ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9

1

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế,phương pháp cộng

*Phương pháp thế

Rút x hoặc y của 1 trong hai phương trình,thế vào phương trình còn lại ,ta được phương trình 1 ẩn,giải pt 1 ẩn ,thế vào phương trình kia để tìm nghiệm của hệ.

Ví dụ1:







 























 













 













5 7 6 21 7 16 3

3 80 15 4 16 3

3 ) 16 3(

5 4 16 3

2 3

y x y x x y

x x x y

x x y x

y x

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x=7,y=5) Ví dụ2:









 









 















 















 

















3 2 3 2

0 0 3 2

6 4 6 4 2 3

6 ) 2 3(

2 4 3 2

6 2 4

x y

R x x y

x x y

x x x y

x x y x

y x

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.công thức nghiệm tổng quát là (xR,y=2x+3) Ví dụ3











 











 













 













x y x x y

x x x

x y y x

y x

4 2 4 2

3 0 1 ) 4 2 (2 8

4 2 1 2 8

2 4

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

*Phương pháp cộng:

-Nhân 2 vế của 1 hay hai phương trình với số thích hợp để được 1 hệ số của 1 ẩn đối nhau hay bằng nhau

-Cộng hay trừ 2 vế của phương trình ,ta được 1 phương trình 1 ẩn -Giải phương trình của ẩn

-Thế vào phương trình tùy ý để tìm nghiệm của hệ.

Ví dụ1:









 











 











 











  











 



1 3

1 7 2 3

7 2 35 5

9 9

6

1 4 4

6

) 3 (*

3 3 2

) 2 ( * 7 2 3

y x yx

y x y

y x

y x

y x

y x

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x=3,y=-1)

Ví dụ 2:











 











 









 

 









  



1 3 2

1 3 2

4 0

2 6

4

2 6

4

2 6

4

) 2 (*

1 3 2

y x x

y x x

y x

y x y x

y x

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

2

2)Giải các hệ phương trình

a) 4 5

3 2 12

x y

x y

  

   

 b) 











2 4

8

3 y x

y x

c) 









2 4

5 3

7

y x

y

x

d) 











11 4

5

2 3

y x

y

x e) _















3 8 5

3 1 2

y x

y x

f) ^{5 2}

(1 5) 1

x y x y

  



   



g) ^ìïï_{íï -}⁴_3x^{x y+ = -}_{2y= -}⁵₁₂ ïî

h) _^    









5 ) (

2 ) (

4 ) (

3 ) (

2

y x y

x

y x y

x

i) _^     











3 ) 1 ( 2 ) 2 ( 3

2 ) 1 ( 3 ) 2 ( 2

y x

y x

j)

















































 







 











 



























 

 









y x y x y x v u

v u

v u y y v

x x u

y x

y x

5 3 1

7 1 1

1 5 3

7 1 1

5 7

16 3

2 ) 3

1 (

) 1 1(

3

) 1 1( 1

) 1 .(

1 1 6 1 1 3

2 1 3 1 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm là k)











 

 

 

 

1 1 3 2

2

1 2 1 2

1

y x

y x

l)

6 2

2 2 3

3 4

2 2 1

x y x y

x y x y

  

  



   

  



m)

4 1

1 3

2 2

1 4 x y x y

  

 

 

  

 



n) ^^{x 0,5y 2}_{2x y 4}^  ^ o) ^_{5x 6y 20}^{3x 4y 11}^ ^ p) ^_{  }^{2x y 3}_{3x y 12}^{ }



q) ^{x y 2 6} 2 2x 3y 8

  



 



r) ^_{  3x y 12}^{2x y 3 }



s) ^{x y 2 6} 2 2x 3y 8

  



 



t) 2x 5y 16

4x 3y 7

 

   



u) 5 4 3

7 9 8

x y

x y

 

  



v) 3 2 7

5 3 1

x y

x y

  

  



w) 3 2 1

2 2 3 0

x y

x y

   



 



x) 2 4 1

2 4 2 5

x y

x y

   



 



y)

4 1

1 3

2 2

1 4 x y x y

  

 



  

 



z)

6 5 3

9 10 1 x y

x y

  



  



aa)

bb)

1 1

1 1

x y x y m x y x y n

  

  



  

  



cc)    

  



x 3 2y 1

x y 3 0

dd) ^³₂^{x y}_{x y}^{ } ²₈ ee) ^_{   3}^x_x^3₂^y_y^5 ₁

 ff) 











12 3

4

8 2 3

y x

y x

GIẢI BÀI TĨAN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Vd:Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều dài 5m và giảm chiều rộng 5m thì diện tích giảm 33m². Tính các kích thước của khu vườn đó.

Giải

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x(m) Chiều dài của hình chữ nhật là y(m)(y>x>0)

Chiều dài gấp đơi chiều rộng nên:y=2x2x-y=0(1) Chiều dài lúc sau:y+5

Chiều rộng lúc sau:x-5 Diện tích lúc sau(y+5)(x-5)

Diện tích giảm 33m²:xy-(y+5)(x-5)-=33(2) Từ (1),(2) ta cĩ hệ phương trình

Vậy chiều rộng là:

Chiều dài là:

Vd:Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 56m . Nếu ta giảm rộng đi 5m và tăng dài 2m thì diện tích giảm đi 17m² . Tính các kích thước của khu vườn đó.

Giải

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x(m) Chiều dài của hình chữ nhật là y(m)(y>x>0) Chu vi 56m nên (x+y).2=56x+y=28(1)

Giảm rộng đi 5m và tăng dài 2m thì diện tích giảm đi 17m² thì(x-5)(y+2)-xy=17(2) Từ(1),(2) ta cĩ hệ phương trình

Kết luận

1. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn rộng 5m . Nếu tăng chiều dài 5m và giảm chiều rộng 3m thì diện tích giảm 20m². Tính các kích thước của khu vườn đó.

2. Một hình chữ nhật có chu vi là 60m và có hai lần chiều dài bằng ba lần chiều rộng. Tính các kích thước của hình chữ nhật.

3. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 100m. Nếu tăng chiều dài 2 m và giảm chiều rộng 1 m thì diện tích giảm đi 10 m².Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn

4. Một miếng vườn hình chữ nhật có chu vi 64 m. Nếu giảm chiều dài 5 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 5 m². Tìm kích thước của miếng vườn.

5. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 56m. Nếu ta giảm một cạnh đi 5m và tăng cạnh kia 2m thì diện tích giảm đi 17m² . Tính các kích thước của khu vườn đó.

6. Một miếng đất hình chử nhật có chiều dài là x và chiều rộng là y. Nếu tăng gấp đôi chiều dài và giảm phân nửa chiều rộng thì chu vi tăng lên 180 m.

Nếu tăng gấp đôi chiều rộng và giảm phân nửa chiều dài thì chu vi tăng thêm 120 m. Hỏi chiều dài và chiều rộng của miếng đất.

7. Một khu đất hình chữ nhật có chu vi bằng 58 m. Nếu tăng chiều dài 2 m và giảm chiều rộng 3 m thì diện tích giảm đi 38 m² . Tính các kích thước của khu đất.

8. Cạnh góc vuông nhỏ của một tam giác vuông kém hơn cạnh góc vuông lớn 7m . Nếu tăng cạnh góc vuông nhỏ 3m , giảm cạnh góc vuông lớn 2m thì diện tích tam giác vuông tăng lên 10m² . Tìm độ dài hai cạnh góc vuông 9. Một mảnh đất hình chữ nhật cĩ chiều rộng bé hơn chiều dài 4 m và diện

tíchbằng 320 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất .

10.Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 100m. Nếu tăng chiều dài 2 m và giảm chiều rộng 1 m thì diện tích giảm đi 10 m².Tìm chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

11.Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều dài 5m và giảm chiều rộng 5m thì diện tích giảm 33m². Tính các kích thước của khu vườn đó.

12.Một hình chữ nhật có chu vi 50m và có ba lần chiều dài hơn 2 lần chiều rộng 15m. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

13. Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chu vi 340m. Chiều dài hơn chiều rộng 20m.

Tính diện tích khu vườn.

14.Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124 m . Nếu tăng chiều dài 5m và tăng chiều rộng 3 m thì diện tích sẽ tăng 225m² .Tính chiều dài và chiều rộng đám đất.

15.

Bài 1. Một hình chữ nhật cĩ diện tích 300 m2. Nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài lên 5m thì ta được HCN mới bằng diện tích HCN ban đầu. Tính chu vi HCN ban đầu.

Bài 2. Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chu vi là 50 m và diện tích 100 m 2 Tính các cạnh của khu vườn ấy.

Bài 3 Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chiều rộng bằng 2/5 chiều dài và cĩ diện tích bằng 360 m2. Tính chu vi của khu vườn ấy.

Bài 4 Một khu vườn hình chữ nhật cĩ chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và cĩ diện tích bằng 1792 m2. Tính chu vi khu vườn ấy.

Bài 5 Tính các kích thước của hình chữ nhật cĩ diện tích 40 cm2, biết rằng nếu tăng mỗi kích thước thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2.

Ví d

ụ 1/sgk trang 20

Tìm số tự nhiên cĩ 2 chữ số,biết 2 lần chữ số hang đơn vị lớn hơn chữ số hang chục 1 đơn vị,nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được 1 số mới ( cĩ hai chữ số)bé hơn số cũ 27 đơn vị.

giải :

Gọi chữ số hang chục là x(x,yN;0<x,y≤9) Chữ số hàng đơn vị là y

Hai lần chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục:2y-x=1-x+2y=1(1) Viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại ^xyyx27

(10x+y)-(10y+x)=27

9x-9y=27

x-y=3(2) Từ (1),(2) ta cĩ hệ phương trình

Vậy số phải tìm là

1. . Tìm số tự nhiên cĩ 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận được số mới bé hơn số ban đầu36 đơn vị.

2. Tìm số tự nhiên cĩ 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta nhận được số mới lớn hơn số ban đầu 18 đơn vị.

3. Cho một số cĩ hai chữ số, tổng của hai chữ số bằng 11. Nếu thay đổi theo thứ tự ngược lại được một số mới lớn hơn số lúc đầu 27 đơn vị. Tìm số đã cho.

4. một số cĩ hai chữ số lớn gấp 3 lần tổng các chữ số của nĩ, cịn bình phương của tổng các chữ số gấp 3 lân số đã cho. Tìm số đĩ.

5. Đem một số cĩ hai chữ số nhân với tổng các chữ số của nĩ thì được 405. Nêu lấy số được viết bởi hai chữ số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số của nĩ thì được 486. Tìm số đĩ (54)

6. Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm 2 số đĩ.

7. Tìm số tự nhiên có hai chử số biết tổng hai chử số bằng 12 và chử số hàng chục gấp hai chử số hàng đơn vị

8. Tìm 2 số tự nhiên biết tổng của chúng là 70.Nếu lấy số lớn chia số nhỏ thì được thương là 1,số dư là 10.Tìm 2 số đĩ.

9. Tổng các chữ số của mơt số =10,nếu thêm vào số đĩ 36 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng các chữ số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại.Hãy tìm số đĩ.

Ví dụ 2:Một xe tải đi từ A đến B ,quãng đường dài 189km.Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ,1 chiếc xe khách bắt đầu đi từ B về A và gặp xe tải sau khi đã đi 1h48’.Tính vận tốc của mỗi xe,biết mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km.

Giải :

Gọi vận tốc của xe tải là x(km/h)

Vận tốc của xe khách là y(km/h)(x,y>0)

Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km,ta cĩ pt:y-x=13-x+y=13(1) Thời gian xe khách đi từ B đến chỗ gặp là: ^h

5 9

Thời gian xe tải đi từ A đến chỗ gặp là( ^h 5 ) 14 5 1 9 

Vì quãng đường AB dài 189 km nên ta cĩ pt: ¹⁸⁹ 5

9 5

14x y (2) Từ (1),(2) ta cĩ hpt:

Kết luận:xe khách:

Xe tải :

Bài 1. Một ơtơ và xe máy xuất phát cùng một lúc, đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 180 km . Vận tốc của ơtơ lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h , nên ơtơ đã đến B trước xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe..

Bài 2. Hai người đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 75 km . Người thứ nhất mỗi giờ đi nhanh hơn người thứ hai 5 km/h nên đến B sớm hơn người thứ hai 10 phút. Tính vận tốc của mỗi người.

Bài 3. Khoảng cách giữa 2 thành phố A và B là 180 km. một ơ tơ đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi dến lúc trở về A là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ơ tơ.

Bài 4. Hai ơ tơ khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ơ tơ thứ nhất chạy nhanh hơn ơ tơ thứ hai 10 km nên đến b trước ơ tơ thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe.

Bài 5. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc hơn xe đạp 18 km/h. Sau khi 2 xe gặp nhau, xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính vận tốc mỗi xe?

Bài 6 Một ô tô đi trên quãng đường dài 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/hvà đi hết quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô, biết thời gian đi hết quãng đường là 8 giờ.

Bài 7 Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 36 km trong một thời gian nhất định. Đi được nửa đường, người đó nghỉ 18 phút nên để đến B đúng hẹn phải tăng vận tốc 2 km/h. Tính vận tốc ban đầu.

Bài 8 Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút, một ca nô cũng khởi hành từ A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Tim Vận tốc của thuyền, biết vận tốc ca nô nhanh hơn thuyền là 12 km/h.

Bài 9 Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Khi còn cách trung điểm quãng đường 60 km thì xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đã đến B sớm hơn dự định là 1 giờ. Tính quãng đường AB.

Bài 10. Một canô xuôi dòng 30 km rồi ngược dòng 36 km. Vận tốc canô xuôi dòng lớn hơn vận tốc canô ngược dòng 3km/h. Tính vận tốc canô lúc ngược dòng. Biết rằng thời gian canô lúc ngược dòng lâu hơn thời gian xuôi dòng 1 giờ.

Bài 11. Quãng đường Hải Dương – Thái Nguyên dài 150km. Một ô tô đi từ Hải Dương đến Thái Nguyên rồi nghỉ ở Thái Nguyên 4 giờ 30 phút , sau đó trở về Hải Dương hết tất cả 10 giờ. Tính vận tốc của ô tô lúc đi . Biết vận tốc lúc về nhanh hơn vận tốc lúc đi 10km/h.

Bài 12 Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.

Bài 13. Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ 10 phút. Tính vận tốc thực của thuyền, biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dòng sông.

Bài 14. Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Canô I chạy với vận tốc 20 km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h. Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ. Tính chiều dài khúc sông AB, biết rằng 2 canô đến bến B cùng một lúc.

Bài 15. Hai người đi xe máy cùng khởi hành một lúc từ Hà Nội và Hải Dương ngược chiều nhau, sau 40 phút họ gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc người đi từ HN hơn vận tốc người đi từ HD là 10km/h và quãng đường Hà Nội - Hải Dương dài 60km.

16.Khoảng cách giữa 2 bến sông A và B là 30 km , một cano đi từ bến A đến bến B , nghỉ 40 phút ở bến B , sau đó quay về bến A , Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ . Hãy tìm vận tốc của cano trong nước yên lặng . Biết vận tốc của nước chảy là 3km/h

17.Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quảng đường dài 30 km , khởi hành cùng một lúc , vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ . Tính vận tốc xe của mỗi người

18.Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài 120 km . Trên đường đi xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn . Khi về xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h . Tính vận tốc của xuồng lúc đi , biết rằng thời gian về bằng thời gian đi .

Ví d

ủ: Hai đội công nhân cùng làm 1 đoạn đường trong 24 ngày thì xong.Mỗi ngày phần việc của đội A làm gấp rưỡi đội B.Hỏi làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao nhiêu lâu?

Giải :

Gọi thời gian đội A làm riêng xong cơng việc là x (ngày )

Gọi thời gian đội B làm riêng xong cơng việc là y (ngày )(x,y>0) Trong 1 ngày đội A làm được

x

1 cơng việc Trong 1 ngày đội A làm được ¹_y cơng việc Trong 1 ngày 2 đội làm được

24

1 cơng việc

*Hai đội làm xong cơng việc trong 24 ngày nên:

x

1 + ¹_y = 24

1 (1)

*Mỗi ngày đội A làm gấp rưỡi đội B nên:

x 1 =

2

3 .¹_y  x 1 -

2

3 y=0(2) Từ (1),(2) ta cĩ hệ phương trình:

Kết luận :Như vậy Nếu làm 1 mình đội A làm được …..ngày Nếu làm 1 mình đội B làm được …..ngày

1. Một bể nước có dung tích 664 lít ,người ta mở vòi nước nóng mỗi phút chảy được 27 lit ,rồi sau đó khóa vòi nước nóng lại . Người ta mở tiếp vòi nước lạnh mỗi phút chảy được 34 lít .Tổng số thời gian mở cả hai vòi chảy đầy bể là 22 phút .Hỏi người ta đã mở mỗi vòi trong bao lâu

2. Hai người cùng làm chung một cơng việc mất 3giờ. Người thứ nhất làm đến nửa cơng việc người thứ hai làm nốt cho hồn thành cả thảy hết 8 giờ. Nếu mỗi người làm riêng thì mất mấy giờ ?

3. Để hồn thành một cơng việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hồn thành cơng việc cịn lại trong 10 giờ. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong cơng việc đĩ?.

ĐỒ THỊ

VD1:Vẽ đồ thị hàm số y= x

²

- B ng gíá tr .ả ị

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y=x

²

9 4 1 0 1 4 9

VD2: Vẽ đồ thị hai hàm số y =

¹₃

x

²

và y = -x + 6.Tìm tọa độ giao điểm bằng đồ thị.

- B ng giá tr :ả ị

x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 y =1

3^{x2 3} 4 3

1 3 ⁰

1 3

4 3 ³

Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là điểm A(3;3) ; và B(-6;12)

§3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Tổng quát Có dạng:ax

²

+bx +c = 0(a0) 1/khuyết c dạng: ax

²

+bx = 0(a0) Vd:2x

²

-5x=0

x(2x-5)=0

x=0 hay 2x-5=0

x=0 hay x=

₂⁵

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x

1

=0 hay x

2

=

⁵₂

2/Khuyết b có dạng ax

²

+c = 0(a0)

Vd1:3x

²

-9=0

3x

²

=9

x

²

=3

x=

^{ 3}

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x

1

=

³

,x

2

=

^{ 3}

Vd2:3x

²

+9=0

3x

²

=-9

x

²

=-3

x

^

Vậy pt vô nghiệm

3/Khuyết b và c có dạng ax

²

= 0(a0) Vd:3x

²

=0

x

²

=0

x=0

Vậy phương trình có nghiệm kép x

1

=x

2

=0

4/Dạng đủ: ax

²

+bx +c = 0(a0)

 =b

²

– 4ac

x 0 2

y = -x + 6 6 4

* Khi  < 0 :PT vô nghiệm.

* Nếu  = 0 :PT có nghiệm kép

_{1 2}

2 x x b

= = - a

* Nếu  > 0 PT có hai nghiệm phân biệt:

1 2 , 2 2

b b

x x

a a

 

   

 

Áp dụng

Vd1:PT 3x

²

+ 5x – 1 = 0 (a = 3; b = 5; c = -1)

 = b

²

– 4ac = 5

²

– 4. 3.(- 1)

= 25 + 12 = 37 > 0,

^

=

³⁷

PT có hai nghiệm phân biệt:

Vd2:5x

²

– x + 2 = 0

(a = 5; b = -1; c = 2)

 = b

²

– 4ac = (-1)

²

– 4.5.2 = -39

Do < 0 nên PT Vô nghiệm Vd3:4x

²

– 4x + 1 = 0

(a = 4; b = -4; c = 1)  = b

²

– 4ac

= (-4)

²

– 4.4.1 = 0

 = 0 nên PT có nghiệm kép:

x

1

= x

2

=

^{4 0,5}

2 2.4

b a

  

Bài tập:

1/giải pt

a) -3x

²

+ x + 5 = 0 b) 7x

²

-2 x +3=0 c) 2x

²

– 7x + 3 =0 d) 6x

²

+ x + 5 = 0 e) 6x

²

+ x – 5 = 0 f) 3x

²

+ 5x + 2 = 0

1

2

5 37,

2 6

5 37

2 6

x b

a x b

a

- + D - +

= =

- - D - -

= =

g) y

²

– 8y + 16 = 0 h) 16z

²

+ 24z + 9 = 0 i)

^{x2 2 3x60}

j)

^{x24 5x200}

k) 5x

²

+2

10

x+2=0

CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

ax

²

+bx +c = 0(

^{b b}₂^'

)

 =b’

²

– ac

* Khi  < 0 :PT vô nghiệm.

* Nếu  = 0 :PT có nghiệm kép

1 2

x x b

= = - a

* Nếu  > 0 PT có hai nghiệm phân biệt:

1 b , 2 b

x x

a a

 

   

 

Vd: Giải PT

a) 5x

²

+ 4x – 1 =0 (a = 5; b’ = 2; c = -1

’ = b’

²

– ac =2

²

– 5.( - 1) = 4 + 5 = 9 > 0 PT có hai nghiệm phân biệt:

x

1

=

^{' 2 3 1}

5 5

b a

+ D - +

= = =

; x

2

=

^{' 2 3} ₁

5 b

a

- - D - -

= = = -

b) 3x

²

+ 8x +4 =0 (a = 3; b’ = 4; c = 4) ’= 4

²

– 3.4 = 4 > 0

PT có hai nghiệm phân biệt:

x

1

=

^{- +4 2}₃ ^=-₃²

, x

2

=

^{- -4 2}₃ ^{= - 2}

c) 7x

²

– 6

2

x + 2 = 0 (a = 7; b’ = -3

2

; c = 2) ’=( - 3

²

)

²

– 7.2 =18 – 14 = 4 > 0

PT có hai nghiệm phân biệt:

x

1

=

^{3 2 2}

7

- +

=

, x

2

=

^{3 2 2}

7 - -

Bài tập 17 SGK trang 49 : 1)Giải PT

d) x

²

– 2

₃

x – 1 +

3

= 0 e) x

²

– 12x – 288 = 0

f) 15x

²

+ 4x – 2005 = 0

g)

^{1 2 7 19}

12x +12x =

h) 4x

²

– 2

₃

x – 1 +

3

= 0

Chuyên đề :HỆ THỨC VIET

1.Hệ thức Viet ax

²

+bx +c = 0(a0) điều kiện

^0

1 2

1. 2

x x b a x x c

a

  



 



2.phương trình đặc biệt

ax

²

+bx +c = 0(a0)có a + b + c = 0 x

1

= 1; x

2

=

_a^c

ax

²

+bx +c = 0(a0)có a - b + c = 0 x

1

=- 1; x

2

=

^c

a -

điều kiện ^{ac  b} ví dụ:

a) 2x

²

– 5x + 3 = 0 a = 2, b= - 5, c = 3

ta có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0 Vậy x

1

= 1; x

2

=

³

2 c a =

b) 6x

²

– 5x – 11 = 0

Ta có a – b + c = 6 + 5 – 11 = 0 Vậy x

1

= -1; x

2

= -

_a^c

=

¹¹₆

c) 2004x

²

+ 2005x + 1 = 0 Ta có a – b + c = 2004 – 2005 + 1 = 0 Suy ra PT có hai nghiệm

x

1

= -1, x

2

= -

_a^c

= -

₂₀₀₄¹

d) PT: -2x

²

+ 5x + 7 = 0 Ta có a – b + c = -2 – 5 + 7 = 0 Suy ra PT có hai nghiệm

x

1

= -1; x

2

= -

_a^c

= 3,5 Bài tập 1/giải pt

e) 35x

²

– 37x + 2 = 0.

f) x

²

– 9x – 50 = 0.

g) 3x

²

+5x +2= 0.

h)

x² – 8x + 15 = 0

i)

¹₂ x² + ₄³ x = 0

j)

3x² 2x210

k)

x² – (2 + ^{3)x2 3} = 0

l) x

²

–

^{( 2 1)}

x +

2

= 0.

m) 2x

²

–

^{(2 5)}

x +

⁵

= 0.

n) x

²

+

^{( 62)}

x +

^{6 3}

= 0.

o) x

²

+

^(m2)

x -m= 0.

p) x

²

–(3-2m)x +2m-4= 0.

2/áp dụng

*Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng

Tìm 2 số biết u+v=11 và u.v=28 Giải :

Ta có u,v là nghiệm của phương trình x²-Sx+P=0

x²-11x+28=0 ac b² 4





=(-11)2-4.1.28

=9>0,  =3

Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt

Vậy 



 













7 ,

4

4 ,

7

2 2

1 1

v u

v u

b)u-v=5 và u.v=66 u+(-v)=5 và u.v=66

Ta có u,-v là nghiệm của phương trình x²-Sx+P=0

hs tự giải tiếp

*Không giải pt.Tính các giá trị liên quan đến 2 nghiệm . -Chứng minh pt có nghiệm

-Tính S=x1x2và p=x1.x2

-Biểu diễn biểu thức theo S và P rồi tính giá trị theo giá trị của S và P.

-Cần nhớ cách tính các biểu thức



^{x x}



^{x x S P}

x x

A ₁² ₂² ₁  ₂ ²2. ₁ . ₂ ²2



^{x x}



^{x x xx}



^{x x}



^{xx S P}

B x x

B ₁ ₂ ²  ₁ ₂ ²  ₁² ₂²2. _{1 2}  ₁ ₂ ²4 _{1 2}  ²4 C=x₁² x₂² (x₁x₂)(x₁x₂)^{rồi tính x}1-x2 như tính B

D=^{x x}



^{x x}



^3.x1 ^.x2 ^{S3 3P} 3

2 1 3 2 3

1      

bài tập

1/Cho pt: x² +5x +6= 0.

a) giải pt b) Tính x12+x22

c) Tính

1 2 2

1 1 1

x x x

x    d) Tính x1-x2

1

2

11 3 7

2 21

11 3 4

2 2

x b

a x b

a

- + D +

= = =

- - D -

= = =

2/Cho pt: x² -4x -1= 0.

a) Chứng tỏ pt luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt b) Tính x12+x22

c) Tính x1-x2(x1<x2) d) Tính x13-x23(x1<x2)

3/Cho phương trình 2 x² – 6x – 7 = 0

a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm x1 và x2

b) Không giải phương trình, hãy tính : A =

2 1

2 2

x

x  và B = x12 + x22

4/ Cho phương trình 2x² + 7x + 3 = 0

a/ Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1 , x2 .

b/ Không giải phương trình, hãy tính tổng bình phương hai nghiệm x1 , x2 . 5/Cho phương trình : x² – 2 3x + 1 = 0.

Không tìm nghiệm của phương trình này, hãy tính giá trị của : A = ₃

2 1 3 2

1

22 2 2 1

1

x x 4 x x 4

x 3 x x 5 x 3





 6/ Cho phương trình : x² – (2m + 3)x + 4m + 2 = 0

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả hệ thức 2x1 – 3x2 = 5 7/Cho phương trình x² – 5x – 2 = 0.

a. Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. b. Không giải phương trình, hãy tính x12 + x22 và ^{1 2}

2 1

x 1 x 1

x x

   1)Trong cùng mặt phẳng tọa độ , cho : (P) :y =

4 x2

 và (D) : y =  2 x 2 a) Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng toạ độ.

b) Bằng phép toán, tìm tọa độâ giao điểm của (P) và (D).

2/

a/ Vẽ trên cùng mặt phẳng toạ độ đồ thị (P) và (D) của các hàm số : y = –x² và y = x – 2 b/ Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép toán.

3/ Cho hàm số 1 ²

y x

 2

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số.

b) Tìm trên (P) các điểm có tung độ gấp đôi hoành độ bằng phép toán.

4/Cho phương trình x² – 2x – 3 = 0

c) a/ Không giải phương trình , chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 d) b/ Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình . Tính giá trị của A = x12 + x22 – 5 x1