Giải SBT Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 16 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) 4x 5y 3 x 3y 5

 

  



b) 7x 2y 1 3x y 6

 

  



c) 1,3x 4,2y 12 0,5x 2,5y 5,5

 

  



d) ^{5x y 5}





2 3x 3 5y 21

   



  

 Lời giải:

a) 4x 5y 3 x 3y 5

 

  



4x 5y 3 x 3y 5

 

   

 

4 3y 5 5y 3 12y 20 5y 3 x 3y 5

x 3y 5

       

     

 

y 1

17y 17

x 3. 1 5 x 3y 5

  

  

      

x 5 3 x 2

y 1 y 1

  

 

     

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -1).

b) 7x 2y 1 3x y 6

 

  



7x 2y 1 y 3x 6

 

    

 

7x 2 3x 6 1 7x 6x 12 1

y 3x 6 y 3x 6

        

      

13x 13 x 1 x 1

y 3x 6 y 3.1 6 y 3

  

  

         

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 3) c) 1,3x 4,2y 12

0,5x 2,5y 5,5

 

  



1,3x 4,2y 12 x 5y 11

 

   

 

1,3 5y 11 4,2y 12 1,3x 4,2y 12

x 5y 11 x 5y 11

    

 

       

6,5y 14,3 4,2y 12 x 5y 11

   

    

2,3y 2,3

x 5y 11

  

    

x 5.1 11 x 6

y 1 y 1

   

 

   

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (6; 1).

d) ^{5x y 5}





2 3x 3 5y 21

   



  



 

 

y 5x 5 3 1

2 3x 3 5 5x 5 3 1 21

   

     

  



 

 

y 5x 5 3 1

2 3x 15x 15 3 1 21

   

 

   



 

 

y 5x 5 3 1

2 3 15 x 6 15 3

   

 

  



 

y 5x 5 3 1

6 15 3 x 2 3 15

   

   

 

 

x 3

y 5. 3 5 3 1

 

    

x 3

y 5

 

  

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =





Bài 17 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình:

a) 1,7x 2y 3,8 2,1x 5y 0,4

 

  



b)





x 2y 6 2 5

    



   

 Lời giải:

a) 1,7x 2y 3,8 2,1x 5y 0,4

 

  



1,7x 3,8

y 2

1,7x 3,8

2,1x 5. 0,4

2

  

    



 

1,7x 3,8

y 2

4,2x 5 1,7x 3,8 0,8

  

 

   



1,7x 3,8

y 2

4,2x 8,5x 19 0,8

  

 

   

 1,7x 3,8

y 2

12,7x 19,8

  

 

 



198 198

x

x 127 127

73 1,7x 3,8

y

y 2 127



   

 

     

Vạy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = 198 73 127 127;

  

 

 

b)





x 2y 6 2 5

    



   



 

y 3 5 5 2 x

x 2y 6 2 5

    

 

   



 

 

y 3 5 5 2 x

x 2 3 5 5 2 x 6 2 5

    

 

 

      

  



 

 

y 3 5 5 2 x

x 6 2 5 2 5 4 x 6 2 5

    

 

      



 

 

y 3 5 5 2 x

x 2 5 5 0

    

 

  



 

x 0

y 3 5 5 2 .0

 

      x 0

y 3 5

 

   

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =





Bài 18 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giá trị của a và b:

a) Để hệ phương trình ^3ax





bx 4ay 3

   

   

 có nghiệm là (x; y) = (1; -5) b) Để hệ phương trình

 

 

a 2 x 5by 25 2ax b 2 y 5

  

   

 có nghiệm là (x; y) = (3; -1) Lời giải:

a) Thay x = 1; y = -5 vào hệ phương trình ta được

   

 

3a.1 b 1 . 5 93 b.1 4a. 5 3

   

    



3a 5b 5 93 b 20a 3

  

    

 

3a 5. 20b 3 88 3a 5b 88

b 20a 3 b 20a 3

   

 

     

103a 103 b 20a 3

 

   

a 1 a 1

b 20.1 3 b 17

 

 

    

Vậy khi a = 1; b = 17 thì hệ phương trình ^3ax





bx 4ay 3

   

   

 có nghiệm là (x; y) = (1; - 5).

b) Thay x = 3; y = -1 vào hệ phương trình ta được:

   

   

a 2 .3 5b 1 25 3a 6 5b 25 6a b 2 5 2.a.3 b 2 . 1 5

   

    

 

        



3a 5b 31 3a 5b 31

6a b 7 b 6a 7

   

 

      

 

3a 5 6a 7 31 3a 30a 35 31 b 6a 7

b 6a 7

        

      

33a 66 a 2 a 2

b 6a 7 b 6.2 7 b 5

  

  

          

Vậy với a = 2, b = -5 thì hệ phương trình

 

 

a 2 x 5by 25 2ax b 2 y 5

  

   

 có nghiệm là (x;y) = (3; - 1)

Bài 19 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giá trị của a và b để hai đường thẳng (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 và (d2): ^1ax





2    cắt nhau tại điểm M(2; -5) Lời giải:

Hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm M(2; -5) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình

 

 

3a 1 x 2by 56 1ax 3b 2 y 3 2

  



   

 .

Thay x = 2; y = -5 vào hệ ta được:

   

   

3a 1 .2 2b. 5 56 1a.2 3b 2 . 5 3 2

   



    



6a 2 10b 56 a 15b 10 3

  

    

6a 10b 58 a 15b 7

 

    

 

a 15b 7

6. 15b 7 10b 58

  

     

a 15b 7 a 15b 7

90b 42 10b 58 100b 100

     

 

     

 

a 15. 1 7

a 15b 7

b 1 b 1

    

  

     

a 8

b 1

 

   

Vậy khi a = 8; b = -1 thì hai đường thẳng (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 và (d2):

 

1ax 3b 2 y 3

2    cắt nhau tại điểm M(2; -5).

Bài 20 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm a và b để:

a) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3), 3 B ; 1

2

  

 

 

b) Đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17, (d2): 4x – 10y = 14.

Lời giải:

a) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3), 3 B ; 1

2

  

 

 nên tọa độ của A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng ta được: 3 = -5a + b (1) Thay tọa độ điiểm B vào đường thẳng ta được: 3

1 a b

 2  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

5a b 3 3a b 1 2

  



   



5a b 3

5a b 3

3a b 1 3a 2b 2

2

  

   

 

       



 

b 3 5a b 3 5a

3a 2 3 5a 2 3a 2b 2

  

  

       

b 3 5a b 3 5a

3a 6 10a 2 13a 8

   

 

       

8 8

a a

13 13

8 1

b 3 5. b

13 13

 

   

 

 

      

Vậy khi 8 1

a ;b

13 13

 

  thì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3); 3 B ; 1

2

  

 

 . Đường thẳng cần tìm là 8 1

y x

13 13

   .

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17, (d2): 4x – 10y = 14 là nghiệm của hệ phương trình: 2x 5y 17

4x 10y 14

 

  



Ta có: 2x 5y 17 2x 5y 17 4x 10y 14 2x 5y 7

   

 

     

 

2x 5y 17 x 5y 7

2

 



   

2x 5y 17 x 5y 7

2

 



   

2 5y 7 5y 17 2

x 5y 7 2

     

  

   

5y 7 5y 17 10y 10

5y 7 5y 7

x x

2 2

   

 

 

     

5y 7 5.1 7

x 6

x x

2 2

y 1 y 1 y 1

 

     

 

      Khi đó hai đường thẳng cắt nhau tại N(6; 1)

Đường thẳng ax - 8y = b đi qua điểm M(9; -6) và N(6; 1) nên có tọa độ của M và N là nghiệm đúng của phương trình đường thẳng:

Điểm M: 9a + 48 = b Điểm N: 6a – 8 = b

Khi đó ta có hệ phương trình 9a 48 b 9a 48 6a 8 3a 56

6a 8 b 6a 8 b 6a 8 b

      

  

 

        

  

a 56

56 56

a 3 a

3 3

6. 56 8 b

6a 8 b b 120

3

  

 

    

  

          

Vậy khi a = 56 3

 ; b = -120 thì đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6); N(6; 1) là giao điểm của hai đường thẳng d1; d2.

Bài 21 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giá trị của m:

a) Để hai đường thẳng (d1): 5x – 2y = 3; (d2): x + y = m cắt nhau tại một điểm trên trục Oy. Vẽ hai đường thẳng này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Để hai đường thẳng (d1): mx + 3y = 10; (d2): x – 2y = 4 cắt nhau tại một điểm trên trục Ox. Vẽ hai đường thẳng này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a) Giả sử hai đường thẳng (d1): 5x – 2y = 3; (d2): x + y = m cắt nhau tại điểm A(x, y).

Vì giao điểm A nằm trên trục Oy nên x = 0. Suy ra: A(0; y).Khi đó điểm A(0; y) là nghiệm của hệ phương trình: 5x 2y 3

x y m

 

  



Ta có:

3 y 3

5.0 2y 3 y 2

0 y m 2 3

y m m

2

 

 

 

  

  

     

    

Vậy khi m = 3 2

 thì

 

 

Phương trình đường thẳng

 

d : x y 3 2

 

Vẽ

 

Cho x = 0 thì y = 3 3

2 0; 2

   

Cho y = 0 thì x = 3 3 5 5;0

 

  

Vẽ

 

y 0;

2 2

   

    Cho y = 0 thì 3 3

x ;0

2 2

  

   

b) Giả sử hai đường thẳng (d1): mx + 3y = 10; (d2): x – 2y = 4 cắt nhau tại điểm B(x, y).

Vì điểm B nằm trên trục Ox nên y = 0 ⇒ B( x, 0).

Khi đó điểm B(x; 0) là nghiệm của hệ phương trình:

10 5

mx 3y 10 mx 10 m m

x 2

x 2y 4 x 4

x 4 x 4

 

    

   

      

     

Vậy khi m = 5

2 thì

 

 

Phương trình đường thẳng

 

d : x 3y 105 5x 6y 20

2     

Vẽ

 

Cho x = 0 thì y = 10 10 3 0; 3

 

   Cho y = 0 thì x = 4 ^

 

Vẽ d ₂

Cho x = 0 thì y = -2 ^





Cho y = 0 thì x = 4 ^

 

Bài 22 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

a) (d1): 5x – 2y = c và (d2): x + by = 2, biết rằng (d1) đi qua điểm A(5; -1) và (d2) đi qua điểm B(-7; 3).

b) (d1): ax + 2y = -3 và (d2): 3x – by = 5, biết rằng (d1) đi qua điểm M(3; 9) và (d2) đi qua điểm N(-1; 2).

Lời giải:

a) Đường thẳng (d1): 5x – 2y = c đi qua điểm A(5; -1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: 5.5 – 2.(-1) = c ⇔ 25 + 2 = c ⇔ c = 27 Phương trình đường thẳng (d1): 5x – 2y = 27

Đường thẳng (d2): x + by = 2 đi qua điểm B(-7; 3) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: -7 + 3b = 2 ⇔ 3b = 9 ⇔ b = 3 Phương trình đường thẳng (d2): x + 3y = 2

Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình: 5x 2y 27 x 3y 2

 

  



 

5 3y 2 2y 27 5x 2y 27

x 3y 2 x 3y 2

    

 

       

15y 10 2y 27 17y 17 y 1

x 3y 2 x 3y 2 x 3y 2

       

  

           

 

y 1 x 5

z 3. 1 2 y 1

    

       

Vậy tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là (5; -1).

b) Đường thẳng (d1): ax + 2y = -3 đi qua điểm M(3; 9) nên tọa độ điểm M nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: a.3 + 2.9 = -3 ⇔ 3a + 18 = -3 ⇔ 3a = -21 ⇔ a = -7 Phương trình đường thẳng (d1): -7x + 2y = -3

Đường thẳng (d2): 3x – by = 5 đi qua điểm N(-1; 2) nên tọa độ điểm N nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: 3.(-1) – b.2 = 5 ⇔ -3 – 2b = 5 ⇔ 2b = -8 ⇔ b = -4 Phương trình đường thẳng (d2): 3x + 4y = 5

Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình: 7x 2y 3 3x 4y 5

   

  



Ta có:

y 7x 3

7x 2y 3 2

11 3x 4y 5

x 17

  

    

 

   

  



11 11

7. 3

17 x

y 17

2 13

11 y

x 17

17

  

   

 

 

   

 



Vậy tọa độ giao điểm của

   

 

 

 

Bài 23 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình:

a)

     

     

x 3 2y 5 2x 7 y 1 4x 1 3y 6 6x 1 2y 3

    

     



b)

     

     

x y x 1 x y x 1 2xy

y x y 1 x y y 2 2xy

     

      



Lời giải:

a)

     

     

x 3 2y 5 2x 7 y 1 4x 1 3y 6 6x 1 2y 3

    

     



2xy 5x 6y 15 2xy 2x 7y 7 12xy 24x 3y 6 12xy 18x 2y 3

      

         7x 13y 8

7x 13y 8

42x 3

42x 5y 3 y

5

 

  

 

      42x 3

35x 546x 39 40

7x 13. 8

5 42x 3

42x 3 y

y 5

5

       

 

     

511x 79 x 79 42x 3 511

42x 3

y 5 y

5

 

  

 

 

     

x 79 79

511 x 79 511

51

42. 3

511 y

y 73

5

   

  

 

      



Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = 79 51 511 73;

 

 

 

 

b)

     

     

x y x 1 x y x 1 2xy

y x y 1 x y y 2 2xy

     

      



2 2

2 2

x x xy y x x xy y 2xy

y y xy x y 2y xy 2x 2xy

       

         

x y x y 2x 0 x 0

y x 2y x 3y 0 y 0

     

  

        

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (0; 0)

Bài 24 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:

a)

1 1 4

x y 5

1 1 1

x y 5

  



  



b)

15 7 x y 9 4 9 x y 35

  



  



c)

1 1 5

x y x y 8

1 1 3

x y x y 8

  

  

 

  

  



d)

4 5

2x 3y 3x y 2

3 5

3x y 2x 3y 21

   

  



  

  



e)

7 5

x y 2 x y 1 4,5

3 2

x y 2 x y 1 4

  

    



  

    

 Lời giải:

a)

1 1 4

x y 5

1 1 1

x y 5

  



  



. Đặt

1 a x 1 b y

 

 



(điều kiện x 0;y 0)  khi đó phương trình trở thành

4 4 1 4

a b a b b b

5 5 5 5

1 1 1

a b a b a b

5 5 5

         

  

  

  

        

  

  

3 3 1

2b b a

5 10 2

1 3 1 3

b

a b a

10

5 10 5

     

  

  

  

       

  

 

Khi đó ta được:

1 1

x 2 x 2

1 3 y 10 y 10 3

   

 

  

  



(thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = 10 2; 3

 

 

 .

b)

15 7 x y 9 4 9 x y 35

  



  



. Đặt

1 a x 1 b y

 

 



(điều kiện x 0;y 0)  khi đó phương trình trở thành

15a 9

15a 9 b

15a 7b 9 b 7

4a 9b 35 7 15a 9

4a 9b 35 4a 9. 35

7

 

 

 

  

  

     

      

15a 9 15a 9

b b

7 7

15a 9 135 81

4a 9. 35 4a a 35

7 7 7

 

   

 

 

       

15a 9

a 2

b 7 a 2

15.2 9

163 326 b b 3

a 7

7 7

    

  

  

     

  



Khi đó ta được:

1 1

2 x

x 2

1 1

3 y

y 3

   

 

 

 

   

 



(thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

 

2 3

 

  

c)

1 1 5

x y x y 8

1 1 3

x y x y 8

  

  

 

  

  



. Đặt

1 a

x y

1 b

x y

 

 

 

 

( điều kiện x y) khi đó phương trình trở thành

5 5 3 5

a b a b b b

8 8 8 8

3 3 3

a b a b a b

8 8 8

         

  

  

   

        

  

  

8 1

2b b

8 2

3 1

a a b

8 8

   

 

 

 

    

 



. Khi đó ta được

1 1

x y 8 x y 8

x y 8

1 1 x y 2 x y 2

x y 2

 

       

  

      

 

 

y 2 y 8 2y 6 x y 2 x 5

x y 2 x y 2 y 3 y 3

      

   

  

         

   

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (5; 3)

d)

4 5

2x 3y 3x y 2

3 5

3x y 2x 3y 21

   

  



  

  



. Đặt

1 a

2x 3y

1 b

3x y

 

 



 

 



(điều kiện 2x 3y 0;3x y 0)    . Khi đó phương trình trở thành:

4a 5b 2 3b 5a 21

  

  



5a 21

4a 5b 2 4a 5. 2

5a 21 3

5a 21

b 3 b

3

 

     

 

 

     

37a 105 6 37a 111

5a 21 5a 21

b b

3 3

    

 

 

     

a 3

5a 21

b 3

  

   

 

a 3

a 3

5. 3 21

b 2

b 3

     

      .

Khi đó ta được:

1 3 2x 3y 1

2x 3y 3

1 1

2 3x y

3x y 2

      

  

 

 

    

  



1 1

1 2x 3 3x

2x 3y

2 3

3

1 1

y 3x y 3x

2 2

 

  

       

   

 

     

 

 

1 3 7

2x 9x 11x

3 2 6

1 1

y 3x y 3x

2 2

      

 

 

 

     

 

 

7 7

x x

66 66

1 7 2

y 3. y

2 66 11

   

 

 

 

    

 



(thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình

 

66 11

 

  .

e)

7 5

x y 2 x y 1 4,5

3 2

x y 2 x y 1 4

  

    



  

    



. Đặt

1 a

x y 2

1 b

x y 1

 

  



 

  



(điều kiện x y 2 0;x y 1 0)      Khi đó hệ phương trình trở thành:

7a 5b 4,5 7a 5.4 3a 4,5 4 3a 2

b 4 3a 2 b

2

 

   

 

 

    

  

 

14a 20 15a 9 29a 29 a 1

4 3a 4 3a 4 3a

b b b

2 2 2

    

  

  

        

a 1 a 1

4 3.1 1

b b

2 2

 

 

 

    

khi đó ta được

1 1

x y 2 1 x y 2

1 1 x y 1 2

x y 1 2

 

      

 

    

 

  



x y 1 x y 1 x y 1

x y 3 x y 3 y 1 y 3

      

  

         

x y 1 x y 1 x 2 1 x 1

2y 4 y 2 y 2 y 2

      

   

        (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = (1; 2).

Bài tập bổ sung

Bài 1 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm a và b để hệ ax by 17 3bx ay 29

 

   

 có nghiệm là (x;

y) = (1; 4)

Lời giải:

Gọi cặp (x; y) = (1; -4) là nghiệm của hệ phương trình. Thay x = 1; y = -4 vào hệ phương trình ta có:

 

a 4b 17 a 4b 17

3b 4 4b 17 29 3b 4a 29

 

  

 

        

 

a 4b 17 a 4b 17

3b 16b 68 29 13b 39

   

 

      

a 4b 17 a 5

b 3 b 3

  

 

     

Vậy a = 5 và b = -3 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; -4).

Bài 2 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Giải hệ phương trình:

  

2x y 5

x y 2 x 2y 5 0

  

     



Lời giải:

  

2x y 5

x y 2 x 2y 5 0

  

     



Ta đưa về giải hai hệ phương trình: 2x y 5 x y 2 0

  

   

 hoặc 2x y 5

x 2y 5 0

  

   

 Giải hệ 2x y 5

x y 2 0

  

   



y 2x 5 y 2x 5

x 2x 5 2 0 3x 3 0

   

 

       

y 2x 5 x 1 x 1

3x 3 y 2.1 5 y 3

   

  

        Giải hệ 2x y 5

x 2y 5 0

  

   



 

y 2x 5

x 2 2x 5 5 0

 

     

x 4x 10 5 0 5x 15 0 5x 15

y 2x 5 y 2x 5 y 2x 5

      

  

        

x 3 x 3

y 2.3 5 y 1

 

 

    

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm



 





  