Đoàn Ngọc Dũng -

TÍCH VÔ HƯỚNG – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

I. TÍCH VÔ HƯỚNG

 Dạng 1 : Tính tích vô hướng của hai vectơ, tính góc giữa hai vectơ

BÀI 1 : (SGK) Trong trường hợp nào tích vô hướng a.b có giá trị dương, có giá trị âm, bằng 0 ? BÀI 2 : Cho ba điểm A, B, C có AB = 5, AC = 7. Tính AB.AC trong các trường hợp sau :

a) Góc giữa hai vectơ ABvàAC là 30. b) Góc giữa hai vectơ ABvàAC là 120.

c) Hai vectơ ABvàAC cùng hướng. d) Hai vectơ ABvàAC ngược hướng.

BÀI 3 : Cho ABC vuông tại A, có AB = a ; BC = 2a . Tính : AB.AC, AC.CB, AB.BC.

BÀI 4 : Cho hai véctơ a và b đều khác 0. Tính góc tạo bởi hai véctơ a và b trong các trường hợp sau:

a) a.b a.b b) a.ba.b c) a.b 2 b 3 .

a 

BÀI 5 : Tính góc giữa hai vectơ a, b : a) a



2;1



, b



6;2



b) a



3;4



, b



8;6



BÀI 6 : Trên mp(Oxy) cho A(1 ; 1), B(2 ; 4), C(10 ; –2). Chứng minh rằng ABC vuông tại A. Tính tích vô hướng BA.BC và tính cosB.

BÀI 7 : Cho tam giác ABC có A(3 ; 1), B(1 ; 1), C(6 ; 0).

a) Tính góc A của ABC. b) Tính đọa độ giao điểm của đường tròn đường kính BC và trục Oy.

BÀI 8 : (SGK) Trong mặt phẳng tọa độ, cho u i 5j 2 1 

 và vki4j. Tìm k để : 1)uv 2) u  = v BÀI 9 : Cho hình thoi ABCD cạnh a và góc A = 60^o.

Tính các tích vô hướng sau đây : AB.AD, AB.BC, AD.CA, AC.AB, AC.BD. BÀI 10 : Cho 2 vectơ a,b. Cho biết a 6

; b 3

,

 

^{a , b  45}. Hãy tính :^{a 2a b  }



^



^,



^{3a 4b }



^{ 2a 3b }



BÀI 11 : (SGK) Chứng minh điều kiện cần và đủ để ABC vuông tại A là BA.BCAB².

BÀI 12 : (SGK) Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm hai đường thẳng AM và BN.

a) Chứng minh AM.AI       AB.AI ; BN.BIBA.BI

b) Tính AM.AIBN.BI theo R.

BÀI 13 : Cho ABC, trực tâm H. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính MH.MA theo BCa. BÀI 14 : Cho tam giác ABC có AB = 5 ; BC = 7 ; CA = 8.

a) Tính AB.CA, CA.CB b) Gọi D là điểm trên CA sao cho 3CD = CA . Tính BD.BA. BÀI 15 : (SGK) Cho ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh : BC.ADCA.BEAB.CF0. BÀI 16 : (SGK) Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh rằng :DA.BCDB.CADC.AB0. Từ đó suy ra cách chứng minh định lý “ba đường cao trong tam giác đồng qui tại một điểm”.

BÀI 17 : Cho tam giác đều ABC có cạnh a và trọng tâm G. Tính các tích vô hướng : AC

.

AB , AC.CB, AG.AB, GB.GC, BG.GA, GA.BC

BÀI 18 : Cho tam giác đều ABC, cạnh a, đường cao AH. Tính các tích vô hướng sau :

a) AB.AC ; b) AH.AC ; c)^AB.



^ABAC



^{; d)AC.}



^ACAB



^{; e)}



^ABAC



^.ACAB



^{; f)AB.}



^2AB3AC



BÀI 19 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính giá trị của biểu thức ^P



AB 2AC AB 3BC  



 



. BÀI 20 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I.

a) Tính AB.AC ; AC.BD. b) M là điểm di động trên cạnh AB, N di động trên cạnh CD. Tính AD.MN. c) Tính



^ABAD



^IBIC



^.

BÀI 21 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AO và BC.

a) Tính AB.OA b) Tính AB.DN c) Tính MN.BD d) Chứng minh MDN vuông

BÀI 22 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính các tích vô hướng sau : a) ^AC.



^ABAD



^b)



^ABAC



^BCBDBA



^{c) OA.BC}

BÀI 23 : Tính ^cos

 

^a,b biết rằng :



^2a3b

 

^{ab 0 và}

  

^{a3b ab 0}

BÀI 24 : Cho tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng : ^AB.AC ₂¹



^{AB2AC2BC2}



. Suy ra giá trị của góc A khi AB = 5, BC = 7, AC = 8.

b) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng : AB.ACMA²MB². BÀI 25 : Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, AC = 3.

a) Tính AC.AB và ^cos



^AC,AB



^. b) I là trung điểm của AB, J là điểm thỏa AC 2 AJ 3 BÀI 26 : Cho ABC có trực tâm H và M là trung điểm của BC. Chứng minh : BC²

4 M A 1 .

M H  .

BÀI 27 : Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 3a, AD = 2a,

2 a BC 9 . a) Tính các tích vô hướng : AC.AB, AC.AD, AC.BD. Suy ra góc



^AC,BD



^.

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính BM.BD, suy ra cosMBD .

 Dạng 2 : Tính độ dài của một đoạn thẳng

BÀI 28 : Cho tam giác ABC biết AB = c ; BC = a ; CA = b.

a) Tính AB.AC và góc A. Suy ra các hệ thức tương tự. b) Tính độ dài trung tuyến AM.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính độ dài AG và tính AG.BC BÀI 29 : Cho tam giác ABC có AB =3 2 ; BC = 5 ; CA = 1.

a) Tính tích vô hướng AB.AC. Suy ra giá trị góc A. b) Tính độ dài trung tuyến AM.

c) Gọi D là điểm trên CA sao cho 3CD = CA. Tính BD.BA 

. d) Chứng minh: AB.AC MA²MB² . BÀI 30 : Cho tam giác ABC có AB.AC20 ; BA.BC44 ; CA.CB5. Tính độ dài AB, AC, BC và Aˆ . BÀI 31 : Cho tam giác ABC có AB = 4 ; AC = 6 ; góc A = 60.

a) Tính AB.AC. Suy ra độ dài cạnh BC. b) Tính độ dài trung tuyến AI của ABC.

c) Gọi M, N là 2 điểm thỏa: 2AMAB0 ; 3ANAC0. Tính AM.AN BÀI 32 : Cho tam giác ABC có AB = 3a, AC = 4a, góc A = 60^o.

a) Tính AB.AC. Suy ra độ dài BC và độ dài trung tuyến AM.

b) Gọi I, J là các điểm xác định bởi AB 3

AI1 , AC

3

AJ 2 . Tính IJ.

BÀI 33 : Cho tam giác ABC có AB2 2, AC = 3, góc A = 135^o. a) Tính AC.AB. Suy ra độ dài BC và trung tuyến AM.

b) Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho DB = 3DC. Tính AD theo AB và AC. Suy ra độ dài AD.

BÀI 34 : Cho tam giác ABC có AB = 2 ; BC = 4 ; CA = 3. Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A.

Tính AD theo AB, AC. Suy ra độ dài AD.

BÀI 35 : Cho hai điểm A(4 ; 5), B(2 ; 1). Tìm điểm M  Ox sao cho MAMB đạt giá trị nhỏ nhất.

BÀI 36 : Cho hình bình hành ABCD có AB = 5, AD = 3, góc DAB = 120.

a) Chứng minh rằng: AC.BDAD² AB². b) Tính độ dài đoạn BD.

c) Gọi I là điểm thỏa AIk.AB. Tìm k để CI  BD.

BÀI 37 : Cho ABC vuông tại A, BCa 3, M là trung điểm BC. Biết

2 BC a .

AM  ² . Hãy tính AB, AC.

BÀI 38 : Cho hai véctơ a, b.

a) Biết rằng a 5, b 2,

 

^{a,b 120o. Tính a3b và 2a3b .}

b) Biết rằng ab 2, ab 4, và



^2ab



^a3b



^0. Hãy tính a , b . BÀI 39 : Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = 4a, góc A =

3

2. Gọi M là trung điểm AC.

a) Tính BC và BM.

b) Gọi N  BC, sao cho BN = x. Tính AN theo BC và AC. Suy ra giá trị của x để ANBM.

 Dạng 3: Chứng minh sự vuông góc của hai véctơ, hai đường thẳng BÀI 40 : Cho tam giác ABC có AB = a, AC = 2a.

Gọi D là trung điểm của AC, M là điểm thỏa: BC 3

BM1 . Chứng minh BD vuông góc với AM.

BÀI 41 : Cho 3 điểm A, B, M. Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: 4.MO² = AB²  MA  MB BÀI 42 : Cho ABC vuông tại A. Gọi M và N lần lượt lấy trên AB và AC sao cho AM.ABAN.AC. Chứng minh trung tuyến AI  MN.

BÀI 43 : Cho hình chữ nhật ABCD có AD =3 2, AB = 3, tâm O.

a) Tính AC.AD, AC.AB, AC.DB, OC.OD b) Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh BM  AC.

BÀI 44 : Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N là các điểm thỏa mãn BC 3

BM1 , CD

2

CN1 . Gọi I là giao điểm của AM và BN. Tính tỉ số

BNBI và chứng minh rằng AI vuông góc với IC.

BÀI 45 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Đặt ABa, ADb. Gọi M, N là hai điểm trên hai cạnh AB, AD sao cho

3 DN 1

AM  .

a) Tính CM, BN theo véctơ a , b . b) Tính CM.BN. Suy ra CMBN.

BÀI 46 : Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh bằng AB2 và AD4. Gọi M là trung điểm cạnh AB và N là điểm trên cạnh AD sao cho ANkAD. Xác định k để có CMBN.

BÀI 47 : Lấy M, N, P lần lượt trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giác đều ABC cạnh 3a sao cho BM = a;

CN = 2a; AP = x (0 < x < 3a).

a) Tính AM;PN theo các vectơ AB;AC b) Tìm x sao cho AM  PN.

BÀI 48 : Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là điểm xác định bởi :OHOAOBOC a) Tính : AH.BC. Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Gọi M là trung điểm BC. Tìm hệ thức giữa độ dài ba cạnh của ABC là a, b, c sao cho OH  AM.

 Dạng 4 : Tập hợp điểm

BÀI 49 : Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a và số thực k. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA.MBk². BÀI 50 : Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho :

a) AM.ABAB.AC b) MA.MBMA.MC0 c) MA.MBMA.MC

BÀI 51 : Cho A, B, C, D là bốn điểm cố định cho trước, tìm tập hợp những điểm M sao cho :



^{MA2MB3MC}



^MAMD



^0

 

¹

BÀI 52 : Cho tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng: ^AB.AC₂¹



^{AB2AC2BC2}



b) Cho biết AB = 5, AC 2, BAC135^o

. Tính AB.AC và độ dài trung tuyến AI.

c) Tìm tập hợp những điểm M thỏa :



^{MBMC2MA}



^{.MAMBMC}



^{0 ; 2MA2MA.MBMC.MA}

BÀI 53 : Cho ABC đều cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện sau :



^MAMB



^.MCa2

II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 1 : Cho ABC có :

1) a = 5 ; b = 6 ; c = 9. Tính ha , ma , R , r, cosA, sinA. 2) cosA = 3/5 ; b = 5 ; c = 7. Tính a, S, R, r, ha. BÀI 2 : Cho ABC có góc A = 60 ; AB = 5 ; AC = 8

1) Tính cạnh BC, diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

2) Tính độ dài đường cao BH, đường trung tuyến BM, đường phân giác trong AD của tam giác ABC.

BÀI 3 : Cho ABC có góc A = 60 ; a = 13 ; b = 8. Tính độ dài cạnh thứ ba, đường cao AH, độ dài đường phân giác trong và bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC.

BÀI 4 : (SGK) Cho ABC có góc A = 60 ; góc B = 45; b = 4. Tính hai cạnh a và c.

BÀI 5 : Cho ABC có b = 2 37 ; c = 7 và diện tích S = 42. Tính độ dài cạnh a.

BÀI 6 : Cho tam giác ABC với a6, b7, c5.

a) Tính S, ha, R. b) Tính bán kính đường tròn qua A, C và trung điểm M của BC.

BÀI 7 : Cho tam giác ABC vuông tại B, góc A = 30^o, a4. Gọi I là trung điểm cạnh BC, M và N là hai điểm nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho tam giác IMN đều. Tính độ dài MN.

BÀI 8 : Cho ABC có độ dài đường trung tuyến AM = 13, độ dài BC = 6 và góc B = 60. Tính độ dài cạnh AB và các bán kính của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của ABC.

BÀI 9 : (SGK) Cho ABC có góc A = 120 và 1 3 AB

AC  . Tính góc B.

BÀI 10 : (SGK) Tam giác ABC có a = 5, b = 4, c = 3. Lấy điểm D đối xứng với B qua C. Tính độ dài AD.

BÀI 11 : Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC.

BÀI 12 : (SGK) Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.

BÀI 13 : (SGK) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A khi và chỉ khi 5m²_a m²_bm²_c

BÀI 14 : (SGK) Chứng minh rằng nếu 3 góc của ABC thỏa sinA = 2sinB.cosC thì ABC là tam giác cân.

BÀI 15 : Cho tam giác ABC thỏa mãn :

a) bc

a c b a

1 c

1 b

1 



 

 . Chứng minh góc A = 120^o. b)

c b a

c b a² a^{3 3 3}







  . Chứng minh góc A = 60^o.

c)

  

4

c b a c b

S a    . Chứng minh ABC vuông. d)

c b a

3 b a

1 c b

1



 

 

 . Chứng minh góc B = 60^o. BÀI 16 : (SGK) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng :

AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4MN² BÀI 17 : (SGK) Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh : 1) S = 2R².sinA.sinB.sinC 2)

S 4

a c A b

cot

2 2

2 

 3)

S 4

c b C a

cot B cot A cot

2 2

2  







BÀI 18 : (SGK) Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm CD, M  AC sao cho 4AM = AC.

1) Tính các cạnh của BMN. 2) Có nhận xét gì về BMN ? Tính diện tích BMN 3) Gọi I là giao điểm của BN và AC. Tính CI. 4) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BDN.

BÀI 19 : Tính góc A của ABC biết 3 cạnh a, b, c thỏa hệ thức : b(b² – a²) = c(a² – c²).

BÀI 20 : ABC có : b + c = 2a. Chứng minh : a) 2sinA = sinB + sinC b)

c b

a h

1 h

1 h

2  

BÀI 21 : ABC có trung tuyến AM = c. Chứng minh : a) a² = 2(b² – c²) b) sin²A = 2(sin²B – sin²C) BÀI 22 : ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau. Chứng minh rằng : b² + c² = 5a² BÀI 23 : ABC. Chứng minh rằng : 4m_a² b²c² 2bccosA.

BÀI 24 : ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng :

a) (a b c )

4 m 3 m

m²_a  ²_b  _c²  ²  ²  ² b) (a b c ) 3

GC 1 GB

GA²  ² ²  ²  ²  ²

BÀI 25 : ABC có AB = a. Tìm tập hợp điểm M biết : a) MA² + MB² = 2MC² b) MB² + MC² = 2BC²

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

I. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0. Từ một điểm O ta vẽ OAa và OBb. Khi đó số đo góc giữa hai vectơ a và b, hay gọn hơn là : góc giữa a và b.

 Chú ý : ) b , a

( = 0  a và b cùng hướng.

) b , a

( = 180  a và b ngược hướng.

) b , a

( = 90  a  b

 Qui ước : Nếu ít nhất một trong hai vectơ a và b là vectơ 0 thì ta có thể xem góc (a,b) là bao nhiêu cũng được.

II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1) Tích vô hướng của 2 vectơ a và b (a, b 0) là một số, ký hiệu là a.b, được xác định bởi công thức : a.b = a . b .cos(a,b)

 Chú ý : 1) a.b = 0  a  b

2) Định lý : Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó : a²  a ² Như vậy :

 OA.OB OA.OB.cosAOB

  a² a.a a²

 AB² AB²  0.aa.00 với mọi a

 Chú ý : Nếu a0 hay b0 thì ta quy ước a.b0. 3) Một số kết quả thường dùng



 

^{a,b 0  a và b} cùng hướng : a.b a.b



 

^{a,b 180o  a và b} ngược hướng : a.ba.b



 

^{a,b 90oa.b0}



 

^{a,b 90oa.b0}



 

^{a,b 90oaba.b0} (điều kiện vuông góc) 4) Tính chất của tích vô hướng

Với mọi véctơ a, b, c và số thực m, ta có : a) Tính giao hoán : a.bb.a

b) Tính phân phối đối với phép cộng : ^a.

 

^{bc a.ba.c}

c) Tính phân phối đối với phép trừ : ^a.

 

^{bc a.ba.c}

d) Tính kết hợp :

   

^m.a.bma.b

Từ tính chất trên, ta suy ra :



 

^{ab2 a22.a.bb2}



 

^{ab2a22.a.bb2}



  

^{ab ab a2b2}

III. CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU

1) Hình chiếu : Cho hai vectơ OA,OB. Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA. Ta có : OA.OBOA.OB'

Vec tơ OB' gọi là hình chiếu của vectơ OB trên đường thẳng OA.

Công thức OA.OBOA.OB' gọi là công thức hình chiếu.

Định lý : Tích vô hướng của hai vectơ a và b bằng tích vô hướng của vectơ a và hình chiếu b' của vectơ b trên đường thẳng chứa vectơ a

2) Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) : PM/(O) = MA.MBd² R²

Khi điểm M nằm ngoài (O ; R),

MT là tiếp tuyến của (O ; R) (T là tiếp điểm), thì : PM/(O) = MT² MT² IV. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Cho hai véctơ a



a₁;a₂



và b



b₁;b₂



. Khi đó :

 a.b a₁b₁a₂b₂ ^ a  a²₁ a²₂ ^

 

₂

2 2 2 1 2 2 1

2 2 1 1

b b . a a

b a b b a

, a

cos  

  (với a0 và b 0)

 Đặc biệt : aba₁b₁a₂b₂ 0

Hệ quả : Cho hai điểm A(xA ; yA) và B(xB ; yB).

Khi đó độ dài của đoạn AB là : ^AB ^AB 



^x_B^x_A

 

²  ^y_B^y_A



²

V. PHƯƠNG PHÁP TÌM TẬP HỢP ĐIỂM :

Để tìm tập hợp điểm M thỏa đẳng thức cho trước ta thường biến đổi đẳng thức đã cho tương đương với một đẳng thức đơn giản có dạng sau :

1) AM = k (với A cố định và k không đổi)

Khi đó, tập hợp điểm M là đường tròn tâm A và bán kính R = k.

2) AM'k (k không đổi, A cố định trên đường thẳng d và M’ là hình chiếu của M trên d). Ta có M’ là điểm cố định nên ta có tập hợp điểm M là đường thẳng  vuông góc với d tại M’.

VI. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1) Định lý hàm cosin : 2) Định lý hàm sin : 4) Định lý về trung tuyến : a² = b² + c²  2bc cosA

b² = a² + c²  2ac cosB c² = a² + b²  2ab cosC

3) Công thức tính diện tích tam giác : Gọi

2 c b

pa  là nửa chu vi của tam giác ABC, ta có : S =

2

1a.ha = 2

1b.hb = = 2 1c.hc S =

2

1bc.sinA = 2

1ca.sinB = 2

1ab.sinC S =

R 4 abc

S = p(pa)(pb)(pc) (công thức Hêrông) S = p.r

5) Công thức tính độ dài đường phân giác trong của góc A :

c b

2 cosA bc 2 l_A

  R C 2 sin

c B sin

b A sin

a    ^{m b} ₂^{c a}₄

2 2 2 2

a   

4 b 2

a m c

2 2 2 2

b   

4 c 2

b m a

2 2 2 2

c  



b² + c² = 2.ma2 + 2 a² c² + a² = 2.mb2 +

2 b² a² + b² = 2.mc2 +

2 c²

TRẮC NGHIỆM TÍCH VÔ HƯỚNG

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

Câu 1. Tam giác ABC cĩ Bˆ60⁰; AB = 2; BC = 2 + 2. Tích vơ hướng AB.BC bằng :

a) 2– 2 b) –2– 2 c) –2+ 2 d) 2+ 2

Câu 2. Tam giác ABC cĩ AB = 3; BC = 5; CA = 7. Khi đĩ AB.BC bằng : a) 2

3

3 b) 19 c) 27 d) Đáp số khác

Câu 3. Tam giác cân ABC cĩ AB = AC = 1, BAC = 120⁰. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AM=

3 1.

Tích vơ hướng AM.AC bằng : a) –8

3 b) –

6

1 c) –

2

3 d)

2 1

Câu 4. Cho hình vuơng ABCD cĩ độ dài cạnh bằng 1, tâm O. Gọi N là điểm thỏa : 2NB3NC0, M là trung điểm AB. Tích ON.AB bằng :

a) 1 b) 2 c) –

8

1 d)

2 1

Câu 5. Cho hai điểm M, N nằm trên đường trịn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN. Tính AM.AIBN.BI

a) 4R² b) R² c) R d) Cả a, b, c sai

Câu 6. Cho tam giác ABC cân đỉnh A, Bˆ30⁰, BC = 6. Tích MA.MC bằng :

a) 3 3 b) 20 c) 4 d) 4 3

Câu 7. Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng 3. I là trung điểm AB. Tích BI.CA bằng :

a) 6 2 b)

2

9 c) 6 d) 9

Câu 8. Cho hình bình hành ABCD cĩ AB = 3, AC = 9, AD = 6. Độ dài đường chéo BD bằng :

a) 9 b)

2

9 c) 5 d) 3

Câu 9. Cho hai vectơ a= (2; 5), b = (3; –7). Gĩc tạo bởi a và b là :

a) 45⁰ b) 135⁰ c) 60⁰ d) 120⁰

Câu 10. Cho hình vuơng ABCD, giá trị cos



^{AB ,CA}



^{là :}

a) 2

1 b) –

2

1 c)

2

2 d) –

2 2

Câu 11. Cho tam giác đều ABC. Giá trị sin



^{BC ,AC}



^{là :}

a) 2

3 b) –

2

3 c)

2

1 d) –

2 1 Câu 12. Cho tam giác ABC vuơng ở A và Bˆ=30⁰. Tính giá trị biểu thức:

   

^,

cos , sin , tan AC CB

T AB BC BA BC  

    

 

 

   

Một học sinh giải như sau:

Bước 1: 



^{ AB BC,}



^1500

nên ^cos



^{ AB BC,}



^{cos1500  cos 300   3}





^{BA BC,}



^{300 nên sin}



^,



^{sin 300 1}

BA BC  2

Bước 2 :

 

0



,



0

, 60 30

2 AC CB

AC CB   

 

 



,



0 1

tan tan 30

2 3

AC CB

  

 

Bước 3 : ^{3 1 1 1 3}

2 2 3 2 6

T      

Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai ở đâu ? a) Đúng

b) Sai từ bước 1 c) Sai từ bước 2 d) Sai từ bước 3

Câu 13. Cho a ,b ,c là ba vectơ khác 0. Xét các mệnh đề :

(I) a.bb .cbc (II) (a.b) .ca.(b .c) (III) (a.b)²a².b² Mệnh đề nào sai ?

a) (I) và (II) b) (II) và (III) c) (I) và (III) d) (I), (II) và (III)

Câu 14. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(3; 2), C(5; –5). Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là :

a) (4; 2) b) (–2; 4) c) (2; 4) d) (4; –2)

Câu 15. Cho tam giác ABC với A(5; 5), B(6; –2) và C(–2; 4). Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là :

a) (1; 2) b) (–2; 1) c) (2; 1) d) (2; 2)

Câu 16. Cho tam giác ABC với A(–4; –5), B(1; 5), C(4; –1). Tọa độ chân đường phân giác trong của góc B là :

a) 



 



 2 ;5

1 b) 



 



 2 - 5

;

1 c) (1; –5) d) (5; 1)

Câu 17. Cho tam giác ABC với A(4; 3), B(–5; 6) và C(–4; –1). Tọa độ trực tâm của tam giác ABC là :

a) (3; –2) b) (–3; –2) c) (3; 2) d) (–3; 2)

Câu 18. Cho tam giác ABC. Quỹ tích các điểm M thỏa MA.MBMA.MC là : a) Đường tròn

b) Đường thẳng qua A vuông góc với BC c) Đường thẳng qua B vuông góc với BC d) Đường thẳng qua A vuông góc với CA

Câu 19. Trong đường tròn (O) hai dây cung AB và CD cắt nhau ở I. Nếu AI = 12, IB = 18 và

8 3 ID

IC  thì CD bằng :

a) 24 b) 33 c) 57 d) 42

Câu 20. Trong đường tròn (O) hai dây cung AB và CD cắt nhau ở I. Nếu AI = 12, IB = 32 và CI > ID thì CI bằng :

a) 12 b) 8 c) 24 d) 15

------

A C

B

300