Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai

(1)

ax

²

+ bx + c = 0 (a ≠ 0) ax

²

+ bx + c = 0 (a ≠ 0)

a

x b

x

¹



²

 

a

x c

x 1 . 2 

Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học – một luật sư và là một nhà chính trị gia nổi tiếng người Pháp ( 1540 – 1603 ).

Ông đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các

hệ số của phương trình bậc hai .

(2)

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

- Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của PT ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

1. HỆ THỨC VI-ÉT:

* Định lí VI-ÉT:

*T.Quát 1: - Nếu PT ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm x₁ = 1 , còn nghiệm kia là

a x

₂

 c

*T.Quát 2: - Nếu PT ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có: a - b + c = 0 thì PT có một nghiệm x₁ = -1 , còn nghiệm kia là

a x

₂

  c

2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

- Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của PT:

x

²

– Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là

S

²

– 4P ≥ 0

Hãy điền vào các chỗ trống (…) để được các khẳng định đúng.

a

x

b

x

¹^ ² ^ ^

a

x

c

x

¹

.

² ^

...

... ...

...

KIỂM TRA BÀI CŨ

(3)

(4)

Bài 1: (Bài tập 29/SGK) :

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) 4x²+ 2x -5 = 0 c) 5x²+ x + 2 = 0

a) 4x²+2x – 5 = 0 (a = 4, b’ = 1, c = -5) Δ’ = b’²- ac = 1²- 4.(-5) = 21 >0

Lời giải ĐL Vi-et: Nếu x₁, x₂ là hai

nghiệm của phương trình

ax

²

+ bx + c= 0 (a ≠ 0)

thì TÓM TẮT KIẾN THỨC:

 

 



1 2

x + x = - b c a x . x =

a

1 2

2 1

4 2

x x b

      a

1 2

5 4 x x c

  a .

c) 5x²+ x + 2 = 0

( a = 5, b = 1, c = 2 )

Δ = b²- 4ac = 1²- 4.5.2 = - 39 < 0

Áp dụng định lí Vi-et :

Phương trình vô nghiệm



Không có tổng và tích hai nghiệm

Tiết 58 LUYỆN TẬP

Khi tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai không chứa tham số ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm hay không

 Ta tính:  (hoặc ’)

 Đặc biệt nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

 Nếu phương trình không có nghiệm thì không có tổng x₁+ x₂ và tích x₁x₂ .

Hướng dẫn

Bước 2: Tính tổng và tích .

 Nếu phương trình có nghiệm thì tính: x₁+ x₂ = ; x₁x₂ = c

a -b

a

(5)

Bài 2 (Bài tập 30) :Tìm giá trị của m để

phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m:

a) x²- 2x + m = 0 (a = 1, b’ = -1, c = m ) Δ’ = b’²- ac = (-1)²- 1.m= 1 - m

Lời giải ĐL Vi-et: Nếu x₁, x₂ là hai

nghiệm của phương trình ax² + bx + c= 0 (a ≠ 0) thì

TÓM TẮT KIẾN THỨC:

1

 m  Theo định lí Vi-et ta có:

Phương trình có nghiệm

 

 



1 2

x + x = - b c a x . x =

a

 



 





 

 



m m x

x

x x

. 1

1 2 ) 2 (

2 1

x² - 2x + m = 0

Xác định các hệ số a, b, c.

Lập hoặc

Phương trình có nghiệm khi nào ? Giải bất phương trình tìm m.

Tính tổng và tích các nghiệm.

'

Tiết 58 LUYỆN TẬP

1. Hệ thức Vi-ét :

 Δ’  0

 1 - m  0



(6)

ĐL Vi-et: Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c= 0 (a ≠ 0) thì

TÓM TẮT KIẾN THỨC:

 

 



1 2

x + x = - b c a x . x =

a

Bài 3 : Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của

phương trình : x

²

– 7x + 12 = 0 Hướng dẫn :

Δ = (-7)

²

– 4.12

= 49 – 48 = 1>0

Theo định lý Vi-ét có :

x

₁

+ x

₂

= 7 và x

₁

.x

₂

= 12

Suy ra : x

₁

= 3; x

₂

=4

hoặc x

₁

= 4; x

₂

= 3

(7)

TỔNG QUÁT

2

x = c a

-

Nếu phương trình ax

²

+ bx + c= 0 (a ≠ 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x

₁

=1, còn nghiệm kia là

Bài 4 : Tính nhẩm nghiệm của các phương trình :

a) 8x²-15x +7 = 0; b) 8x² + 15x + 7 = 0

Lời giải

b)8x² +15x + 7=0 có a=8, b= 15,c = 7 a) 8x²-15x +7 =0 có a=8, b=-15, c=7

=> a - b+ c = 8 – 15 + 7 =0

Vì pt có dạng a + b+c=8+(-15)+7= 0

1 2

1; 7

8 x x c

  a

Vậy nghiệm của phương trình là:

Vậy nghiệm của phương trình là

-

Nếu phương trình ax

²

+ bx + c = 0 (a ≠ 0 ) có a – b +c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x

₁

= -1,còn nghiệm kia là

TÓM TẮT KIẾN THỨC:

2

x = - c a

Tiết 56: LUYỆN TẬP

-

7

1 2

8

x =- 1 ; x = = c -a

(8)

Bài 5 : Tìm hai số u và v, biết:u + v = 5 và u.v = -24

Lời giải

Ta có

u+ v = 5 và u.v= -24

nên

u

và v là hai nghiệm của phương trình:

x

²

- 5x – 24 = 0

Vậy:

u = 8, v = -3

hoặc

u = -3, v = 8

2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình

x

²

– Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là

S

²

-4P ≥0

 

⁵ ² ⁴



 ²⁴



¹²¹ ⁰





11 121 





 TÓM TẮT KIẾN THỨC:

2 3 11 5

2

2 8 11 5

2

2 1



 

 



 

 

 



 



a x b

(9)

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ

ỨNG DỤNG

ĐỊNH LÍ VI-ÉT

X1 + X2 = -b/a

X1.X2 =c/a NHẨM NGHIỆM

PT a + b + c = 0 X1 = 1, X2 = c/a

a - b + c = 0 X1 = -1, X2 = -c/a

X1 + X2 =-b/a,

X1.X2 = c/a ^{X1, X2} TÌM HAI SỐ KHI

BIẾT TỔNG VÀ TÍCH

LẬP PT KHI BIẾT HAI

NGHIỆM CỦA NÓ

(10)

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

TIẾT 58 LUYỆN TẬP

- Học thuộc định lí Vi-ét.

- Nắm vững cách nhẩm nghiệm của phươngtrình ax

²

+ bx + c = 0

- Nắm vững cách tìm hai số biết tổng và tích.

- Xem kĩ các bài tập tiết sau kiểm tra 1 tiết học

- Bài tập về nhà 30b;31;32/54.SGK

(11)

HƯỚNG DẪN BÀI 33/SGK

Áp dụng: a/ 2x² – 5x + 3 = 0 có a + b + c = 0 => x₁ = 1; x₂ = ³₂

=> 2x² – 3x + 5 = 2(x – 1)(x - ) = (x – 1)(2x – 3) ³₂

 

2 2

2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

1 1 2

1 2

. .

( ) ( ).

( )( )

b c

ax bx c a x x

a a

b c

a x x

a a

a x x x x x x a x x x x x x x a x x x x x x a x x x x

 

      

 

   

           

   

   

   

  