Chương 2
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ
I. Tóm tắt lí thuyết
1. Hàm số và tập xác định của hàm số
Định nghĩa 1. Nếu với mỗi giá trị củaxthuộc tậpD có một và chỉ một giá trị tương ứng củaythuộc tập số thựcRthì ta có mộthàm số. Ta gọixlàbiến sốvàylàhàm sốcủax.
Tập hợpD được gọi làtập xác địnhcủa hàm số.
2. Cách cho hàm số a) Hàm số cho bằng bảng b) Hàm số cho bằng biểu đồ c) Hàm số cho bằng công thức
4
! Khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta quy ước:Tập xác định của hàm sốy= f(x)là tập hợp tất cả các số thựcxsao cho biểu thức f(x)có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số
Định nghĩa 2. Đồ thịcủa hàm số y= f(x)xác định trên tậpD là tập hợp tất cả các điểmM(x;f(x))trên mặt phẳng tọa độ với mọixthuộcD.
Ta thường gặp trường hợp đồ thị của hàm sốy= f(x)là một đường (đường thẳng, đường cong,...). Khi đó, ta nóiy= f(x)làphương trìnhcủa đường đó.
4. Sự biến thiên của hàm số
Định nghĩa 3. Hàm sốy= f(x)gọi làđồng biến (tăng)trên khoảng(a;b)nếu
∀x1,x2∈(a;b):x1<x2⇒ f(x1)< f(x2).
Hàm sốy= f(x)gọi lànghịch biến (giảm)trên khoảng(a;b)nếu
∀x1,x2∈(a;b):x1<x2⇒ f(x1)> f(x2).
4
! Xét chiều biến thiên của một hàm sốlà tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của hàm số đó.73
5. Tính chẵn lẻ của hàm số
Định nghĩa 4. Cho hàm sốy= f(x)với tập xác địnhD.
Hàm sốy= f(x)gọi làhàm số chẵnnếu∀x∈D thì−x∈D và f(−x) = f(x).
Hàm sốy= f(x)gọi làhàm số lẻnếu∀x∈D thì−x∈D và f(−x) =−f(x).
4
! Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.II. Các dạng toán
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số
Để tìm tập xác định của hàm sốy= f(x), ta làm như sau:
+ Tìm điều kiện để f(x)có nghĩa.
+ Tập hợp các giá trịxthoả mãn f(x)có nghĩa tìm được chính là tập xác định của hàm số.
Một số trường hợp thường gặp:
pf(x)có nghĩa⇔ f(x)≥0.
1
f(x) có nghĩa⇔ f(x)6=0.
1
pf(x) có nghĩa⇔ f(x)>0.
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm sốy=−x3+3x+2017.
Lời giải. Điều kiện−x3+3x+2017có nghĩa⇔x∈R. Vậy tập xác định của hàm số làR.
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm sốy=x− 2 x−3. Lời giải. Điều kiệnx− 2
x−3 có nghĩa⇔x6=3.
Vậy tập xác định của hàm số làR\ {3}.
Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm sốy=x+√ x+1.
Lời giải. Điều kiệnx+√
x+1có nghĩa⇔x+1≥0⇔x≥ −1.
Vậy tập xác định của hàm số là[−1;+∞).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm tập xác định của hàm sốy=x4+x2−2.
Lời giải. Tập xác định của hàm số làR.
Bài 2. Tìm tập xác định của hàm sốy= x+2 4x2+5x−9. Lời giải. Tập xác định của hàm số làR\ {−9
4; 1}.
Bài 3. Tìm tập xác định của hàm sốy= 3+x x2+2x+5. Lời giải. Tập xác định của hàm số làR.
Bài 4. Tìm tập xác định của hàm sốy=
√x+4 x−2 . Lời giải. Tập xác định của hàm số là[−4; 2)∪(2;+∞). Bài 5. Tìm tập xác định của hàm sốy= 2x+3
(2x−1)(x+3). Lời giải. Tập xác định của hàm số làR\
ß
−3;1 2
™ . Bài 6. Tìm tập xác định của hàm sốy=
√x−2 x−3 . Lời giải. Tập xác định của hàm số là[2; 3)∪(3;+∞).
Bài 7. Tìm tập xác định của hàm sốy= 1
x−1+ x x+2. Lời giải. Tập xác định của hàm số làR\ {−2; 1}.
Bài 8. Tìm tập xác định của hàm sốy=√
4x+2+ x
√−x+1. Lời giải. Tập xác định của hàm số là
ï
−1 2; 1
ã . Bài 9. Tìm tập xác định của hàm sốy= x+2
|x−1|+|x−2|. Lời giải. Tập xác định của hàm số làR.
Bài 10. Tìm tập xác định của hàm sốy= 2
|x| −3. Lời giải. Tập xác định của hàm số làR\ {−3; 3}.
Dạng 2. Tính giá trị của hàm số tại một điểm
- Để tính giá trị của hàm số f(x)tạix=x0ta thay thếxbởix0vào công thức f(x)để tính f(x0).
- Đối với các hàm số được cho bởi hai hay nhiều công thức với các miền xác định đã cho, chẳng hạn:
y= f(x) =
®f1(x)vớix∈D1
f2(x)vớix∈D2
Khi tính giá trị hàm số f(x) tại x=x0, tùy theo x0 thuộc D1 hay D2 mà ta sử dụng công thức f(x) = f1(x)hay f(x) = f2(x)để tính f(x0).
4
! Với hàm số f(x)được cho bởi công thức phức tạp, để tính một cách nhanh và chính xác giá trị f(x0)ta sử dụng máy tính cầm tay để tính. Quy trình bấm máy:• Nhập công thức f(x);
• Bấmr;
• Nhập giá trịx0;
• Bấm=.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 4. Cho hàm sốy= f(x) =2x2−3x−1. Tính giá trị của hàm số đó tạix=−2.
Lời giải. Ta có f(−2) =2(−2)2−3(−2)−1=13.
Ví dụ 5. Cho hàm số f(x) =
®3x−2 vớix≥1 1−2x2 vớix<1.
Tính f(1),f(2),f(0),f(−3).
Lời giải. Ta có f(1) =1,f(2) =4,f(0) =1,f(−3) =−17.
Ví dụ 6. Cho hàm số f(x) =
x2−2x−1 vớix≤0 x+1
x2+x+1 vớix>0.
Tính giá trị của hàm số đó tạix=1;x=0;x=−2.
Lời giải. Ta có f(1) = 2
3;f(0) =−1;f(−2) =4.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11. Cho hàm số f(x) =−x2−4x+5. Tính f(−2).
Lời giải. Đáp số: f(−2) =9.
Bài 12. Cho hai hàm số f(x) =x2−2xvàg(x) =1−x. Tính giá trị f(−1) g(2) . Lời giải. Đáp số: f(−1)
g(2) =−3.
Bài 13. Cho hàm số f(y) =4−√
y. Tính f(4y2).
Lời giải. Đáp số: f(4y2) =4−2y, vớiy≥0.
Bài 14. Cho hàm số f(x) =
®√
5−x vớix<3
√
x+5 vớix≥3.
Tính f(−4),f(1),f(4).
Lời giải. Đáp số: f(−4) =3,f(1) =2,f(4) =3.
Bài 15. Cho hàm số f(x) =
−2x+3 vớix<−1 3 với −1≤x<1 px2−1 vớix≥1.
Tính f(−2),f(−1),f(0),f(1),f(2).
Lời giải. Đáp số: f(−2) =7,f(−1) =3,f(0) =3,f(1) =0,f(2) =√ 3.
Bài 16. Cho hàm số f(x) =
(2(x−1) vớix≤2
»
x2−2√
2 vớix>2.
Tính f(1),f(√
2),f(√
3),f(√ 2+1).
Lời giải. Đáp số: f(1) =0,f(√
2) =2√
2−2,f(√
3) =2√
3−2,f(√
2+1) =√ 3.
Bài 17. Cho hàm số f(x) =
2x+1 với −4≤x<−1
−x2+2 với −1≤x≤2 2−x vớix>2.
Tính f(0),f(√
2),f(−1),f(√
2),f(3).
Lời giải. Đáp số: f(0) =2,f(√
2) =0,f(−1) =1,f(3) =−1.
Bài 18. Cho hàm số f(x) = 1
x2. Tính f(x)−f(3)
x−3 , vớix6=3.
Lời giải. Đáp số: f(x)−f(3)
x−3 =−x+3 9x2 .
Bài 19. Cho hàm số f(x) =−x2+2x+3. Tính f(a),f(x+2)(vớialà một số thực).
Lời giải. Đáp số: f(a) =−a2+2a+3,f(x+2) =−x2−2x+3.
Bài 20. Cho hàm số f(x) =x2−2. Tìm giá trị của số thựcasao cho f(a−1) =2.
Lời giải. Ta có: f(a−1) =a2−2a−1=2⇒a=−1,a=3.
Bài 21. Cho hàm số f(x) =2x+m, vớimlà tham số. Tínhmđể f(1) =4.
Lời giải. Ta có: f(1) =2+m=4⇒m=2.
Dạng 3. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm số Cho hàm sốy= f(x)xác định trênK.
• Hàm sốy= f(x)đồng biến trênK khi và chỉ khi
∀x1,x2∈K:x1<x2⇒ f(x1)< f(x2)
⇔ ∀x1,x2∈K:x16=x2⇒ f(x1)−f(x2) x1−x2 >0.
• Hàm sốy= f(x)nghịch biến trênK khi và chỉ khi
∀x1,x2∈K:x1<x2⇒ f(x1)> f(x2)
⇔ ∀x1,x2∈K:x16=x2⇒ f(x1)−f(x2) x1−x2 <0.
Ví dụ 7. Dùng định nghĩa chứng minh hàm sốy=2x+3đồng biến trênR. Lời giải.
- Gọix1,x2là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộcR, ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 =(2x1+3)−(2x2+3)
x1−x2 = 2(x1−x2)
x1−x2 =2>0.
- Vậy hàm sốy=2x+3luôn đồng biến trênR.
Ví dụ 8. Dùng định nghĩa xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số y =x2+10x+9 trên (−5;+∞).
Lời giải.
- Gọix1,x2là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc(−5;+∞), ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 = (x21+10x1+9)−(x22+10x2+9)
x1−x2 = (x1−x2)(x1+x2+10)
x1−x2 =x1+x2+10.
- Dox1>−5,x2>−5nênx1+x2>−10⇔x1+x2+10>0, từ đó suy ra f(x1)−f(x2) x1−x2 >0.
- Vậy hàm số đồng biến trên khoảng(−5;+∞).
Ví dụ 9. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm sốy= 4
x+1 trên(−1;+∞).
Lời giải. - Gọix1,x2là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc(−1;+∞), ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 = 4
x1+1− 4 x2+1 x1−x2 =
4(x2−x1) (x1+1)(x2+1)
x1−x2 = −4
(x1+1)(x2+1).
- Dox1>−1,x2>−1nên(x1+1)(x2+1)>0, từ đó suy ra f(x1)−f(x2) x1−x2 <0.
- Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên(−1;+∞).
Ví dụ 10. Dùng định nghĩa xét sự biến thiên của hàm sốy=√
x−1trên tập xác định.
Lời giải.
- Tập xác định:D= [1;+∞).
- Gọix1,x2là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc[1;+∞), ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 =
√x1−1−√ x2−1
x1−x2 = 1
√x1−1+√
x2−1>0.
- Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên tập xác định.
- Bảng biến thiên
x
y
1 +∞
0 0
+∞
+∞
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm sốy= m
x−2 nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Lời giải.
- Tập xác định:D= (−∞; 2)∪(2;+∞).
- Gọix1,x2là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc(−∞; 2), ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 = m
x1−2− m x2−2
x1−x2 = −m
(x1−2)(x2−2).
- Dox1<2,x2<2nên(x1−2)(x2−2)>0, từ đó suy ra để hàm số nghịch biến trên(−∞; 2)thìm>0.
- Gọix1,x2là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc(2;+∞), ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 = m
x1−2− m x2−2
x1−x2 = −m
(x1−2)(x2−2).
- Dox1>2,x2>2nên(x1−2)(x2−2)>0, từ đó suy ra để hàm số nghịch biến trên(2;+∞)thìm>0.
- Tóm lạim>0thì hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 22. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm sốy=−x+5trênR. Lời giải.
- Gọix1,x2là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộcR, ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 =(−x1+5)−(−x2+5)
x1−x2 =−1<0.
- Vậy hàm số đã cho nghịch biến trênR.
Bài 23. Dùng định nghĩa xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y= 2x2+4x+1 trên (−∞;−1), (−1;+∞).
Lời giải.
- Xét
f(x1)−f(x2)
x1−x2 = (2x12+4x1+1)−(2x22+4x2+1)
x1−x2 =2(x1+x2+2).
- Trường hợpx1,x2phân biệt cùng thuộc(−∞;−1)thìx1+x2+2<0suy ra hàm số nghịch biến.
- Trường hợpx1,x2phân biệt cùng thuộc(−1;+∞)thìx1+x2+2>0suy ra hàm số đồng biến.
Bài 24. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm sốy= 1+x
1−x trên(−∞; 1).
Lời giải.
- Gọix1,x2là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộc(−∞; 1), ta có
f(x1)−f(x2) x1−x2 =
1+x1
1−x1−1+x2 1−x2
x1−x2 = 2
(1−x1)(1−x2).
- Dox1<1,x2<1nên(1−x1)(1−x2)>0, từ đó suy ra f(x1)−f(x2) x1−x2 >0.
- Vậy hàm số đã cho đồng biến trên(−∞; 1).
Bài 25. Dùng định nghĩa xét sự đồng biến nghịch biến của hàm sốy=√
3−xtrên tập xác định.
Lời giải.
- Tập xác định:D= (−∞; 3].
- Gọix1,x2là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộcD= (−∞; 3], ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 =
√3−x1−√ 3−x2
x1−x2 = −1
√3−x1+√
3−x2 <0.
- Vậy hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.
Bài 26. Dùng định nghĩa xét sự biến thiên của hàm sốy=|x−3|trên tập xác định.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R. - Xét
f(x1)−f(x2)
x1−x2 = |x1−3| − |x2−3|
x1−x2 .
• Vớix1,x2∈(−∞; 3)thì f(x1)−f(x2)
x1−x2 = (3−x1)−(3−x2)
x1−x2 =−1<0.
Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên(−∞; 3).
• Vớix1,x2∈(3;+∞)thì f(x1)−f(x2)
x1−x2 = (x1−3)−(x2−3)
x1−x2 =1>0.
Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên(3;+∞).
- Bảng biến thiên
x
y
−∞ 3 +∞
+∞
+∞
0 0
+∞
+∞
Bài 27. Dùng định nghĩa xét sự đồng biến nghịch biến của hàm sốy=
√2−x+1
trên tập xác định.
Lời giải.
- Tập xác định:D= (−∞; 2].
- Gọix1,x2là hai giá trị tùy ý thuộc(−∞; 2], ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 =
√2−x1+1 −
√2−x2+1
x1−x2 = −1
√2−x1+√
2−x2 <0.
- Vậy hàm số đã cho luôn nghịch biến trên tập xác định.
Bài 28. Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu của hàm sốy= x
x2+1 trên(0; 1),(1;+∞).
Lời giải.
- Xét biểu thức
f(x1)−f(x2) x1−x2 =
x1
x21+1− x2 x22+1
x1−x2 =1−x1x2.
• Trường hợpx1,x2∈(0; 1)suy ra0<x1,x2<1⇒1−x1x2>0, từ đó ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 >0.
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng(0; 1).
• Trường hợpx1,x2∈(1;+∞)suy rax1,x2>1⇒1−x1x2<0, từ đó ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 <0.
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng(1;+∞).
Bài 29. Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể hàm sốy= (m−2)x+5đồng biến trên tập xác định.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R.
- Gọix1,x2là hai giá trị phân biệt tùy ý thuộcR, ta có f(x1)− f(x2)
x1−x2 = ((m−2)x1+5)−((m−2)x2+5)
x1−x2 =(m−2)(x1−x2)
x1−x2 =m−2.
- Để hàm số đồng biến trênRkhi và chỉ khim−2>0⇔m>2.
- Vậym>2.
Bài 30. Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể hàm sốy= m
x−2 đồng biến trên từng khoảng xác định.
Lời giải.
- Tập xác định:D= (−∞; 2)∪(2;+∞).
- Xét biểu thức
f(x1)−f(x2) x1−x2 =
m
x1−2− m x2−2
x1−x2 = −m
(x1−2)(x2−2).
- Nhận thấy trên từng khoảng xác định(−∞; 2),(2;+∞)thì tích(x1−2)(x2−2)>0, từ đó ta có để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì f(x1)−f(x2)
x1−x2 >0⇔ −m>0⇔m<0.
- Vậy vớim<0thì hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.
Bài 31. Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể hàm sốy=m+1
x đồng biến trên từng khoảng xác định.
Lời giải.
- Tập xác định:D= (−∞; 0)∪(0;+∞).
- Xét biểu thức
f(x1)−f(x2) x1−x2 =
m+1
x1 −m+1 x2
x1−x2 = −(m+1) x1x2 .
- Nhận thấy trên từng khoảng xác định(−∞; 0), (0;+∞)thì tíchx1x2>0, từ đó ta có để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì f(x1)−f(x2)
x1−x2 >0⇔ −(m+1)>0⇔m<−1.
- Vậy vớim<−1thì hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.
Dạng 4. Tính đơn điệu của hàm bậc nhất
a) Sự biến thiên của hàm sốy=ax+btrênR.
• Khia>0hàm số đồng biến trênR. x
y
−∞ +∞
−∞
−∞
+∞
+∞
• Khia<0hàm số nghịch biến trênR. x
y
−∞ +∞
+∞
+∞
−∞
−∞
b) Sự biến thiên của hàm sốy=|x|trênR. - Ta cóy=|x|=
® xkhix≥0
−xkhix<0.
- Do đó, khix≥0thìy=xlà hàm số đồng biến, khix<0thìy=−xlà hàm số nghịch biến.
- Bảng biến thiên
x
y
−∞ 0 +∞
+∞
+∞
0 0
+∞
+∞
Ví dụ 12. Xét sự biến thiên của hàm sốy=2x−3.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R.
- Doa=2>0nên hàm số luôn đồng biến trênR. - Bảng biến thiên
x
y
−∞ +∞
−∞
−∞
+∞
+∞
Ví dụ 13. Xét sự biến thiên của hàm sốy=|1−x|.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R. - Ta cóy=|1−x|=
®x−1khix≥1 1−xkhix<1.
- Dó đó, khix≥1thìy=x−1là hàm số đồng biến, còn khix<1thìy=1−xlà hàm số nghịch biến.
- Bảng biến thiên
x
y
−∞ 1 +∞
+∞
+∞
0 0
+∞
+∞
Ví dụ 14. Xét sự biến thiên của hàm sốy=|x+2|+|x−2|.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R. - Ta cóy=|x+2|+|x−2|=
2xkhix≥2 4khi −2≤x<2
−2xkhix<−2 .
- Do đó, khix<−2thìy=−2xlà hàm số nghịch biến, khi−2≤x<2thìy=4là hàm hằng, còn khix≥2 thìy=2xlà hàm đồng biến.
- Bảng biến thiên
x
y
−∞ −2 2 +∞
+∞
+∞
4
4 44
+∞
+∞
Ví dụ 15. Cho hàm sốy= (1−2m)x+ (3m+2). Tìm tất cả các giá trị của tham sốmđể hàm số đã cho nghịch biến trên tập xác định.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R.
- Để hàm sốy= (1−2m)x+ (3m+2)nghịch biến trênRkhi và chỉ khi 1−2m<0⇔1<2m⇔m> 1
2. - Vậy vớim> 1
2 thì hàm số đã cho nghịch biến trênD=R.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 32. Xét tính đơn điệu của hàm sốy=−1 2x+5.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R. - Doa=−1
2 <0nên hàm số đã cho nghịch biến trênR. Bài 33. Xét tính đơn điệu của hàm sốy=3x−1.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R.
- Doa=3>0nên hàm số đã cho đồng biến trênR.
Bài 34. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm sốy=|2x−1|.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R. - Ta cóy=|2x−1|=
1−2xkhix< 1 2 2x−1khix≥ 1 2 . - Từ đó ta có
+ Vớix<1
2 thì hàm sốy=1−2xnghịch biến.
+ Vớix≥1
2 thì hàm sốy=2x−1đồng biến.
Bài 35. Xét sự biến thiên của hàm sốy=√
x2+6x+9.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R. - Ta cóy=p
(x+3)2=|x+3|.
- Vớix<−3thìy=−x−3là hàm nghịch biến.
- Vớix≥ −3thìy=x+3là hàm số đồng biến.
Bài 36. Xét sự biến thiên của hàm sốy=|1−x|+|2x+4|.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R.
- Vớix<−2thìy=−3x−3là hàm số nghịch biến.
- Với−2≤x≤1thìy=x+5là hàm số đồng biến.
- Vớix>1thìy=3x+3là hàm số đồng biến.
Bài 37. Xét sự biến thiên của hàm sốy=√
x2−4x+4−2|x−1|.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R.
- Ta cóy=|x−2| −2|x−1|=
xkhix<1
−3x+4khi1≤x<2
−xkhix≥2 . - Bảng biến thiên
x
y
−∞ 1 2 +∞
−∞
−∞
1 1
−∞
−∞
−2
Bài 38. Xác địnhađể hàm sốy= (2a+3)x+a−1đồng biến trên tập xác định.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R.
- Để hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi2a+3>0⇔2a>−3⇔a>−3 2. - Vậy vớia>−3
2 thì hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định.
Bài 39. Cho hàm sốy= (m−1)x+ (2−m). Biện luận tính đơn điệu của hàm số đã cho theo tham sốm.
Lời giải.
- Tập xác định:D=R.
- Ta có, khim−1<0⇔m<1thì hàm số nghịch biến, khim−1>0⇔m>1thì hàm số đồng biến, còn khim=1thìy=1là hàm hằng.
Dạng 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
• Hàm sốy= f(x)có tập xác địnhD được gọi là hàm số chẵn khi và chỉ khi
®∀x∈Dthì −x∈D,
∀x∈D,f(−x) = f(x).
• Hàm sốy= f(x)có tập xác địnhD được gọi là hàm số lẻ khi và chỉ khi
®∀x∈D thì −x∈D,
∀x∈D, f(−x) =−f(x).
• Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trụcOy.
• Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độOlàm tâm đối xứng.
Ví dụ 16. Xét tính chẵn lẻ của hàm sốy=x2+3.
Lời giải. TXĐD=Rdo đó vớix∈R⇒ −x∈R; f(−x) = (−x)2+3=x2+3= f(x). Vậy hàm đang xét là hàm chẵn.
Ví dụ 17. Xét tính chẵn lẻ của hàm sốy= 1 x3.
Lời giải. TXĐD=R\{0}suy rax∈D thì−x∈D; f(−x) = 1
(−x)3 =−1
x3 =−f(x). Vậy hàm đang xét là hàm lẻ.
Ví dụ 18. Xét tính chẵn lẻ của hàm sốy=√ 2x−3.
Lời giải. TXĐD = ï3
2;+∞
ã
, do đóx=4∈D thì−x=−4∈/ D. Vậy hàm đang xét không chẵn, không lẻ.
Ví dụ 19. Xét tính chẵn lẻ của hàm sốy=3.
Lời giải. TXĐD=R, f(−x) =3= f(x),∀x. Vậy hàm đang xét là hàm chẵn.
Ví dụ 20. Xét tính chẵn lẻ của hàm sốy=x4+3x3−2.
Lời giải. TXĐD =R, f(−x) = (−x)4+3(−x)3−2=x4−3x3−26=±f(x). Vậy hàm đã cho không chẵn, không lẻ.
Ví dụ 21. Có hàm số nào vừa chẵn, vừa lẻ không?
Lời giải. Hàm sốy=0.
Ví dụ 22. Tìmmđể hàm sốy=x2+ (m+1)x+2là hàm chẵn.
Lời giải. TXĐD=R. Hàm đã cho là hàm số chẵn khi f(−x) = f(x)∀x∈Rhay(m−1)x=0,∀x∈Rhay m=1.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 40. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) f(x) =√ 3x−4
b) f(x) = 2x2−4 x c) f(x) = x3+1
x2−4 d) f(x) =−5 e) f(x) =0
f) f(x) =−x4+5x−3 g) f(x) = −x4+x2+1
3x h) f(x) =−5x3+7x
i) f(x) =| −x+5| − |x+5|
j) f(x) =|7−5x|+|5x+7|
k) f(x) = |x+3|+|x−3|
|x+3| − |x−3|
l) f(x) =√
x2−9+
x−4 x+4
+
x+4 x−4
m) f(x) =
®5−x, x≥0 5+x, x<0.
Bài 41. Tùy theom, hãy xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau a) y= f(x) = 1
mx2+2(m−1)x−m. b) y= f(x) = 1
(m+1)x2+mx−1.
Bài 42. Cho hàm sốy= f(x) =x3+ (m2−1)x2+m−1. Tìmmđể hàm số là hàm lẻ.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 43. Cho hàm số f(x) =x2−x+1. Tính f(x+h)−f(h)(vớihlà một số thực).
Lời giải. Đáp số: f(x+h)−f(h) =x2+2xh−x.
Bài 44. Một quả bóng chày được đánh lên ở độ cao1mét so với mặt đất. Đường đi của quả bóng chày được cho bởi hàm sốy= f(x) =−0,0097x2+x+1. Trong đó xvà f(x)được tính bằng mét. Hỏi quả bóng có bay qua được một hàng rào cao4mét và nằm cách vị trí người đánh bóng100mét hay không?
Lời giải. Vì hàng rào cách người đánh bóng100mét nên ta tính độ cao quả bóng tại vị tríx=100.
Ta có f(100) =4. Ta thấy ở tại vị trí hàng rào thì độ cao của quả bóng cao hơn hàng rào nên quả bóng sẽ bay qua được hàng rào.
Bài 45. Cho hàm sốy= f(x) =p
5+x+2√ x+4.
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Xét tính chẵn lẻ của hàm số.
c) Xét tính đơn điệu của hàm số.
d) Lập bảng biến thiên của hàm số.
e) Tính các giá trị f(−5),f(−4),f(−3),f(0).
Lời giải.
a) Hàm số xác định khi
® x+4≥0 5+x+2√
x+4≥0 ⇔
® x≥ −4 (√
x+4+1)2≥0⇔x≥ −4.
Vậy ta có tập xác định của hàm sốD= [−4;+∞).
b) Hàm số không chẵn cũng không lẻ do4∈D nhưng−46∈D. c) Ta cóy=»
(√
x+4+1)2=√
x+4+1. Với mọix1,x2phân biệt lớn hơn−4ta có f(x1)−f(x2)
x1−x2 =(√
x1+4+1)−(√
x2+4+1)
x1−x2 = 1
√x1+4+√
x2+4 >0.
Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên tập xác định.
d) Bảng biến thiên
x
y
−4 +∞
1 1
+∞
+∞
e) Ta có
• f(−5)không xác định do−56∈D.
• f(−4) =1.
• f(−3) =2.
• f(0) =3.
Bài 46.
Cho hàm sốy= f(x)có đồ thị như hình vẽ bên.
a) Tìm các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số.
b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn[0; 2].
−2 −1 1 2
x
−2 2
y
O
Lời giải. a) Từ đồ thị, ta có hàm số đồng biến trên các khoảng(−∞;−1)và(1;+∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng(−1; 1).
b) Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn[−1; 1]là2và−2
§2. HÀM SỐ Y = AX + B
I. Tóm tắt lí thuyết
Định nghĩa 1. Hàm sốy=ax+bvớia6=0gọi là hàm số bậc nhất.
• Hàm sốy=ax+bđồng biến trênRnếua>0, nghịch biến trênRnếua<0.
• Đồ thị của hàm sốy=ax+b,a6=0là một đường thẳng không song song và không trùng với các trục toạ độ. Đồ thị hàm sốy=ax+bcòn gọi là đường thẳngy=ax+b, trong đóagọi là hệ số góc của đường thẳng.
• Hai đường thẳngy=ax+bvày=a0x+b0song song với nhau nếua=a0vàb6=b0.
• Hai đường thẳngy=ax+b,a6=0vày=a0x+b0,a06=0vuông góc với nhau nếuaa0=−1.
Định nghĩa 2. Hàm sốy=bgọi là hàm số hằng.
• Hàm sốy=bcó giá trị không đổi trênR.
• Đồ thị của hàm sốy=blà một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.
II. Các dạng toán
Dạng 1. Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
Để vẽ đồ thị của hàm số bậc nhấty=ax+b, ta tìm hai điểm phân biệt mà đồ thị đi qua. Sau đó vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Thông thường ta chọn hai điểm(0;b)và(−b
a; 0).
Đặc biệt: Đồ thị của hàm số hằngy=b là một đường thẳng vuông góc và cắt trục tung tại điểm (0;b).
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm sốy=3x−4.
Lời giải.
Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm(0;−4)và(4 3; 0).
x y
−4
O 4
3
Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm sốy=−2 3x+2.
Lời giải.
Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm(0; 2)và(3; 0).
x y
1 2 3
1 2
O
Ví dụ 3. Vẽ đồ thị của hàm sốy=√ 2x.
Lời giải.
Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm(0; 0)và(1;√ 2).
x y
O 1
√ 2
Ví dụ 4. Vẽ đồ thị của hàm sốy=−√ 3.
Lời giải.
Đồ thị hàm số đã cho vuông góc với trục tung tại điểm(0;−√ 3).
x y
O
−√ 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Vẽ đồ thị của hàm sốy=−2x+5.
Lời giải.
Đồ thị như hình vẽ
x y
O 5
2
5
Bài 2. Vẽ đồ thị của hàm sốy= 1 2x−1.
Lời giải.
Đồ thị như hình vẽ
x y
O 2
−1
Bài 3. Vẽ đồ thị của hàm sốy=3√ 2−1.
Lời giải.
Đồ thị như hình vẽ
x y
O 3√
2−1
Bài 4. Vẽ đồ thị của hàm sốy=√
3(x−2).
Lời giải.
Đồ thị như hình vẽ
x y
O 2
−2√ 3
Bài 5. Vẽ đồ thị của hàm sốy=−7 2x.
Lời giải.
Đồ thị như hình vẽ
x y
O 1
−72
Bài 6. Vẽ đồ thị của hàm sốy=−2(x−1) +1.
Lời giải.
Đồ thị như hình vẽ
x y
O 3
2
3
Bài 7. Vẽ đồ thị của hàm sốy= 2x−3 2 . Lời giải.
Đồ thị như hình vẽ
x y
O
3 2
−32
Dạng 2. Xác định hệ số a và b của số bậc nhất
Phương pháp: Dựa vào các yếu tố điểm thuộc đường, lý thuyết hai đường song song, vuông góc, hệ số góc, giao điểm của hai đường để tìm ra mối quan hệ giữaavàb.
Những điểm cần chú ý:
• Nếu có hai tham sốa,bchưa biết thì ta cần tìm hai quan hệ củaa,bđộc lập để giải hệ phương trình tìma,b.
• Nếu điểmM(xM;yM)thuộc đường thẳngd:y=ax+bthì ta cóyM =axM+b.
• Cho(d):y=ax+bvà(d0):y=a0x+b0. Nếu(d)k(d0)thì
®a=a0 b6=b0. Nếu(d)⊥(d0)thìa0= −1 a .
• Nếu cho hệ số gócktức là cho hệ sốacủa đường thẳng(d):y=ax+b.
• Nếu cho góc của đường thẳng (d): y=ax+b tạo với trục hoành là α thì ta hiểu là cho a=tan(α).
Ví dụ 5. Cho đường thẳng(d)có phương trìnhy=x+b. Tìmbbiết(d)đi qua điểmM(1; 2).
Lời giải. VìM∈(d)nên ta có2=1+b⇔b=1.
Vậy:b=1tức là(d)có phương trình lày=x+1.
Ví dụ 6. Cho đường thẳng(d)có phương trìnhy=ax+b. Tìma,bbiết(d)đi qua điểmA(−1; 2)và B(2; 3).
Lời giải. VìA,B∈(d)nên ta có
®2=a.(−1) +b 3=a.2+b ⇔
®−a+b=2 2a+b=3 ⇔
a= 1
3 b= 7 3 .
Vậy:a=1
3 vàb= 7
3 tức là(d)có phương trình lày=1 3x+7
3.
Ví dụ 7. Cho đường thẳng(d)có phương trìnhy=ax+b. Tìma,bbiết(d)đi qua điểmA(−1;−2) và có hệ số góc là3.
Lời giải. VìA∈(d)nên ta có−2=a.(−1) +b.
Mặt khác ta có hệ số góc là3nêna=3⇒b=1.
Vậy:a=3vàb=1tức là(d)có phương trình lày=3x+1.
Ví dụ 8. Cho đường thẳng(d)có phương trìnhy=ax+b. Tìm phương trình(d)biết(d)đi qua điểm A(−3; 2)và song song với(∆):y=−x+2.
Lời giải. VìA∈(d)nên ta có2=a.(−3) +b.
Mặt khác ta có∆k(d)nêna=−1⇒b=−1(nhận vìb6=2).
Vậy:(d)có phương trình lày=−x−1.
Ví dụ 9. Cho đường thẳng(d)có phương trìnhy=ax+b. Tìm phương trình(d)biết(d)đi qua điểm M(2; 5)và vuông góc với(∆):y=−1
2x+2.
Lời giải. VìM∈(d)nên ta có5=a.2+b.
Mặt khác ta có∆⊥(d)nêna= −1
−1 2
=2⇒b=1.
Vậy:(d)có phương trình lày=2x+1.
Ví dụ 10. Cho đường thẳng(d)có phương trìnhy=ax+b. Tìm phương trình(d)biết(d)cắtOxtại điểm có hoành độ là3và đi qua điểmA(1; 2).
Lời giải. Vì(d)cắtOxtại điểm có hoành độ là2⇒x=−b
a=3⇒a=−b 3. vàA∈(d)nên2=a.1+b.
Do đó
a+b=2 a=−b 3
⇔
®a=−1 b=3. Vậy:(d)có phương trình lày=−x+3.
Ví dụ 11. Cho đường thẳng(d)có phương trình y= f(x) =ax+b. Tìm a,bbiết đường thẳngd đi qua giao điểm của(d1):y=x+1và(d2):y=−2x+1và điểmB(−1; 2).
Lời giải. GọiAlà giao điểm củad1vàd2. Ta có
®x−y=−1 2x+y=1⇔
®x=0
y=1⇒A(0,1)nên1=a.0+b⇔b=1.
Mặt khácB∈(d)⇒2=a(−1) +b⇒a=−1.
Vậy:a=−3 4;b= 9
4 tức là(d)có phương trình lày=−3 4x+9
4.
Ví dụ 12. Cho đường thẳng (d) có phương trình y= f(x) = ax+b. Tìm a,b biết phương trình f(x+1) =0có nghiệm làx=2và f(2x+1) =3là có nghiệm làx=−1.
Lời giải. Vì phương trình f(x+1) =0có nghiệm làx=2nêna(2+1) +b=0⇔3a+b=0.
và phương trình f(2x+1) =3làx=−1nêna(2.(−1) +1) +b=3⇔ −a+b=3.
Do đó
®3a+b=0
−a+b=3 ⇔
a=−3 4 b= 9 4 .
Vậy:a=−3 4;b= 9
4 tức là(d)có phương trình lày=−3 4x+9
4. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 8. Cho đường thẳng(d)có phương trìnhy=ax+b. Tìma,bbiết(d)song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất và đi qua điểmA(3; 1).
Lời giải. VìA∈(d) nên ta có1=a.3+bvà (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất (y=x)nêna=1⇒b=−2.
Vậy:a=1,b=−2.
Bài 9. Cho đường thẳng (d)có phương trìnhy=ax+b. Tìma,bbiết(d)đi qua điểmA(1,2)và gốc toạ độO.
Lời giải. VìA,O∈(d)nên ta có
®2=a.1+b 0=a.0+b ⇔
®a+b=2 b=0 ⇔
®a=2 b=0. Vậy:a=2vàb=0.
Bài 10. Cho đường thẳng(d)có phương trìnhy=ax+b. Tìma,bbiết(d)đi qua điểmA(1;−2)và(d)tạo vớiOxmột góc là45◦.
Lời giải. VìA∈(d)nên ta có−2=a.1+b.
Mặt khác ta có hệ số góc làa=tan(45◦) =1⇒b=−3.
Vậy:a=1vàb=−3tức là(d)có phương trình lày=x−3.
Bài 11. Cho đường thẳng(d)có phương trìnhy=ax+b. Tìm phương trình(d)biết(d)đi qua điểmA(3,2) và song song vớiOx.
Lời giải. VìA∈(d)nên ta có2=a.3+b.
Mặt khác ta có(Ox)k(d)nêna=0⇒b=2(nhận vìb6=0).
Vậy:(d)có phương trình lày=2.
Bài 12. Cho đường thẳng(d)có phương trìnhy=ax+b. Tìm phương trình(d)biết(d)đi qua điểmM(2,1) và vuông góc với(∆):y=3x+2.
Lời giải. VìM∈(d)nên ta có1=a.2+b.
Mặt khác ta có∆⊥(d)nêna= −1 3 =−1
3 ⇒b= 5 3. Vậy:(d)có phương trình lày=−1
3x+5 3.
Bài 13. Cho đường thẳng(d)có phương trìnhy=ax+b. Tìm phương trình(d)biết(d)cắtOxtại điểm có hoành độ là2và cắt trụcOyvới tung độ là3.
Lời giải. Vì(d)cắtOxtại điểm có hoành độ là2⇒x=−b
a=2⇒a=−b 2. và(d)cắtOytại điểm có tung độ là3⇒y=a.0+b=b=3.
Do đóa=−3 2
Vậy:(d)có phương trình lày=−3 2x+3.
Bài 14. Cho đường thẳng (d)có phương trìnhy= f(x) =ax+b. Tìm phương trìnha,bbiết phương trình f(x+1) =0có nghiệm làx=1và f(2) =3.
Lời giải. Vì phương trình f(x+1) =0có nghiệm làx=1nêna(1+1) +b=0⇔2a+b=0.
và f(−1) =3⇔ −a+b=3.
Do đó
®2a+b=0
−a+b=3 ⇔
®a=−1 b=2.
Vậy:a=−1;b=2tức là(d)có phương trình lày=−x+2.
Dạng 3. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối
Để vẽ đồ thị hàm sốy=|x|ta sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt:
y=
®x nếux≥0
−x nếux<0
Sau đó ta xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho trên từng khoảng(−∞; 0)và(0;+∞).
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 13. Vẽ đồ thị của hàm sốy=3|x| −2.
Lời giải.
Ta cóy=3|x| −2=
® 3x−2 nếux≥0
−3x−2 nếux<0.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm(0;−2),(−1; 1)và(1; 1).
x y
−1 1
−2 1 O
Ví dụ 14. Vẽ đồ thị của hàm sốy=|x| −2x.
Lời giải.
Ta cóy=|x| −2x=
®−x nếux≥0
−3x nếux<0.
Đồ thị hàm số đi qua các điểm(0; 0),(−1; 3)và(1;−1).
x y
−1 O 1
−1 3
Ví dụ 15. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốy=|2x+3|.
Lời giải.
Ta cóy=|2x+3|=
2x+3 nếux≥ −3 2
−2x−3 nếux<−3 2. Bảng biến thiên
x
y
−∞ −32 +∞
+∞
+∞
0 0
+∞
+∞
Đồ thị hàm số đi qua các điểm(−3
2; 0),(0; 3)và(−3; 3).
x y
−3 −32 O 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 15. Vẽ đồ thị của hàm sốy=2|x|+1.
Lời giải.
Đồ thị như hình vẽ.
x y
−1 1 1 3
O
Bài 16. Vẽ đồ thị của hàm sốy=2x+|x|.
Lời giải.
Đồ thị như hình vẽ.
x y
O 1
−1 3
−1
Bài 17. Vẽ đồ thị của hàm sốy=|3x−4|.
Lời giải.
Đồ thị như hình vẽ.
x y
O 4
3 8 3
4
Bài 18. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốy=−3|x+1|.
Lời giải.
Bảng biến thiên
x
y
−∞ −1 +∞
−∞
−∞
0 0
−∞
−∞
x y
−2 −1
−3 O
Bài 19. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốy=−1
2|2x+1|+3 2. Lời giải.
Bảng biến thiên x
y
−∞ −12 +∞
−∞
−∞
3 2 3 2
−∞
−∞
x y
−1
−2 1
−12
3 2
O
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 20. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốy=|x| −2|x+1|+1.
Lời giải.
Bảng biến thiên x
y
−∞ −1 0 +∞
−∞
−∞
2 2
−∞
−∞
−1
x y
−1
−3 −1
1
−2 2
O
Bài 21. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sốy=2|x+1| − |x−1|.
Lời giải.
Bảng biến thiên x
y
−∞ −1 1 +∞
+∞
+∞
−2
−2
+∞
+∞
4
x y
−3 −1
1 2
1 4 5
−2 O
Dạng 4. Vẽ đồ thị hàm số cho bởi hệ nhiều công thức
Vẽ đồ thị hàm số trùng với từng đồ thị hàm số thành phần tương ứng với điều kiệnxở phía sau.
Ví dụ 16. Vẽ đồ thị hàm số:y=
®x nếu x≥0
−x nếu x<0. Lời giải.
Đồ thị hàm sốy=
®x nếu x≥0
−x nếu x<0 là sự "lắp ghép" của2 đồ thị:
• Đồ thị hàm sốy=x(chỉ lấy phần ứng vớix≥0).
• Đồ thị hàm sốy=−x(chỉ lấy phần ứng vớix<0).
Ta dễ dàng thấy được, đồ thị của hàm số đã cho là sự lắp ghép của 2 tia phân giác của góc phần tư thứ (I) và (II),
chúng đối xứng với nhau qua trụcOy. x
y
−1 1
1
Ví dụ 17. Vẽ đồ thị hàm số:y=
−2x+3 nếu x>2
−1 nếu −3≤x≤2 x+2 nếu x<−3
.
Lời giải. Đồ thị hàm sốy=
−2x+3 nếu x>2
−1 nếu −3≤x≤2 x+2 nếu x<−3
.
• Trùng với đồ thị hàm sốy=−2x+3trên(2;+∞].
• Trùng với đồ thị hàm sốy=−1trên[−3; 2].
• Trùng với đồ thị hàm sốy=x+2trong(−∞;−3).
x y
−4
−2
−1
−3
−3 2 3
Ví dụ 18. Cho hàm số:y= f(x) =
2x+4 nếu x≤ −1
−2x nếu −1<x≤1 x−3 nếu x>1
.
a. Tìm tập xác định và vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Cho biết sự biến thiên của hàm số đã cho trên mỗi khoảng (−∞; 1);(−1; 1);(1;+∞) và lập bảng biến thiên.
Lời giải.
a. TXĐ:D=R
Đồ thị hàm sốy= f(x) =
2x+4 nếu x≤ −1
−2x nếu −1<x≤1 x−3 nếu x>1
.
• Trùng với đồ thị hàm sốy=2x+4nếux≤ −1.
• Trùng với đồ thị hàm sốy=−2xnếu−1<x≤1.
• Trùng với đồ thị hàm sốy=x−3nếux>1.
−2 3
x y
2
−1
−1
2
−2
1
b. Trên khoảng(−2;−1)và(1; 3)hàm số đồng biến.
Trên khoảng(−1; 1)hàm số nghịch biến.
Bảng biến thiên x
y
−∞ −1 1 +∞
−∞
−∞
2 2
−2
−2
+∞
+∞
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 22. Vẽ đồ thị hàm số:
y=
®3x−6 nếu x≥2 6−3x nếu x<2.
Lời giải. Vớix≥2: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳngy=3x−6.
Vớix<2: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳngy=6−3x.
Bài 23. Vẽ đồ thị hàm số:
y=
x+1 nếu 0≤x<2
−1
2x+4 nếu 2≤x≤4 2x−6 nếu 4<x≤5 .
Lời giải. Với0≤x<2: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳngy=x+1.
Với2≤x≤4: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳngy=−1 2x+4.
Với4<x≤5: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳngy=2x−6.
Bài 24. Cho hàm số:y= f(x) =
2x+4 nếu −2≤x<−1
−2x nếu −1≤x≤1 x−3 nếu 1<x≤3
. a. Tìm tập xác định và vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Cho biết sự biến thiên của hàm số đã cho trên mỗi khoảng (−∞;−2);(−2; 4);(4;+∞)và lập bảng biến thiên.
Dạng 5. Sự tương giao giữa các đường thẳng Phương pháp:
• Cho2đường thẳngd1:y=a1x+b1vàd2:y=a2x+b2(a16=0;a26=0)
• d1cắtd2⇔a16=a2.
• d1kd1⇔a1=a2vàb16=b2.
• d1≡d2⇔a1=a2vàb1=b2.
• d1⊥d2⇔a1.a2=−1.
• d1cắtd2tại một điểm trên trục tung⇔a16=a2vàb1=b2.
• Để chứng minh3đường thẳng đồng quy, ta chứng minh2trong3đường thẳng cắt nhau và giao điểm của chúng thuộc đường còn lại.
Ví dụ 19. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng đã cho sau đây.
a. d1:y=3+x 2. b. d2: 3y−6x+1=0.
c. d3:y=−0,5x−4.
d. d4: 2y+x=6.
e. d5: 2x−y=1.
f. d6:y=0,5x+1.
Lời giải. Đưa mỗi đường thẳng về dạng:y=ax+b a. d1:y=3+x
2. b. d2:y=2x−1
3. c. d3:y=−0,5x−4.
d. d4:−1 2x+6.
e. d5:y=2x−1.
f. d6:y=0,5x+1.
Các cặp đường thẳng song song làd1vàd6;d2vàd5;d3vàd4.
Ví dụ 20. Tìm giao điểm của2đường thẳngd1:y=x−5vàd2:y=1+3x.
Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm củad1vàd2: x−5=1+3x⇔2x=−6⇔x=−3.
Giao điểm củad1vàd2là(−3;−8).
Ví dụ 21. Tìm giao điểm của đường thẳngd:y=1+2xvới a. TrụcOx.
b. TrụcOy.
Lời giải.
a. TrụcOx:y=0.
Giao điểm của đường thẳngd:y=1+2xvớiOxlàA(−1 2; 0).
b. TrụcOy:x=0.
Giao điểm của đường thẳngd:y=1+2xvớiOylàB(0; 1).
Ví dụ 22. Cho2đường thẳng:d1:y=mx+3vàd2:y= (2m+1)x−5. Tìmmđể a. d1kd2.
b. d1cắtd2. Lời giải.
a. d1kd2⇔
m=2m+1 36=5 m6=0 2m+16=0
⇔
m=−1 m6=0 m6=−1
2
⇔m=−1.
b. d1cắtd2⇔m6=2m+1⇔m6=−1.
Ví dụ 23. Chod1:y=mx−m+2; d2:y= (m−3)x+m. Tìmm đểd1 cắtd2 tại1điểm trên trục tung.
Lời giải. d1cắtd2tại1điểm trên trục tung
⇔
® m6=m−3
−m+2=m ⇔
®06=−3
2m=2 ⇔m=1.
Ví dụ 24. Chod1:y=2x−6;d2:y=−x+3.
a. Tìm tọa độ giao điểmAcủad1vàd2.
b. d1vàd2cắt trục tung tạiBvàC. Tính diện tích∆ABC.
Lời giải.
a. Phương trình hoành độ giao điểm củad1vàd2là 2x−6=−x+3⇔x=3.
Vớix=3⇒y=0.
Vậy tọa độ giao điểmAcủad1vàd2là(3; 0).
b. d1 và d2 lần lượt cắt trục tung tại B và C. Dễ dàng suy ra được tọa độ của B vàC là B(0;−6) và C(0; 3).
Diện tíchS∆ABC= 1
2AO.BC= 1
2.3.9= 27 2 (đvdt).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 25. Cho đường thẳngd:y= (m2−2)x+m−1. Xác định giá trị củamsao cho a. dsong song vớid1:y=2x+1.
b. dcắtd2:y=m(2x−1) +3+x.
Lời giải.
a. m=−2.
b.
®m6=−1 m6=−3.
Bài 26. Cho2đường thẳng:(d1):y= (m+2)x−3;(d2):y=4x+2m+1. Tìmmđểd1cắtd2tại1điểm trên trục tung.
Lời giải. Không tồn tại giá trịmthỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 27. Cho3đường thẳng:(d1):y=2x;(d2):y=x+1;(d3):y= (m−2)x+2m+1. Tìmmđể a. d1⊥d3.
b. d1,d2,d3đồng quy.
Lời giải.
a. m=3 2. b. m=1.
Bài 28. Tìmmđể3đường thẳng sau phân biệt và đồng quy.
a. d1:y=2x,d2:y=−3−x,d3:y=mx+5.
b. d1:y=−5(x+1),d2:y=mx+3,d3:y=3x+m.
c. d1:y=x+2m,d2:y=3x+2,d3:y=−mx+2.
Lời giải.
a. m=7.
b. m=−13.
c. m=1.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 29. Cho(d)có phương trìnhy=ax+bvà(d1):y=x+1;(d2):y=2x+1.
a) Tìm giao điểmM của(d1)và(d2).
b) Tìm phương trình đường thẳng(d), biết(d)cắt(d1)tạiA(1,2)và cắt(d2)tạiB(−1,3).
Lời giải.
a) Xét
® y=x+1 y=2x+1 ⇔
® −x+y=1
−2x+y=1 ⇔
®x=0 y=1. Vậy:M(0,1)là giao điểm cửa(d1)và(d2).
b) Vì(d)cắt(d1)tạiA(1,2)⇒A(1,2)∈(d)⇒2=a+b.
và(d)cắt(d1)tạiB(−1,3)⇒B(−1,3)∈(d)⇒3=−a+b.
Do đó:
®1=2a+b 3=−a+b⇔
® a+b=2
−a+b=3⇔
a=−1 2 b= 5 2 .
Vậy:(d):y=−1 2x+5
2.
Bài 30. Cho(d)có phương trìnhy=ax+bvà(d1):y=x−1;(d2):y=−2x−1.
a) Tìm giao điểmN của(d1)và(d2).
b) Xác định phương trình đường thẳngd, biết(d);(d1);(d2)đồng qui và(d)đi quaA(1,−5).
Lời giải.
a) Xét
® y=x−1 y=−2x−1 ⇔
®−x+y=−1 2x+y−1⇔
® x=0 y=−1. Vậy:N(0,−1)là giao điểm cửa(d1)và(d2).
b) Vì(d);(d1);(d2)đồng qui nênN(0,−1)∈(d)⇒ −1=a.0+b⇒b=−1.
vàA∈(d)⇒ −5=a+b⇒a=−4.
Vậy:(d):y=−4x−1.
Bài 31. Cho(d)có phương trìnhy=ax+bvàA(6,−2).
a) Tìmdsao chodđi quaAvà gốc toạ độO.
b) Xác định phương trình đường thẳng d, biết(d) đi quaAvà cắtOx,Oylần lượt tạiB,C sao cho tam giácOBCcó diện tích là3.
Lời giải.
a) VìO∈(d)nênb=0.
Mặt khácA∈(d)nên−2=6a+b⇒a=−1 3. Vậy:(d):y=−1
3x.
b) Ta có:A∈(d)nên−2=6a+bvàB(0,b);C(−b a,0).
Do đó: Diện tích tam giácOCBlà 1 2|b||−b
a |=3⇒
a=−b2 6 a= b2
6 .
Vì vậy ta được
6a+b=−2
a=−b2 6 a= b2
6
⇔
6a+b=−2 a=−b2 6
6a+b=−2 a= b2 6
⇔
−b2+b−2=0 a=−b2
6
⇔
b=−1;a=−1 3 b=2;a=−4 3
b2+b−2=0 a= b2
6
(Vô nghiệm)
. Vậy:(d):y=−1
3x−1hay(d):y=−4 3x+2
§3. HÀM SỐ BẬC HAI
I. Tóm tắt lí thuyết
1. Hàm số bậc hai
Định nghĩa 1. Hàm số bậc hai được cho bởi công thứcy=ax2+bx+c(a6=0).
Tập xác định của hàm số này làD=R. 2. Đồ thị của hàm số bậc hai
Định nghĩa 2. Đồ thị của hàm sốy=ax2+bx+c(a6=0)là một đường parabol có đỉnh là điểmI Å
− b 2a;−∆
4a ã
, có trục đối xứng là đường thẳng x=− b
2a. Parabol này quay bề lõm lên trên nếua>0, xuống dưới nếu a<0.
* Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai.
a) Xác định tọa độ của đỉnhI Å
− b 2a;−∆
4a ã
. b) Vẽ trục đối xứngx=− b
2a. c) Lập bảng giá trị
x x1 x2 − b
2a x3 x4 y y(x1) y(x2) −∆
4a y(x3) y(x4)
4
! Đồ thị của hàm sốy=ax2+bx+c(a6=0)cắt trục tung tại điểm(0;c).Đồ thị của hàm sốy=ax2+bx+c(a6=0)cắt trục hoành (nếu có) tại điểm có tọa độ(x0; 0)với x0 là nghiệm của phương trìnhax2+bx+c=0.
d) Vẽ Parabol
4
! Khi vẽ cần chú ý đến dấu của hệ sốa(a>0bề lõm quay lên trên,a<0bề lõm quay xuống dưới).3. Chiều biến thiên của hàm số bậc hai
Dựa vào đồ thị của hàm sốy=ax2+bx+c(a6=0), ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợpa>0 vàa<0như sau
+ Vớia>0
x
y
−∞ − b
2a +∞
+∞
+∞
−∆
4a
−∆
4a
+∞
+∞
