Đoàn Ngọc Dũng -

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

BÀI 1 : Giải các phương trình sau : (Phương trình lượng giác cơ bản)

1) 2

3 12

x 7 2

sin 



 



 

 ĐS:     k

x 24 8 k

x (k  Z)

2) 1 0

x 12 cos

2  



 



   ĐS:    k2

x 6 2 3 k

x (k  Z)

3) 3

3 x 10

5

tan 



 



   ĐS:

k5

x75   (k  Z)

4) 3 0

x 7 2 cot

3  



 



   ĐS:

k2 21

x 2 



 (k  Z)

5) sinx + cosx = 0 ĐS :  k

4

x 3 , k  Z

6) tanx – cotx = 0 ĐS :

2 k

x4 , k  Z

7) 2

x 1

sin  ĐS : k2

x 6   k2 6

x 5   k2 6

x 7

8) sin²x = 2

1 _{ĐS :}

2 k

x 4 



 , k  Z

9) _



 



  





 



 

x 10 5 sin

x 3

sin ĐS:

2 k 40 x 11 20 k

x3     (k  Z)

10) 



 



  





 



  

5 x 2 5 3 cos

x 2

cos ĐS:

7 k2 105 x 11 3 k2

x45      (k  Z)

11) 



 



 









 



 

 tan x 10 x 5

7

tan ĐS:

k8 80

x3  (k  Z)

12) _



 



  





 



 

x 10 3 cot 2 x 5

3

cot ĐS:

7 k3 70

x9  (k  Z) 13) cos²(x –30^o) – sin²(x –30^o) = sin(x + 60^o) ĐS : x = 30^o + k.120^o, k  Z

14) tan5x.tan3x = 1 ĐS :

k8

x16  , k  Z 15) 4cos



2x1



 6 2 0 ĐS :   k

24 5 2

x 1 , k  Z

16) sinx

1 x cos x 3 sin

8   ĐS :

2 k x 12

6 k

x     , k  Z

17) sinx

x 6 x sin 4 cos . x 2 cos . x cos

8  ĐS :

7 k

x14  , k  Z

18) 2

3 x 2 sin 2 x sin 3 x

cos 



 



 





 ĐS:    k2

x 6 2 3 k

x (k  Z)

19) sinx + cosxsin2x + 3cos3x = 2(cos4x + sin³x) ĐS:

7 k2 x 42

2 6 k

x      ĐH B 2009

20) cos 1

sin 12 2

2  



 



x  x ĐS: x = k

4 ; x =k

3 (k  Z) DBĐH 2007

21) cos3xcos³x – sin3xsin³x = 8

2 3 2

ĐS: x = 

k2 16

 

 (k  Z) DBĐH 2006

22) sin2x –2 2(sinx + cosx) – 5 = 0 ĐS: x = –3/4 + k2 (k  Z) DBĐH 2004

23) 3 ) x sin 1 )(

x sin 2 1 (

x cos ) x sin 2 1

( 





 ĐS:

3 2 k

x18  , k  Z ĐH A 2009

24) 3cosx sinx 0

x 4 cos 2

2 ³   



 



 

 ĐS: x = 

2 k  x = 4

 + k (k  Z) DBĐH 2005

25) tan⁴x + 1 =

x cos

x 3 sin ) x 2 sin 2 (

4

 2 ĐS: x =

18

 + 3 2

k   x = 18 5 +

3 2

k  _{BĐH 2002}

26) cotx + sinx _



 

 

2 tanx . x tan

1 = 4 ĐS: x =

12

 + k  x = 12

5 + k (k  Z) ĐH B 2006

27) 1

1 x cos 2

4 2 sin x 2 x cos ) 3 2

( ²

 



 



 







ĐS: x =   2 3 k

4 (k  Z) DBĐH 2003

28) 3cosx 2

2 cosx 2 sinx

2



 



 



  ĐS:    k2

x 6

; 2 2 k

x (k  Z) ĐH D 2007

29) 3cos5x2sin3xcos2xsinx0 ĐS:

k2 x 6

k3

x18     ĐH D 2009

30) cos x

1 x 2 x cos tan 3 2 x

tan  ²  ₂ 



 

  ĐS: x = –

4

 + k (k  Z) DBĐH 2005

31) (2sin²x – 1)tan²2x + 3(2cos²x – 1 ) = 0 ĐS: x =  k 2 6

 

 (k  Z) DBĐH 2006

32) sin 5x2cos x² 1 ĐS: 2 2

x k x k

6 3 14 7

   

       ĐH B 2013

33) Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; ) của phương trình _



 



  





 4

x 3 cos 2 1 x 2 cos 2 3

sin x

4 ^{2 2} DBĐH 2005

ĐS: x = 18

5  x = 18

17  x = 6 5

34) Tìm x thuộc đoạn [0 ; 14] nghiệm đúng phương trình : cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 ĐH D 2002

ĐS: x =

2

 , x = 2 3, x =

2 5, x =

2 7

BÀI 2 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình lượng giác bằng cách biến đổi tích thành tổng)

1) sin4x.sin7x = cos3x.cos6x ĐS :      k

x 2 10 k

x 20 , k  Z DBĐH 2004

2) cosx.cos7x = cos3x.cos5x ĐS :

4 x k 2

xk   , k  Z

3) cos11x.cos3x = cos17x.cos9x ĐS :

6 x k 20

xk   , k  Z

4) sin18x.cos13x = sin9x.cos4x ĐS :

22 k x 44

9

xk    , k  Z

5) x cos2x

sin 6 6 x

sin . x cos

4 



 

 



 

  ĐS :

5 2

xk  , k  Z

6) 2

1 2

x sin3 2 sinx x 2 sin

x cos3 2 cosx x

cos       ĐS :         k2 6 x 5

; 2 6 k x

; 2 2 k x

; 4 k x

BÀI 3 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình lượng giác bằng cách biến đổi tổng thành tích) 1) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 ĐS :     xk2

5 2 k x 5

2 k

x , k  Z

2) 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0 ĐS :

3 2 k x 3

2 k

x    , k  Z

3) sin2x + sin4x = sin6x ĐS :    xk 3

x k 2

x k , k  Z

4) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 ĐS :

5 2 k x 5

2 k

x    , k  Z 5) sin3x – sinx + sin2x = 0 ĐS : k2xk2xk

x 3 , k  Z

6) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x ĐS :        k2 6 x 7 k x 2 6 k x 2 3 k x

BÀI 4 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình lượng giác bằng công thức hạ bậc) 1) sin²3x – cos²4x = sin²5x – cos²6x ĐS :

9 x k 2

xk  , k  Z

2) 2

x 3 4 cos x 3 cos x 2 cos x

cos²  ²  ²  ²  ĐS :

k4 x 8

5 2

xk     3) sin²4x + sin²3x = sin²2x + sin²x ĐS : x =  

2 k  x = 5

k  x = 2

k , k  Z 4) sin²xsin²3x2cos²2x0 ĐS :

2 k x 8

2 k

x    , k  Z

5) 2

x 3 3 cos x 2 cos x

cos²  ²  ²  ĐS :

4 k x 8

3 k

x    , k  Z 6) cos²xcos²2xcos²3xcos²4x2 ĐS :

5 k x 10

2 k

x4     , k  Z BÀI 5 : Giải các phương trình sau : (Phương trình lượng giác có chứa tổng của sinx và cosx)

1) sinx + cosx = 2 ĐS : k2

x 4 , k  Z

2) sin2x – cos2x + sinx = cosx ĐS : x =

3 2 k 6

 

  x =  + k2 , k  Z

3) 4

1 x 4

sin x

cos^{4 4} 



 



 

 _{ĐS : }^_{  }^_k_

x 4 2 k

x , k  Z

4) (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 1 ĐS : x =

3 2 k 6

 

  x = k2 , k  Z 5) 1tanx2 2sinx ĐS : x = /4 + k2, k  Z

BÀI 6 : Giải các phương trình sau : (Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx)

1) 5sinx + 2cosx = 4 ĐS : x  

2) 3cosxsinx 2 ĐS : x =   2 12 k

11  x =  

 k2 12

7 , k  Z

3) 3sinx + 4cosx = 5 ĐS : x = k2, k  Z

4) sin²x + 6cosx = 3cos²x + 2sinx ĐS :         k2 x 12

2 12 k x 5 3 k

x , k  Z

5) sin4x + 3cos4x = 3 ĐS :

2 xk 

2 k

x12  , k  Z 6) 3cos3xsin3x 2 ĐS :

3 2 k x36   

3 2 k 36

x5 , k  Z 7) 3sin3x 3cos9x14sin³3x ĐS :

9 2 k x18   

9 2 k 54

x 7 , k  Z 8) cos7x.cos5x 3sin2x1sin7x.sin5x ĐS : k

x 3  x = k , k  Z 9) 4sin³x.cos3x4cos³xsin3x3 3cos4x3 ĐS :

k2 x 8

k2

x24    , k  Z

10) Cho phương trình : a 3 x cos 2 x sin

1 x cos x sin

2 







 (a là tham số)

a) Giải phương trình khi 1 a3

b) Tìm a để phương trình có nghiệm. ĐS : x/4k ; 1/2  a  2 BÀI 7 : Giải các phương trình sau : (Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác) 1) 2cos2x + cosx = 1 ĐS : x =  + k2  x = k2, k  Z 2) 2cos²(x90^)5sin(x90^)4 ĐS : x = 120⁰ + k.360⁰  x = 240⁰ + k.360⁰

3) 2cos²x + 2cosx – 2 = 0 ĐS :  



 k2

x 4 , k  Z

4) 4cos²x – 2



^31



^{cosx + 3 = 0 ĐS :   k2}

x 6 2 3 k

x , k  Z

5) tan²x +



^{1 3}



^{tanx – 3 = 0 ĐS :    k}

x 3 4 k

x , k  Z

6) cos2x + 9cosx + 5 = 0 ĐS :  k2

3

x 2 , k  Z

7) cos²x + sinx + 1 = 0 ĐS : x = –/2 + k2, k  Z

8) sin²2x – 2cos²x + 4

3 = 0 ĐS :  











 k

x 6 6 k

x , k  Z

9) cos²3x.cos2xcos²x0 ĐS : 2

xk, k  Z 10)sin2xcos2x3sinxcosx20 ĐS :  

 k2

x 2 ; xk2;  

 k2

x 6 ;  

 k2 6 x 5

11) 1

2 sin 1

1 cos 2 ) 2 3 sin 2 (

cos ² 







 x

x x

x ĐS :  k2

x 4 , k  Z

12) cos _



 



  

3 x 2

2 + 4sin _



 



  x 3 =

2

5 ĐS :    k2 x 2

2 6 k

x , k  Z

13) tanx + 3cotx –



^{1 3}



^{= 0 ĐS :    k}

x 3 4 k

x , k  Z

14) cos3x – 2cos2x = 2 ĐS :    k2

3 x 2 2 k

x , k  Z

15) 2sin²x – cos²x – 4sinx + 2 = 0 ĐS : k2xk2xk2 x 2

16) 3cos2x4cos³xcos3x0 ĐS : k2xk2

x 3 , k  Z

17) sin⁴2xcos⁴2xsin2x.cos2x ĐS :

2 k

x8 , k  Z 18) 32sinxsin3x3cos2x ĐS : xk, k  Z

19) x 3 0

2 cot 9 2 ) x 7

tan(  



 



 





 ĐS : k

x 4 , k  Z

20) 1

x sin 5

x 5

sin  ĐS : x  

21) sin2x

x 4 cos x 2

tan x

cot   ĐS :  



 k

x 3 , k  Z

22) cos 2x

16 x 17 cos x

sin⁸  ⁸  ² ĐS :

k4

x 8 , k  Z

23) sin2x

x 2 2 sin 4 x tan x

cot    ĐS :  



 k

x 3 , k  Z

24) 8sin2x x 1

2 2cot 1 x

2 sin 5

x cos x

sin⁴  ⁴   ĐS : k

x 6 , k  Z

25)

 

₀

x sin 2 2

x cos x sin x sin x cos

2 ^{6 6} 





 ĐS :  

 2k 4

x 5 , k  Z

26)

   

₁

x 2 sin 1

x cos 1 x cos x sin 2

3 ² 







 ĐS : xk2, k  Z

27) sin4x

2 x cos

1 x 2 sin

1   ĐS :  









 k2

6 x 5 2 6 k

x , k  Z

28) _{cos 4x}

4 x tan 4 x

tan

x 2 cos x 2

sin4 4 4





 

 



 

 

 ĐS :

2

x k, k  Z

29) 2sin²x + 7sinx – 4 = 0 ĐS:  









 k2

6 x 5 2 6 k

x , k  Z THPTQG 2016

30) sin2x

2x 2 4sin tanx

cotx   ĐS: x = 

3

 + k (k  Z) ĐH B 2003

31)

 

₀

x sin 2 2

x cos x sin x sin x cos

2 ^{6 6} 





 ĐS: x =

4

5 + h2 (h  Z) ĐH A 2006

32)

(1 sin x cos 2x) sin x 4 1

cos x

1 tan x 2

 

     

 ĐS:  











 k2

6 x 7 2 6 k

x ĐH A 2010

33) tanx cotx

x sin

x 2 cos x cos

x 2

sin    ĐS: x =   2

3 k (k  Z) DBĐH 2007

34) cos²3x.cos2x – cos²x = 0 ĐS: x = 2

k (k  Z) ĐH A 2005

35) 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan²x ĐS: x = 6

 + k2 ; x = 6

5 + k2 ĐH B 2004

36) 0

2 3 x 4

3 4 sin x cos x sin x

cos^{4 4}  



 



  



 



  



 ĐS: x =

4

 + k (k  Z) ĐH D 2005

37) 8sin2x

x 1 2 2cot 1 x

2 sin 5

x cos x

sin^{4 4}



  ĐS: x =  k

6 , k  Z DBĐH 2002

38) cos2x + cosx(2tan²x – 1) = 2 ĐS: x =  + k2  x =   2

3 k (k  Z) DBĐH 2003

39) 4(sin³x + cos³x) = cosx + 3sinx ĐS: x =  3

 + k  x = 4

 + k (k  Z) DBĐH 2004

BÀI 8 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình tích) 1) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 ĐS :    k2

6 x 5 2 6 k

x , k  Z

2) cos3x4cos2x3cosx40 ĐS : x/2k, k  Z 3) sin⁴x – cos⁴x = 1 +2 2sinxcosx ĐS : k

x 2  xk, k  Z 4) 1 + tanx = sinx + cosx ĐS : kxk2

x 4

5) sin2x2cos2x1sinx4cosx ĐS : x =  /3 + k2 (k  Z) 6)sin³xcos3xcos³xsin3xsin³4x ĐS :

k4 x12  ;

k4

x12   , k  Z

7) 



 

 





 2

tanx x tan 1 x sin x cos x cos x

tan ² ĐS : xk2, k  Z

8) 3tanx



tanx2sinx



6cosx0 ĐS : k

x 3 , k  Z

9)

  

21 sinx



x cos x sin

1 x cos x

cos²  



 ĐS : k2

x 2 ; xk2, k  Z

10) 2

x cos 1

x x sin

2

tan 3 

 



 



  ĐS : k2

x 6 ;  k2 6

x 5 , k  Z

11) 0

2 cos x x 4 tan 2

sin² x  ²  ² 



 



  ĐS : xk2; k

x 4 , k  Z

12) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 ĐS : x/2k2, k  Z

13) 3

x 3 cos x 2 cos x cos

x 3 sin x 2 sin x

sin 







 ĐS :

k2

x6 , k  Z

14) 3

x 3 sin 5

x 5

sin  ĐS : xk  k

x 2 , k  Z

15) sin 2xcos 2x3sinxcosx 1 0 ÑS:     k2 6

x 5 2 6 k

x ÑH D 2010

16) _



 



 





 



  

 x

4 sin 7 4 2 x 3 sin

1 x

sin

1 ÑS:      k

8 x 5

; 8 k x

; 4 k

x ÑH A 2008

17) 3cos4x – 8cos⁶x + 2cos²x + 3 = 0 ÑS: x = 2 k 4

 

  x = k , k  Z DBÑH 2003

18) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx ÑS: x = – k

4 ; x = k (k  Z) DBÑH 2007

19) sin³x 3cos³xsinxcos²x 3sin²xcosx ÑS:    k x 3

2 ; k

x 4 (k  Z) ÑH B 2008

20)2(cosx 3sinx)cosxcosx 3sinx1 ÑS:    k2 3

x 2 3 2

x k ÑH B 2012

21) cot x 1 ^{cos 2x} sin x^{2 1}sin 2x

1 tan x 2

   

 ÑS: x =

4

 + k (k  Z) ÑH A 2003

22) (1sin²x)cosx(1cos²x)sinx1sin2x ÑS:   k2,xk2 x 2

, 4 k

x ÑH A 2007

23) 2

1 x 6

2 3 sin

x sin

2 



 



 





 



  ÑS:    k2 x 2

3 k

x , k  Z. DBÑH 2008

24) sin^{2 x} tan x cos^{2 2 x} 0

2 4 2

   

 

  ÑS: x =  + k2  x = –

4

 + k (k  Z) ÑH D 2003

25) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0. ÑS: x =  3

2 + k2  x = – 4

 + k ÑH B 2005

26) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 ÑS: x = k  x =  2/3 + k2 (k  Z) ÑH D 2006

27) (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0 ÑS: x =

4 k 2

 _  (k  Z) ÑH B 2010

28) 2sinxsin2x

x cot 1

x 2 cos x 2 sin 1

2 





 ÑS:     k2

x 4 2 k

x , k  Z. ÑH A 2011

29) sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx x = 2

+ k2  x =  + k2 x =k2

3 ^{ÑH B 2011}

30) 0

3 x tan

1 x sin x cos 2 x 2

sin 







 ÑS:  k2

x 3 , k  Z. ÑH D 2011

31) 3sin2xcos2x2cosx1 ÑS:     k2xk2 3

x 2 2 k

x ÑH A 2012

32) 2 x cos 1

x x sin

2

tan 3 

 



 



  ĐS: x =

6

 + k2 ; x = 6

5 + k2 (k  Z) DBĐH 2005

33) 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 ĐS: x =  / 3 k  , k  Z DBĐH 2003

34) 2cos²x +2 3sinxcosx +1 = 3(sinx + 3cosx) ĐS: x = ² k 3

  (k  Z) DBĐH 2007

35) sin²3x – cos²4x = sin²5x – cos²6x ĐS: x = 9

k  x = 2

k , (k  Z) ĐH B 2002

36) 2

cos3 4 2

cos 2 4 2

sin 5x x  x



 



 





 



  ĐS: x =

3 2 3

 

 k ; x = 

2 k2 ; x =k2 DBĐH 2007

37) (2cos x 1)(2sin x cos x) sin2x sin x    ĐS: x =  3

 + k2  x = – 4

 + k (k  Z) ĐH D 2004

38) 2sin²2xsin7x1sinx ĐS:

k4 x 8  ;

3 k2 x18  ;

3 k2 18

x5  ĐH B 2007

39) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx ĐS:     k x 4

; 2 3 k

x 2 (k  Z) ĐH D 2008

40) sin3xcos3xsinxcosx 2cos2x ĐS:       k2 x 12

2 12 k x 7 2 k

x 4 ĐH D 2012

41)tan x cos x cos x sin x 1 tan x.tan^{2 x} 2

 

      ĐS: x = k2 , k  Z DBĐH 2002

42) 2(1 sinx)

x cos x sin

) 1 x (cos x

cos²  



 ĐS: x = k2

2  x =  + k2, k  Z DBĐH 2003

43) cotx = tanx +

x 2 sin

x 4 cos

2 ĐS: x =  

 k

3 , k  Z DBĐH 2003

44) 1sinx  1cosx 1 ĐS: x =   2

2 k  x = k2 (k  Z) DBĐH 2004

45) _



 



  



 2 2cos x 4 x

sin 1 x cos

1 ĐS: x = 

4

 + k (k  Z) DBĐH 2004

46) sinx + sin2x = 3(cosx + cos2x) ĐS: x =  + k2  x =

3 k2 9

2  (k  Z) DBĐH 2004

47) sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0 x = 6

+k2; x = 6

5+ k2; x =  2

2 k ; x = +k2 DBĐH 2005

48) 2sinxcos2x + sin2xcos2x = sin4xcosx ĐS: x =  3

2 + k2 ; x = k ; x = k2 4

 

 DBĐH 2005

49) 4sin 1

2 6 sin

2  



 



 x x _{= 0} ĐS: x = k  x =

6

7 + k2 (k  Z) DBĐH 2006

50) cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0 ĐS: x = 

2 k2  x =  + k2  x = 4

 + k DBĐH 2006

51) cos³x + sin³x + 2sin²x = 1 ĐS: x = k2

2  x = k2  x = – 4

 + k DBĐH 2006

52) 4sin³x + 4sin²x + 3sin2x + 6cosx = 0 ĐS: x = k2

2  x = 

3

2 + k2 (k  Z) DBĐH 2006

53) 2cot2x

x 2 sin

1 x sin 2 x 1 sin x 2

sin     ĐS: x =

2 4

 

 k (k  Z) DBĐH 2007

54) tanx = cotx + 4cos²2x. ĐS: x = k2 4

 

 ; x =

k2 8

 

 (k  Z) DBĐH 2008

55) 2

2 x 4

4 sin x 2

sin 



 



 





 



  ĐS:  k

x 4 ; k2

x 3 với k  Z. DBĐH 2008

56) 2 cos x x sin 4 x 2 sin x 2 cos x sin

3    ² ĐS:       k2

6 x 7 2 6 k x 2 2 k

x DBĐH 2008

57) 4(sin⁴x + cos⁴x) + cos4x + sin2x = 0 ĐS: x / 4 k , k  Z DBĐH 2008

58) _



 



 

 



x 4 2 sin

2 1

x tan

x tan x tan

2

2 ĐS:      k2

6 x 5 2 6 k x 4 k

x DBĐH 2008

59) 1 tan x 2 2 sin x 4

 

     ĐS: x k x k2

4 3

 

       , k  Z. ĐH A 2013

60) sin 3x cos 2x sin x  0 ĐS: k 7

x x k2 x k2

4 2 6 6

   

          ĐH D 2013

61) sinx4cosx2sin2x ĐS: x =  

 k2

3 ĐH A 2014

62) 2



sinx2cosx



2sin2x ĐS: 3

x k2

4

    ĐH B 2014

BÀI 9 : Giải các phương trình sau : (Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx, cosx) 1) 3sin²x – 2sinx.cosx + 5cos²x = 3 ĐS : x = /4 + k, k  Z

2) 3sin²x + 5cos²x – 2cos2x – 4sin2x = 0 ĐS : k

x 4  xk, k  Z 3) 4sin²x +3 3sin2x – 2cos²x = 4 ĐS : x =  

6 k  x =  

2 k , k  Z 4) 2sin²x – 5sinx.cosx – cos²x = –2 ĐS : k

x 4  xk, k  Z 5) sin²x – 10sinx.cosx + 21cos²x = 0 ĐS : xk  xk, k  Z 6) ^2sin2x



^{3 3}



^sinxcosx



^31



^{cos2x1 ĐS : x = –k}

6  x = – 

4 k , k  Z 7) sin³x + 2sin²xcosx – 3cos³x = 0 ĐS : k

x 4 , k  Z

8) 3cos⁴x – 4sin²xcos²x + sin⁴x = 0 ĐS : k

x 4  k

x 3 , k  Z

9) ^sin2x



^{3 1}



^{cos x 1}

2 3

1   2  ĐS : k

x 4   k

x 3 , k  Z

10) sin3x + cos3x + 2cosx = 0 ĐS : k

x 4  k

x 3 , k  Z

11) cosx

x 1 cos 6 x sin

4   ĐS : xk  k

x 4 , k  Z

12) cos³x – sin³x = sinx – cosx ĐS : x/4k, k  Z 13) cos³x – 4sin³x – 3cosxsin²x + sinx = 0 ĐS :  



 k

x 4   



 k

x 6 , k  Z

BÀI 10 : Giải các phương trình sau : (Phương trình đối xứng) 1) sinx + cosx + sin2x – 1 = 0 ĐS : x =  

2

2 k ; x = k2 , k  Z 2) sinx – cosx + 4sinx.cosx + 1 = 0 ĐS : x =  

2 2 k

3 ; x = k2 , k  Z 3) 3(sinx + cosx) – sin2x – 3 = 0 ĐS :  k2xk2

x 2 , k  Z

4) (1 – 2)(1+ sinx –cosx) = sin2x ĐS :       k2 4

x 3 2 2 k x 3 2 k

x , k  Z

5) sinx – cosx + (sinx + cosx)² = 0 ĐS :         k2 4

x 5 2 4 k

x 2 2 k x 3 2 k x

6) (1 + 2)(sinx + cosx) – sin2x – (1 + 2) = 0 ĐS :       k2 x 4

2 2 k x 2 k

x , k  Z

7)



^sinxcosx



^2



^21

 sinxcosx 20 ĐS : x 2k2xk2x34k2, k  Z

8) 2sin4x + 3(sin2x + cos2x) + 3 = 0 ĐS :          k 8 3 x 2

8 k x 2

2 2 k x 2 4 k x

BÀI 11 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình lượng giác bằng công thức cung (góc) chia đôi) 1) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx ĐS : x = – k

4 ; x = k , k  Z 2) tanxsin²x – 2sin²x = 3(cos2x + sinxcosx) ĐS : k

x 4 ; k

x 3 , k  Z

3) 1 + 3tanx = 4sin2x ĐS : x/4kxkxk, k  Z

4) 3cotx + 4sin2x – 7tanx = 0 ĐS : x =  /4 + k , kZ

5) cotx

2 x 3 2 sin x 2

tan   ĐS : k

x 6 , kZ 6) sin2x(cotx + tan2x) = 4cos²x ĐS : k

x 6  x = k , k  Z

7) 4cos²x –1 = tanx ĐS : k

x 4 , kZ

8)



^31



^sin2x



^31



^{cos2x 31 ĐS : x/4kx/3k, k  Z}

BÀI 12 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình lượng giác có chứa số 1 kèm theo) 1) (1 + sin²x)cosx + (1 + cos²x)sinx = 1 + sin2x ĐS : x = –

4

 + k  k2

x 2  x = k2, k  Z 2) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 ĐS : x = k  x = 

3

 + k2, k  Z

3) 1

1 x 2 sin

x cos x

sin 



 ĐS :  







 k2

x 2 2 k

x , k  Z

4) 2sinx + 2cosx = 2 + sinx.cosx ĐS :    k2 x 2

2 k

x , k  Z

5) 3cos2x + (sinx + cosx)² = 0 ĐS :  











 k

12 x 5 4 k

x , k  Z

6) sinx – cosx = 1 – sin2x ĐS :    k2xk2 x 2

4 k

x , k  Z

7) 1 – 3cos2x = sin4x – 3sin2x ĐS :

2 k

x8 , k  Z

8) 1 sin2x

x tan 1

x tan

1  



 ĐS : xk, k  Z

9) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 ĐS :  













 k2

3 x 2 4 k

x , k  Z

BÀI 13 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình lượng giác có chứa tanx và cotx) 1) tanx + tan2x = tan3x ĐS :

3

xk, k  Z 2) tanx + tan2x = sin3xcosx ĐS : xk/3, k  Z 3) (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx ĐS : kxk

x 4 , k  Z

4) tanx + cot2x = 2cot4x ĐS : k

x 3 , k  Z

BÀI 14 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình lượng giác có chứa sin⁴x + cos⁴x hay sin⁶x + cos⁶x)

1) sin⁴x + cos⁴x = 4

x 6 cos

3 ĐS :     k

x 2 k5

x 10 , k  Z

2) sin⁴x + cos⁴x = sin⁶x + cos⁶x ĐS :

10 x k 6

xk  , k  Z 3) sin⁴x + cos⁴x = cos4x ĐS : xk/2, k  Z

BÀI 15 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình lượng giác có chứa căn bậc hai) 1) sin²x2sinx22sinx1 ĐS : x =  

2

2 k , k  Z 2) 3cosx  cosx12 ĐS : x = k2, k  Z

3) 1sinx cosx0 ĐS :    k2 2

x 3 2 k x

BÀI 16 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình lượng giác có chứa giá trị tuyệt đối)

1) cosx

x 1 cot x

tan   ĐS :  k2

6

x 7 , k  Z

2)  cos3x  = 1 – 3sin3x ĐS :

3

xk, k  Z 3) sinxcosx sinxcosx 1 ĐS :

2

xk, k  Z

BÀI 17 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình bằng bằng cách đặt ẩn phụ) 1) 2sin⁴x + 3cos⁴x = 3 ĐS : x = k , k  Z

2) tanxtan²xtan³xcotxcot²xcot³x6 ĐS : x =  

4 k , k  Z 3) 2(tan²xcot²x)5(tanxcotx)60 ĐS : x =  

4 k , k  Z

4) sinx 3cosx sinx 3cosx 2 ĐS :    k2 x 2

2 6 k

x , k  Z

5) cosx 3sinx 1

3 3 x sin 3 x

cos      ĐS :    k2 x 3

6 k

x , k  Z

BÀI 18 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình lượng giác đưa về tổng bình phương) 1) cos2x – cos6x + 4(3sinx – 4sin³x + 1) = 0 ĐS : x =  

2

2 k , k  Z 2) 2sin2x + cos2x +2 2sinx – 4 = 0 ĐS : x =  

2

4 k , k  Z

BÀI 19 : Giải các phương trình sau : (Sử dụng tính bị chặn của các hàm số lượng giác)

1) sinx.sin2x.cos5x = 1 ĐS : x  

2) sin³x + cos⁴x = 1 ĐS : xkx/2k, k  Z

3) cos2x.cosx = 1 ĐS : x  

BÀI 20 : Giải các phương trình sau : (Phương pháp sử dụng bất đẳng thức)

1) 1 1

x 2 cos x 1 2 cos x 1

cos x 1

cos     ĐS : x  

2) cos3x 2cos²3x 2(1sin²2x) ĐS : x = k2, k  Z

3) 3cos²x + 1 = sin²7x ĐS : x =  

2 k , k  Z

BÀI 21 : Giải các phương trình sau : (Giải phương trình bằng phương pháp đối lập) 1) 3cosx 1cosx2 ĐS : x =  + k2, k  Z

2) (cos2x – cos4x)² = 6 + 2sin3x ĐS : x/2k2, k  Z ------

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

Có những phương trình lượng giác (PTLG) mà để giải chúng, ta cần phải sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về các PTLG cơ bản. Nhớù rằng không có một phương pháp tổng quát nào để giải được mọi PTLG, do đó trong từng trường hợp cụ thể cần xem xét kỹ để tìm các phép biến đổi thích hợp.

 Một số chú ý khi giải phương trình lượng giác

 Khi viết k  Z, có nghĩa k là một số nguyên bất kỳ (âm, dương hoặc bằng 0).

 Nhớ rằng : Z = … , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , …

 Khi phương trình : tanx = tan 3

  x = 3

 + k (k  Z) thì đó không phải là một giá trị của x mà là nhiều giá trị của x tùy theo k, chẳng hạn : Khi k = 0 thì x =

3

 ; Khi k = 1 thì x = 3

 + 1. = 3

4 ; Khi k = 2 thì x =

3

 + 2. = 3

7 ; Khi k = –1 thì x = 3

 + (– 1). = – 3 2

Vì vậy x = 3

 + k (k  Z) thật sự là một tập hợp nhiều giá trị của x nên đúng là phải nói : Phương trình tanx = tan

3

 có một tập hợp nghiệm là x = 3

 + k (k  Z) Ta có thể nói gọn là : Vậy nghiệm của phương trình là : x =

3

 + k (k  Z)

 Khi có x = 6

 + k2 thì ta có thể viết theo 2 cách sau : x = 6

 + k2 hay x = 6

 + 2k

 Trong một đẳng thức có chứa số nguyên k thì khi đổi dấu 2 vế, ta có thể không cần đổi dấu k.

Thí dụ : Phương trình : tan(–x) = tan 3

  – x = 3

 + k  x = – 3

 – k. Nhưng nên viết : x = – 3

 + k.

 Khi đổi dấu sin, tan, cot thì hãy đổi dấu cung, tức là : –sinx = sin(–x) ; –tanx = tan(–x) ; –cotx = cot(–x)

 Khi đổi dấu cos thì hãy đem  trừ với cung, tức là : –cosx = cos( – x) hay –cosx = cos( + x)

 sinx và cosx phải đặt điều kiện là : –1  sinx  1 ; –1  cosx  1 ; 0  sin²x  1 ; 0  cos²x  1 tanx phải đặt điều kiện là : x 

2

 + k ; cotx phải đặt điều kiện là : x  k

 Khi viết : x1 = 6

 + k2 (k  Z) (1) và x2 = 6

5 + k2 (k  Z) (2)

thì cần nhớ là số nguyên k trong (1) và (2) không bắt buộc phải bằng nhau. Nếu cẩn thận hơn thì ta viết riêng là k và h : x1 =

6

 + k2 và x2 = 6

5 + h2 (h  Z) để nói rõ hai số nguyên k và h không bắt buộc phải bằng nhau. Nhưng điều này thật sự cũng không cần thiết trừ khi nào ta cần thực hiện một phép tính giữa x1 và x2, chẳng hạn : x1 + x2 = _



 

  

6 k2 + _



 



    6 2

5 h =  + (k + h)2.

 Điều kiện có nghiệm của phương trình sinx = a và cosx = a là : –1  a  1.

 Khi giải phương trình lượng giác cơ bản thì phải nhớ: “Cos đối, Sin bù, Phụ chéo”

 Đối với phương trình 











 









1 x sin

1 x cos 1

x sin

1 x cos

2 2

ta không nên giải trực tiếp vì khi đó ta phải giải đến 4 phương trình cơ bản, khi đó ta giải sẽ dài và việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. ta nên dựa vào hệ thức cơ

bản sin² + cos² = 1 để biến đổi như sau: sin2x 0

0 x cos

0 x sin 0

x cos

0 x sin 0

x sin 1

0 x cos 1 1 x sin

1 x cos

2 2 2

2 2

2



 







 







 











 









Tương tự với phương trình: cos2x 0 0

x sin 2 1

0 1 x cos 2 2 x 1 sin

2 x 1 cos

2 2

2 2



 











 













 Đối với phương trình tanx = a (cotx = a), trong đó a là hằng số thì điều kiện cosx  0 (sinx  0) là không cần thiết.

 Nếu phương trình có dạng tanx = tana nên ta chỉ cần một điều kiện cosx  0 hoặc a  0.

 Khi kết luận các họ nghiệm ta có thể gộp các họ nghiệm lại cho gọn. Ví dụ: x = k2 và x =  + k2 được gộp thành họ nghiệm x = k. Còn hai họ nghiệm  k2

x 2 và k2

x 2 được gộp thành họ nghiệm





 k

x 2

 Một số chú ý về điều kiện khi giải phương trình lượng giác

 cosx  0  sinx  1  sinx  k

2  sin x 0 cos x    1 x k

 k

sin 2x 0 2x k x 2

        k

cos 2x 0 2x k x

2 4 2

  

       

 cos x 0 sin x 1 k

sin 2x 0 x

sin x 0 cos x 1 2

  

      

    

   k

sin x.cos x 0 sin 2x 0 x 2

     

 sinx + cosx  0  tanx  1  k x 4

 Chú ý : Việc kiểm tra nghiệm của phương trình lượng giác là rất quan trọng. Bởi vì nếu phương trình lượng giác có điều kiện, khi ta giải ra nghiệm mà không kiểm tra họ nghiệm đó có thỏa mãn hay không, hay chỉ thỏa mãn với một trường hợp nào đó thì sẽ bị trừ điểm rất lớn.

 Để tránh được sai lầm này, có thể sử dụng một trong ba cách sau :

 Cách 1 : dùng đường tròn lượng giác + Họ nghiệm

n 2

x k 



n^Z^



biểu diễn lên đường tròn lượng giác n điểm.

+ Các bước thực hiện :

 Bước 1 : sau khi giải tìm nghiệm của phương trình lượng giác, ta biểu diễn họ nghiệm này và họ nghiệm trong điều kiện lên cùng một đường tròn lượng giác.

 Bước 2 : những điểm nào trùng nhau của hai họ nghiệm trên thì loại, còn những điểm nào không trùng thì đó là nghiệm của phương trình ban đầu.

 Cách 2 :

Giải tìm nghiệm của phương trình lượng giác và thế trực tiếp vào điều kiện để kiểm tra.

 Cách 3 :

Biến đổi các hàm trong điều kiện và hàm cuối cùng sau khi biến đổi phương trình giống nhau rồi ta dễ dàng so sánh để loại hay nhận.

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác: Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi các điểm trên đường tròn lượng giác:

 x =  + k2 được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi 1 điểm xác định bởi cung .

 x =  + k được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi 2 điểm đối xứng nhau qua tâm O.

 3

k2

x  được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi 3 điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.

 n

k2

x  được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác.

Ta biểu diễn trên đường tròn lượng giác những điểm không thỏa mãn điều kiện (đánh dấu ) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu ). Những điểm đánh dấu “” mà không trùng với những điểm đánh dấu

“” chính là những điểm thỏa mãn điều kiện.

1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Biến đổi phương trình đã cho về các phương trình lượng giác cơ bản sau : a) sinx = sina  





















2 . k a x

2 . k a

x (k  Z) b) cosx = cosa  



















2 k a x

2 k a

x (k  Z)

c) tanx = tana  x = a + k (a  /2 + k , k  Z) d) cotx = cota  x = a + k (a  k, k  Z)

2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG CÁCH DÙNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI :

Dùng công thức cộng, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức hạ bậc, công thức cung nhân đôi, cung nhân ba. Chú ý :

 [cos(a b) cos(a b)]

2 b 1 cos . a

cos     ; [cos(a b) cos(a b)]

2 b 1 sin . a

sin     ; [sin(a b) sin(a b)]

2 b 1 cos . a

sin    

 cosa + cosb = 2.cos 2

b a .cos

2 b

a ; cosa – cosb = – 2.sin 2

b a .sin

2 b a

 sina + sinb = 2.sin 2

b a .cos

2 b

a ; sina – sinb = 2.cos 2

b a .sin

2 b a

 cos²a = 2

a 2

1cos  1 + cos2a = 2cos²a ; sin²a = 2

a 2 cos

1  1 – cos2a = 2sin²a

 sin⁴x + cos⁴x = 1 – 2sin²xcos²x ; sin⁶x + cos⁶x = 1 – 3sin²xcos²x.

 1 tan a a tan a 2

2

tan ₂

  ;

b tan a tan 1

b tan a ) tan b a

tan( 

 

 ;

b cos . a cos

) b a b sin(

tan a

tan    ;

x 2 sin x 2 cot x

tan   ; cotxtanx2cot2x

3. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG : sinx + cosx hay sinx – cosx

sinx + cosx = _



 



 





 



 

x 4 cos 4 2

x sin

2 và sinx – cosx = _



 



 







 



 

x 4 cos 4 2

x sin 2

 Mở rộng : sin2x + cos2x = _



 



   x 4 2 sin

2 ; sin3x + cos3x = _



 



  x 4 3 sin 2

4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀø cosx : asinx + bcosx = c (1)

 Điều kiện để phương trình : asinx + bcosx = c có nghiệm : a² + b²  c². Cách giải 1 : Chia hai vế của (1) cho a² b² , ta có :

2 2 2

2 2

2 sin cos

b a x c b

a x b b

a a

 

 



  .

Đặt  

 cos b

a a

2

2 và  

 sin b a

b

2 2

(1)  sinx.cos + cosx.sin =

2

2 b

a c

  sin(x + ) = sin với sin =

2

2 b

a c

 Cách giải 2 : Kiểm tra 0

2

cosx  có phải là nghiệm của phương trình (1). Khi 0 2

cosx  , đặt

2 tanx

t thì (1) t c

1 t b1 t 1

t

a 2 ₂

2

2 



 

  (thu gọn thành phương trình bậc hai theo t) Giải phương trình này tìm nghiệm t1, t2 rồi giải ttan

2 tanx

5. CÁC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT SỐ LƯỢNG GIÁC :

 acos²x + bcosx + c = 0 (a  0). Đặt cosx = t với t  [–1 ; 1], ta có : at² + bt + c = 0.

 asin²x + bsinx + c = 0 (a  0. Đặt sinx = t với t  [–1 ; 1], ta có : at² + bt + c = 0.

 atan²x + btanx + c = 0 (a  0). Đặt tanx = t, ta có : at² + bt + c = 0.

 acot²x + bcotx + c = 0 (a  0). Đặt cotx = t, ta có : at² + bt + c = 0.

6. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH SOÁ :

Đây là phương pháp thường sử dụng nhất khi giải phương trình lượng giác trong các kỳ thi.

Đưa phương trình về dạng : A.B = 0  _







 0 0 B A

Chú ý : Trong quá trình biến đổi một phương trình, không được rút gọn hai vế cho các thừa số giống nhau có chứa ẩn số (sẽ làm mất nghiệm của phương trình), mà hãy đem các phần có thừa số giống nhau về cùng một vế để đặt thừa số chung rồi giải theo phương trình tích.

Ví dụ : Giải phương trình: 1 + tanx = sinx + cosx Bài giải:

Điều kiện :    k x 2

0 x cos

Ta có : 1 + tanx = sinx + cosx  sinx cosx sinx cosx cosx(cosx sinx) x

cos x

1 sin      

x 1cos

 (Rút gọn hai vế cho sinx + cosx)

 x = k2 (k  Z)

Lời giải trên sai, do rút gọn nên đã làm mất nghiệm, lời giải đúng sẽ là:

Ta có : 1 + tanx = sinx + cosx  sinx cosx sinx cosx cosx(cosx sinx) x

cos x

1 sin      

 (sinx + cosx)(cosx – 1) = 0

















 











 









 

2 k x

4 k x 2

k x

1 x tan 1

x cos

0 x cos x

sin , k  Z

 Các kỹ thuật biến đổi về tích :

a) Biến đổi tổng (hiệu) thành tích để có thừa số chung với biểu thức đã có sẵn hoặc cùng biến đổi về tích để có thừa số chung.

Ví dụ : cos²x1sin²x



1sinx



1sinx



; sin²x1cos²x



1cosx



1cosx



b) Biến đổi ngược tích thành tổng : nếu cung sau biến đổi có tương quan với các cung sẵn có.

Ví dụ : ^{cos3xcosx.cos2xcos}



^1sin2x



^{; sin3xsinx.sin2xsin}



^1cos2x



d) Khi phương trình mà một vế đã có tích sẵn thì ta biến đổi vế còn lại về tích.

Ví dụ :



2sinx1



2sin2x1



34cos²x

Ta có : 34cos²x34



1sin²x



4sin²x1



2sinx1



2sinx1



e) Đưa một biểu thức bậc hai, ba về tích bằng cách nhẩm nghiệm.

Ví dụ : 2sin²x3sinx10(sinx1)(2sinx1)0

0 ) 1 x sin 2 ( ) 1 x (sin 0

) 1 x sin 2 )(

1 x )(sin 1 x (sin 0

1 x sin 4 x sin 5 x sin

2 ³  ²           ²  

f) Nhận thấy phương trình chứa một biểu thức đã tối giản thì :

 Một là giữ biểu thức đó lại làm mục tiêu và biến đổi các biểu thức còn lại về mục tiêu đó.

 Hai là ghép biểu thức đó với một biểu thức khác rồi biến đổi sao cho kết quả biến đổi có tương quan về cung với nhau. (nhớ rằng biểu thức không đổi cũng có thể là một hệ số)

g) Tách cung để tạo hàm : nếu phương trình đó có số lượng hàm quá ít.

h) Ghép hàm thích hợp và biến đổi về tích.



^{cos x cosx}



^{sinx.sin x 0 cosx}



^{cosx 1}



^sinx



^{1 cos x}



0 x cos x sin x

cos²  ³    ²   ²      ²

^cosx



^cosx1



^sinx



^1cosx



^1cosx



^0



^cosx1

 

^cosxsinx



^1cosx

 

^0

 Các kỹ năng biến đổi về tích :

 Chú ý 1 :

 Khi có cos²x thì phải nhớ đến



1sinx



1sinx



vì cos²x1sin²x



1sinx



1sinx



 Khi có sin²x thì phải nhớ đến



1cosx



1cosx



vì sin²x1cos²x



1cosx



1cosx



 Chú ý 2 : Khi trong phương trình xuất hiện các cặp sau :

 Cặp sin²x và tan²x thì có nhân tử chung là (1 + cosx)(1 – cosx).

Vì sin²x1cos²x



1cosx



1cosx



và

  

x cos

x cos 1 x cos 1 x cos

x cos 1 x cos

x x sin

tan _{2 2}

2 2

2

2      

 Cặp cos²x và cot²x thì có nhân tử chung là (1 + sinx)(1 – sinx).

Vì cos²x1sin²x



1sinx



1sinx



và

  

x sin

x sin 1 x sin 1 x sin

x sin 1 x sin

x x cos

cot _{2 2}

2 2

2

2      

  

x cos

x cos 1 x cos 1 x cos

x cos 1 x cos

x x sin

tan _{2 2}

2 2

2

2  

 





Và còn rất nhiều các cặp khác sẽ xuất hiện trong quá trình làm bài tập.

 Chú ý 3 : Các biểu thức có thể biến đổi đưa về cosxsinx: (nhớ rằng sinxcosx(cosxsinx)) 1) 1sin2x



cosxsinx



²

2) ^1sin2x



^cosxsinx

 

^{2  sinxcosx}



²

3) cos2xcos²xsin²x



cosxsinx



cosxsinx



4) cosx

x sin x cos x cos

x 1 sin x tan

1    

5) cosx

x sin x cos x cos

x 1 sin x tan

1    

6) sinx

x cos x sin x sin

x 1 cos x cot

1    

7) sinx

x cos x sin x sin

x 1 cos x cot

1    

8) sinx cosx

x 4 cos 4 2

x sin

2  



 



 





 



 

9) sinx cosx

x 4 cos 4 2

x sin

2  



 



 







 



 

10) cosx sinx

x 4 cos 4 2

x sin

2  



 



 





 



 



11) ^cos4x^sin4x 



^cos2x^sin2x



^cos2x^sin2x







^cosx^sinx



^cosx^sinx



12) ^cos3x^sin3x



^cosx^sinx



¹^sinx.cosx



13) ^cos3x^sin3x



^cosx^sinx



¹^sinx.cosx



14) ^{cos3xsin3x}



^{4cos3x3cosx}

 

^{ 3sinx4sin3x}

 

^{ 4cos3x4sin3x}



^



^{3cosx3sinx}



^4



^cosxsinx

 

^{cos2xsinx.cosxsin2x}



^3



^cosxsinx







^cosx^sinx

  

⁴¹^sinx.cosx



³

 

 ^cosx^sinx



¹^4sinx.cosx



15) cos3xsin3x



cosxsinx



14sinx.cosx



7. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI sinx VÀø cosx : a.sin²x + b.sinxcosx + c.cos²x = 0 (1) Cách giải 1 : Xét hai trường hợp :

 Xét xem cosx = 0 có phải là nghiệm của (1) hay không ?

 Xét cosx  0, chia hai vế của phương trình (1) cho cos²x  0, ta được phương trình : atan²x+ btanx + c = 0.

Giải phương trình này để tìm nghiệm.

 Chú ý : Nếu Phương trình với có dạng : a.sin²x + b.sinxcosx + c.cos²x = d, ta đưa phương trình về dạng (1) bằng cách biến đổi thành : a.sin²x + b.sinxcosx + c.cos²x = d(sin²x + cos²x) rồi chuyển vế phải sang vế trái.

 Cách giải 2 : Đưa phương trình (1) về dạng phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x bằng cách sử dụng các công thức hạ bậc : cos²x =

2 2 cos

1 x ; sin²x = 2

2 cos

1 x ; sinx.cosx = 2 1sin2x

Ta có : 0

2 x 2 cos c 1

x 2 2sin b 1 2

x 2 cos a 1

) 1

( 



 



  







 



  

 Chú ý :

Đối với dạng a.sin²x + b.sinxcosx + c.cos²x = d với a, b, c, d  R và a² + b² + c²  0). Ta có thể quy về giải phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx bằng cách viết d dưới dạng d = d(sin²x + cos²x).

8. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinx VÀø cosx : a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c

 Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2sin 



 



 

4

x với t  [ 2; 2] Khi đó : sinx.cosx =

2

2 1

t . Phương trình trở thành : at + b 

 



  2

2 1

t = c, thu gọn thành phương trình bậc hai theo t : bt² + 2at – (b + 2c) = 0, giải phương trình này và chọn t  [ 2; 2]

 Chú ý : Phương trình a(sinx – cosx) + bsinxcosx = c Ta đặt : t = sinx – cosx = 2sin _



 



 

x 4 với t  [ 2 ; 2]. Khi đó : sinx.cosx = 2 1t² .

9. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG CHỈ CHỨA sinu, cosu, tanu, cotu :

Khi phương trình chỉ chứa sinx, cosx, tanx, cotx mà cung của hàm sin, cos gấp 2 lần cung của hàm tan và cot thì ta đặt x

t tan

 2 và nên xét trường hợp x

cos2 có là nghiệm của phương trình cần giải hay không ?

 Chú ý :

Nếu Đặt t = tan^x

2 (x   + k2) thì sinx = ₂ t 1

t 2

 ; cosx = ₂² t 1

t 1



 ; tanx = ₂ t 1

t 2

 ; cotx = t

t 2 1 ²

Nếu Đặt t = tanx x k 2

   