Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm – Nguyễn Hoàng Việt - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

BÀI 1: NGUYÊN HÀM

DẠNG TỐN 1: TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM

 Bài tốn 1.Tìm nguyên hàm _{F x( )} của hàm số _{f x( )}(giả sử điều kiện được xác định)



 



^{x dxn} _n^xn¹₁ ^{C Mở rộng}



^{(ax b dx )n 1 (}_a ^{ax b}_n^_1^{)n1 C}

Một số cơng thức thường sử dụng:

 



^{kdx kx C.}



^{kf x dx( )} ^{k f x dx.}



^{( ) .}

  



^{f x( ) g x dx( )}



^{f x dx( )}



^{g x dx( ) .}

a) Tìm họ nguyên hàm của f x( ) 4 x³ x 5

Lời giải

Ta cĩ: ^{F x( )}



^{f x x( )d }



^{(4x3 x 5)dx x 4 x}₂^{2 5x C .}

b) Tìm họ nguyên hàm của f x( ) 3 x²2x

Lời giải

Ta cĩ: ^{F x( )}



^{f x x( )d }



^{(3x22 )x dxx3x2C.}

c) Tìm họ nguyên hàm của  1₅  ² ( )

f x x

x

Lời giải

Ta cĩ: ^{F x( )}



^{f x x( )d} 



^(x5^{x2)dx  x}₄^{4 x}₃^{3 C.} d) Tìm họ nguyên hàm của  1₃  ²

( ) 1

f x x

x

Lời giải

Ta cĩ: ^{F x( )}



^{f x x( )d }

 

^{x3x21 d}



^{x  x}₂^{2 x}₃^{3 x.}

e) Tính ^I



^(x2^{3 )(x x}^1)dx

Lời giải

Phân phối được: ^I



^(x3^2x2 ^{3 )dx x  x}₄^{4 2}₃^x33₂^x2C f) Tính ^I



^(x^1)(x2^2)dx

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Lời giải

Phân phối được: ^I



^(x3^x2 ^2x^{2)dx  x}₄^{4 x}₃^{3 x2 2x C} g) Tính ^I



^(2x^{1) d5 x} (công thức mở rộng)

Lời giải





⁽² ^{1) d5}  ^{1 (2}₂ ^x₆¹⁾⁶ 

I x x C

h) Tính ^I



^(2x^10)2020dx

Lời giải





⁽² ^10)2020d  ^{1 (2}₂ ^x₂₀₂₁^10)2021

I x x C

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tìm một nguyên hàm _{F x( )} của hàm số f x( ) 4 x³4x5 thỏa mãn F(1) 3 A. F x( )x⁴2x²5x1. B. F x( )x⁴ 4x²5x1. C. F x( )x⁴ 2x²5x3. D.  ⁴ ² 1

( ) 2 5

F x x x x 2. Lời giải

Chọn A

Ta có: ^{F x( )}



^{f x x( )d} 



^(4x3^4x^{5)dx x42x2 5x C} Theo đề bài, ta có: F(1) 3 1⁴2.1²5.1    C 3 C 1 Do đó: F x( )x⁴ 2x²5x1

Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm F a( ) ta chỉ cần thế x a vào F x( ) sẽ tìm được F a( ). Chẳng hạn, tính F(2), ta thế x2 vào F x( ), nghĩa là F(2) 2 ⁴ 2.2²5.2 1 17  . Câu 2: Tìm một nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

 

^{3x22x5 thỏa mãn F}

 

^{1 4.}

A. ^{F x}

 

^{x3x2 5x3. B. F x}

 

^{x3x25x3.}

C. ^{F x}

 

^{x3x25x3. D. F x}

 

^{x3x2 5x3.}

Lời giải

Chọn B

 

^



^{ }



^{   }



^{f x dx}



^{3x2 2x 5 dx x3 x2 5x C.}

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

 

^{1 4}

F      7 C 4 C 3. Vậy ^{F x}

 

^{x3x25x3.}

Câu 3: Hàm số ^{f x}

 

^{ 5x44x26} có một nguyên hàm ^{F x}

 

^{thỏa F}

 

^{3 1. Tính F}

 

^{3 .}

A. ^F

 

^{ 3 226. B. F}

 

^{  3 225. C. F}

 

^{ 3 451. D. F}

 

^{ 3 225.}

Lời giải Chọn C

 

^{ }



^{ }





^{f x dx}



^{5x4 4x2 6 dx   x5 4}₃^{x36x C .}

 

^{3 1}

F  225   C 1 C 226^

 

^{  5 4 36 226}

F x x 3x x .

Do đó ^F

 

^{ 3 451.}

Câu 4: Hàm số ^{f x}

 

^{x33x2} có một nguyên hàm ^{F x}

 

^{thỏa F}

 

^{2 14. Tính F}

 

^{2 .}

A. ^F

 

^{ 2 6. B. F}

 

^{  2 14. C. F}

 

^{  2 6. D. F}

 

^{ 2 14.}

Lời giải Chọn A

 

^



^{ }





^{f x dx}



^{x3 3x 2 dx 1}₄^x43₂^{x22x C .}

 

^{2 14}

F 14 C 14 C 0 ^

 

^{1 43 22}

4 2

F x x x x.

Do đó ^F

 

^{ 2 6.}

Câu 5: Hàm số ^{f x}

  

^{ 2x1}



³ có một nguyên hàm ^{F x}

 

^{thỏa  }_{ }^

 

1 4

F 2 . Tính _{  }^{ }

  3 P F 2 . A. P32. B. P34. C. P18. D. P30.

Lời giải Chọn B



_



_



^



_{ }



^



_



4 4

3 1 2 1 2 1

2 1 d .

2 4 8

x x

x x C C.

 

  

1 4

F 2     2 C 4 C 2_

  

_ ^{2 1}



⁴ _

8 2

F x x .

Do đó   

  3 34 F 2 .

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Câu 6: Hàm số ^{f x}

  

^{ 1 2x}



⁵ có một nguyên hàm là ^{F x}

 

^{thỏa }^{ }^

 

1 2

2 3

F . Tính ^F

 

^{1 .}

A. ^F

 

^{1  10. B. F}

 

^{1  5. C.}

 

^{1  59}

F 12 . D.

 

^{1 71}

F 12. Lời giải

Chọn D

  

^



^{1 2}



⁵

F x x dx^{ 1}₂

 

^{1 2 x d}

 

^{5 1 2 x}



_{ }1



^{1 2}



⁶ _

2. 6

x C.

Ta có  

 

 

 

1 2

2 3

F _{ }1



^{1 1}



⁶ _{ } 2

2. 6 C 3  C 6.

Do đó

 

_{ }1



^{1 2}



⁶ _

. 6

2 6

F x x nên

 

^{1  1 1.  6 71}

2 6 12

F .

Câu 7: Gọi ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

  

^{ 2x3}



^{2 thỏa}

 

^{0  1}

F 3. Tính giá trị của biểu thức T^log2^_3F

 

1 ^2F

 

2 .^_

A. T2. B. T4. C. T10. D. T 4. Lời giải

Chọn A

  

^



^{2 3}



²

F x x dx^{ 1}₂

 

^2x3

 

^{2d 2x3}



_ 1



^{2 3}



³ _

2. 3

x C.

Ta có

 

^{0 1}

F 3 _ 1



^{0 3}



³ _{ } 1

2. 3 C 3  29

C 6 . Do đó

 

_ 1



^{2 3}



³ _29

2. 3 6

F x x nên

 

^{1 1.1 29 14}

2 3 6 3

F ;

 

^{2  1 1. 29 5}

2 3 6

F .

   

 

 T log²3F 1 2F 2      

 

2 2

log 3.14 2.5 log 4 2

3 .

Câu 8: Hàm số ^{f x}

 

^{x33x2} có một nguyên hàm ^{F x}

 

. Biết đồ thị hàm số ^{yF x}

 

đi qua điểm



^2;10



M . Giá trị của ^F

 

^{2 bằng}

A. 18. B. 6. C. 8. D. 20.

Lời giải Chọn B

 

^

 

^{33 2}



F x x x dx  ⁴ 3 ²   4 2 2

x x

x C.

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Hàm số đi qua ^M



^2;10



^{do đĩ 24 3.22 2.2 10}

4 2 C  C 4.

Do đĩ

 

^{ 4 3 2 2 4}

4 2

x x

F x x ^

   

^{ 2 2 4 3. 2}

 

^{ 2    2}

 

^{2 4 6}

4 2

F .

 Bài tốn 2.Tìm nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

 

(mục đích cho học sinh rèn luyện cơng thức).

Làm quen nhĩm cơng thức cĩ mẫu số cơ bản

 



¹_x^{dx ln x C Mở rộng}



_{ax b}¹_ ^dx1_a^{ln ax b C  .}

  



_x^{12dx 1}_x ^{C Mở rộng}

 

^1



^{2 dx 1}_{a ax b}^{. 1 C}

ax b

.

a) Tìm  ^   ^

 



^{3 2 1 2 d}

I x x

x .

Lời giải

Ta cĩ:  ^   ^    

 



^{3 2 1 2 d 3 ln 2 .}

I x x x x x C

x b) Tìm  ^   ^

 



^{3 2 2 12 d}

I x x

x x .

Lời giải

Ta cĩ:  ^   ^    

 



^{3 2 2 12 d 3 2 ln 1 .}

I x x x x C

x x x

c) Tìm ^I



^x2 ³_x^x^1dx.

Lời giải

Ta cĩ:  ^{ }  ^   ^    

 



^{x2 3x 1d}



^{3 1 d 2 3 ln .}

I x x x x x x C

x x

d) Tìm ^I



^2x2_x^6x^3dx.

Lời giải

Ta cĩ:  ^{ }  ^   ^    

 



^{2x2 6x 3d}



^{2 6 3 d 2 6 3ln .}

I x x x x x x C

x x

e) Tìm 



₂ ¹₁^d

I x

x .

Lời giải

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Ta có:    



₂ ¹₁^{d 1}₂^{ln 2 1 .}

I x x C

x f) Tìm 



_{3 4}^{2 d}

I x

x .

Lời giải

Ta có:        

 



_{3 4}^{2 d 2. 1}₄^{.ln 3 4 1}₂^{ln 3 4 .}

I x x C x C

x g) Tìm

 





¹ ^{2 .}

2 1

I dx

x

Lời giải

 

      

 



¹ ² _{2 2}^{1. 1} _{1 4} ¹₂ ^.

2 1

I dx C C

x x

x h) Tìm

 

 

 

 



  

 



^{12 2} ₂ ² ₃

1

I dx

x x

Lời giải

 

  

 

          

  

  

 



^{12 2} ₂ ² ₃ ¹²₁^{. 1}_{1 2}^{2ln 2 3 12}₁ ^{ln 2 3 .}

1

I dx x C x C

x x x

x i) Tìm 

 



₄ ^{2 1}_{4 1}

I dx

x x

Lời giải

 

       

 

  



₄ ^{2 1}_{4 1}



^{1 2 1}_{2 2}^{. 1} _{1 4} ¹₂ ^.

2 1

I dx dx C C

x x

x x x

j) Tìm 

 



² ₆⁴ ₉

I dx

x x

Lời giải

 

       

 

  



² ₆⁴ ₉



^{4 2 4}₁^{. 1}₃ ⁴₃ ^.

3

I dx dx C C

x x

x x x

k) Tìm

 

 



² ¹² 1

I x dx

x

Lời giải

     

 

    

  

 

    



^{2 2 32}



^{2( 1)2 3 2}

1 1 1

x x

I dx dx

x x x ^



^2₁ ^

 

^3



²

1

dx dx

x x

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

        

 

3 3

2 ln 1 2 ln 1 .

1 1

I x C x C

x x

l) Tìm  ^

 



₄ ^22x₄² ₁

I dx

x x

Lời giải

     

 

   

  

 

    



^{2 22}



^{2 12 3 2}

2 1 2 1 2 1

x x

I dx dx

x x x

 

 

 



₂ ¹ ₁



^{3 2}

2 1

I dx dx

x x



^



   



1 3

ln 2 1

2 2 2 1

I x C

x

 

   



1 3

ln 2 1

2 2 2 1

I x C

x

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 9: Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

^ _¹

f x 1

x và ^F

 

^{2 1. Giá trị F}

 

^{3 bằng}

A. ⁷

4. B. ln 2 1 . C. ¹

2. D. ln 2 1 . Lời giải

Chọn B

 

^



¹_1^{d ln  1}

F x x x c

x .

 

^{2    1 1}

 

^{ln   1 1}

 

^{3 ln 2 1}

F c F x x F .

Câu 10: Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm

 

^{ 1}_

2 1

f x x và ^F

 

^{ 1 5}. Giá trị của ^F

 

^{4 bằng}

A. 1  ln 7 5

2 . B. 2 ln7 5 . C. ln7 5 . D. 1 

ln 7 5

2 .

Lời giải Chọn D

 

^



₂ ¹_1^{d  1}₂^{ln 2  1}

F x x x c

x .

 

^{    1 5 5}

 

^{ 1ln 2   1 5}

 

^{ 4 1ln 7 5}

2 2

F c F x x F .

Câu 11: Biết ^{F x}

 

là một guyên hàm của hàm số

 

^{ 3}_

2 1

f x x thỏa ^F

 

^{1 0}. Giá trị của ^F

 

^{2 bằng}

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

A. 4ln 2. B. _{3ln 2}. C. ³_{ln 3}

2 . D. 1.

Lời giải Chọn C

 

^



₂ ³_1^{d  3}₂^{ln 2  1}

F x x x c

x .

 

^{1    0 0}

 

^{3ln 2  1}

 

^{2  3ln 3}

2 2

F c F x x F .

Câu 12: Nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số

 

^{ 1}_

2 1

f x x biết    

 

e 1 3

2 2

F là

A. ^{F x}

 

^{2 ln 2x 1 0,5. B. F x}

 

^{2 ln 2x 1 1.}

C.

 

^{1ln 2  1 1}

F x 2 x . D. ^{F x}

 

^{0,5ln 2x 1 0,5.}

Lời giải Chọn C

 

^



₂ ¹_1^{d  1}₂^{ln 2  1}

F x x x c

x .

  

 

         

 

 

e 1 3 3 1 1

ln e 1 ln 2 1 1

2 2 2 2 2

F c c F x x .

Câu 13: Tìm một nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^f

 

^{ax b}₂



^{,b , 0}



x x

x a biết ^F

 

^{ 1 1,}

 

^{1 4}

F và ^f

 

^{1 0.}

A.

 

^{ 3 2  3 7}

4 2 4

F x x

x . B.

 

^{ 3 2  3 7}

4 2 4

F x x

x . C.

 

^{ 3 2  3 7}

2 4 4

F x x

x . D.

 

^{3 2  3 1}

2 2 2

F x x

x . Lời giải

Chọn A

 

^{ } ^{ } ^{  }

 



^{b2 d} ₂^{a 2 b}

F x ax x x c

x x .

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Lại có:

   

 

     

 

    

        

  

   

    

   

1 3

2 2

1 1

1 4 4 3

2 2

1 0 0 7

4

a b c a

F

F a b c b

f a b

c

. Nên

 

^{ 3 2  3 7}

4 2 4

F x x

x .

 Bài toán 3. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số _{f x( )} (giả sử điều kiện được xác định):.

Làm quen nhóm công thức nguyên hàm của hàm lượng giác

        

 

¹

sin dx x cosx C sin(ax b x)d cos(ax b) C. a

      

 

¹

cos dx x sinx C cos(ax b x)d sin(ax b) C. a

 Cần nhớ: sin 2x2sin cos ,x x cos 2xcos²xsin²x2cos²x  1 1 2sin²x. a) Tìm ^I



^(sinx^{cos )dx x.}

Lời giải





^(sin ^{cos )d .} ^cos ^sin 

I x x x x x C.

b) Tìm ^I



^(3cosx^{2 sin )dx x.}

Lời giải





^(3cos ^{2 sin )d} ^3sin ^{2 cos} 

I x x x x x C

c) Tìm ^I



^{(2 sin 2x}^{3cos 6 )dx x.}

Lời giải





^{(2 sin 2} ^{3cos 6 )d}  ^{cos 2} ¹₂^{sin 6} 

I x x x x x C.

d) Tìm ^I



^{sin cos dx x x.}

Lời giải





^{sin cos d} ₂¹



^{sin 2 d}  ¹₄^{cos 2} 

I x x x x x x C.

e) Tìm    

 



^cos ₂^x ₆ ^d

I x.

Lời giải

 

   

       

   



^cos ₂^x ₆ ^{d 2 sin} ₂^x ₆

I x C.

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

f) Tìm  

   

 



^sin _{3 3}^{x d}

I x.

Lời giải

 

   

       

   



^sin _{3 3}^{x d 3cos} _{3 3}^x

I x C.

g) Tìm ^I



^(sinx^{cos ) dx 2 x.}

Lời giải





^(sin ^{cos ) d2} 



^(sin2 ^{2 sin cos} ^{cos2 )d} 



(1 sin 2 )d  ¹cos 2 

I x x x x x x x x x x x 2 x C

.

h) Tìm ^I



^(cosx^{sin ) dx 2 x.}

Lời giải

     





^sin ^{cos 2d} 



^sin2 ^{2 sin cos} ^{cos2 d} 



^{1 sin 2} ^d  ¹₂^{cos 2} 

I x x x x x x x x x x x x C

.

i) Tìm ^I

 

^{cos2xsin2x}



^dx.

Lời giải

 





^cos2 ^{sin2 d} 



^{cos 2 d}  ¹₂^{sin 2} 

I x x x x x x C.

j) Tìm ^I

 

^{cos4xsin4x}



^dx.

Lời giải

    





^cos4 ^{sin4 d} 



^cos2 ^{sin2 sin2} ^{cos2 d}

I x x x x x x x x

 





^cos2x^{sin2x dx}



^{cos 2 dx x} ¹₂^{sin 2x C}

 Nhóm áp dụng công thức:

         



¹²



²



^2d  ¹

d (1 cot )d cot cot( ) .

sin sin ( )

x x x x C x ax b C

x ax b a

       



¹²



²



^2d  ¹

d (1 tan )d tan tan( ) .

cos cos ( )

x x x x C x ax b C

x ax b a

k) Tìm  ^  ^

 



_cos¹² _sin^{12 d}

I x

x x .

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Lời giải

 

      

 



_cos¹² _sin^{12 d tan cot}

I x x x C

x x .

l) Tìm ^I



_{cos 3}⁶² _x^dx.

Lời giải





_{cos 3}^{62 d} ^{6. tan 31}₃  ^{2 tan 3} 

I x x C x C

x .

m) Tìm ^I



^{tan2x xd .}

Lời giải

 

^{ }

          

 



^{tan2 d}



^{tan2 1 1 d}



_cos^{12 1 d tan}

I x x x x x x x C

x .

n) Tìm ^I



^(tanx^{cot ) dx 2 x.}

Lời giải

   

^{ }

           

 



^{tan cot 2d}



^{tan2 2 cot2 d}



_cos¹² _sin^{12 d tan cot}

I x x x x x x x x x C

x x

.

 Bậc chẵn ^PP Hạ bậc và lấy công thức nguyên hàm.

Công thức hạ bậc: ²  1 1

sin cos 2

2 2

x x và ²  1 1

cos cos 2 .

2 2

x x

(Cần nhớ: Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hai số ¹_;

2 sin là trừ, cos là cộng, cung góc tăng gấp đôi)

o) Tìm ^I



^{sin2x xd .}

Lời giải

Ta có   ^ ^ 

  

 



^{sin2 d}



¹₂ ¹₂^{cos 2x d 1}₂^{x 1}₄^{sin2x C}

I x x x .

p) Tìm ^I



^{cos2x xd .}

Lời giải

Ta có   ^ ^ 

  

 



^{cos2 d}



¹₂ ¹₂^{cos 2x d 1}₂^{x 1}₄^{sin2x C}

I x x x .

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

q) Tìm ^I 



^{sin 2 d2 x x.}

Lời giải

Ta có   ^ ^ 

    



^{sin 2 d2}



¹_{2 2}^{1cos 4x d} ₂^{1x 1}₈^{sin4x C}

I x x x .

r) Tìm ^I



^{cos 2 d2 x x.}

Lời giải

Ta có   ^ ^ 

    



^{cos 2 d2}



¹₂ ¹₂^{cos 4x d 1}₂^{x 1}₈^{sin4x C}

I x x x .

s) Tìm I



(2 sin 3 ) d x ² x.

Lời giải

Ta có ^



^



^



^{ }



^{ } ^{  }

  



^{2 sin 3 2d}



^{4 4 sin 3 sin 3 d2}



^{4 4sin 3 1}_{2 2}^{1cos 6 d}

I x x x x x x x x



9 4  1 cos 3

2 s

3 12 in 6

x x x C.

t) Tìm I



(2 cos 2 ) d x ² x.

Lời giải

Ta có ^{  }



^{ }



^{ } ^{  }

  



(2 cos 2 ) d²



4 4 cos 2 cos² d



4 4 c 1 1 o

2 s c s 4

o 2 2

2 d

I x x x x x x x x



9  2 1

2 2sin s

8 in 4

x x x C.

 Tích bậc nhất của sin và cos ^PP Áp dụng công thức tích thành tổng.

 1     sin .cos sin( ) sin( ) .

a b 2 a b a b

  1     sin .sin cos( ) cos( ) .

a b 2 a b a b

 1     cos .cos cos( ) cos( ) .

a b 2 a b a b

u) Tìm I



sin 3 cos dx x x.

Lời giải

Ta có ^



sin 3 cos d ^

 

sin 4 ^sin



^{  }1 ^

1 1 s

2 d cos 4 co 2

2 8 4 x C

I x x x x x x x .

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

v) Tìm I



sin 4 cos dx x x.

Lời giải

Ta có ^



sin 4 cos d ^

 

sin 5 ^sin



^{  }1 ^

1 1 s

2 3 d 1 cos 5 c 3

0 o

6 x C

I x x x x x x x .

w) Tìm I



sin 3 sin dx x x.

Lời giải

Ta có ^



sin 3 sin d ^{ }

 

cos 4 ^



^{ }1 ^

1 o 1

2

2 c s 2 d 8sin 4 sin

4 x C

I x x x x x x x .

x) Tìm I



sin 2 sin 4 dx x x.

Lời giải

Ta có ^



sin 2 sin 4 d ^{ }

 

cos 6 ^



^{ }1 ^

1 o 1

2

2 c s 2 d 1 sin 6 sin

2 4 x C

I x x x x x x x .

y) Tìm ^I



^{cos7 cos dx x x.}

Lời giải

Ta có ^I



^{cos7 cos dx x x}



¹₂



^{cos 8xcos6x}



^dx₁¹₆^{sin 8x}₁¹₂^{si 6n x C .}

z) Tìm I



cos 9 cos dx x x.

Lời giải

Ta có ^



cos 9 cos d ^

 

cos10 ^cos



^{  }

1 n

1 1 1

2 8 d 0sin10 si 8

2 6 x C

I x x x x x x x .

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 14: Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{sin 2x và  } ^{ }

  1

F 4 . Tính  

  

 6 P F . A.  5

P 4. B. P0. C. 1

P 2. D.  3

P 4. Lời giải

Chọn D

Ta có: ^{F x}

 

^



^{sin 2 dx x 1}₂^{cos 2x C .}

 

   

      

   

   

1 1cos 2. 1 1

4 2 4

F C C .

Suy ra

 

^{      } ^{   } ^^{ }

   

1 1 3

cos 2 1 cos 2. 1

2 6 2 6 4

F x x P F .

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Câu 15: Tìm một nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số ^{f x}

 

^{2xsinx2 cosxthỏa mãn F}

 

^{0 1.}

A. ^{F x}

 

^{x2cosx2 sinx2. B. F x}

 

^{x2 cosx2 sinx.}

C. ^{F x}

 

^{ 2 cosx2 sinx. D. F x}

 

^{x2cosx2 sinx2.}

Lời giải

Chọn D

Ta có: ^{F x}

  

^



^{2xsinx2 cosx}



^{dxx2cosx2 sinx C .}

 

^{0  1 02 }cos 0 2 sin 0^{    }1 2

F C C .

Suy ra ^{F x}

 

^{x2cosx2 sinx2.}

Câu 16: Tìm một nguyên hàm ^{F x}

 

của hàm số

 

^{ } 2

sin 1 f x x cos

xthỏa mãn  

 

  2

4 2

F .

A. ^{F x}

 

^{ cosxtanx C . B. F x}

 

^{ cosxtanx 2 1 .}

C. ^{F x}

 

^{cosxtanx 2 1 . D. F x}

 

^{ cosxtanx 2 1 .}

Lời giải Chọn D

Ta có:

 

^{ } ^{ } ^{   }

 



^sin _cos^{12 d cos tan}

F x x x x x C

x .

  

         

  

2 2

cos tan 2 1

4 2 4 4 2

F C C .

Suy ra ^{F x}

 

^{ cosxtanx 2 1 .}

Câu 17: Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của ^{f x}

 

^{4 cos2x5 thỏa mãn F}

 

^{ 0. Tìm F x}

 

^.

A. ^{F x}

 

^{  3x sin 2x3 . B.}

 

^{4sin3 5 5}

F x 3 x x .

C.

 

^{ 4cos3 5  4 5}

3 3

F x x x . D. ^{F x}

 

^{  3x sin 2x3.}

Lời giải

Chọn A

Ta có: ^{F x}

 

^

 

^{4 cos2x5 d}



^x

 

^{2 cos 2x3 d}



^{xsin 2x3x C .}

 

^{  0 sin 23    0 3}

F C C .

Suy ra ^{F x}

 

^{  3x sin 2x3 .}

Câu 18: Biết rằng ^{F x}

 

^



^{cos2x x ax bd   sin 2x C} . Giá trị của a²b² bằng

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

A. ¹

2. B. ⁵

16. C. 2. D. ⁵

4. Lời giải

Chọn B

Ta có: ^{F x}

 

^



^{cos2x xd  1}₂

 

^{1 cos 2 x}



^dx₂^1x1₄^{sin 2x C .}

Suy ra 1  1 ² ²  5

2; 4 16

a b a b .

Câu 19: _Biết

 

^{sin 2xcos 2x}



^{2dx x a}_b^{cos 4x C , với a b,} là các số nguyên dương, ^a b là phân số tối giản và C . Giá trị của a b bằng

A. 2. B. ₃. C. 4. D. ₅.

Lời giải Chọn D

Ta có:

 

^{sin 2xcos 2x}



^{2dx }

 

^{1 sin 4 x}



^{dx x 1}₄^{cos 4x C .}

Suy ra a1;b   4 a b 5.

 Bài toán 4. Tìm nguyên hàm _{F x( )} của hàm số _{f x( )} (giả sử điều kiện được xác định):.

Làm quen nhóm công thức mũ

 

    

 

¹

e d^x x e^x C e^{ax b}dx e^{ax b} C. a

 

 



 

    



^{a xxd} _ln^ax_a ^C



^{a x dx 1 a}_ln^x_a ^C.

aa) Tìm ^I 



^{e d .2x x}

Lời giải





^{e d2x}  ¹₂ ^2x

I x e C.

bb) Tìm ^I



^{e1 2 xd .x}

Lời giải

 





^{e1 2xd .} ¹₂^{e1 2x}

I x C.

cc) Tìm ^I



^(2x^{e )d .x x}

Lời giải

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

 





⁽² ^{e )dx}  ² ^x

I x x x e C

dd) ^I



^{e (1 3ex}  ^{2x)d .x}

Lời giải



^

 

^







^{e 1 3ex}  ^{2x d} 



^x^{3 x d}

I x e e xe^x3e^x C. ee) Tìm ^I



^{(3 e ) d .} ^{x 2 x}

Lời giải

   





^{3 e} ^{x 2d} 



^{9 6} ^x  ^{2x d}

I x e e x

  1 ² 

9 6

2

x x

x e e C. ff) Tìm ^I

 

^{2 e 3x}



^2dx

Lời giải

   





^{2 e} ^{3x 2d} 



^{4 4} ^3x ^{6x d}

I x e e x  4 ³ 1 ⁶ 

4 3 6

x x

x e e C.

gg) Tìm ^I



^22x1dx

Lời giải

 





^{22x 1d} ^{1 2}_{2 ln 2}^{. 2x 1} 

I x C.

hh) Tìm ^I



^{41 2 xd .x}

Lời giải

 





^{41 2xd .} ^{1 4}_{2 ln 4}^{. 1 2x} 

I x C.

ii) Tìm ^I 



^{3 .5 dx x x.}

Lời giải





^{3 .5 dx x} 



^{15 dx} _{ln 5}^15x

I x x .

jj) Tìm ^I



^{4 .3x x1d .x}

Lời giải

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold





^{4 .3 dx x}¹ 



¹²₃^xd ^{1 12}_{3 ln12}^{. x} 

I x x C.

kk) Tìm ^I



_e^{d2 5}_^{xx .}

Lời giải

 





_e^{d2 5}^xx 



^{e5x 2d}  ¹₅ ^{5x 2}

I x e C.

ll) Tìm ^I 



₂^{d3 2}_^{xx .}

Lời giải

 





₂^{d3 2}^xx 



^{22x 3d}  ¹₂^{22x 3}

I x C.

mm) Tìm

 





^{4 .3x} ₂^{1xx 1d .}

I x

Lời giải

 





^{4 .3x} ₂^{1xx 1d} ^{4 12}₃



₂^xxd ⁴₃



^{6 dx} ^{4 6}_{3 ln 6}^x 

I x x x C.

nn) Tìm

 





^42x₃^{1.6x x 1d .}

I x

Lời giải

 





^42x₃^{1.6x x 1d} ₂₄¹



⁹⁶₃^{xx d}  _{24 ln 32}^{1 . 32x} 

I x x C.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 20: Biết _{F x( )} là một nguyên hàm của hàm số f x( ) e ^2x thỏa  3

(0) 2

F Giá trị của ^{ }_{ }

  1

F 2 bằng A. 1 

2e 2. B. 1 

2e 1. C. 2