Phương trình Mũ và Logarit – Đặng Thành Nam - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

402

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 6:

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

VÀ LOGARIT

(2)

403

(3)

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số mũ ya^x(0a1)

Hàm số logarit ylog_a x(0a1,x0) + Các công thức lũy thừa

Với a b, 0; ,m n ta có

 

m n m n

m n mn

a a a

a a

 



 

^ab ^m ^^{a b}^m ^m

m

m n n

a a

a

  m

n m

an  a

+ Các công thức biến đổi logarit

 

log_abca^c b 0a1,b0 Với 0a b, 1; ,x x₁ ₂, ta có



1 2



1 2

log_a x x log_a x log_a x

1

1 2

2

log_a x log_a log_a

x x

x

 

 

 

 

log_a x^ log_a x

logax

a x

log_a x 1log_a x

 log 1

a log

b

b a

Công thức đổi cơ số log log

log

b a

b

x x

 a

Giải phương trình mũ Đưa về cùng cơ số

( ) ( ) 0 1

( ) ( )

f x g x a

a a

f x g x

 

  

 

(4)

( )

0 1

0 ( ) log

f x

a

a b b

f x b

 



  

 



+ Nếu aa x( )là hàm phụ thuộc vào biến xthì rõ ràng a1 cũng có thể là nghiệm Khi đó phương trình tương đương với

  

( ) ( ) 0

1 ( ) ( ) 0

f x g x a

a a

a f x g x

 

  

  

 + Lấy logarit hóa 2 vế

( ) ( )

( ).log ( ).log

f x g x

c c

a b  f x ag x b mục đích là làm xuất hiện nhân tử chung ở cả f x( ) và ( ).

g x

Bất phương trình mũ – logarit Dạng 1:

  

( ) ( ) 0

1 ( ) ( ) 0

f x g x a

a a

a f x g x

 

  

  



Dạng 2:

  

0 1

log ( ) log ( ) ( ) 0, ( ) 0

1 ( ) ( ) 0

a a

a

f x g x f x g x

a f x g x

  

   

   



Lưu ý: Điều kiện với hàm log_{f x}_{( )}g x( )là 0 ( ) 1 ( ) 0

f x g x

 



 

BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình : ¹ ¹ ₁1

2 .4 . 16

8

x x x

x

 

  .

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

 

2 1

1 4 6 4 4

3 1

2 .2 . 1 2 2 2 6 4 4 2.

2

x x x x x

x x x x

  

        

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x2.

Bài 2. Giải phương trình: ⁸²^x^x^^¹¹ ^^{0, 25}

 

² ⁷^x^.

Lời giải:

+ Điều kiện x 1.

(5)

Khi đó phương trình tương đương với

   

 

3 2 1 7 3 2 1 7

2 2

1 2 1 2 3 2 1 7

2 2 .2 2 2 2

1 2

x x x x

x

 

  

     



2

1

7 9 2 0 2

7 x

x x

x

 

    

 

Vậy phương trình có 2 nghiệm là 2 7;1 .

x  

  

 

Bài 3. Giải phương trình:

 

log3

2 1 2.

2

x

x x  x

     

 

Lời giải:

log3 3

2 2

2 0

2 2

2 0

log 0 1 2

1 1 1 3

2 1

2 2

x

x x

x

x x

x x x x

x x x

 

 

    

 

    

      

   

        

  

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x2.

Bài 4. Giải phương trình:

   

3 1

1 3

10 3 10 3 .

x x

 

  

Lời giải:

+ Điều kiện 1 3 x x

 

  



Do 1

10 3

   , nên phương trình đã cho tương với

   

3 1

2 2

1 3 3 1

10 3 10 3 1 9

1 3

x x

x x x x

x x

 

   

        

 

2 5 5.

x x

    

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x  5.

 

2

1 1

3 2

2 2 4.

x

x x



  

  

 

 

Lời giải:

+ Điều kiện 0x1

(6)

 

2

2 1 2

1 2 2 3

2 .2 2 2

1 2 1

x x

x x x

  

   

 

   

4 x 2 x 3 4 x x 1 4x 10 x 6 0 x 3 x 9.

            



²^{ }^x ^x²



^sinx ^



²^{ }^x ^x²



²^ ^{3 cos}^x^.

Lời giải:

   

2 2

2

1 2(*)

2 0 1 0(1)

2 1 s inx 2 3 cos 0

sin 1(2)

3 x

x x x x

x x x

x 

  



       

 

 

       

 

    

1 5

(1) x 2

   thỏa mãn điều kiện (*).

(2) 2 2 ,

3 2 6

x   k x  k k

 

        , ta phải có 1 2 2 0 .

6 k k x 6

 



       

Vậy phương trình có 3 nghiệm là 1 5

, .

2 6

x  x 

 



^x^³



³^x²^⁵^x^² ^



^x²^⁶^x^⁹



^x²^{ }^x ⁴^.

Lời giải:



^x^³



³^x²^⁵^x^² ^



^x^³



²^^x²^{ }^x ⁴^

  

²



²

 

²

3 0 3 4

4 0

3 1 3 5 2 2 4 0 5

7 10

x x x

x x x x x x x

x x

 

     

  

             

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là ^x^



^{4;5 .}



Bài 8. Giải phương trình: 2

 

8

1log 5 2 log 3 1.

3 x  x

Lời giải:

+ Điều kiện x3(*).

(7)

   

     

2

8 8

2 8

log 5 log 3 1

log 5 3 1 5 3 8 8 7 0 1

7

x x

x x x x x x x

x

   

 

              

Chỉ có nghiệm x1 thỏa mãn điều kiện (*).

 

2

2 1

1 1

log 1 log 2.

log _x 4 2

x x



    

Lời giải:

+ Điều kiện x1(*).

   

     

    

4 4 2

2 2 2

2 2

2

log 1 log 2 1 1 log 2

2

1 1 1 1

log 1 log 2 1 log 2

2 2 2 2

log 1 2 1 log 2 2

1

1 2 1 2 2 2 3 5 0 5

2

x x x

x

x x x x x

x

     

      

    

  

         

  Chỉ có nghiệm 5

x 2 thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 5 2. x

Bài 10. Giải phương trình: log3



x1



²log 3



2x1



2. Lời giải:

+ Điều kiện 1

1(*).

2x

   

       

2 2

3 3

2 2 2 2

3

log 1 log 2 1 2

log 1 2 1 2 1 2 1 9

x x

x x x x

   

       

  

2 2

1 2 1 3 2 3 2 0 2

1 2 1 3 2 3 4 0 1

2

x x x x x

x

x x x x

 

  

    

  

  

      

 

 

Chỉ có nghiệm x2 thỏa mãn điều kiện (*).

(8)

Bài 11. Giải phương trình: log 2_x 2 log₂_x4log ₂_x8. Lời giải:

+ Điều kiện 1

0 , 1(*).

x 2 x

  

2 4 8 2 2 2

2 2 2

2 2

1 2 1 1 4 6

log log 2 log 2 log 1 log 1 log

1 2

1 log 2 log log 1 2

log 1 log

x x x x x x

x x x x

x x

    

 

        



Bài 12. Giải phương trình: 2 1

 

8

 

³

2

log x 1 log 3x log x1 0.

Lời giải:

+ Điều kiện 1x3(*).

     

2 2 2

log x1 log 3x log x1 0

       

2 2

log x 1 3 x log x 1 x 1 3 x x 1

         

2 1 17

4 0

x x x 2

     

Chỉ có nghiệm 1 17 x 2

 thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1 17 2 .

x 





x1



²2log 2 4xlog8



x4 .



³

Lời giải:

+ Điều kiện 4 4 1 (*).

x x

  



  

   

2 2 2

log x 1 2log 4x log 4x



²



²

2 2

log 4 x 1 log 16 x 16 x 4 x 1

       

+ Với  1 x4 phương trình trở thành

2 4 12 0 2.

x  x  x

(9)

+ Với  4 x 1 phương trình trở thành

2 4 20 0 2 24.

x  x  x 

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x2,x 2 24.

Bài 14. giải bất phương trình: 1

log 2

xx 4

 

 

 

Lời giải:

Bất phương trình đã cho tương đương với:

 

²

2

1 1 0

1 4 1

log log 1

4 1 4

, 1

4

x x

x x x

x x

  

    



   

       

    



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 4;1

S  

  

 .

Bài 15. Giải bất phương trình:

 

2 2

2

log 9 8

log 3 2

x x

x

 

 

Lời giải:

Điều kiện:

 

2

9 8 0

3 0 1

log 3 0

x x

x

   

    



  



, suy ra log2



3x



0 Khi đó bất phương trình tương đương với:



²

    

²

2 2 2

log x 9x8 2 log 3x log 3x

 

²

2 1

9 8 3 3 1 0

x x x x x 3

           , kết hợp với điều kiện suy ra 1 3 x 1

   . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1

3;1

S  

  

 . Bài 16. Giải bất phương trình:

⁵



²



² ¹¹



²



³

3

log 4 11 log 4 11

2 5 3 0

x x x x

x x

    

   Lời giải:

Điều kiện:

     

2

4 11 0

; 2 2; 2 15 2 15;

2 5 3 0

x x

x

x x

   

          

   



(10)

Ta đưa về cùng cơ số 5;



2



³



2



⁵

 

11 11

5

log 4 11

log 4 11 3log 4 11 3

log 11

x x

x x x x  

     

Khi đó bất phương trình tương đương với:



²

 

²



5 5

2 2

5

log 4 11 log 4 11

2 3 0 0

log 11 2 5 3 2 5 3

x x x x

   

 

   

 

   

 

do

5

2 3 0

log 11

 

 

   

2 2

5

2 2

2 2 5

2 2

log 4 11 0 4 11 1

; 2 6;

2 5 3 0 3 5 2 0

2;1

4 11 1

log 4 11 0

3

3 5 2 0

2 5 3 0

x x x x

x x x x x

x x x

x x

       

       

        

              

Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là



^{; 2}

 

^{2; 2} ¹⁵

 

^6;



S         .

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình: ³



^x^¹



^x^¹ ^



^x^¹



³^x^¹^.

 

4

 

⁸ 2

 

1 1

log 3 log 1 log 4 .

2 x 4 x  x

Bài 3. Giải phương trình: ^log⁵



^⁴^x²^¹³^x^⁵



^^log²⁵



³^x^^{1 .}





²

 

²

 

⁴ ²

 

⁴ ²



2 2 2 2

log x  x 1 log x  x 1 log x x 1 log x x 1 . Bài 5. Giải phương trình: log9



x1



² log3



4x



log3



4x



. Bài 6. Giải phương trình:

3

3 2 3 2

3 1

log .log log log .

3 2

x x x

x   

Bài 7. Giải phương trình:



^x²^³



^x²^⁵^x^⁴ ^



^x²^³



^x^⁴



²



² ² ³ ⁴2 ²

1 1

1

x

x x x

x x

    

    

    Bài 9. Giải bất phương trình:

 

2 2

2

log 9 8

log 3 2

x x

x

 

 

Bài 10. Giải bất phương trình: 1

log 2

xx 4

 

 

 



^x²^⁴^x



^x²^¹⁰ ^



⁴^^x



^x²^¹⁰

(11)

Bài 12. Giải phương trình: ^log² ⁵ ^log²



² ²⁵



⁰

5

x x

x

   





log2 x



log2



log4x



2 Bài 14. Giải phương trình:

¹₃^log²



³^x^^{4 .log}



⁶ ²^x³ ^^{8 log}



² ^x



²^^_^log²



³^x^⁴



²^_²

 

² 1

 

³ 1

 

³

4 4 4

3log 2 3 log 4 log 6

2 x   x  x



x8



log3



x26



20 Bài 17. Giải phương trình: ²



²



¹



²



2

2 log x x 1 log x  1 x 3

Bài 18. Giải phương trình: ^log²



^x^ ^x²^^{1 log}



³



^x^ ^x² ^¹



^^log⁶



^x^ ^x² ^¹



Bài 19. Giải phương trình: _ _

 

1 2 3

2

log 4

log 6 2 1

log 3

x

 x



 



Bài 20. Giải phương trình: ^log⁴



2 log 1 log 1 3log³ ²



²

 

¹

x 2

  

 

 

Bài 21. Giải các phương trình:

1.1. 2 ² 1

 

²

2

2 log x 4x 3 log x1  2 0

1.2. 2

 

2

log 9 log x 9 0

x x x

   

 

 

1.3. ²⁵



²



² 5 ⁵

1 1

log 8 25 log log 5

2 2

x x x x

    

LOGARIT HÓA 2 VẾ BÀI TẬP MẪU Bài 1. Giải phương trình sau:

1.

1

5 .8 500.

x

x x





2. ²

2 3

3 2.4 18.

x

x x



 

3. 2^x²^⁴.5^x^² 1.

(12)

4. ² ² 3

2 .

2

x x



Lời giải:

1. Phương trình tương đương với

1 3

3 3 2 3

5 .2 5 .2 5 .2 1

x x

x x x x

 

   

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình ta được

 

2

 

2

5

3 1 3

3 log 5 0 3 log 5 0

log 2 x x

x x

x x x

 

  

           2. Phương trình tương đương với

2 2

2 3 3 6

2 2 2 1 4

3 .2 3 .2 3 .2 1

x x

x x x x

 

  

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình ta được



^x² ^{4 log 3 3}



²



^x ²



⁰



^x ²



³



^x ^{2 log 3}



² ⁰

x x

  

        

 

 

2 ² 3

2 0

2 2.

3 2 log 3 0 2 3log 2 0( )

x x

x x x VN x

x

    

   

       



3. Phương trình tương đương với

  

2 4 2

2 2 2

log 2^x ^ log 5^x^ 0 x2 x 2 log 5 0

2

2 log 5 x

x

 

    

Bài 2. Giải các phương trình sau 1. x^lg^x 1000 .x²

2. x^log²^x^⁴ 32.

3. 7^log²²⁵^{ }⁵^x^¹ x^{log 7}⁵ . Lời giải:

1. Điều kiện x0, khi đó phương trình tương đương với lg .lgx xlg1000 lg x2

 

²

lg 1 1

lg 2 lg 3 0 10

lg 3

1000

x x

   

 

       

Vậy phương trình có 2 nghiệm là 1

;1000 .

x 10 

  

 

2. Điều kiện x0, lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình, khi đó phương trình tương đương với

(13)



log2 x4 log



2xlog 322 log²2 x4 log2 x 5 0

2 2

log 1 2 log 5 1

32 x x

x x

 

  

    



3. Điều kiện x0, khi đó phương trình tương đương với



^log²²⁵ ⁵ ¹

 

^{log 7}⁵

 

²

  

5 5 25 5 5 5

log 7 ^x^ log x  log 5x 1 log 7log 7.log x

 

⁵

2 2

5 5 5 5

5

log 1 1

1log 5 log 1 0 log 2 log 3 0 5

log 3

4 125

x x

x x x x

x x

   

 

           

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Giải phương trình : 5 .^x^x^¹8^x 100.

Bài 2. Giải phương trình: 9.x^log⁹^x x². Bài 3. Giải phương trình: 3 .2² ² ¹ 6

x

x x 

ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Bài 1. Giải phương trình sau: 2^x²^^x4.2^x²^^x2²^x 4 0. Lời giải:

       

2 2

2

2 2 2

2

2 4 2 4 2 0 4 2 2 1 0

4 2 0 2 2 1

0 0

2 1 0

x x x x x x x

x x x

x x

x x x

 



        

      

  

  

  

 



Vậy phương trình có 2 nghiệm là ^x^

 

^{0;1 .}

Bài 2. Giải phương trình



⁹



² ³ ³

 

2 log x log x.log 2x 1 1 Lời giải:

+ Điều kiện x0, khi đó phương trình tương đương với

(14)

   

 

   

3 3 3

3

3 3

log 2 log .log 2 1 1

log log 2 log 2 1 1

log 0 1

log log 2 1 1

log 2 log 2 1 1 0

1 1

2 1 1 0

4

x x x

x x

x x x

x

  

   

 

 

 

 

  

   

 



 

  

      

Vậy phương trình có 2 nghiệm là

 

^{1; 4 .}

x

 

2

4 2 2

2 log xlog x.log 2x 1 1 Lời giải:

Điều kiện: x0, khi đó phương trình tương đương với:

   

2

2 2 2 2 2 2

1 1

log log .log 2 1 1 log log log 2 1 1 0

2 x x x x2 x x 

        

 

 

2

2 2

log 0

1log log 2 1 1 0

2 x

x x

 



    



 

2 2

1 1

log log 2 1 1 2 1 1

x x

x x x x

   

  

     

 



1 1

1 2 2 1 4

x x

x x x x

   

      

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1;x4.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Giải bất phương trình: 4x² x.2^x²^¹3.2^x² x².2^x² 8x12 Bài 2. Giải phương trình: ²



^x²^³^x^¹



^³^x



^{1 4.3}^ ^x



^¹

Bài 3. Giải phương trình: ^x²^.5^x^¹^



³^x^^3.5^x^¹



^x^^2.5^x^¹^³^x^⁰

(15)

Bài 4. Giải phương trình: ²¹^x



^x²^⁴^{ }^x ²



^⁴ ^x²^⁴^⁴^x^⁸

Bài 5. Giải phương trình: 3^x²^^log⁴^^x^²^ 3.3 ^x^{ }^{2 2} 3^x²^¹9.3 ^x^{ }^{2 log}⁴^^x^²^

MỘT SỐ DẠNG ĐẶT ẨN PHỤ CƠ BẢN Dạng 1: Phương trình có dạng

( ) ( 1) ( ) ( )

1 ... 1 0, .

kf x k f x f x

ka k a a k

  _ ^     

Đặt ta^{f x}^{( )}, đưa về giải phương trình bậc k với ẩn là t. Dạng 2: Phương trình có dạng

( ) ( )

1a^{f x} 2b^{f x} 3 0,ab 1

    

Đặt ^{( )} ^{( )} 1 ₁ ² ₃ ₁ ² ₃ ₂

0 0 0

f x f x

t a b t t t

t t

     

           

Dạng 3: Phương trình có dạng

 

^{( )}

2 ( ) 2 ( )

1a ^{f x} 2 ab ^{f x} 3b ^{f x} 0

   

Khi đó chia cả 2 vế của phương trình cho b^{2 ( )}^{f x} 0. Phương trình trở thành

( ) 2

1 3 3 0, 0.

a f x

t t t

    ^b^ 

 

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình : 2^x²^^x2²^{ }^{x x}² 3 Lời giải :

Phương trình đã cho tương đương với :

 ² 

2 2

2

4 2

2 3 2 3.2 4 0

2

x x

x x x x

x x

  

      

Dặt t2^x²^^x 0, khi đó phương trình trở thành :

2 2 2 2 1

3 4 0 4 0 2 2 2

2

x x x

t t t x x

x

   

             

Bài 2. Giải phương trình : 2³ 6.2 ₃_¹ ₁_ ¹² 1 2 2

x x

x

  x   Lời giải :

Đặt t2^x 0, khi đó phương trình trở thành :

3 3

8 12 8 2

6 1 6 1 0

t t t t

 

          

 

(16)

Dặt ³ 3 ² 2



²



2 8 2 4 2 2

2 6 6

u t t t t t t u u

t t t t t t

 

       

                     Khi đó phương trình trở thành :



² ⁶



⁶ ^{1 0} ¹ ² ¹ ² ⁰ ²^x ² ¹

u u u u t t x

        t         . Vậy nghiệm của phương trình là x1.

Bài 3. Giải bất phương trình : ^x^log^^x^¹^^^x^¹^^



^x^¹



^log^x^¹^x ^²

Lời giải :

Diều kiện : 0; 1 0

0 1 1 1

x x

  

  

   



khi đó đặt ^ ^^ ^ ^ ^ ^

  

 

log 1 1 1

1

log 1 log

1 log 1 1 1

log 1 log log 1

x x x

x

x x

x x x x

t x ^ x t ^ ^ x t t t x ^





   

        

vậy bất phương trình tương đương với :

  

 

log 1 1

2 1 ^x ^x 1 log_x 1 1 0; do x>1

t t   t x ^ ^   _ x  x2 vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^S ^



^{1; 2}



^.

Bài 4. Giải phương trình: 64^log⁴²^x 3.2^log²²^x3.4^log⁴²^x4 Lời giải :

Điều kiện x0

Dặt t4^log⁴²^x 2^log²²^x t²; 64^log⁴²^x t³ Khi đó phương trình trở thành

   

3 2 2

3 4 4 4 1 0 4

t  t  t  t t  t   t

2

log4 2

4

4 4 log 1 1

4

x

x x

 

    

 

Một số dạng đặt ẩn phụ khác Cùng tìm hiểu qua một số ví dụ sau

Dạng 1: log_a f x( )log_bg x( ), đặt tlog_a f x( ) Bài 1. Giải phương trình: ^log⁷ ^x^^log³



^x^²



^.

Lời giải:

(17)

+ Điều kiện x0, khi đó đặt

 

7 3

2

7 7 1

log log 2 2 1(*)

3 3

2 7 2 3

t t t

t

x

t x x

x

   

  

              

Vế trái của phương trình (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm hằng. Mặt khác nhận thấy t2 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất

2 log7 2 49.

t   x x

Bài 2. Giải phương trình: log⁴6



x²2x2



2 log 5



x²2x3 .



Lời giải:

+ Điều kiện x²2x 3 0, khi đó phương trình tương đương với



²

 

²



6 5

log x 2x2 log x 2x3

Đặt tx²2x3, phương trình trở thành

 

6 5

5 5 1

log 1 log 1(*)

6 6

1 5 1 6

y y

y

y y

t t y t

t

     

        

       



Vế trái của phương trình (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm hằng. Mặt khác ta lại có y1, thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

2 5

1 log 1 5 2 3 5 4

2

y t t x x x

x

 

            

( thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có 2 nghiệm là ^x^{ }



^{2; 4 .}



Dạng 2: a^log^b^^{x c}^^ x b, ac Đặt t^logb



xc



Bài 1. Giải phương trình: 4^log⁷^^x^³^ x. Lời giải:

Đặt tlog7



x3



, khi đó phương trình trở thành

 

7

4 1

4 7 3 3 1 1 log 3 1 4.

7 7

t t

x     t x x

               

   

Bài 2. Giải phương trình: 2^log³^^x^⁵^  x 4.

Lời giải:

Đặt tlog3



x5



2 1

2 4 3 1 1 1 2.

3 3

t t

x     t x

             

   

(18)

Dạng 3: s c^logs



dxe



x^,dac^;ebc. Khi đó đặt ay b ^logs



dxe



, và chuyển về hệ phương trình Bài 1. Giải phương trình: 7^x^¹ 6 log7



6x5



1.

Lời giải:

Đặt y 1 log7



6x5



7^y^¹ 6x5 Khi đó ta có hệ phương trình

 

1

1 1 1 1

1

7 6 1 1

7 7 6 6 7 6 7 6

7 6 5

x

x y x y

y

y y x x y

x



   



   

        

  



Xét hàm số f t( )7^t^¹6t, ta có f t'( )7^t^¹ln 7 6 0. Nên f t( ) là hàm số đồng biến trên . Vậy f x( ) f y( ) x y xlog7



6x5



 1 7^x^¹ 6x5

Dễ thấy phương trình này có nghiệm x1,x2.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình: (74 3)^x3(2 3)^x20 Bài 2. Giải phương trình: 3^{3 3}^ ^x3^{3 3}^ ^x3⁴^^x3⁴^^x1000 Bài 3. Giải phương trình:



⁵^ ²¹



^x^^{7 5}



^ ²¹



^x ^²^x³

Bài 4. Giải phương trình: 8₁ 2 ₁ 18₁

2 2 2 2 2 2

x

x  x  x x

  

Bài 5. Giải phương trình:



^{7 5 2}^

 

^x^ ²^^{5 3 2 2}



^



^x^^{3 1}



^ ²



^x^{ }¹ ²^⁰



² ³



^ ¹^²



² ³



² ² ¹ ⁴

2 3

x x x

   

 Bài 7. Giải phương trình: ^log ¹ ^{1 3}



^log² ² ¹



⁰

1

x x

x

  

   

 

  

Bài 8. Giải phương trình: 64^log⁴²^x 3.2^log²²^x3.4^log⁴²^x4

ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1. Giải phương trình: ⁹^x^²



^x^^{2 3}



^x^²^x^{ }⁵ ⁰

Lời giải:

Đặt t3^x, khi đó phương trình trở thành

 

2 2 2 2 5 0

t  x t x  , coi đây là phương trình bậc 2 với ẩn là t

(19)

Ta có ^{ }^'



^x^²



² ^



²^x^⁵

 

^ ^x^³



²

Từ đó suy ra

 

2 3 2 5 3 1( )

3 5 2 ( ) 3 2 5 0(*)

2 3 1 3 5 2

x

x x

x

t x x x VN

x f x x

t x x x

      

  

        

       

 

Xét hàm số ( )

f x ta có f x'( )3 ln 3 2^x  0, do đó f x( ) là hàm số đồng biến. mặt khác ta nhận thấy (1) 0

f  . Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất x1. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x1.

Bài 2. Giải phương trình: log²3



x1

 

 x5 log



3



x1



2x60.

Lời giải:

+ Điều kiện x 1.

Đặt tlog3



x1



    

 

   

2

3

3 3

5 2 6 0 2 3

log 1 2 1 9 8

2

3 log 1 3 1 3 ^x 3^x 1 27 0(*)

t x t x t t x

x x x

t

t x x x x ^ x

        

  

   

 

             

Xét hàm số ^{f x}^{( )}^³^x



^x^¹



^²⁷^có ^f ^{'( )}^x ^³^x



^x^^{1 ln 3 3}



^ ^x ^⁰^{. Nên} ^{f x}^{( )} là hàm đồng biến.

Mặt khác ta lại có f(2)0. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất x2.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x2,x8.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Giải phương trình: ³²^x^



²^x^^{9 3}



^x^^9.2^x^^0.

Bài 2. Giải phương trình: ⁹^x² ^



^x²^^{3 3}



^x²^²^x²^{ }² ^0.

Bài 3. Giải phương trình: ⁹^x^



^x^^{12 3}



^x^¹¹^^x^^0.

Bài 4. Giải phương trình: ^3.25^x^²^



³^x^^{10 5}



^x^² ^^x^^3.

Bài 5. Giải phương trình: 4²^x2³^x^¹2^x^³ 16.

Bài 6. Giải phương trình: ⁴^x² ^<