Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai I. Lý thuyết
1. Công thức nghiệm
a) Biệt thức
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có biệt thức Δ như sau:
Δ = b2 - 4ac
Ta sửa dụng biết thức Δ để giải phương trình bậc hai.
b) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac + Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là
1 2
b b
x ; x
2a 2a
− + − −
= =
+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là
1 2
x x b
2a
= = −
+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0.
Khi đó ta có Δ = b2 - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
II. Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau a) x2+6x 9+ =0
b) 2x2−6x 1 0+ = c) 2x2 +3x 5 0+ = . Lời giải:
a) x2+6x 9+ =0
+ Tính = b2 −4ac= −62 4.1.9 36 36= − =0
+ Do =0, phương trình có nghiệm kép 1 2 b 6
x x 3
2a 2.1
− −
= = = = − Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-3}.
b) 2x2−6x 1 0+ =
+ Tính = b2 −4ac= −
( )
6 2 −4.1.2=36 8− =28+ Do 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
1
b 6 28 3 7
x 2a 2.2 2
− + + +
= = = ;
2
b 6 28 3 7
x 2a 2.2 2
− − − −
= = = .
Vậy tập nghiệm của phương trình là 3 7 3 7
S ;
2 2
+ −
=
.
c) 2x2 +3x 5 0+ = .
+ Tính = b2 −4ac= −32 4.2.5 9 40= − = −31 + Do 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 2: Phương trình (m–1)x2 + 3x – 1 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
Lời giải:
a)
+ Với a = 0 − = =m 1 0 m 1, phương trình trở thành
3x - 1 = 0 1
3x 1 x
= =3.
Do đó m = 1 thỏa mãn điều kiện phương trình có nghiệm
+ Với a − 0 m 1 0 m 1, phương trình là phương trình bậc hai
Ta có: =b2 −4ac= −32 4. m 1 .
(
−) ( )
−19 4m 4 5 4m
= + − = +
Để phương trình có nghiệm thì 0 4m 5 0
+
4m 5
− m 5
4
−
Kết hợp hai trường hợp ta được m 5
−4 thì phương trình có nghiệm b) Để phương trình vô nghiệm thì 0 4m 5 0+
4m 5 m 5 4
− − .
