Giải SBT Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 20 trang 53 SBT Toán 9 Tập 2: Xác định các hệ số a, b, c ; tính biệt thức Δ rồi tìm nghiệm của các phương trình:

a) 2x² – 5x + 1 = 0 b) 4x² + 4x + 1 = 0 c) 5x² – x + 2 = 0 d) –3x² + 2x + 8 = 0 Lời giải:

a) 2x² – 5x + 1 = 0

Phương trình 2x² – 5x + 1 = 0 có a = 2, b = –5, c = 1 Ta có: Δ = b² – 4ac = (–5)² – 4.2.1 = 25 – 8 = 17 > 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 

1

5 17

b 5 17

x 2a 4 4

  

   

  

 

2

5 17

b 5 17

x 2a 4 4

  

   

  

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 5 17 5 17

4 ; 4

   

 

 

 

 

b) 4x² + 4x + 1 = 0

Phương trình 4x² + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, c = 1 Ta có: Δ = b² – 4ac = 4² – 4.4.1 = 16 – 16 = 0 Phương trình có nghiệm kép:

1 2

b 4 4 1

x x

2a 2.4 8 2

   

     .

Vậy phương trình có tập nghiệm S = 1 2

 

  . c) 5x² – x + 2 = 0

Phương trình 5x² – x + 2 = 0 có a = 5, b = –1, c = 2

Ta có: Δ = b² – 4ac = (–1)² – 4.5.2 = 1 – 40 = –39 < 0 Vậy phương trình vô nghiệm.

d) –3x² + 2x + 8 = 0

Phương trình –3x² + 2x + 8 = 0 có a = –3, b = 2, c = 8 Ta có: Δ = b² – 4ac = 2² – 4.(–3).8 = 4 + 96 = 100 > 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt

 

1

b 2 10 8 4

x 2a 2. 3 6 3

    

   

  

 

2

b 2 10 12

x 2

2a 2. 3 6

     

   

 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 4 3 ;2

 

 

 .

Bài 21 trang 53 SBT Toán 9 Tập 2: Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình:

a) 2x² 2 2x 1 0 

b) ^{2x2  }





c) 1 ² 2

x 2x 0

3   3

d) 3x² 7,9x3,360 Lời giải:

a) Phương trình 2x² 2 2x 1 0  có a = 2; b = –2 2 ; c = 1

Ta có: ^{ b2 4ac}

 

Phương trình có nghiệm kép:

 

1 2

b 2 2 2

x x

2a 2.2 2

  

    .

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 2 2

 

 

 

 

 

b) Phương trình ^{2x2  }









Ta có: ^{ b2 4ac  }_





 

= 1 – 4 4 8 8 2  1 4 28

= 1 + ^{2.2 2}

  







    

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 

1

1 2 2 1 2 2

x b

2a 2.2

 

    

    

 

1 2 2 1 2 2 2 1

2.2 4 2

  

   ;

   

2

1 2 2 1 2 2

x b

2a 2.2

 

    

    

 

1 2 2 1 2 2 2 2

2.2 4 2

   

   

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1

; 2

2

  

 

 

c) Phương trình 1 ² 2

x 2x 0

3   3

x2 6x 2 0

   

Phương trình x² 6x 2 0 có a = 1; b = –6; c = –2.

Ta có: ^{ b2 4ac }

 

 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 

1

6 2 11

b 6 2 11

x 3 11

2a 2.1 2

  

   

    

 

2

6 2 11

b 6 2 11

x 3 11

2a 2.1 2

  

   

    

Vậy tập nghiệm của phương trình ^{S }





d) Phương trình 3x² + 7,9x + 3,36 = 0 có a = 3, b = 7,9, c = 3,36 Ta có: Δ = b² – 4ac = 7,9² – 4.3.3,36 = 62,41 – 40,32 = 22,09 > 0.

Phương trình có hai nghiêm phân biệt:

 

1

7.9 4,7

b 8

x 2a 2.3 15

 

   

   ;

 

2

7.9 4,7

b 21

x 2a 2.3 10

 

   

  

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 8 21 15 10;

  

 

 .

Bài 22 trang 53 SBT Toán 9 Tập 2: Giải phương trình bằng đồ thị:

Cho phương trình 2x² + x – 3 = 0.

a) Vẽ các đồ thị của hai hàm số y = 2x², y = –x + 3 trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho.

c) Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b.

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x² Bảng giá trị

x –2 –1 0 1 2

y = 2x² 8 2 0 2 8

Vẽ đồ thị hàm số y = –x + 3

Cho x = 0 thì y = 3 ⇒ (0; 3) Cho y = 0 thì x = 3 ⇒ (3; 0)

b) Ta có: I(–1,5; 4,5), J(1; 2)

x = –1,5 là nghiệm của phương trình 2x² + x – 3 = 0 vì:

2(–1,5)² + (–1,5) – 3 = 4,5 – 4,5 = 0

x = 1 là nghiệm của phương trình 2x² + x – 3 = 0 vì:

2.1² + 1 – 3 = 3 – 3 = 0

c) Ta có: ∆ = b² – 4ac = 1² – 4.2.(–3) = 1 + 24 = 25 > 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

b 1 25

x 1

2a 2.2

    

   ;

2

b 1 25 3

x 2a 2.2 2

     

  

Kết quả của câu c trùng với kết quả của câu b.

Bài 23 trang 53 SBT Toán 9 Tập 2: Cho phương trình 1 ²

x 2x 1 0

2   

a) Vẽ các đồ thị của hai hàm số y = 1 ²

2x ; y = 2x – 1 trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

Dùng đồ thị tìm giá trị gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

b) Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu a.

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số y = 1 ² 2x Bảng giá trị:

x –2 –1 0 1 2

y = 1 ² 2x

2 1

2

0 1

2

2 Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1

Cho x = 0 thì y = –1 ⇒ (0; –1) Cho y = 0 thì x = 1

2⇒ (1 2; 0)

Dựa vào đồ thị, ta có: x₁ 0,60; x₂ 3,40.

b) Ta có: 1 ²

x 2x 1 0

2   

x2 4x 2 0

   

 

b2 4ac 4 4.1.2 16 8 8 0

          8 2 2

  

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

b 4 2 2

x 2 2 3, 41

2a 2

   

    

2

b 4 2 2

x 2 2 0,59

2a 2

   

    

Kết quả ở câu a trùng với kết quả ở câu b.

Bài 24 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2: Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:

a) mx²– 2(m – 1)x + 2 = 0 b) 3x² + (m + 1)x + 4 = 0 Lời giải:

a) Phương trình mx² – 2(m – 1)x + 2 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi m ≠ 0 và Δ = 0 Ta có: Δ = [–2(m – 1)]² – 4.m.2 = 4(m² – 2m + 1) – 8m

= 4(m² – 4m + 1)

Δ = 0 ⇔ 4(m² – 4m + 1) = 0 ⇔ m² – 4m + 1 = 0 Giải phương trình m² – 4m + 1 = 0. Ta có:

m= (–4)² – 4.1.1 = 16 – 4 = 12 > 0

 

m 1

4 2 3

m b 2 3

2a 2.1

  

  

    ;

m

 

2

4 2 3

m b 2 3

2a 2.1

  

  

    .

Vậy m = 2 3 hoặc m = 2 – 3 thì phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình 3x² + (m + 1)x + 4 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi Δ = 0 Ta có : Δ = (m + 1)² – 4.3.4 = m² + 2m + 1 – 48 = m² + 2m – 47

Δ = 0 ⇔ m² + 2m – 47 = 0

Giải phương trình m² + 2m – 47 = 0. Ta có:

m = 2² – 4.1.(–47) = 4 + 188 = 192 > 0

m 192 8 3

  

m 1

b 2 8 3

m 4 3 1

2a 2.1

    

   

m 2

b 2 8 3

m 4 3 1

2a 2.1

    

    

Vậy với m4 3 1;m   1 4 3 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

Bài 25 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2: Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, tính nghiệm của phương trình theo m:

a) mx² + (2m – 1)x + m + 2 = 0 b) 2x² – (4m + 3)x + 2m² – 1 = 0 Lời giải:

a) mx² + (2m – 1)x + m + 2 = 0 (1)

*Nếu m = 0, ta có (1) ⇔ –x + 2 = 0 ⇔ x = 2

*Nếu m ≠ 0 thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0

Ta có : Δ = (2m – 1)² – 4m(m + 2) = 4m² – 4m + 1 – 4m² – 8m

= –12m + 1

Δ ≥ 0 ⇔ –12m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 1 12 Vậy khi m ≤ 1

12thì phương trình đã cho có nghiệm.

Giải phương trình (1) theo m:

 

1

2m 1 1 2m

b 1 2m 1 2m

x 2a 2.m 2m

   

     

   ;

 

2

2m 1 1 2m

b 1 2m 1 2m

x 2a 2.m 2m

   

     

  

b) 2x² – (4m + 3)x + 2m² – 1 = 0 (2)

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0 Ta có: Δ = [–(4m + 3)]² – 4.2(2m² – 1)

= 16m² + 24m + 9 – 16m² + 8 = 24m + 17 Δ ≥ 0 ⇔ 24m + 17 ≥ 0 ⇔ m ≥ 17

24

 Vậy khi m ≥ – 17

24

 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Giải phương trình (2) theo m

1

b 4m 3 24m 17

x 2a 4

     

  ;

2

b 4m 3 24m 17

x 2a 4

     

  .

Bài 26 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2: Vì sao khi phương trình ax² + bx + c = 0 có các hệ số a và c trái dấu thì nó có nghiệm?

Áp dụng: Không tính Δ, hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:

a) 3x²– x – 8 = 0

b) 2004x² + 2x – 1185 5 = 0

c) 3 2 x² + ( 3 – 2 )x + 2 – 3 = 0 d) 2010x² + 5x – m² = 0

Lời giải:

Khi a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra –ac > 0, suy ra –4ac > 0 Ta có: Δ = b² – 4ac, trong đó b²  0

Nếu –4ac > 0 thì Δ luôn lớn hơn 0.

Khi Δ > 0 nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng :

a) Phương trình 3x² – x – 8 = 0 có:

a = 3, c = –8 nên ac < 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Phương trình 2004x² + 2x – 1185 5 = 0 có:

a = 2004, c = –1185 5 nên ac < 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

c) Phương trình 3 2 x² + ( 3 – 2 )x + 2 – 3 = 0 Ta có: a 3 2;c 2 3 nên ac < 0 (vì 2 3) Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) Phương trình 2010x² + 5x – m² = 0 (1)

*Với m = 0 thì (1) ⇔ 2010x² + 5x = 0: phương trình có 2 nghiệm.

*Với m ≠ 0 ta có: m² > 0, suy ra: –m² < 0 Vì a = 2010 > 0, c = –m² < 0 nên ac < 0 Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài tập bổ sung

Bài 1 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng hai cách (chuyển các số hạng tự do sang vế phải; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

a) 4x² – 9 = 0 b) 5x² + 20 = 0 c) 2x² – 2 + 3 = 0 d) 3x² – 12 + 145 = 0 Lời giải:

a)

Cách 1: 4x² – 9 = 0 4x2 9

 

2 9

x 4

 

x 3

  2

Vậy tập nghiệm của phương trình 3 3

S ;

2 2

  

  

 

Cách 2: 4x² – 9 = 0

 

02 4.4. 9 144 0

     

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

0 12 12 3

x 2.4 8 2

    ;

2

0 12 12 3

x 2.4 8 2

  

  

Vậy tập nghiệm của phương trình 3 3

S ;

2 2

  

  

 

Vậy kết quả của hai cách giống nhau.

b)

Cách 1: 5x² + 20 = 0 ⇔ 5x² = – 20 Vế trái 5x² ≥ 0; vế phải –20 < 0

Không có giá trị nào của x để 5x² = – 20 Phương trình vô nghiệm

Cách 2: 5x² + 20 = 0 02 4.5.20 400 0

     

Do đó phương trình vô nghiệm

Két quả cách 1 và cách 2 là giống nhau.

c)

Cách 1: 2x² – 2 + 3 = 0 2x2 2 3

  

2 2 3

x 2

  

2 3 3 1

x 2 2

2 3 3 1

x 2 2

  

  

 

 

    



Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt Cách 2: 2x² – 2 + 3 = 0

 

02 4.2 2 3 16 8 3

      

   

4 4 2 3 4 3 1 0

    

  



4 3 1 2 3 1

    

 

1

0 2 3 1 3 1

x 2.2 2

  

  ;

 

2

0 2 3 1 3 1

x 2.2 2

   

  .

Vậy kết quả của cách 1 và cách 2 giống nhau.

d) Cách 1: 3x² – 12 + 145 = 0 3x2 12 145

  

2 12 145

x 3

  

Vì 12 = 144 mà 12 145

144 145 0

3

   

Do đó phương trình vô nghiệm Cách 2: 3x² – 12 + 145 = 0

   

02 4.3. 12 145 12 145 12

       

Vì ^{145 12   0 12}





  0. Do đó phương trình vô nghiệm Kết quả câu a và câu b giống nhau.

Bài 2 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau bằng hai cách (phương trình tích; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được:

a) 5x² – 3x = 0 b) 3 5 x² + 6x = 0 c) 2x² + 7x = 0 d) 2x² – 2 x = 0 Lời giải:

a) Cách 1: 5x² – 3x = 0

 

x 5x 3 0

  

x 0 5x 3 0

 

   

x 0 5x 3

 

   x 0 x 3

5

 



 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 3 S 0;

5

 

  

  Cách 2: 5x² – 3x = 0

 

     

9 3

  

1

3 3 6 3

x 2.5 10 5

   

2

3 3 0

x 0

2.5 10

   

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 3 S 0;

5

 

  

  Kết quả tìm được ở hai cách giống nhau.

b)

Cách 1: 3 5x² 6x0

 

3x 5x 2 0

  

3x 0 5x 2 0

 

    x 0

5x 2

 

   

x 0

2 2 5

x 5 5

 

    



Vậy tập nghiệm của phương trình S = 2 5 5 ;0

 

 

 

 

 . Cách 2: 3 5x² 6x0

62 4.3. 5.0 36 0

    

1

x 6 6 0

2.3 5

  

2

6 6 12 2 5 x 2.3 5 6 5 5

   

   .

Vậy tập nghiệm của phương trình S = 2 5 5 ;0

 

 

 

 

 .

Kết quả tìm được ở hai cách giống nhau.

c) Cách 1: 2x² 7x0

 

x 2x 7 0

  

x 0 2x 7 0

 

   

x 0 2x 7

 

    x 0 x 7

2

 

  



Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 7 2 ;0

 

 

 

Cách 2: 2x² 7x0 72 4.2.0 49 0

    

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

7 49

x 0

2.2

   

2

7 49 14 7

x 2.2 2 2

   

  

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 7 2 ;0

 

 

 

d) Cách 1: 2x² – 2 x = 0

 

x 2x 2 0

  

x 0

2x 2 0

 

    x 0

2x 2

 

  

x 0 x 2

2

 

  



Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 2 0; 2

 

 

 

 

 

Cách 2: 2x² – 2 x = 0

 

    

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

2 2 2

x 2.2 2

   ;

2

2 2 0

x 0

2.2 2

   

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 2 0; 2

 

 

 

 

 

Kết quả hai cách làm giống nhau.

Bài 3 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình a) x² 14 5x

b) 3x² 5x x² 7x2 c)





d)













5 1 5 2

  

  

Lời giải:

a) x² 14 5x x2 5x 14 0

   

 

52 4.1. 14 25 56 81 0

        81 9

  

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

b 5 9

x 2

2a 2.1

    

   ;

2

b 5 9

x 7

2a 2.1

    

   

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =





b) 3x² 5x x² 7x2

2 2

3x 5x x 7x 2 0

     

2x2 2x 2 0

   

x2 x 1 0

   

 

         Phương trình vô nghiệm.

c)





x2 4x 4 2x 3131 0

     

x2 6x 3127 0

   

 

62 4.1. 3127 36 12508 12544 0

       

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

6 112 106

x 53

2.1 2

     ;

2

6 112 118

x 59

2.1 2

  

   

Vậy tập nghiệm của phương trình là ^{S }





d)













5 1 5 2

  

  

 

 

 

2 x 3 10 2 3x 1 5x 2x 3

10 10 10 10

  

   



 

  

2 x 6x 9 10 2 9x 6x 1 5x 2x 3

        

2 2 2

2x 12x 18 10 18x 12x 2 10x 15x

        

26x2 39x 26 0

   

2x2 3x 2 0

   

 

 

        > 0

1

b 3 25

x 2

2a 2.2

   

   ;

2

b 3 25 1

x 2a 2.2 2

    

  

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1

S ;2

2

 

  

 .

Bài 4 trang 55 SBT Toán 9 Tập 2: Chứng minh rằng nếu phương trình ax² + bx + c = x (a ≠ 0) vô nghiệm thì phương trình a(ax² + bx + c)² + b(ax² + bx + c) + c = x cũng vô nghiệm.

Lời giải:

Đặt f(x) = ax² bxc

Phương trình ax² bxc = x ( a 0) vô nghiệm





    





  

 

4ac b 1 0

   

 

 

f x x ax b 1 x c

     

2 b 1 c

a x x

a a

  

    

  



2 b 1 b 1 b 1 c

a x 2. x

2a 4a 4a a

    

      

 

 

 

2

2

4ac b 1 a x b 1

2a 4a

     

     

 

 

 

Vì ²

 

2

4ac b 1 x b 1

2a 4a

 

    

 

  > 0 ^{f x}

 

Nếu a > 0 ^{f x}

 

 

 

   

a f x bf x c f x x

       với mọi x

Vậy không có giá trị nào của x để a^_^{f x}

 

 

 

   

a f x bf x c f x x

       với mọi x

Vậy không có giá trị nào của x để ^{a f x}_

 

 

Vậy phương trình ^{a ax}







