Các dạng bài tập VDC phương trình bậc hai trên tập số phức - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A. LÍ THUYẾT

1. Căn bậc hai của một phức

Định nghĩa

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z² w được gọi là một căn bậc hai của w

Tìm căn bậc hai của số phức w

 w là số thực.

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là i w và

 i w

+ Nếu w0 thì w có hai căn bậc hai là w và  w

 w a bi 



^{a b}^, ^^



^,^b^⁰

Nếu z x iy  là căn bậc hai của w thì



^{x iy}^



² ^{ }^{a bi}

Do đó ta có hệ phương trình:

2 2

2x

  

 



x y a

y b

Mỗi nghiệm của hệ phương trình cho ta một căn bậc hai của w

2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình az²bz c 0



^{a b}^{, , c}^^^;^a^⁰



Ta có  b²4ac

 Nếu  0 thì phương trình có nghiệm thực

 2b

x a

 Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

1 2

  

 b

x a ; ₂

2

  

 b

x a

 Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

1 2

  

 b i

x a ; ₂

2

  

 b i

x a

Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax²bx c 0



^a^⁰



có hai nghiệm

Nhận xét:

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

+) Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

Chú ý:

Mọi phương trình bậc n:

1

0 ⁿ 1 ⁿ^  ... _n_1  _n0

A z A z A z A

luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt) với n nguyên dương.

(2)

phân biệt x₁, x₂ (thực hoặc phức) thì

1 2

    



  



S x x b a P x x c

a

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm 1. Phương pháp giải

Cho phương trình:

2  0

az bz c



^{a b}^{, ,c}^^^;^a^⁰



 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực

 Áp dụng các phép toán trên tập số phức để biến đổi biểu thức

Ví dụ: Xét phương trình z²2z 5 0 a) Giải phương trình trên tập số phức b) Tính z₁  z₂

Hướng dẫn giải

a) Ta có:      ^{' 1 5} ⁴

 

²i ² Phương trình có hai nghiệm là:

1 2 2

z i; z₂ 2 2i

b) Ta có z₁  z₂  2²2² 2 2 Suy ra z₁  z₂ 2 2 2 2 4 2  2. Bài tậ

Bài tập 1. Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z² 1 z



^z^^



^?

A. 1 3 2

 i

B. 1 3 2

 C. 1 3

2

 D. 1 2

2

 i

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có z² 1 z



^z^^



² ^{2. .}^{1 1} ³ ¹ ² ³²

2 4 4 2 4

 

        

z z z i

1 3 1 3

2 2 2

1 3 1 3

2 2 2

     

 

 

     

 

 

i i

z z

i i

z z

Bài tập 2. Phương trình z²az b 0



^{a b}^, ^^



có nghiệm phức là 3 4 i. Giá trị của a b bằng

A.31 B.5 C.19 D.29

Chọn C Chú ý: Nếu z₀ là

(3)

Cách 1: Do z 3 4i là nghiệm của phương trình z²az b 0 nên ta có:



^{3 4}^ ⁱ



²^^a



^{3 4}^ ⁱ



^{  }^b ⁰



³^{a b}^{  }⁷

 

⁴^a^²⁴



ⁱ^⁰

3 7 0 6

4 24 0 25

    

 

    

a b a

a b

Do đó a b 19

Cách 2: Vì z₁ 3 4i là nghiệm của phương trình z²az b 0 nên

2  3 4

z i cũng là nghiệm của phương trình đã cho Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có ¹ ²

1. 2

  

 



z z a

z z b

   

  

3 4 3 4 6

25 19

3 4 3 4

    

   

        

i i a a

b a b

i i b

nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực thì z₀ cũng là nghiệm của phương trình

Bài tập 3. Gọi z₀ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z²6z34 0 . Giá trị của

0 2 z i là

A. 17 B.17 C. 2 17 D. 37

ra có ^{   }^' ²⁵

 

⁵ⁱ ². Phương trình có hai nghiệm là z  3 5i; z  3 5i Do đó z₀   3 5i z₀    2 i 1 4i  17

Bài tập 4. Gọi z₁ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z²2z 5 0 Tọa độ điểm biểu diễn số phức

1

7 4 i

z trên mặt phẳng phức là

A. ^P

 

^{3; 2} ^B. ^N



^{1; 2}^



^C. ^Q



^{3; 2}^



^D. ^M

 

^{1; 2}

Ta có ² 1 2

2 5 0

1 2

  

      

z i

z z

z i

Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z₁ 1 2i. Khi đó:

  

2 2

1

7 4 1 2

7 4 7 4 3 2

1 2 1 2

 

     

 

i i

i i i

z i

Vậy điểm biểu diễn của số phức là ^P

 

^{3; 2}

(4)

Bài tập 5. Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z²4z 5 0. Giá trị của biểu thức



z11



²⁰¹⁹



z21



²⁰¹⁹ bằng

A. 2¹⁰⁰⁹ B. 2¹⁰¹⁰ C.0 D. 2¹⁰¹⁰

Hướng dẫn giải Chọn D

Xét phương trình ²

 

² ¹

2

4 5 0 2 1 2

2

  

          

z i

z z z

z i

Khi đó ta có:



z11



²⁰¹⁹



z21



²⁰¹⁹ 



1 i



²⁰¹⁹ 

 

1 i ²⁰¹⁹



¹

 

^{. 1}

 21009    1 . 1 21009

 i i  i i



¹

  

^{. 2} ¹⁰⁰⁹



¹

  

^{. 2} ¹⁰⁰⁹

 i i  i  i

 

² ¹⁰⁰⁹

 

¹

 

¹

   

² ¹⁰¹⁰

 

² ⁵⁰⁵^.2¹⁰¹⁰ ²¹⁰¹⁰

 i   i i  i  i  

Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng 1. Phương pháp giải

Định lí Vi-ét: Cho phương trình:

2  0

az bz c ; a b, ,c; a0

có hai nghiệm phức z₁, z₂ thì ¹ ²

1. 2

z z b a z z c

a

   



 



Ví dụ: Phương trình z²4z24 0 có hai nghiệm phức z₁, z₂ nên

1 2 4

z z  ; z z₁. ₂24

Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: ₁ ₂ b z z

 a

2. Bài tập

Bài tập 1: Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z²2z 5 0. Giá trị của biểu thức

2 2

1 2

z z bằng

A.14 B.–9 C.–6 D.7

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi z₁, z₂ là nghiệm của phương trình z²2z 5 0 Theo định lí Vi-ét ta có: ¹ ²

1 2

2

. 5

z z z z

 

 



Suy ra z1²z2²



z1z2



²2z z1 22²2.5 6

Bài tập 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 2i ? Chúng ta có thể giải từng

(5)

A. z²2z 3 0 B. z²2z 5 0 C. z²2z 5 0 D. z²2z 3 0 Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương trình bậc hai có nghiệm 1 2i thì nghiệm còn lại là 1 2i Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt là 2; 5

Vậy số phức 1 2i là nghiệm của phương trình z²2z 5 0

phương trình:

+) z²2z 3 0



^z ¹



² ²ⁱ²

  

1 2

z i

   

1 2

z i

  

+) z²2z 5 0



^z ¹



² ⁴ⁱ²

  

1 2

z i

    1 2

z i

    +) z²2z 5 0



^z ¹



² ⁴ⁱ²

  

1 2

z i

    1 2

z i

  

+) z²2z 3 0



^z ¹



² ²ⁱ²

  

1 2

z i

   

1 2

z i

   

Bài tập 3: Kí hiệu z₁, z₂ là nghiệm phức của phương trình 2z²4z 3 0. Tính giá trị biểu thức

 

1 2 1 2

P z z i z z

A. P1 B. 7

P 2 C. P 3 D. 5

P 2 Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình 2z²4z 3 0

Theo định lý Vi-ét ta có

1 2

2 . 3

2 z z z z

  



 



Ta có 1 2



1 2

  

²

 

²

3 2 3 2 3 2 5

2 2 2 2

P z z i z z   i   i        

Bài tập 4: Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình Cách khác:

Ta có:

(6)

2 4 7 0

z  z  . Giá tị của P z ₁³z₂³ bằng

A.–20 B.20

C.14 7 D. 28 7

Theo định lý Vi-ét ta có ¹ ²

1 2

4

. 7

z z z z

 

 



Suy ra z1³z2³



z1z2

 

z1²z z1 2z2²





^z¹ ^z²

   z1 z22 3z z1 2

   



²



4. 4 3.7 20

   

2 4 7 0

z  z 



^z ²



² ³ⁱ²

  

1 2

2 3

z i

  

   

Do đó:

3 3

1  2

z z



² ³ⁱ

 

³ ² ³ⁱ



³

   

 20

Bài tập 5: Gọi z₁ và z₂ là hai nghiệm phức của phương trình 3z²2z27 0 . Giá trị của

1 2 2 1

z z z z bằng

A.2 B.6 C. 3 6 D. 6

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có ₁ ₂ 2

z z  3 và z z₁. ₂ 9 Mà z₁  z₂  z z₁ ₂  z z₁. ₂  9 3

Do đó 1 2 2 1 1 2



1 2



.3 .3 3 3.2 2

z z z z z z  z z  3

Bài tập 6: Cho số thực a2 và gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z²2z a 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. z₁z₂ là số thực B. z₁z₂ là số ảo C. ¹ ²

2 1

z z

z  z là số ảo D. ¹ ²

2 1

z z

z  z là số thực Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có ₁ ₂ b 2 z z

   a . Đáp án A đúng

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi z₁ x yi; x y,  là một nghiệm, nghiệm còn lại là z₂  x yi

Suy ra z₁z₂2yi là số ảo. Đáp án B đúng

(7)

 

²

2 2

1 2 1 2

2 1 1 2 1 2

2 4 2

. .

z z z z

z z z z a

z z z z z z a

 

    

Vậy C là đáp án sai và D đúng

(8)

Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai 1. Phương pháp giải

 Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức

 Nắm vững cách giải một số phương trình quy về bậc hai, hệ phương trình đại số bậc cao;…

Ví dụ: Giải phương trình: z⁴z² 6 0 trên tập số phức.

Đặt z² t, ta có phương trình:

2 3

6 0 2

t t t

t

 

      

Với t3 ta có z²   3 z 3 Với t 2ta có z²     2 z i 2

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm 3

z  ; z i 2 2. Bài tậpmẫu

Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2z⁴3z² 2 0 là

A. 3 2 B. 5 2 C. 2 5 D. 2 3

Ta có:

2

4 2

2 2

2 2 2

2 3 2 0 1 1 2

. 2

2 2

2 2 z z z

z z z i z i

z i

 

  

  

         

  



Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng

2 2

2 2 3 2

2 i 2 i

     

Bài tập 2: Kí hiệu z₁, z₂, z₃, z₄ là bốn nghiệm phức của phương trình z⁴4z² 5 0. Giá trị của

2 2 2 2

1 2 3 4

z  z  z  z bằng

A. 2 2 5 B.12 C.0 D. 2 5

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

2

4 2

2

1 1 1

4 5 0

5 5

5 z z z

z z

z i

z

z i

 

  

  

       

  



(9)

Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: z₁1, z₂  1, z₃ i 5, z₄i 5 Do đó: ^z¹²^ ^z²²^ ^z³²^ ^z⁴²^{  }¹² ¹²

   

⁵ ²^ ⁵ ²^¹²

Bài tập 3: Gọi z₁, z₂, z₃, z₄ là các nghiệm phức của phương trình



^z²^^z

 

²^⁴ ^z²^{ }^z



^{12 0}^ ^.

Giá trị của biểu thức S  z₁² z₂² z₃² z₄² là

A. S 18 B. S 16 C. S 17 D. S 15

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:



^z²^^z

 

²^⁴ ^z²^{ }^z



^{12 0}^

Đặt t z ²z, ta có ² 2 4 12 0

6 t t t

t

 

      

Suy ra:

1 2 2

2 3

4

1 2

2 0 1 23

6 0 2

1 23

2 z

z

z z i

z z z

z i

 

  

      

     

 

  

 

Suy ra

 

2 2

2 2 1 23 1 23

1 2 17

2 2 2 2

S              

Bài tập 4: Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình

4

2 4

z z

z    . Khi đó z₁z₂ bằng

A.1 B.4 C.8 D.2

Điều kiện: z0 Ta có:

2 2

4 2

2

4 4 . 4

z z z z z z z

z z z

   

              

2

1 15 1 15

2 2 2 2

4 0 1 15 1 15

2 2 2 2

z i z i

z z

z i z i

 

     

 

     

 

     

 

 

Vậy ₁ ₂ 1 15 1 15

2 2 2 2 1 1

z z    i  i   

Bài tập 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình z⁴az² 1 0 có bốn nghiệm z₁, z₂, z₃, z₄ thỏa mãn



^z¹²^⁴



^z²²^⁴



^z³²^⁴



^z⁴²^⁴



^⁴⁴¹^{. Tìm a}

(10)

A.

1 19

2 a a

 

  



B.

1 19 2 a a

  

 



C.

1 19

2 a a

  

  



D.

1 19

2 a a

 

 

 Hướng dẫn giải

Chọn B

Nhận xét: ^z²^{ }⁴ ^z²^

  

²ⁱ ²^ ^z^²^{i z}



^²ⁱ



Đặt ^{f x}

 

^^z⁴^^az²^¹^{, ta có:}



1²



2²



3²



4²



⁴

  

⁴

    

1 1

4 4 4 4 _k 2 . _k 2 2 . 2

k k

z z z z z i z i f i f i

 

          



¹⁶ⁱ⁴ ⁴^ai² ^{1 16}



ⁱ⁴ ⁴^ai² ¹

 

^{17 4}^a



²

      

Theo giả thiết, ta có



^{17 4}



² ⁴⁴¹ 19¹ 2 a

a a

  

  

 

Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z²⁰¹⁸10iz²⁰¹⁷10iz 11 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 2 z 3 B. 0 z 1 C. 1 z 2 D. 1 3 2^ ^z ^ 2 Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có ²⁰¹⁷



¹¹ ¹⁰



^{11 10} ²⁰¹⁷ ^{11 10} ²⁰¹⁷ ^{11 10}

11 10 11 10

iz iz

z z i iz z z

z i z i

 

      

 

Đặt z a bi  có

 

   

 

2 2 2 2

2 2 2

2

100 220 121

11 10 10 11 100

11 10

11 10 11 10 121 11 10 121 220 100

a b b

i a bi b a

iz

z i a bi i a b a b b

  

   

   

       

Đặt t z



^t^⁰



ta có phương trình ²⁰¹⁷ 100₂² 220 121

121 220 100

t b

t t b

 

  

Nếu t 1 VT 1; VP1 Nếu t 1 VT 1; VP1 Nếu t 1 z 1