của phương trình 1 chính là hoành độ

TỔ TOÁN Giải Tích 12

Chủ đề: Ôn tập chương I

(tiết 5)

ÔN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ

• Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đồ thị (𝐶₁) và 𝑦 = 𝑔(𝑥) có đồ thị (𝐶₂).

• Phương trình hoành độ giao điểm của (𝐶₁) và (𝐶₂) là phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 1 .

• Nghiệm 𝑥

của phương trình 1 chính là hoành độ 𝑥

của giao điểm.

• Để tính tung độ 𝑦

của giao điểm, ta thay hoành độ 𝑥

vào 𝑦 = 𝑓 𝑥 hoặc 𝑦 = 𝑔 𝑥 .

• Điểm 𝑀 𝑥

; 𝑦

là giao điểm của (𝐶

) và (𝐶

).

Câu 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑥

+ 4𝑥

có đồ thị 𝐶 . Tìm số giao điểm của đồ thị 𝐶 và trục hoành.

Ⓐ . 3 . Ⓑ .2. Ⓒ . 1 . Ⓓ . 0 .

 Lời giải

• Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 𝐶 là

• 𝑥

+ 4𝑥

= 0 ⇔ 𝑥 = 0

• Vậy đồ thị 𝐶 cắt trục hoành tại một điểm.

Câu 2: Gọi 𝑀, 𝑁 là các giao điểm của hai đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 2 và 𝑦 =

𝑥+2

. Gọi 𝐼 là trung điểm của đoạn thẳng 𝑀𝑁. Tìm hoành độ điểm 𝐼 .

Ⓐ . 7. Ⓑ . 3. Ⓒ .

2

. Ⓓ .

2

.

Lời giải

• 𝑥 − 2 = ^7𝑥−14

𝑥+2 ⇔ 𝑥² − 7𝑥 + 10 = 0

• ⇔ ቈ𝑥 = 5

𝑥 = 2 ⇒ 𝑀 2; 0 ; 𝑁 5; 3 .

• Do 𝐼 là trung điểm của đoạn thẳng 𝑀𝑁 nên

• Ta có 𝑥_𝐼 = ^{𝑥𝑀+𝑥𝑁}

2 = ²⁺⁵

2 = ⁷

2.

Câu 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 𝑚 để phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑚 + 2 có bốn nghiệm phân biệt.

Ⓐ .−4 < 𝑚 < −3.

Ⓑ . −4 ≤ 𝑚 ≤ −3.

Ⓒ . −6 ≤ 𝑚 ≤ −5 .

Ⓓ . −6 < 𝑚 < −5.

 Giải

• Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy 2 đồ thị hàm số có 4 giao điểm

• ⇔ −4 < 𝑚 + 2 < −3 ⇔ −6 < 𝑚 < −5

ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

• Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M(x_o; y_o) (C) là:

• y = f’(x_o)(x – x_o) + y_o,

k = f’(x_o) là hệ số góc của tiếp tuyến; M(x_o ; y_o) là tiếp điểm

• Chú ý:

• + Cho x_o : thay vào hàm số và y’  y_o, f’(x_o).

• + Cho y_o : thay vào hàm số  x_o f’(x_o)

• + Cho k_tt : Giải phương trình k_tt = f’(x_o)  x_o y_o.

• Nếu tt tiếp tuyến // (d) thì k_tt = k_d.

• Nếu tt ⊥ d thì k_tt.k_d = -1.

Câu 1: Cho hàm số y = x³ – x² + 5 đồ thị (C)

Viết ph.trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = – 2

Giải:

• x₀ = – 2

• y₀ = – 3

• y’ = x² – 3x  y’( x₀ ) = y’( – 2 ) = 9

• Pttt của (C) là: y = 9(x + 2 ) + (– 3 ) hay y = 9x + 15.

Câu 2: Cho hàm số y = x⁴ + 2x² – 1 đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 2

Giải:

• y₀ = 2

• Ta có : x⁴ + 2x² – 1 = 2  x⁴ + 2x² – 1 = 2

•  x⁴ + 2x² – 3 = 0  x =  1

• y’ = 4x³ + 4x

• Với x₀ = 1 , y₀ = 2 , y’( 1 ) = 8

Pttt: y = 8( x – 1 ) + 2 hay y = 8x – 6

• Với x₀ = – 1 , y₀ = 2 , y’( – 1 ) = – 8

Pttt: y = – 8 ( x + 1 ) + 2 hay y = – 8x – 6

Câu 3: Cho hàm số y = x³ + 3x² – 6x + 1 đồ thị (C) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3

• Giải:

• y’ = 3x² + 6x – 6

• Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm, ta có y’(x₀) = 3

• 3x₀² + 6x₀ – 6 = 3  3x₀² + 6x₀ – 9 = 0

•  Với x₀ = 1 , y₀ = – 1 , y’( 1 ) = 3

Pttt của ( C ) là: y = 3( x – 1 ) + ( – 1 ) hay y = 3x – 4

• Với x₀ = – 3 , y₀ = 19 , y’( – 3 ) = 3 Pttt của ( C ) là : y = 3( x + 3 ) + 19 hay y = 3x + 2

Câu 4: Cho hàm số y = x³ + 3x² – 6x -1

Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó có hệ số góc nhỏ nhất

• Giải:

• y’ = 3x² + 6x – 6

• y’= 3(x+1)² – 9

• => y’đạt GTNN =-9 khi x = -1

Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến =-9

Điểm thuộc đồ thị mà tại đó tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là (-1; 7)

Sự tiếp xúc của hai đường cong

Gọi : (C₁) ; (C₂) là đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g (x) Cách tìm tiếp điểm của (C1) ; (C2)

PHƯƠNG PHÁP

1 ; 2

( )C (C ) tiếp xúc nhau  Hệ phương trình : ( ) ( )

( ) ' )

' (

x x

x x

g g f

f

 =

 =



có nghiệm

( Nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong )

Sự tiếp xúc của hai đường cong

Bài tập áp dụng : 1. Hai đường cong

3 2

; 1

y = x − x y = x −

Hướng dẫn ^:

1) Hoành độ tiếp điểm của 2 đường là nghiệm của hệ pt :

3 2 3 2

2 2

1 1 0 (1)

1 0

3 1 2 3 2 1 0 (2)

x x x x x x

x y

x x x x

 − = −  − − + =

  =  =

 

− = − − =

 

Vậy hai đường cong tiếp xúc nhau tại điểm M(1;0)

( )

' 1 2 kttcM = y =

2) Hệ số góc của của tiếp tuyến chung tại M:

Phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tại M là y = 2x - 2