 nghiệm phân biệt. Tính giá trị của biểu thức S = a + b ?

A. S = 3. B. S = 4.

C. S = 6. D. S = 8.

 Hướng dẫn : chọn D

Bước 1 : Vẽ đồ thị (C): y = –x³ + 3x + 1

Bước 2 : Biến đổi đồ thị (C) thành (C’): y x ³3 x 1

Bước 3 : Biến đổi đồ thị (C’): y x ³3 x 1 để được đồ thị (C’’):

1 x 3 x

y  ³  .

Từ đồ thị của hàm số (C’’): y  x ³3 x 1 , ta thấy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt 1 < m – 2 < 3  3 < m < 5  m  (3 ; 5)  S = a + b = 3 + 5 = 8  chọn D.

Ví dụ 4.3 : Khi m thay đổi trên R thì phương trình 2017 x ³x²2018 x 4 m²3 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

A. 6 B. 3 C. 2 D. 0

 Hướng dẫn : chọn D

Ta thấy vế trái của phương trình không âm. Trong khi đó vế phải –m² – 3 < 0, m nên phương trình luôn vô nghiệm với mọi tham số m  chọn D

Ví dụ 4.4 : Khi m thay đổi trên R thì phương trình x ³x² x 4 m²4 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

A. 2 B. 3

C. 4 D. 6

 Hướng dẫn : chọn B

Số nghiệm của phương trình x ³x² x 4 m²4 bằng số giao điểm của đường thẳng y = m² + 4 và đồ thị hàm số y x ³x² x 4

Vì vế phải m² + 4  4, m và nhìn vào đồ thị y x ³x² x 4 , ta thấy số giao điểm của đường thẳng y = m² + 4 và đồ thị hàm số luộn nhỏ hơn hoặc bằng 3. Vậy phương trình đã cho có nhiều nhất 3 nghiệm  chọn B

Ví dụ 4.5 : Tính tổng tất cả các tham số m thỏa điều kiện phương trình x ³2x² x 2 m²5m6 có đúng 5 nghiệm thực phân biệt?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

 Hướng dẫn : chọn D

Số nghiệm của phương trình x ³2x² x 2 m²5m6 bằng số giao điểm của đường thẳng y = m² – 5m + 6 và đồ thị hàm số

2 x x 2 x

y ³ ² 

Từ đồ thị của hàm số y x ³2x² x 2 , phương trình đã cho có 5

nghiệm  m² – 5m + 6 = 2  m² – 5m + 4 = 0  m = 1  m = 4  m1 + m2 = 1 + 4 = 5.  chọn D

Ví dụ 4.6 : Biết rằng phương trình 2x³ + bx² – cx – 1 = 0 có đúng 2 nghiệm thực dương phân biệt. Hỏi đồ thị hàm số y 2 x ³bx²c x 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3 B. 7 C. 5 D. 6

 Hướng dẫn : chọn B

Vì phương trình 2x³ + bx² – cx – 1 = 0 có đúng 2 nghiệm thực dương phân biệt nên đồ thị hàm số y = 2x³ + bx² – cx – 1 (C) phải cắt trục hoành tại đúng 2 điểm có hoành độ dương trong đó điểm cực đại của đồ thị hàm số là một trong hai điểm đó. Từ đồ thị (C) có dạng như hình 1 ta suy ra đồ thị

1 x c bx x

2

y ³ ²  có dạng như hình 2

Nhìn vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị.

5) DẠNG 5 : Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị (C’) của hàm số ^yf



^{x m}



^.

 Bước 1 : Tịnh tiến đồ thị y = f(x) sang phải (nếu m < 0), sang trái (nếu m > 0) m đơn vị.

 Bước 2 : Xóa bỏ phần đồ thị vừa nhận được phía bên trái trục tung và giử nguyên phần đồ thị vừa nhận được phía bên phải trục tung.

 Bước 3 : Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.

Ví dụ 5.1 : Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 2 có đồ thị như hình vẽ bên, đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số ^y^f



^x ¹



?

A

A. B. C. D.

 Hướng dẫn : chọn C

Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f(x) sang trái một đơn vị.

Giữ nguyên phần đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung.

Xóa phần đồ thị hàm số nằm bên trái trục tung.

Lấy phần đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục tung qua trục tung.

Từ đây ta có đồ thị hàm số yf



x 1



 chọn C

Ví dụ 5.2 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Hỏi hàm số ^y^f



^x ²



có bao nhiêu điểm cực trị?

A. . B. .

C. . D. .

 Hướng dẫn : chọn B

Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f(x) sang trái một đơn vị.

Giữ nguyên phần đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung.

Xóa phần đồ thị hàm số nằm bên trái trục tung.

Lấy phần đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục tung qua trục tung. Từ đây ta có đồ thị hàm số



x 2



f

y   chọn C

Ví dụ 5.3 : Biết rằng hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình f



x 1



2m có 6 nghiệm phân biệt?

A. 0 < m < 1. B. –1 < m < 0.

C. –1 < m < 1. D. không tồn tại m.

 Hướng dẫn : chọn C

Từ đồ thị hàm số đã cho ta suy ra đồ thị : (C1) : y = g(x) = f(x – 1) và đồ thị (C2) : y = g( x )

Suy ra phương trình f



x 1



2m có 6 nghiệm phân biệt  –2 < 2m < 2  –1 < m < 1. Chọn đáp án C.

2 5

1 3

Ví dụ 5.4 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tập hợp tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số yf



x m



có 5 điểm cực trị?

A. m > 1.

B. m < –1.

C. m > –1.

D. m < 1.

 Hướng dẫn : chọn B

Nhìn vào hình vẽ, để hàm số ^yf



^{x m}



có 5 điểm cực trị thì ta cần tịnh tiến đồ thị sao cho điểm cực đại sang phải và nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Do đó ta phải chọn m < –1.

Khi đó, ta được đồ thị của hàm số ^yf



^{x m}



như hình bên.

Ví dụ 5.5 : Cho hàm số y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d



a0



có đồ thị như hình bên.

Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ^yf



^{x m}



có 5 điểm cực trị là:

A. m  –1. B. m < –1

C. m  –1 D. m > 1

 Hướng dẫn : chọn B

Ta thấy hàm số yf



x m



là một hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua qua trục Oy. Mặt khác



^{x m}



^f



^{x m}



f

y    , x  0. Ta có phép biến đổi từ đồ thị hàm số y = f(x) thành đồ thị hàm số



^{x m}



f

y  như sau:

 Nếu m > 0:

Bước 1: Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f(x) sang trái m đơn vị.

Bươc 2: Xóa phần bên trái Oy của đồ thị thu được ở bước 1.

Bước 3: Lấy đối xứng đồ thị thu được ở bước 2 qua Oy.

 Nếu m = 0:

Bước 1: Giữ nguyên phần nằm bên phải Oy của đồ thị hàm số y = f(x), xóa phần nằm bên trái Oy của đồ thị hàm số y = f(x).

Bước 2: Lấy đối xứng phần nằm bên phải Oy của đồ thị hàm số y = f(x) qua Oy.

 Nếu m < 0:

Bước 1: Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f(x) sang phải m đơn vị.

Bươc 2: Xóa phần bên trái Oy của đồ thị thu được ở bước 1.

Bước 3: Lấy đối xứng đồ thị thu được ở bước 2 qua Oy.

Quan sát ta thấy đồ thị hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

Để đồ thị hàm số ^y^f



^x ^m



có 5 điểm cực trị thì nhánh bên phải Oy của đồ thị hàm số ^y^f



^x ^m



phải có 2 điểm cực trị

 Điểm cực trị (–1 ; 4) của đồ thị hàm số y = f(x) phải được tịnh tiến sang phải Oy  m < –1.  chọn B

6) DẠNG 6 : Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = u(x).v(x) suy ra đồ thị (C’) của hàm số y u(x) .v(x).

Ta có : y u(x) .v(x)  

  

u(x).v(x) nếu u(x) 0 u(x).v(x) nếu u(x) < 0 Do đó, đồ thị (C’) được suy ra từ đồ thị (C) như sau :

_ Giử nguyên phần của đồ thị (C) ứng với u(x)  0 của đồ thị (C): y = f(x).

_ Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0, đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

 Từ đồ thị (C):y2x³3x²1 suy ra đồ thị ^{(C'):y x1}



^2x2x1



^.

Ta có:

 









 







 f(x) khix 1

1 x khi ) x ( 1 f

x x 2 1 x

y ²

Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị (C’) như sau:

_ Giử nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  1.

_ Bỏ phần đồ thị (C) ứng với x < 1, đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua trục hoành.

Ví dụ 6.1 : (ĐỀ MINH HỌA 2017)

Hàm số y = (x  2)(x²  1) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số ^{y x2}



^{x2 1}



^?

 Hướng dẫn : chọn A

Đặt (C) : ^f(x)



^x2

 

^x21



^{x32x2x2} là đồ thị đã vẽ.

Ta có (C’) :

 









 





 f(x) khix 2 2 x khi )

x ( 1 f x 2 x

y ²

Từ đồ thị (C) ta suy ra cách vẽ đồ thị (C’) như sau : _ Giử nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  2.

_ Phần của đồ thị (C) ứng với x < 2 thì bỏ đi và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox.

Đồ thị của hàm số ^y ^x²



^x2 ¹



là đáp án A

BÀI TOÁN : Cho hàm số : y = 1 x

1 x



 có đồ thị (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Dựa vào đồ thị (C), vẽ các đường sau : a) y =

1 x

1 x



 b) y = 1 x

1 x



 c) y = 1 x

1 x



 d)  y  = 1 x

1 x





 Hướng dẫn :

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

2) Dựa vào đồ thị (C), vẽ các đường sau : a) y =

1 x

1 x





Ta có: y = 1 x

1 x



 =









 

 

 



0 ) x ( f 1 Khi x

1 x

0 ) x ( f 1 Khi x

1 x

Do đó đồ thị y = 1 x

1 x



 gồm :

_ Giử nguyên phần trên trục Ox của đồ thị (C).

_ Lấy thêm đối xứng phần còn lại qua trục hoành.

b) y = 1 x

1 x





Ta có:

1 x

1 y x



  =













 

 

 



1 x và 1 x 1 Khi x

1 x

1 x 1 Khi

x 1 x

Dựa vào đồ thị (C) suy ra cách vẽ như sau : _ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với x  1.

_ Phần đồ thị (C) ứng với 1x1 thì bỏ đi và thay bằng hình đối xứng của nó qua trục hoành.

c) y =

1 x

1 x





Dựa vào đồ thị (C) suy ra cách vẽ như sau :

_ Bỏ phần bên trái trục tung, giữ nguyên phần bên phải Oy của (C).

_ Lấy thêm đối xứng của phần bên phải của trục oy qua Oy.

d)  y  = 1 x

1 x



 Điều kiện :







 



 1 0 x

1 x

1 x

Dựa vào đồ thị (C) suy ra cách vẽ như sau : _ Giữ nguyên phần trên trục Ox của đồ thị (C).

_ Lấy thêm đối xứng của phần đó qua Ox.