PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
BÀI 1 :
1) Cho u
2; 1;1
, v
m;3; 1
, w
1; 2;1
. Tìm m để ba vectơ đồng phẳng.2) Cho u
1; 2;3
, v
2;1; m
, w
2; m;1
. Tìm m để ba vectơ trên không đồng phẳng.ĐS : 1) 8
m 3 ; 2) m 1 và m 9
BÀI 2 : Cho ba vectơ u
3;7;0
, v
2;3;1
, w
3; 2; 4
1) Chứng minh u , v , w không đồng phẳng.
2) Biểu thị vectơ a
4; 12;3
theo ba vectơ u , v , w . ĐS : 2) a5u7vw.BÀI 3 :
1) Cho hai vectơ a
1; m; 1
và b
2;1;3
. Tìm m để ab. ĐS : m = 1 2) Cho hai vectơ a
1;log 5; m3
và b
3;log 3; 45
. Tìm m để ab. ĐS : m = –1 3) Cho a
2;1;0
. Tìm véctơ b cùng phương với a biết rằng a.b10 ĐS : b
4;2;0
BÀI 4 : Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm : A(–3 ; 5 ; 15), B(0 ; 0 ; 7), C(2 ; –1 ; 4), D(4 ; –3 ; 0) Hai đường thẳng AB và CD có cắt nhau hay không ?
BÀI 5 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có :
A(1 ; 0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2), C ’(4 ; 5 ; –5), D(1 ; –1 ; 1). Tính tọa độ các đỉnh còn lại.
ĐS : C(2; 0; 2), A’(3; 5;–6), B’(4; 6;–5), D’(3; 4;–6)
BÀI 6 : Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi các hệ thức : k
j 2 i 2 OD ), 3
; 4
; 2 ( C , k j 4 i OB ), 1
; 4
; 2 (
A
1) Chứng minh rằng AB AC, AC AD, AD AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD và diện tích BCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
ĐS : 1) V = 3
4 ; S = 21; 2) 21 4
BÀI 7 : Trong không gian (Oxyz) cho 4 điểm : A(1 ; 0 ; 1), B(–1 ; 1 ; 2), C(–1 ; 1 ; 0), D(2 ; –1 ; –2) 1) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
2) Tính chu vi, diện tích của tam giác ABC.
3) Tìm tọa độ đỉnh E để ABCE là hình bình hành.
4) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
5) Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện.
6) Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD.
7) Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D.
8) Tính côsin góc giữa hai vectơ AC và BE, góc CBD và góc giữa 2 đường thẳng AB, CD 9) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao AH của một tứ diện.
10) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
11) Tính khoảng cách giữa AB và CD.
ĐS : 2)2 62 ; 5; 3) E(1 ; –1 ; –1); 4)
;1 3
; 2 3
1 ; 6)
4
; 1 4
; 1 4
1 ; 7) DK = 13; 8) 102
3 ;
29 4 ;
102
10 ; 9) V = 3
1 ; AH = 13
1 ; 10) S
;14;1 2
15 ; 11) 2
BÀI 8 : Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC biết A(0 ; 0 ; –2), B(1 ; –4 ; 1), C(2 ; 2 ; –1).
ĐS : 59 14 13
I ; ;
30 15 30
BÀI 9 : Tìm tọa độ trực tâm H của ABC biết tọa độ các đỉnh : A(4 ;–2 ;–1), B(1 ; 4 ;–1), C(1 ;–2 ;–7).
ĐS : H(3 ; –1 ; –2)
BÀI 10 : Cho tam giác ABC biết tọa độ các đỉnh : A(1 ; –2 ; 6), B(2 ; 5 ; 1), C(–1 ; 8 ; 4).
Tìm tọa độ các chân E và F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC trên BC và tính độ dài các đoạn phân giác đó.
ĐS : F(17 ; –10 ; –14) ; AF = 12 5; E
11
; 26 11
; 70 11
7 ; AE =
11 70 12 BÀI 11 : Trong không gian (Oxyz) cho 3 điểm :
1) A(–3 ; 2 ; 1), B(3 ; –1 ; 2) và C(0 ; –4 ; 2). Chứng tỏ tam giác ABC cân.
2) A(4 ; 6 ; 12), B(2 ; 7 ; 6) và C(–2 ; 5 ; 7). Chứng tỏ tam giác ABC vuông.
BÀI 12 :
1) Trong không gian (Oxyz) cho 2 điểm M(1 ; 3 ; 1) và N(2 ; 1 ; –2). Tìm điểm P Oz sao cho PM = PN.
2) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm có tọa độ là : A(1 ; 1 ; 1), B(–1 ; 1 ; 0), C(3 ; 1 ; –1)
ĐS : 1) 1
P 0 ; 0 ; 3
; 2)
5 7
M ; 0 ;
6 6
BÀI 13 : Cho ABC biết : A(3 ;–2 ; 5), B(–2 ;1 ;–3), C(5 ; 1 ; –1). Chứng minh rằng ABC nhọn.
BÀI 14 : Tính diện tích tứ giác ABCD, biết : A(1 ; –2 ; 2), B(1 ; 4 ; 0), C(–4 ; 1 ; 1), D(–5 ; –5 ; 3).
BÀI 15 : Cho tam giác ABC với AB = (3 ; 4 ; –2), AC = (1 ; –6 ; 7) và M, N, P là các trung điểm của BC, CA, AB. Tìm AM, BN, CP.
ĐS :
2
; 5 1
; 2
AM ,
2
;11 7 2;
BN 5 ,
;8; 8 2
CP 1
BÀI 16 : Trong (Oxyz), cho bốn điểm A(0 ; 4 ; 0), B(–2 ; 3 ; 1), C(–1 ; –4 ; –2), D(6 ; 3 ; 5).
1) Tìm H là hình chiếu vuông góc của D trên (ABC).
2) Chứng minh H ở trên đường thẳng AB và ở ngoài tam giác ABC.
ĐS : 1) H(2 ; 5 ; –1)
BÀI 17 : Cho hình chóp S.ABC với S(m – 2 ; m – 3 ; m – 3), A(–1 ; 1 ; –2), B(2 ; –2 ; –2), C(–1 ; –2 ; 1).
1) Xác định m để S.ABC là một hình chóp đều.
2) Tìm tọa độ của S để SABC là một tứ diện đều.
ĐS : 1) m ≠ 2 ; 2) S(–2 ; –3 ; –3) hay S(2 ; 1 ; 1)
BÀI 18 : Cho 4 điểm A(–2 ; 2 ; –1), B(–3 ; –2 ; –4), C(5 ; 1 ; 2) và D mp(Oxz). Tìm tọa độ điểm D biết DA = DB và tứ diện ABCD có thể tích bằng 37
6 . ĐS : D(–1 ; 0 ; –3) hay D(–4 ; 0 ; –2).
BÀI 19 : Cho điểm
2x 2
; 5 x 3
; x 2 2
M 1 và ABC với A(1 ; 1 ; 3), B(0 ; 5 ; 2), C(–1 ; 3 ; 4).
1) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC
2) Chứng minh rằng với mọi x 0, đường thẳng MI vuông góc với (ABC). ĐS : 1)
2
;5 3 2; I 1
BÀI 20 : Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A(1 ; 6 ;
1), B(4 ; 6 ; 2), C(1 ; 3 ; 2), A’(5 ; 12 ; 5).
1) Chứng minh hình lăng trụ đã cho là hình lăng trụ đều và tính thể tích của nó.
2) Tìm tọa độ của tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’.
ĐS : I(1 ; 8 ; 4) ;RIA 33.
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hệ tọa độ vuông góc Oxyz gồm có :
O là gốc tọa độ; Ox là trục hoành; Oy là trục tung; Oz là trục cao.
i,j ,k là vectơ đơn vị trên 3 trục, ta có :
0 i . k k .j j . i
1 k j i2 2 2
Chú ý : i(1; 0 ; 0) , j(0 ;1; 0) , k(0 ; 0 ;1).
II. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VECTƠ
Cho u1 = (x1 ; y1 ; z1), u2 = (x2, y2, z2) và k R
1) u1 u2= (x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2) 2) k.u1 = (k.x1 ; k.y1 ; k.z1) 3) u1 = u12 = x12 y12 z12 4) u1.u2= x1.x2 + y1.y2 + z1.z2
5) u1.u2= u1.u2.cos(u1,u2) 6) u1 u2 u1.u2 = 0 x1.x2+ y1.y2 + z1.z2 = 0 7) u1 = u2
2 1
2 1
2 1
z z
y y
x x
8) u1 = 0
0 z
0 y
0 x
1 1 1
9) cos =
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2
1 2 1
z y x . z y x
z . z y . y x . x u
. u
u . u
(với u1 0 và u2 0)
10) u1cùng phươngu2
2 1 2 1 2 1
z z y y x
x (x2, y2, z2 0)
III.LIÊN HỆ GIỮA TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ CỦA HAI ĐIỂM A. Gọi A(xA ; yA ; zA) và B(xB ; yB ; zB) là tọa độ các điểm A, B, ta có : 1) Khoảng cách giữa 2 điểm : Cho A(xA ; yA ; zA) và B(xB ; yB ; zB), ta có :
) z z
; y y
; x x (
AB B A B A B A AB = (xB xA)2 (yB yA)2 (zBzA)2
2) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 : MAk.MB
k 1
z . k z z
k 1
y . k y y
k 1
x . k x x
B A M
B A M
B A
M
3) Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB : I
2 z
; z 2
y
; y 2
x
xA B A B A B
4) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC : G
3 z z
;z 3
y y
; y 3
x x
xA B C A B C A B C
5) Tọa độ chân đường phân giác trong, ngoài của tam giác :
D là chân đường phân giác trong của góc A của ABC AB
DB DC
AC
E là chân đường phân giác ngoài của góc A của ABC AB
EB EC
AC
IV. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1) Định nghĩa : Tích có hướng của hai vectơ a = (a1, a2, a3) và b = (b1, b2, b3) là vectơ c vuông góc với a, b có tọa độ định bởi : c = [a, b ] =
2 1
2 1 1 3
1 3 3 2
3 2
b b
a
; a b b
a
; a b b
a a
Ký hiệu : c = [a, b ] (đọc là tích có hướng của a,b) 2) Tính chất : a cùng phương b [a,b ] = 0
c = [a,b ] a và c = [a,b ] b
c = a.b.sin (trong đó là góc giữa a và b)
3) Điều kiện đồng phẳng giữa 3 vectơ : a, b , c đồng phẳng [a,b ].c = 0 4) Vectơ không đồng phẳng : Nếu [a, b ]. c 0 thì a, b , c không đồng phẳng 5) Diện tích tam giác : SABC =
2
1 [AB,AC] 6) Diện tích hình bình hành : SABCD = [AB,AD]
7) Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ : V = [AB,AD].AA' 8) Cho tứ diện ABCD, ta có :
a) Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD : G
4 z z z z z
4 y y y y y
4 x x x x x
D C B A G
D C B A G
D C B A G
b) Thể tích tứ diện ABCD là : V = 6
1 [AB,AC].AD = 3
1.SABC .d(D, (ABC))
c) Khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau AB và CD :
] CD , AB [
BD ].
CD , AB [ ) CD , AB (
d
d) H(x ; y ; z) là trực tâm của ABC
0 AH . AC , AB
0 AC . BH
0 BC . AH phẳng
đồng AC , AH , AB
AC BH
BC AH
e) A’(x ; y ; z) là chân đường cao của ABC AA ' BC BA ' k.BC
f) H(x ; y ; z) là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (ABC)
DH AB 0 DH.AB 0DH ABC
DH AC 0 DH.AC 0
AB, AC, AH
AB, AC .AH 0 AB, AC .AH 0
đồng phẳng
g) I(x ; y ; z) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
2 2
2 2
IA IB IA IB IC
IA IC AB, AC , AI
AB, AC .AI 0
đồng phẳng
CASIO VECTÔ KHOÂNG GIAN Oxyz
MẶT CẦU – MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
BÀI 1.1 : Các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của một mặt cầu. Nếu là phương trình mặt cầu hãy tìm tâm và bán kính của nó : 1) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0
2) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2x – 3y + 5z – 2 = 0 3) (2x + 1)2 + (2y – 4)2 + (2z + 6)2 = 4 BÀI 1.2 : Cho phương trình: x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0. Xác định m để nó là phương trình một mặt cầu. Khi đó, tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất. ĐS : m, Rmin = 3 khi m = 1/2.
BÀI 1.3 : Lập phương trình mặt cầu trong những trường hợp sau :
1) Tâm I (2 ; 4 ; –1) và đi qua điểm A (5 ; 2 ; 3). ĐS : (x – 2)2 + (y – 4)2 + (z + 1)2 = 29 2) A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2), D(2 ; 2 ; 1) ĐS : x2 + y2 + z2 – 3x – 3y – 3z + 6 = 0 3) Qua E (1 ; 2 ; 0), F( –1 ; 1 ; 3), G(2 ; 0 ; –1) và có tâm nằm trong (Oxy). ĐS : x2 + y2 + z2 –6x –6z +1 = 0 4) Qua A(0 ; 1 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0.
ĐS : x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 2z + 1 = 0.
5) Tiếp xúc với mp(Oxy) tại A(2 ; 4 ; 0) và đi qua B(3 ; 6 ; 1). ĐS : (x – 2)2 + (y – 4)2 + (z – 3)2 = 9 6) A(1 ; 3 ; 0), B(2 ; 2 ; 0) và có tâm I thuộc trục hoành. ĐS : (x + 1)2 + y2 + z2 = 13
7) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox. ĐS : (x – 2)2 + y2 + z2 = 4
BÀI 1.4 : Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm M(–1 ; –1 ; 4) và N(1 ; –1 ; 2), tiếp xúc với mp(Oxy) và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz). ĐS : x2(y1 7)2 (z3)2 9
BÀI 1.5 : Lập phương trình mặt cầu (S) có :
1) tâm I(2 ; –1 ; 3) và tiếp xúc mặt phẳng (Oxy). ĐS : (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 3)2 = 9 2) tâm I(2 ; 1 ; –4), tiếp xúc mặt phẳng () : x – 2y + 2z – 7 = 0. ĐS : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z + 4)2 = 25 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
BÀI 2.1 : Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau :
1) Đi qua điểm M(3 ; 2 ; 1) và có vectơ pháp tuyến n = (2 ; 1 ; –3). ĐS : 2x + y– 3z –5 = 0 2) Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1 ; 2 ; 3), B(3 ; –2 ; 5) ĐS : x – 2y + z – 6 = 0 3) Đi qua ba điểm A(1 ; 1 ; 3), B(–1 ; 3 ; 2), C(–1 ; 2 ; 3). ĐS : x + 2y + 2z – 9 = 0 4) Đi qua ba điểm A(–3 ; 0 ; 0), B(0 ; 4 ; 0), C(0 ; 0 ; –2). ĐS :–4x+3y –6z–12 = 0 BÀI 2.2 : Tìm khoảng cách từ các điểm M(1 ;–1 ; 2), P(–4 ; 4 ; 3) đến mặt phẳng () : x + 2y + 2z – 10 = 0.
BÀI 2.3 : Tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng : 4x + 3y – 5z – 8 = 0 ; 4x + 3y – 5z + 12 = 0. ĐS : 2 2 BÀI 2.4 : Tính góc của hai mặt phẳng :
1) 4x + 4y – 2z + 7 = 0 ; 2x + 4z – 5 = 0 ĐS : 90 2) x + y + 1 = 0 ; x + z – 3 = 0 ĐS : 60
BÀI 2.5 : Lập phương trình của mặt phẳng trong các trường hợp sau :
1) Đi qua 2 điểm A(3 ; –2 ; 4), B(1 ; 3 ; 6) và song song với Oy. 2) Chứa trục Oy và đi qua N(1 ; 4 ; –3).
3) Đi qua điểm M(2 ; –1 ; 2) song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 2x – y + 3z + 4 = 0.
4) Đi qua 2 điểm A(1 ; 1 ;–2), B(–2 ; 0 ; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : 2x – y + 3z – 5 = 0
5) Đi qua M(–4 ; 1 ; –2) và vuông góc với 2 mặt phẳng (P) : 2x – 3y + 5z – 4 = 0, (Q) : x + 4y – 2z + 3 = 0.
6) Đi qua điểm M(3 ; 2 ; 1) và song song với mặt phẳng (Q) : x – 5y + z = 0
ĐS: 1)–2x–2z + 14=0;2)–3x–z=0;3)3x–2z–2=0;4) 3y + z–1 =0;5)–14x + 9y + 11z–51=0;6) x–5y + z + 8=0 BÀI 2.6 : Lập phương trình của mặt phẳng trong các trường hợp sau :
1) Cho điểm M(2 ; 4 ; 6). Gọi A, B, C lần lượt là các điểm đối xứng của M lần lượt qua các trục Ox, Oy,
Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). ĐS : 6x + 3y + 2z + 12 = 0
2) Cho điểm M(2 ; 4 ; 6). Gọi G, H, K lần lượt là các điểm đối xứng của M lần lượt qua các mặt tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). Viết phương trình mặt phẳng (GHK). ĐS : 6x + 3y + 2z – 12 = 0.
BÀI 2.7 : Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau :
1) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của ABC.
2) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của ABC.
3) Đi qua điểm M(1 ; 1 ; 1) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho VOABC có giá trị nhỏ nhất.
4) Đi qua điểm M(1 ; 2 ; 3) và cắt ba trục tọa độ ở ba điểm cách đều gốc tọa độ.
ĐS : 1) 6x + 3y + 2z – 18 = 0 ; 2) 2x + y + z – 6 = 0 ; 3) x + y + z – 3 = 0 ; 4) x + y + z – 6 = 0 ; x – y + z – 2
= 0 ; –x + y + z – 4 = 0.
BÀI 2.8 : Lập phương trình mặt phẳng () biết mặt phẳng () :
1) Song song với mặt phẳng () : x + 2y – 2z + 5 = 0 và cách điểm B(2 ; –1 ; 4) một khoảng bằng 4.
2) Đối xứng với mặt phẳng () : 2x – y + 3z + 4 = 0 qua điểm M(2 ; –1 ; 2).
3) Song song với mp(): 4x + 4y – 2z + 3 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 6x –2y + 4z –2 = 0.
ĐS : 1) x +2y –2z +20 = 0, x +2y–2z –4 = 0; 2) 2x–y + 3z–26 = 0; 3) 2x + 2y–z + 14 = 0, 2x + 2y–z –10 = 0 BÀI 2.9 : Trong hệ trục Oxy cho điểm A(0 ; 0 ; 2). Viết phương trình các mặt phẳng qua điểm A, song song với trục Ox và cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 2. ĐS : y + z – 2 = 0 ; y – z + 2 = 0 BÀI 2.10 : Lập phương trình mặt phẳng () biết mặt phẳng () chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng () : 2x
+ y – 5z = 0 một góc 60. ĐS : x + 3y = 0, 3x – y = 0
BÀI 2.11 : Lập phương trình mặt phẳng () biết mặt phẳng () :
1) Đi qua điểm M(2 ; 1 ; –1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x – y + z – 4 = 0 và 3x – y + z – 1 = 0.
2) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng x + 3y + 5z – 4 = 0 và x – y – 2z + 7 = 0, đồng thời song song với Oy.
ĐS : 1) 15x –7y + 7z –16 = 0 ; 2) 4x – z +17 = 0.
3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
BÀI 3.1 : Viết phương trình của đường thẳng biết:
1) Đường thẳng đi qua điểm A(1 ; 1 ; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z – 12 = 0.
2) Đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại trọng tâm G của ABC biết A(1 ; 3 ; 2), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 3) 3) Đường thẳng ’ đối xứng với đường thẳng :
5 1 z 1
3 y 2
5
x qua điểm I(1 ; 6 ; 0).
4) Đi qua A(1 ; 4 ; –2) và song song với các mặt phẳng () : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 ; () : 3x – 5y – 2z – 1 = 0 5) Đường thẳng đi qua điểm A(1 ; 1 ; –2), song song với mặt phẳng (P) : x – y – z – 1 = 0 và vuông góc với đường thẳng (d) : (x = –1 + 2t ; y = 1 + t ; z = 2 + 3t).
6) Đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại trực tâm H của ABC biết A(1 ; 0 ;–1), B(2 ; 3 ;–1), C(1 ; 3 ; 1) 7) qua A(1 ; 2 ; 2) và cắt trục Oz tại B sao cho OB = 2OA
8) qua A(1 ; 2 ; 2) và cắt đường thẳng d: (x = 1 + t ; y = 2t ; z = –t) tại điểm C sao cho d
C,
Oxy
3 9) qua A(1 ; 2 ; 2) và cắt đường thẳng1 1 z 1
2 y 2
1 :'x
d
tại điểm D sao cho SOAD = 2
45 (đvdt).
BÀI 3.2 : Viết phương trình của đường thẳng biết :
1) Đi qua điểm A(–4 ; –2 ; 4), cắt và vuông góc với đường thẳng :
4 1 z 1
1 y 2
3
x
.
2) Đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d :
7 1 z 3 y 1
2 x
qua mặt phẳng (P) : x + 2y + z – 1 = 0.
3) Đường thẳng qua A(3 ; –1 ;–4), cắt trục Oy và song song với mặt phẳng (P) : y + 2x = 0.
4) Đường thẳng nằm trong mp() : y + 2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d1 :
t 4 z
t y
t 1 x
; d2 :
4 z
' t 2 4 y
' t 2 x
5) Đi qua điểm A(0 ; 1 ; 1) và vuông góc với 2 đường thẳng : z 1
2 y 8
1
x ;
0 1 x
0 2 z y x
6) Đi qua điểm M(1 ; –1 ; 1) và cắt cả hai đường thẳng d1 : x 1 y z 3
2 1 1
và d2 :
0 3 z 2 y
0 1 z y
x
7) Đi qua A(–1 ; 2 ;–3), vuông góc với (d1) :
3 z 2
3 y 6
2 x
và cắt (d2) :
3 6 z 2
3 y 1
2
x
.
ĐS : 1)
t 4 z
t 2 2 y
t 3 4 x
; 2)
t 19 6 z
t 13 3 y
t 1 x
; 3)
t 4 4 z
t 6 1 y
t 3 3 x
; 4)
t 4 z
t 8 y
t 7 1 x
; 5)
t 1 z
t 1 y
0 x
; 6)
x 1 6t y 1 t z 1 7t
; 7)
x 1 2t y 2 3t z 3 6t
BÀI 3.3 : Cho điểm A(–4 ; 0 ; –1), mp() : 3x – y – z + 3 = 0 và đường thẳng (d) :
2 1 z 1
2 y 2
2
x
.
Chứng minh rằng có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm A, cắt mp() tại M và cắt (d) tại B sao cho M là trung điểm của AB. Viết phương trình của đường thẳng này. ĐS : (x = –4 + 3t ; y = 2t ; z = –1 – t) BÀI 3.4 : Cho ABC có A(3 ; 2 ; –1), B(1 ; 4 ; –2), C(5 ; –2 ; 3). Tìm phương trình của :
1) Đường trung tuyến AM. 2) Đường trung trực của BC trong ABC.
3) Đường cao AH. 4) Đường phân giác ngoài AD của góc A.
ĐS : 1) (x = 3 ; y = 2 –t ; z = –1 + 3/2t) ; 2) (x = 27t ; y = 11/9 – 2t ; z = 19/6 – 24t) ; (x = 30 + 27t ; y = – 2t
; z = –25 – 24t) ; (x = 3 – 6t ; y = 2 + 8t ; z = –1 – 6t).
BÀI 3.5 : Cho hai đường thẳng d1 :
1 z 2
2 y 2
1
x
và d2 :
1 4 z 3
8 y 2
x
1) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. 2) Tính khoảng cách giữa d1 và d2. 3) Tính góc giữa d1 và d2. 4) viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
5) Tìm trên (d1) điểm M(xM ; yM ; zM) sao cho tổng x2My2Mz2M nhỏ nhất.
ĐS : 1) 53 0 ; 2) d(d1 , d2) = 5 3
53 ; 3) cos = 14
3 ; 4) –10x – 8y + 4z – 27 = 0 ; 5) M(13/9 ; 14/9 ; 2/9) 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
BÀI 4.1 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
1) x + 2y – z + 5 = 0 ; 2x + 3y – 7z – 4 = 0 2) 3x – 2y – 3z + 5 = 0 ; 9x – 6y – 9z – 5 = 0 3) x – y + 2z – 4 = 0 ; 10x –10y + 20z – 40 = 0 4) 7x – 12y + 2z + 3 = 0 ; 4x + 3y + 4z – 5 = 0 ĐS : 1) cắt nhau ; 2) song song ; 3) trùng nhau ; 4) vuông góc.
BÀI 4.2 : Định m để hai mặt phẳng sau cắt nhau :
(P) : 2x – my + 3z – 6 + m = 0 và (Q) : (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0 ĐS : m 1
BÀI 4.3 : Định m và n để hai mặt phẳng sau song song với nhau, khi đó tính khoảng cách giữa chúng, biết (P) : 2x + ny + 2z + 3 = 0 và (Q) : mx + 2y – 4z + 7 = 0 ĐS : m = –4, n = –1 BÀI 4.4 : Định m để hai mặt phẳng sau trùng nhau :
(P) : 2x – y + 8z – 5 = 0 và (Q) : (m2 – 7)x + (m + 2)y + (m2 – 1)z – (m2 – 4) = 0 ĐS : m = –3 BÀI 4.5 : Định m để hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau :
(P) : (2m – 1)x – 3my + 2z + 3 = 0 và (Q) : mx + (m – 1)y + 4z – 5 = 0 ĐS : m = –2, m = 4 BÀI 4.6 : Cho 3 mp : (P) : x + y + z – 6 = 0, (Q) : mx – 2y + z + m –1 = 0, (R) : mx + (m –1)y – z + 2m = 0.
Xác định giá trị m để 3 mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau. Tìm giao điểm chung của 3 mặt phẳng.
ĐS : m =1, I(1; 2; 3)
BÀI 4.7 : Cho 3 mp : (P) : 5x + ny + 4z + m = 0, (Q) : 3x – 7y + z – 3 = 0 và (R) : x – 9y – 2z + 5 = 0
Xác định các giá trị m và n để ba mặt phẳng trên cùng đi qua một đường thẳng. ĐS : m = –11, n = –5 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
BÀI 5.1 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (), nếu đường thẳng d cắt mp() hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng :
1) d:
1 3 z 4
2 y 2
1
x
; (): 4x + 8y + 2z – 7 = 0 2) d: , 1
1 z 3
9 y 4
12
x
(): 3x + 5y – z – 2 = 0
3) d: ,
3 z 4
3 y 2
1
x
(): 3x – 3y + 2z – 5 = 0 4) d: , 3
3 z 2
1 y 8
9
x
(): x + 2y – 4z + 1 = 0 ĐS : 1) (d) mp() ; 2) (d) cắt và không vuông góc mp() ; 3) (d) // mp() ; 4) (d) mp() ;
BÀI 5.2 : Cho đường thẳng (d) :
2 3 z 1 m 2
2 y m
1
x
và mặt phẳng (P) : x + 3y – 2z – 5 = 0. Định m để : 1) (d) cắt mp(P). 2) (d) song song mp(P). 3) (d) vuông góc mp(P). ĐS : m 1; m = 1; m = –1 BÀI 5.3 : Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) biết :
1) d :
0 2 z y 4
0 2 y
x ; (P) : x – y + 4z + 7 = 0. 2) d :
t 3 2 z
t 2 1 y
t 1 x
; (P) : x + y + z – 4 = 0.
3) d :
3 3 z 1
4 y 3
2 x
; (P) : x + 3y + 2z – 6 = 0. 4) d :
5 1 z 3
1 y 2
2
x ; (P) : 2x + y + z – 8 = 0.
ĐS : 1)
9
; 16 18
;17 18
19 ; 2)
t 3 2 z
t 2 1 y
t 1 x
; 3)
x 1 3t y 1 t z 1 3t
; 4) 8 8
x 2t ; y t ; z 3t
3 3
BÀI 5.4 : Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng () : 5x – 3y + 2z – 5 = 0 và (’) : 2x – y – z – 1 = 0. Chứng minh rằng đường thẳng d nằm trong mp(P) : 4x – 3y + 7z – 7 = 0.
BÀI 5.5 : Chứng minh hai đường thẳng d1 :
x 1 2t y 2 t z 4 3t
; d2 :
x 1 t y t z 2 3t
cùng nằm trong một mặt phẳng.
BÀI 5.6 : Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d):
1 3 z 3
2 y 2
1
x
lên mỗi mặt phẳng tọa độ.
ĐS : (x = 1 + 2t ; y = –2 + 3t ; z = 0), (x = 0 ; y = –2 + 3t ; z = 3 + t), (x = 1 + 2t ; y = 0 ; z = 3 + t) BÀI 5.7 : Viết phương trình hình chiếu của d1 theo phương d2 lên mặt phẳng () biết :
1) d1 : x 1 y 3 z
2 2 1
; d2 : x y 1 z 2
2 1 1
và mp() : x – y + 4z = 0. ĐS : x 1 y 1 z
2 2 1
2)
t z
3 t y 11
3 t x 2
:
d1 theo phương Oz và mp(P): x – 3y + z – 1 = 0 (SGK) ĐS :
t 3 2 z 32
3 t y 11
3 t x 2
6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
BÀI 6.1 : Xét vị trí tương đối giữa các đường thẳng 1, 2. Tính góc giữa hai đường thẳng và tìm giao điểm của chúng (nếu có). Biết :
a)
t 2 1 z
t 3 y
t x
1: và
t 5 5 z
9 y
0 x
2: (t R) b)
1 5 z 3
1 y 2
1 :x
1
và
1 1 z 3
1 y 4
1 :x
2
c) 3
3 z 4
3 y 1 :x
1
và 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng
1 :xyz0,
2 :2xy2z0d) d : ,
1 5 z 3
1 y 2
1
x d’:
2 6 z 6
2 y 4
3
x
ĐS : a) chéo nhau ; (1, 2) 5769 ; b) cắt nhau ; M(3 ; 2 ; 6) ; c) song song ;
1,2
0o; d) (d) (d’).BÀI 6.2 : Cho 2 đường thẳng
1 m z 2
1 y 1
1 :x
1
và
t 1 m 2 1 z
t m 2 1 y
t 1 m 1 x
2: (t R). Tìm m sao cho :
a) Hai đường thẳng trùng nhau b) Hai đường thẳng song song c) Hai đường thẳng cắt nhau d) Hai đường thẳng chéo nhau e) Góc giữa hai đường thẳng bằng 60o.
ĐS : a) m = 0 ; b) m ; c)
3 m5 ; d)
3 m 5 0
m ; e)
16 105 3 m 9
BÀI 6.3 : Tìm m để khoảng cách giữa d1 :
1 z
t 1 y
t 2 2 x
và d2 :
t 3 z
t 1 y
1 m x
bằng 4. ĐS : m = –3 ; m = 21
BÀI 6.4 : Tìm m để góc 2 đường thẳng d1 :
2 3 z 1
2 y m
1 x
; d2 :
t 2 1 z
3 y
t 2 2 x
bằng 30. ĐS : m =1; m =7
BÀI 6.5 : Cho điểm A(3 ; –1 ; –3) và đường thẳng d :
4 z
t 2 y
t 1 x
. Lập phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và hợp với d một góc bằng 60. ĐS : (x = 3 ; y = –1 + t ; z = –3 – t) ; (x = 3 + t ; y = –1 ; z = –3 – t) BÀI 6.6 : Chứng minh rằng hai đường thẳng d1 :
1 9 z 2
3 y 1
7 x
và d2 :
3 1 z 2
1 y 7
3
x
chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. ĐS : (x = 7 + 2t ; y = 3 + t ; z = 9 + 4t) BÀI 6.7 : Cho hai đường thẳng : d1 :
1 z 2
1 y 1
x
; d2 :
0 1 y x 2
0 1 z x 3
a) Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song song với đường thẳng : (x = 4 + t ; y = 7 + 4t ; z = 3 – 2t). ĐS : b) (x = t ; y = –5 + 4t ; z = 6 – 2t) BÀI 6.8 : Cho hai đường thẳng d1 :
t 1 z
1 y
0 x
và d2 :
0 z
1 y
t 2 2 x
1) Chứng minh d1 và d2 cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm I của d1 và d2.
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2. 3) Lập phương trình đường phân giác của d1 và d2. ĐS : 1) I(0 ; 1 ; 0) ; 2) y – 1 = 0 ; 3) ; (x = t ; y = 1 ; z = t) ; (x = –t ; y = 1 ; z = t)
7. CỰC TRỊ HÌNH HỌC
BÀI 7.1 : Cho điểm M(1 ; 1 ; 1) và mặt phẳng (P) : x + y – 2z – 6 = 0. Tìm tọa độ điểm H (P) sao cho MH nhỏ nhất. Tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mp(P).
ĐS : H(2 ; 2 ; –1) ; d(M , (P)) = 6 ; M’(3 ; 3 ; –3)
BÀI 7.2 : Cho mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 10x – 2y – 6z + 10 = 0. Từ điểm M thuộc mp(P) vẽ đường thẳng () tiếp xúc mặt cầu (S) tại N. Tìm tọa độ điểm M sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. ĐS : M(3 ; –3 ; –1) ; 11 BÀI 7.3 : Cho hai điểm A(3 ; 1 ; 1), B(7 ; 3 ; 9) và mặt phẳng (P) : x + y + z + 3 = 0. Tìm điểm M thuộc mp(P) sao cho MAMB đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS : M(0 ; –3 ; 0)
BÀI 7.4 : Cho ba điểm A(0 ; 1 ; 2), B(1 ; 1 ; 1), C(2 ; –2 ; 3) và mặt phẳng (P) : x – y + z + 3 = 0. Tìm điểm M thuộc mp(P) sao cho MAMBMC đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS : M(–1 ; 2 ; 0)
BÀI 7.5 : Cho bốn điểm A(–5 ; 2 ; 0), B(–8 ; –1 ; –1), C(1 ; 1 ; –5), D(–3 ; –2 ; 2) và mặt phẳng (P) : 4x – y – 2z – 8 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MAMBMCMD ngắn nhất. ĐS : M(1/4 ; –1 ; –3) BÀI 7.6 : Cho tứ diện ABCD có A(3 ; –1 ; 0), B(0 ; –7 ; 3), C(–2 ; 1 ; –1), D(3 ; 2 ; 6). Tìm trên mặt phẳng (Oxz) điểm M sao cho MA2MB3MC đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS : M(–1/2 ; 0 ; 1/2)
BÀI 7.7 : Trong không gian (Oxyz) cho các điểm A(–3 ; 5 ;–5), B(5 ;–3 ; 7) và mặt phẳng (P): x + y + z = 0
a) Tìm giao điểm I của AB với mp(P). b) Tìm điểm M (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
ĐS : a) I(–1 ; 3 ; –2) b) M O(0 ; 0 ; 0) và min(MA2 + MB2) = 142.
BÀI 7.8 : Cho mặt phẳng (P) : 2x – y + 2z + 9 = 0 và hai điểm A(3 ; –1 ; 2), B(1 ; –5 ; 0). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA.MB
đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS : M(–2 ; –1 ; –3)
BÀI 7.9 : Cho ba điểm A(0 ; 1 ; 2), B(–1 ; 2 ; 4), C(2 ; –1 ; –1) và mp(P) : x + 2y + 2z + 3 = 0. Tìm điểm M thuộc mp(P) sao cho biểu thức T = MA2 + 2MB2 – 2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS : M(–89/9 ; –7/9 ; 38/9) BÀI 7.10 : Cho ba điểm A(3 ; 1 ; 1), B(0 ; 1 ; 3), C(0 ; 3 ; 1) và mặt phẳng (P) : x + y + z – 6 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2 – MB2 – MC2 đạt giá trị lớn nhất. ĐS : M(2 ; 4 ; 4)
BÀI 7.11 : Cho mp() : 2x – y – 3z + 5 = 0 và 2 điểm A(0 ; 0 ; –3) ; B(9 ; 15 ; 12). Tìm M () sao cho : a) MA + MB ngắn nhất. ĐS : M(3 ; 5 ; 2) b) MA – MB dài nhất. ĐS : M(–17 ; –11 ; –6) BÀI 7.12 : Cho mặt phẳng () : 2x – y + z + 1 = 0 và hai điểm A(–1 ; 3 ; –2) ; B(–9 ; 4 ; 9).
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng () sao cho :
a) MA + MB ngắn nhất. ĐS : M(–1 ; 2 ; 3) b) MA – MB dài nhất. ĐS : M(7 ; 2 ; –13) BÀI 7.13 : Cho M(2 ; 1 ; 4) và đường thẳng d:
t 2 1 z
t 2 y
t 1 x
. Tìm H d sao cho MH nhỏ nhất. ĐS: H(2 ; 3 ; 3)
BÀI 7.14 : Cho 2 điểm A(1 ; 4 ; 2), B(1 ; 2 ; 4) và đường thẳng
2 z 1
2 y 1
1 :x
d
. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho : a) M AM B nhỏ nhất. b) MA2 + MB2 nhỏ nhất. c) SAMB nhỏ nhất.
ĐS : a) M(1 ; 0 ; 4) ; b) M(1 ; 0 ; 4) ; c) M(–12/7 ; 5/7 ; 38/7)
BÀI 7.15 : Cho ba điểm A(4 ; 1 ; –28), B(4 ; –9 ; 2), C(10 ; 2 ; –10) và đường thẳng d:
3 4 z 1 y 2
9
x
.
Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MAMBMC đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS : M(5 ; 2 ; –10)
BÀI 7.16 : Cho mặt cầu (S) có tâm I(2 ; 0 ; –1) và tiếp xúc với đường thẳng d : (x = 2 – t ; y = a – 2 + t ; z
= a – 1 + 2t). Xác định a để mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất. ĐS : a = 2.
BÀI 7.17 : Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình : (d1) :
3 z
t 3 1 y
t 4 5 x
; (d2) :
1 z 1
1 y 2 x
. ĐS : (S) :
4 ) 29 2 z ( ) 2 y 2 (
x 1 2 2
2
BÀI 7.18 : Cho điểm A(1 ; –1 ; 1), B(2 ; 2 ; 2) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z – 10 = 0. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B, (d) nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời khoảng cách từ điểm A tới (d) nhỏ
nhất. ĐS : (d) : (x = 2 + t ; y = 2 – t ; z = 2)
BÀI 7.19 : (ĐH A 2008) Cho điểm A(2 ; 5 ; 3) và đường thẳng d :
2 2 z 1 y 2
1
x
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (d) và viết phương trình mp(P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến mp(P)
lớn nhất. ĐS : x – 4y + z – 3 = 0.
BÀI 7.20 : (ĐH B 2009) Trong không gian (Oxyz), cho mp(P) : x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(–3 ; 0 ; 1), B(1 ; –1 ; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với mp(P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. ĐS : (x = –3 + 26t ; y = 11t ; z = 1 – 2t) BÀI 7.21 : Cho mặt phẳng () : x – 2y + z – 1 = 0 và điểm A(2 ; –1 ; 3). Viết phương trình mp() đi qua điểm A và điểm B(0 ; 0 ; 1) sao cho góc giữa hai mặt phẳng () và () là nhỏ nhất. ĐS : x + 4y + z – 1 = 0 BÀI 7.22 : Cho đường thẳng d :
1 2 z 2
1 y 1
x
và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z – 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất. ĐS : x + y – z + 3 = 0
BÀI 7.23 : Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2z – 2 = 0 và các điểm A(0 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 3), C(1 ; 0
; 3). Tìm điểm D thuộc mặt cầu sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất. ĐS : D(7/3 ; –4/3 ; 1/3)
BÀI 7.24 : Cho mặt cầu
S :x2y2z210a) Cho điểm A
1;0;0
. Tìm điểm M
S sao cho MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.b) Với điểm A
1;1;0
. Tìm điểm M
S sao cho MA đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.BÀI 7.25 : Cho hai điểm A(1 ; 2 ;–1), B(7 ;–2 ; 3) và đường thẳng d :
2 2 z 2
2 y 3
1
x
. Chứng minh
rằng đường thẳng AB // d và tìm điểm M (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất. ĐS : M(2 ; 0 ; 4) BÀI 7.26 : Cho hai điểm A(3 ; 1 ; 1), B(–4 ; 3 ; 4) và đường thẳng d :
1 9 z 2
3 y 1
7
x
.
1) Chứng minh hai đường thẳng AB và d chéo nhau đồng thời vuông góc với nhau.
2) Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất. ĐS : M(13/3 ; –7/3 ; 19/3) BÀI 7.27 : (DBĐH A 2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2 ; 3 ; 2), B(6 ; –1 ; –2), C(–1 ; –4 ; 3), D(1 ; 6 ; –5). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho ABM có chu vi nhỏ nhất. ĐS : AB CD; M(0 ; 1 ;–1) 8. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP
BÀI 8.1 : Cho đường thẳng
1 1 z 1
1 y 3
2 :x
1
và đường thẳng
1 z
t 3 2 y
t 2 1 x
2: (t R)
Lập phương trình đường thẳng cắt 1 và cắt 2 đồng thời thỏa mãn : a) nằm trong mặt phẳng (P) : 2x + 3y – z + 2 = 0
b) song song với đường thẳng
1 3 z 3
1 y 4
2 :x
d c) đi qua điểm M(1 ; 5 ; 1) ĐS : a)
1 1 z 1
1 y 2
1
:x
; b)
1 1 z 3
1 y 4
1
:x
; c)
1 1 z 5
5 y 2
1
:x
BÀI 8.2 : Cho mặt phẳng (P) : x + y + z = 0 và đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng x + 2y – 3 = 0 và 3x – 2z – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua giao điểm A của d và mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d và nằm trong mặt phẳng (P). ĐS :
3 1 z 1
2 y 4
3
x
BÀI 8.3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho các đường thẳng : d1 :
2 2
2 1
1
y z
x ; d2 :
4 4
2 2
2
y z
x ; d3 :
1 1 1
2
y z
x và d4 :
1 1 2
2 2
y z x
1) Chứng minh các đường thẳng d1, d2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
2) Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng () cắt cả 4 đường thẳng đã cho.
BÀI 8.4 : Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) : x + 2y – 3z + 5 = 0 và cắt cả 2 đường thẳng : d1 :
t 3 z
t 4 y
t x
; d2 :
t 5 4 z
t 3 y
t 2 1 x
ĐS :
3 12 z 2
13 y 1
9 x
BÀI 8.5 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng
1 3 z 1
3 y 1
1 :x
d1
,
1z 1 y 1
1 :x
d2 và
1 2 z 2 y 1 :x
d3 . Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d1 và cắt d2, d3
lần lượt tại các điểm A, B sao cho AB 6. ĐS :
2 1 z 1
1 y 1
2 x
;
1 5 z 1
5 y 2
4
x
BÀI 8.6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + y – 5 = 0; (Q) : y + z + 3 = 0 và điểm A(1 , 1 , 0). Tìm phương trình đường thẳng d vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q), cắt (P) và (Q) tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm của M, N. ĐS :
5 z 7
1 y 2
1
x
BÀI 8.7 : Trong không gian (Oxyz), cho đường thẳng
2 2 z 1
3 y 2
1 :x
d . Tìm phương trình mặt phẳng chứa (D) và cách đều hai điểm A(0 , 0 , 1) và B(2 , 4 , 1). ĐS : 4x – 2y – 3z – 4 = 0 ; 11x – 2y – 10z + 3 = 0.
BÀI 8.8 : Cho mặt phẳng (P) : x + y – z + 1 = 0, đường thẳng (d) :
3 1 z 1
1 y 1
2 x
. Gọi I là giao điểm
của (d) và (P). Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cách điểm I một khoảng bằng 3 2. ĐS : :
1 7 z 1
5 y 2
1 x
hoặc :
1 1 z 1
1 y 2
1 x
BÀI 8.9 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
1;1;1
, B
2;3;1
, đường thẳng 21 z 1 y 1
1
:x
và mặt phẳng
P :xyz20. Viết phương trình đường thẳng d cắt
P tại C, cắt tại D sao cho ABCD là một hình thang vuông tại các đỉnh A, B. ĐS :
x 3 t ; y 2 t ; z3
BÀI 8.10 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1 ; 0 ; 1), B(2 ; 1 ; 3), đường thẳng 1
2 z 1
1 y 2
:x
và mặt phẳng (P) : 2x + y – z + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d cắt (P) tại C, cắt
tại D sao cho ABCD là hình bình hành. ĐS :
2 1 z 1
2 y 1
2 :x
d
BÀI 8.11 : Cho A(2 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 0) và đường thẳng
t z
0 y
t 1 x :
d . Viết phương trình đường thẳng
qua B cắt (d) sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng bằng 3
1 . ĐS :
x 1 2t ; y 2 t ; z t
BÀI 8.12 : Cho hai điểm A(4 ; 2 ; 2), B(0 ; 0 ; 7) và đường thẳng d :
1 1 z 2
6 y 2
3
x
1) Chứng minh hai đường thẳng d và AB cùng nằm trên một mặt phẳng.
2) Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho ABC cân tại đỉnh A. ĐS : C1(1 ; 8 ; 2) ; C2(9 ; 0 ; –2) BÀI 8.13 : Cho đường thẳng d1 :
2 1 z 2
1 y 1
1
x , d2 :
2 3 z 2
1 y 1 x
. Chứng minh d1 cắt d2 tại A. Viết phương trình đường thẳng qua M(2 ; 3 ; 1) tạo với d1, d2 một tam giác cân tại A. ĐS :
x2 ; y3 ; z 1 t
BÀI 8.14 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3 ; 2 ; 2) và mặt phẳng (P) : x – y – z + 1
= 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) biết rằng mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy, Oz lần lượt tại hai điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON. ĐS : (Q) : 2x + y + z – 2 = 0 BÀI 8.15 : Cho mặt cầu
S : x1
2 y1
2 z1
2 25 và mặt phẳng
: 2x2yz70.1) Chứng minh rằng mặt phẳng
cắt mặt cầu
S theo một đường tròn. Xác định tâm và tìm bán kính của đường tròn đó.2) Lập phương trình mặt phẳng
P đi qua hai điểm A
1;1;2
, B
3;5;2
và
P cắt mặt cầu
S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.ĐS : 1)
3
; 1 3
; 5 3
H 5 ; 2)
:4x2yz40BÀI 8.16 : Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1 ; 1 ; 1) và cắt đường thẳng (d) :
0 5 z y 2
0 9 z y 2
x tại
2 điểm A, B sao cho AB = 16. ĐS : (S) : (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 81.
BÀI 8.17 : (ĐH B 2007) Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 –2x + 4y + 2z –3 = 0 và mp(P) : 2x – y + 2z – 14 = 0 1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.
ĐS : (Q) : y – 2z = 0 ; 2) M(–1 ; –1 ; –3)
BÀI 8.18 : Trong không gian (Oxyz), viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1 ; 2 ; 1), B(0 ; 2
; 1), cắt trục Oz và tiếp xúc mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z + 2 = 0.
ĐS : 10x
2 263
y5z14 26 0 ; 10x
2 263
y5z14 26 0BÀI 8.19 : Cho đường thẳng
t 2 3 z
t 2 1 y
t x :
d và mặt cầu
S :x2y2z22x6y4z110.Viết phương trình mặt phẳng
P vuông góc đường thẳng
d , cắt mặt cầu
S theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r4. ĐS :
P :x2y2z0 hoặc
P : x2y2z180. BÀI 8.20 : Cho mặt cầu
S : x1
2 y1
2 z1
2 25. Lập phương trình mặt phẳng
P đi qua hai điểm A
1;1;2
, B
3;5;2
và
P cắt mặt cầu
S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.ĐS : 4x – 2y – z – 4 = 0 BÀI 8.21 : Cho điểm I(3 ; 4 ; 0) và đường thẳng
4 1 z 1
2 y 1
1 :x
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt tại hai điểm A, B sao cho diện tích của IAB bằng 12. ĐS : (S) : (x – 3)2 + (y – 4)2 + z2 = 25 BÀI 8.22 : Cho đường thẳng
1 3 z 2
3 y 1
1 :x
d
và hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình lần lượt là : 2x + y – 2z + 9 = 0, x – y + z + 4 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc (d) tiếp xúc với (P) và cắt (Q) theo đường tròn có chu vi bằng 2. ĐS :
S : x21/ 2
2 y 20
2 z 27 / 2
2 49BÀI 8.23 : Cho ABC có C(3 ; 2 ; 3), đường cao AH nằm trên đường thẳng
2 3 z 1
3 y 1
2 :x d1
và
đường phân giác trong của góc B nằm trên
1 3 z 2
4 y 1
1 :x
d2
. Chứng minh ABC đều.
BÀI 8.24 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho điểm A(5 ; 5 ; 0) và đường thẳng 4
7 z 3
1 y 2
1 :x
d
. Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc d sao cho tam giác ABC vuông tại C và BC 29. ĐS : C(3 ; 5 ; –1), B(1 ; 2 ; 3) hoặc B(5 ; 8 ; –5).
BÀI 8.25 : Cho hai đường thẳng
1 1 z 1
1 y 2 :x
d1
,
1 2 z 1
1 y 1
1 :x
d2
và điểm A
1;1;2
. Tìm tọa độ các điểm B, C lần lượt thuộc d1, d2 sao cho đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng đi qua A và đường thẳng d1, đồng thời AC2AB và điểm B có hoành độ dương. ĐS : C
1;3;0
và B(2/3 ; 4/3 ; 4/3) BÀI 8.26 : Cho đường thẳng1 z 2
1 y 1
2 :x
d
, mặt phẳng
P :xyz30. I là giao điểm của d và
P . Tìm tọa độ M
P sao cho MI d và MI4 14. ĐS :M
5;9;11
; M
3;7;13
BÀI 8.27 : Cho hai điểm A
1;1;0
, B
2;0;1
và mp
P :2xyz10. Tìm tọa độ điểm C trên
P sao cho
ABC vuông góc với mp
P và ABC có diện tích bằng 14 . ĐS : C1(2 ; 2 ; –7), C2(–2 ; –6 ; 9).;BÀI 8.28 : Cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng :
6 9 z 1 y 1
1 :x
1
,
2 1 z 1
3 y 2
1 :x
2
. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. ĐS : M(18/35 ; 53/35 ; 3/35)
BÀI 8.29 : Cho hình vuông ABCD có đỉnh C
1;1;2
và đường chéo1 1 z 1
1 y 4
1 :x
BD
. Tìm tọa
độ các đỉnh A, B, D biết điểm B có hoành độ dương. ĐS : A(1; 2; 3), B(0; 1; 1), D(1; 1; 1)
LÝ THUYẾT MẶT CẦU – MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
I. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1) Phương trình mặt cầu :
Dạng 1 : (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 là phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R.
Dạng 2 : (S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là phương trình mặt cầu a2 + b2 + c2 – d > 0.
Khi đó mặt cầu có tâm I(a ; b ; c) và bán kính R = a2 b2 c2 d 2) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :
Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mặt phẳng (), gọi h là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (), H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mặt phẳng ().
h > R thì mặt phẳng () và mặt cầu (S) không giao nhau.
h = R thì mặt phẳng () và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau tại H. Khi đó mặt phẳng () được gọi là tiếp diện.
h < R thì mặt phẳng () và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn tâm H bán kínhr R2h2 3) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :
Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và đường thẳng , gọi h là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng , H là hình chiếu vuông góc của tâm I lên đường thẳng .
h > R thì đường thẳng và mặt cầu (S) không giao nhau.
h = R thì đường thẳng và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau tại H. Khi đó đường thẳng là tiếp tuyến của (S).
h < R thì đường thẳng và mặt cầu (S) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B và H là trung điểm của dây AB, do đó : 2 AB2 2
R h
4
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
Định nghĩa : Vectơ n 0 gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (), nếu vectơ n vuông góc với mặt phẳng (). Ký hiệu n ()
Tính chất :
_ Hai
