-1 Số nghiệm của phương trình f x 22x 2 là A

(1)

BÀI TOÁN ĐẾM SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH – 23-7-2020 Câu 1 . Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

xác định trên R và có bảng biến thiên như sau

x  -1 1 

y  0  0 

y 1 

 -1 Số nghiệm của phương trình ^{f x}



²^²^x



^²^là

A. 4 . B. 2 C. 3 D. 8

Câu 2. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

Số nghiệm thuộc đoạn

 

^0;^ của phương trình ^{f f c}

 

^os2^x

 

^⁰^là

A. 4 . B. 2 C. 3 D. 8

Câu 3. Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn

 

1;3 và có bảng biến thiên như sau:

Tổng tất cả các số nguyên m để phương trình ( 1) ₂

6 12

    f x m

x x có hai nghiệm phân biệt trên đoạn

 

^{2;4 bằng}

A. 75. B. 72. C. 294. D. 297.

 

có bảng biến thiên như sau:



^0;2^



của phương trình ³^f



^{sin 2}^x



^{ }^{2 0}^là:

A. 7. B. 8. C. 5. D. 6.

Câu 5. Cho hàm số y f x( )ax³bx²cx d a ( 0)có đồ thị như hình vẽ. Phương trình ( ( )) 0

f f x  có bao nhiêu nghiệm thực?

–∞ 0 +∞

+ 0 – 0 + 0 –

1

0

1

(2)

A. 3. B.7. C.9. D.5. Câu 6 . Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ và lim

x y

  . Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình ^{f f}

 

^{cos 2}^x

 

^⁰^?

A. 3. B.4. C.2. D.1.

 

có đồ thị như hình vẽ:

Khi đó phương trình ⁴^f

 

³^x⁴ ^{ }^{3 0} có bao nhiêu nghiệm dương?

A. 2. B. 4. C. 5. D. 1.

 

Phương trình ^²^f



^cos^x



^{ }^{1 0} có bao nhiêu nghiệm trong đoạn



^^{ }^;2



đồng thời tanx0

?

A. 3 . B. 4. C. 5. D. 6.

Câu 9. [2D1-5.3-3] Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị như hình vẽ.

(3)

Số nghiệm của phương trình ²^f



^sin^x



^{ }^{1 0} trên đoạn 5 2 2;

 

 

  là

A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6.

 



^0;5^



của phương trình ^f



^cos^x



^¹

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Câu 11. Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên ^{\ 0}

 

và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Số nghiệm của phương trình ³ ^f



²^x^{ }¹



^{10 0}^ ^là.

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

 

liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ

Tập hợp các giá trị m để phương trình ^f



^{cos 2}^x



^²^m^{ }^{1 0} có nghiệm thuộc khoảng 3 4;

 

 

 

 ^là:

A. 1 0;2

 

 

  ^B.

0;1 2

 

 

  C. 1 1

4 2;

 

 

  D. 2 2 1;

4 4

  

 

 

Câu 13: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình



^{3 2}

  

¹

f  f x  có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

 

y f x 

O

1

1 1

1 x y

(4)

A. . B. . C. . D. . Câu 14. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 



^^{ }^{; 2}



của phương trình ²^f



^cos^x



^{ }^{1 0}^là:

A. 7. B. 4. C. 5. D. 6.

 

Số nghiệm của phương trình ^f



³^x⁴^⁶^x²^{ }^{1 1}



^là

A. 4. B. 5. C. 6. D. 3.

 

Số nghiệm thuộc đoạn 7 0; 3



 

 

  của phương trình ^{2. cos}^f



^x



^{ }^{5 0} là

6 5 7 4

(5)

A. 8. B. 7. C. 5. D. 6. Câu 17 . Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thuộc [ ; 2 ]

 2

 của phương trình (s inx) 1 0f   là

A. 3. B. 6. C. 4 . D. 5.

Câu 18. Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f( 4x²)m có hai nghiệm phân biệt

A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .

 

^^ax³^^bx²^^{bx c}^ có đồ thị như hình vẽ:

Số nghiệm nằm trong 9 2 ; 2

 

 

 

  của phương trình ^f



^cos^x^{ }¹



^cos^x^¹^là

(6)

A. 6. B. 10. C. 4. D. 8.

 



^0;5^





^sin^x



^¹^là

A. 6. B. 4. C. 10. D. 8.

 

liên tục trên  có đồ thị ^y^ ^{f x}

 

như hình vẽ dưới đây.

Số nghiệm thực của phương trình ^f



⁴^ ^f

 

²^x



^²^là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

 

Số nghiệm nhiều nhất thuộc đoạn 3 0; 2

 

 

 

 của phương trình ^f



^2cos^x^{ }¹



⁰^là:

(7)

A. 7. B. 5. C. 4. D. 6. Câu 23. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bảng biến thiên sau:

Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình ^f



²^tan2x



^{ }²^m^¹có nghiệm thuộc khoảng 0;

8

  

 

  là:

A. 1. B. 3. C. Vô số. D. 0.

 

liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Phương trình ^f



¹^^{f x}

  

^⁰^có

tối đa bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A.7. B.9. C.6. D.5.

Câu 25 . Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  có bảng biến thiên như sau:



^^{ }^;





^{2 cos}²^x^{ }³



³^là:

A. 8 . B. 2 . C.6 . D.4 .

 

(8)

Số nghiệm của phương trình ^{f x}



²^^x



^²^là:

A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .

 



^0;3^





^cos^x



^²^là

A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 8 .

 

có bảng biến thiên như sau :



^{0; 2}^





^{2 s in}^x



^{ }^{2 0}^{là :}

A. 2. B. 3 . C. 4. D. 6.

 

có bảng biến thiên như sau



^^1;3



của phương trình ^{f x}



²^³^x



^{ }^{1 0}^là

A. 5. B. 3. C. 2. D. 4.

(9)

 

Số nghiệm thuộc đoạn 5 6 ;3

 

 

  của phương trình ⁴^f



^cos2^x



^{ }^{1 0}^là

A. 5. B. 9. C. 4 . D. 10.

Câu 31. Cho hàm số ^y ^ ^{f x}

 

liên tục, có đạo hàm trên 2;4và có bảng biến thiên như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình ³^f



^{  }²^x ¹



⁸^x³^⁶^x trên đoạn 2 23 3;

 

 

 ^là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.

Câu 32. Cho hàm số ^{y f x}^

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thuộc đoạn  ;2  của phương trình ^{2 2 sin}^f



^x



^{ }^{1 0}^là

A.6. B. 2 . C. 8. D. 12.

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

(10)

Gọi m là số nghiệm của phương trình ^{f f x}

   

^¹. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. m6. B. m7. C. m5. D. m9.

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình (sin ) 2sinf x  x2m có nghiệm thuộc khoảng

(0; ) . Tổng các phần tử của S bằng:

A. 2 B. 0. C. 1. D. 5.

 



^^{2 ;2}^{ }



của phương trình ^{2 2sin}^f



^x



^{ }^{1 0}^là

A. 8 . B. 5. C. 2 . D. 6.

 

^^x³^³^x^¹. Số nghiệm của phương trình ^_^{f x}

 

^{ }_³ ³^{f x}

 

^{ }^{1 0}^là:

A. 1. B. 6. C. 5. D. 7.

Câu 37.Cho hàm số y f x( ) là hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ dưới đây

(11)



^0;3^



của phương trình 2 3sin 1 1 0

2 2

f x   là

A. 5. B. 3. C. 4. D.6.

Câu 38.Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ^f



^sin⁴^x^^cos⁴^x



^^m có nghiệm 0; .

x  4

  

A. 1. B. 3. C. 2. D.4.

Câu 39. Cho hàm số y f x ( ) có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm của phương trình 2 (cos2 ) 1 0f x   trên đoạn 0;5 4

 

 

 ^là

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Câu 40. Cho hàm số y f x ( ) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của _m để phương trình

 

3f f x( ) m có đúng 6 nghiệm phân biệt x  [ 5;0].

+∞

∞

1

+ 2

1

∞ +∞

+ y

y'

x 1

0 0

2

(12)

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 41. Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau:



^^2019;1



 

^ln^x ^⁴

A. 2020 B. 4. C. 2019. D. 3.

Câu 42. Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn 0;

4

 

 

 của phương trình ^f



^sin^x^^cos^x



^{ }¹

A. 1 B. 3 C. 2 D. 0.

Câu 43. Cho hàm số y f x( )liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trìnhf(sin ) 2sinx  x m 0 có nghiệm thuộc khoảng



^0;^



^?

A. 9. B. 4. C. 5. D. 6.

Câu 44. Cho hàm số f x( )có bảng biến thiên như sau

(13)



^^{ }^{; 2}



của phương trình 2 (sin ) 3 0f x   là

A. 6. B. 3. C. 4. D. 8.

Câu45. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

Số nghiệm của phương trình ^{f e}



^x^⁴



^{ }^{1 0} trong đoạn



ln 2 ; ln 6



là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4 .

Câu46. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

là hàm đa thức bậc 3 và có bảng biến thiên như sau



^sin^x^ ^{3 cos}^x



^⁰trong đoạn 5 0 ; 2

 

 

 ^là

A. 1. B. 4. C. 3. D. 2 .

 

có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số nghiệm thực của bất phương trình



³ ²



²



³ ²



1 f x 3x  1 2f x 3x  1 2 là

A.5 . B.4. C.3. D.2.

 

là hàm bậc 3 và có bảng biến thiên như sau

(14)

Phương trình ²



^sin ^cos



^{1 sin 2} ^{2 2 sin}



^sin ^cos



f x x   x x4 f x x có mấy nghiệm thực thuộc đoạn 5 5

4 ; 4

  

 

 ?

A.1. B.3. C.4. D.6.

Câu 49. Cho ^y^ ^{f x}

 

là hàm số bậc ba và có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên ^m^{ }



^5;5



để hàm số ^{g x}

 

^ ^{f f x}

  

^^m



có 4 điểm cực trị?

A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.

 

Số nghiệm thuộc khoảng



^^{ }^;



của phương trình ^f²



^cos^x



^ ^f



^cos^x



^²^là

A. 5 . B. 6 . C. 7 . D. 9 .

Câu 51. Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm ^x^



^0;^



của phương trình ^{f e}



^x^²⁰²⁰^x



^{ }^{2 0}^là

A.1. B.2. C. 0. D. 2020. Câu 52. Cho hàm số ^{f x}

 

(15)

Số nghiệm thuộc đoạn 3 ; 2 2 

 

 

  của phương trình ^{2 cos}^f



^x



^{ }^{5 0}^là

A. 5. B. 1. C. 3. D. 4 .

 

có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình



² ²



f x  x m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 3 7; 2 2

 

 

 .

A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.

 

có đồ thị như hình bên. Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ^f



^sin^x



^^m có đúng hai nghiệm thuộc đoạn

 

^0;^ ^?

A. 4. B. 7. C. 5. D. 6.

Câu 55.(Sưu tầm)Cho hàm số bậc bốn ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị như hình bên

(16)

Số điểm cực trị của hàm số ^{g x}

 

^ ^{f x}



³^³^x²^⁴



^là

A. 5 . B.3 . C. 7 . D. 11 .

Câu 56.(Sưu tầm)Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị như hình bên



^0;3



của phương trình : ² ^f



^cos^x



^{ }^{1 0}

A. 12 . B.6 . C. 10 . D. 8 .

 

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm thuộc

đoạn 3

2 2;

 

 

 

  của phương trình ^f



^cot^x^{ }¹



¹^là

x  1 1 2 

 

f x  ⁰  ⁰  ⁰ 

 

f x



1

1

2



A. 7. B. 6. C. 8. D. 5.

 

có bảng biến thiên như hình vẽ

x  0 1 2 

 

f x  ⁰  0  ⁰ 

 

f x



0

3

1





^sin^x^{ }¹



²^trên



^

 

^;2



^là

A. 6. B. 7. C. 5. D. 4.

3

2

1

2

2 2

x y

-1

-1 1

1

(17)

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 . Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

x  -1 1 

y  0  0 

y 1 

 -1 Số nghiệm của phương trình ^{f x}



²^²^x



^²^là

A. 4 . B. 2 C. 3 D. 8

Lời giải

Tác giả: Trần Hương Trà ; Fb:Trần Hương Trà Chọn B

Phương trình ^{f x}



²^²^x



^³

 

2 2

f x x f x x

  



   



Dựa vào bảng biến thiên

x  -1 1 a 



y  0  0  y

1 

 -1

phương trình ^{f x}



²^²^x



^² ^^x²^²^{x a a}^



^{ }¹



^x²^²^{x a}^{ }⁰

có    1 a 0phương trình có 2 nghiệm.

Tương tự, dựa vào bảng biến thiên

x _b -1 1 

y  0  0 

y 1 

-1



Phương trình ^{f x}



²^²^x



^{ }² ^^x²^²^{x b b}^



^{  }¹



^x²^²^{x b}^{ }⁰

có    1 b 0phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình ^{f x}



²^²^x



^²có 2 nghiệm.

 

 

^0;^ của phương trình ^{f f c}

 

^os2^x

 

^⁰^là

A. 4 . B. 2 C. 3 D. 8

Lời giải

Tác giả: Trần Hương Trà ; Fb:Trần Hương Trà Chọn B

–∞ 0 +∞

+ 0 – 0 + 0 –

1

0

1

a

(18)

Dựa và bảng biến thiên ta có ^{f x}

 

^{  }^1, ^{x R} ^và

 



^os2



⁰

f f c x 

 

os2 os2

os2 0

f c x a

f c x





  

 

 với a1 Với ^{f c}



^os2^x



^^a thì phương trình vô nghiệm.

Với ^{f c}



^os2^x



^{ }^a ^^c^{os2x =}^^b ^với^b^¹nên phương trình vô nghiệm.

Với ^{f c}



^os2^x



^⁰ ^{os2x =0} ^2x ^.

2 4 2

c  k x  k

      

Vậy phương trình ^{f f c}

 

^os2^x

 

^⁰có 2 nghiệm thuộc đoạn

 

^0;^ ^.

Câu 3. Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn

 

^1;3 và có bảng biến thiên như sau:

Tổng tất cả các số nguyên m để phương trình ( 1) ₂

6 12

    f x m

x x có hai nghiệm phân biệt trên đoạn

 

^{2; 4} ^bằng

A. 75. B. 72. C. 294. D. 297.

Lời giải

Tác giả: Cao Thị Nguyệt ; Fb: Cao Nguyet Chọn B.

Phương trình tương đương với: ^{m g x}^ ^{( )}^



^x²^⁶^x^¹²



^{f x}⁽ ^^1).

Ta có g x'( ) (2 x6) (f x 1) (x²6x12) '(f x1)

+) Nếu 2₂ 6 0; ( 1) 0

2 3 '( ) 0

6 12 0; '( 1) 0

x f x

x g x

x x f x

   

         

+) Nếu x 3 g'(3) 0. (2) 3. '(2) 0 f  f 

+) Nếu 2₂ 6 0; ( 1) 0

3 4 '( ) 0.

6 12 0; '( 1) 0

x f x

x g x

x x f x

   

          Vậy trên đoạn

 

2; 4 ta có g x'( ) 0  x 3.

Bảng biến thiên:

x – ∞ -1 0 1 + ∞

y' ₊ 0 – 0 + 0 –

y

– ∞

1

0

1

– ∞ -a

(19)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt trên đoạn

 

[2; 4] 12     m 3 m 12,..., 4 .

Tổng các số nguyên cần tìm bằng   12 ( 11) ... ( 5) ( 4)      72 Câu 4. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 



^{0; 2}^





^{sin 2}^x



^{ }^{2 0}^là:

A. 7. B. 8. C. 5. D. 6.

Lời giải

Tác giả: Cao Thị Nguyệt ; Fb: Cao Nguyet Chọn B.

Đặt sin 2x t , ^x^



^{0; 2}^



^{  }^t



^1;1



^.

Phương trình trở thành:

 

²

f t 3. Từ bảng biến thiên ta có:

(20)

 

²

3 f t t a

t b

 

    Với   1 a 0 và 0 b 1 Xét BBT của hàm số ysin 2x trên



^{0; 2}^



^:

Dựa vào BBT của hàm số ta có

+) Phương trình sin 2x a có 4 nghiệm.

+) Phương trình sin 2x b có 4 nghiệm

Vậy phương trình ³^f



^{sin 2}^x



^{ }^{2 0}^có⁸^nghiệm.

Câu 5. Cho hàm số y f x( )ax³bx² cx d a( 0)có đồ thị như hình vẽ. Phương trình ( ( )) 0

f f x  có bao nhiêu nghiệm thực?

B. 3. B.7. C.9. D.5.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Đăng Mai ; Fb:Nguyễn Đăng Mai Chọn C

Đặt ^t^ ^{f x}

 

, phương trình ^{f f x}

   

^⁰ trở thành ^{f t}

 

^^{0 *}

 

(số nghiệm phương trình

 

^* là số giao điểm của đồ thị ^{f x}

 

^{với trục}^Ox) . Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình

 

^*

có 3 nghiệm t thuộc khoảng



^^{2; 2}



, với mỗi giá trị t như vậy phương trình ^{f x}

 

^^t^{có 3}

nghiệm phân biệt. Vậy phương trình ^{f f x}

   

^⁰ có 9 nghiệm. Vậy chọn C Câu 6 . Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ và lim

x y

  . Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình ^{f f}

 

^{cos 2}^x

 

^⁰^?

(21)

B. 3. B.4. C.2. D.1.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đăng Mai ; Fb: Nguyễn Đăng Mai Chọn B

Từ đồ thị ta có ^{f x}

 

^{  }^1, ^x  và suy ra được ^f



^{cos 2}^x



^{ }^{a a}



^¹



^hoặc ^f



^{cos 2}^x



^⁰

TH1: Nếu ^f



^{cos 2}^x



^{ }^a ¹ thì phương trình này vô nghiệm.

TH2: Nếu ^f



^{cos 2}^x



^{   }^a ¹^thì^{cos 2}^x ^¹, phương trình này vô nghiệm.

TH3: Nếu



^{cos 2}



⁰ ^{cos 2} ⁽ ⁾

cos 2 0 x a VN

f x

x

  

   

cos 2 0 ( )

4 2

x_{  }x  _k k_Z nên có 4 điểm trên đường tròn lượng giác. Vậy có 4 điểm.

 

Khi đó phương trình ⁴^f

 

³^x⁴ ^{ }^{3 0} có bao nhiêu nghiệm dương?

A. 2. B. 4. C. 5. D. 1.

Lời giải

Tác giả: Biện Tấn Nhất Huy; Fb: Nhất Huy Chọn A

Bảng biến thiên của hàm số y3x⁴:

Ta có:

       

 

4

1 1

4 4 4

2 2

4

3 3

3 , 1;0

4 3 3 0 3 3 3 , 0;1

4 3 , 1;2

x x x

f x f x x x x

x x x

   

      

  



.

(22)

Dựa vào bảng biến thiên ta có 3x⁴ x₁ vô nghiệm; 3x⁴x₂ có một nghiệm âm một nghiệm dương; 3x⁴x₃ có một nghiệm âm một nghiệm dương.

Vậy phương trình ⁴^f

 

³^x⁴ ^{ }^{3 0} có 2 nghiệm dương.

 

Phương trình ^²^f



^cos^x



^{ }^{1 0} có bao nhiêu nghiệm trong đoạn



^^{ }^;2



đồng thời tanx0

?

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải

Tác giả: Biện Tấn Nhất Huy; Fb: Nhất Huy Chọn A

   

 

   

1 1

2 2

3 3

4 4

cos , ; 1 VN

cos , 1;0

2 cos 1 0 cos 1

2 cos , 0;1

cos , 1; VN

x x x

f x f x

x x x

   



  

        

   



.

Vì tanx0 và ^x^{ }



^{ }^;2



nên khi đó ^; ^0; ^;³

 

^*

2 2 2

x ^  ^ ^{ }   ^{ }     ^ .

Bảng biến thiên của hàm số ycosx trên 3

; 0; ;

2 2 2

x ^  ^ ^{ }    ^{ }     ^

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Phương trình cosx x ₂ với x2 



1;0



có 2 nghiệm thỏa

 

^{* .}

Phương trình cosx x ₃ với x3

 

0;1 có 1 nghiệm thỏa

 

^{* .}

Vậy có 3 nghiệm x thỏa yêu cầu bài toán.

 

(23)

Số nghiệm của phương trình ²^f



^sin^x



^{ }^{1 0} trên đoạn 5 2 2;

 

 

  là

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hồ Tú; Fb: Nguyễn Hồ Tú Chọn D

Đặt tsinx, ^t^{ }

 

^1;1 ^{ta được:}^{f t}

 

^¹₂^.

Dựa vào đồ thị ta có

 

,( 1 0)

, 0 1

t a a

t b b

   

   



Xét hàm số ^{g x}

 

^^sin^x trên đoạn 5 2 2;

 

 

 

Đồ thị của hàm số ^{g x}

 

^^sin^x tên đoạn 5 2 2;

 

 

  là

Dựa vào đồ thị ta có sinx a có 3 nghiệm trên 5 2 2;

 

 

 , sinx b có 3 nghiệm trên

;5 2 2

 

 

 .

Vậy phương trình ²^f



^sin^x



^{ }^{1 0}^có⁶ nghiệm trên 5 2 2;

 

 

 . Câu 10. [2D1-5.3-3] Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

O

1

1 1

1 x y

(24)



^0;5^





^cos^x



^¹

A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hồ Tú; Fb: Nguyễn Hồ Tú Chọn C

Đặt tcosx, ^t^{ }

 

^1;1 ^{ta được}^{f t}

 

^¹^{ }^{t a}^với^a

 

^0;1

Xét hàm số ^{g x}

 

^^cos^x trên đoạn



^0;5^



Đồ thị của hàm số ^{g x}

 

^^cos^x tên đoạn



^0;5^



^là

Dựa vào đồ thị ta có cosxa có 5 nghiệm trên



^0;5^



Vậy phương trình ^f



^cos^x



^¹^có⁵ nghiệm trên



^0;5^



^.

 

xác định trên ^{\ 0}

 

và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Số nghiệm của phương trình ³ ^f



²^x^{ }¹



^{10 0}^ ^là.

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Lời giải

Tác giả: Minh Hạnh; Fb: meocon2809 Chọn C

Đặt t2x1, ta có phương trình trở thành

 

¹⁰

f t  3 . Với mỗi nghiệm t thì có một nghiệm 1

2

xt nên số nghiệm t của phương trình

 

¹⁰

f t  3 bằng số nghiệm của

 

3 f 2x 1 10 0 .

(25)

Bảng biến thiên của hàm số ^y^ ^{f x}

 

^là

Suy ra phương trình

 

¹⁰

f t  3 có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình ³ ^f



²^x^{ }¹



^{10 0}^

có 4 nghiệm phân biệt.

 

liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ

Tập hợp các giá trị m để phương trình ^f



^{cos 2}^x



^²^m^{ }^{1 0} có nghiệm thuộc khoảng 3 4;

 

 

 

 ^là:

A. 1 0;2

 

 

  ^B.

0;1 2

 

 

  C. 1 1

4 2;

 

 

  D. 2 2 1

4 ;4

  

 

 

Lời giải

Tác giả: Minh Hạnh; Fb: meocon2809 Chọn A

Đặt 1

cos 2 , ; ;1

3 4 2

x t x    t  ^.

Yêu cầu đề bài tương đương với phương trình ^{f t}

 

^²^m^¹ có nghiệm 1;1 t  2 ^.

Từ bảng biến thiên suy ra yêu cầu 1

1 2 1 2 0

m m 2

       .

Câu 13: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình



^{3 2}

  

¹

f  f x  có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

 

y f x 

(26)

A. . B. . C. . D. . Lời giải

Tác giả: Huỳnh Trọng Nghĩa; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa Chọn D

Dựa vào đồ thị ta có: ^f



^{3 2}^ ^{f x}

  

^¹ ^{3 2}3 2

   

2¹

   

²1 2 f x f x

f x f x



   

 

     .

Mà ^{f x}

 

^² có 1 nghiệm duy nhất lớn hơn 2 .

Và ^{f x}

 

^¹₂ có 3 nghiệm phân biệt x1  



2; 1



,x2 



1;0



,x3

 

1;2 Vậy phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.

 



^^{ }^{; 2}



của phương trình ²^f



^cos^x



^{ }^{1 0}^là:

A. 7. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải

Tác giả: Huỳnh Trọng Nghĩa; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa Chọn D

Đặt cosx t , ^x^{ }



^{ }^{; 2}



^{  }^t



^1;1



^.

Phương trình trở thành:

 

¹

f t  2. Từ bảng biến thiên ta có:

6 5 7 4

(27)

 

¹

2 f t t a

t b

 

    Với   1 a 0 và 0 b 1 Dựa vào đồ thị ycosx ta có :

+) cosx a có 3 nghiệm.

+) cosx b có 3 nghiệm

Vậy phương trình ²^f



^cos^x



^{ }^{1 0}^có⁶^nghiệm.

 



³^x⁴^⁶^x²^{ }^{1 1}



^là

A. 4. B. 5 . C. 6. D. 3.

Lời giải

Tác giả: Lê Hoàn ; Fb: Lê Hoàn Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

 

; 2

1 2;1

1;

x a

f x x b

x c

   



    

   



.

Do đó

 

4 2

4 2 4 2

4 2

3 6 1 (1)

3 6 1 1 3 6 1 (2)

3 6 1 (3)

x x a

f x x x x b

x x c

   

      

   

 Xét hàm số g x

 

3x⁴6x²1

Có

 

¹² ³ ¹² ⁰ ⁰¹

1 x

g x x x x

x

  

     

  . Bảng biến thiên:

(28)

Dựa vào bảng biến thiên, có:

- Phương trình (1) vô nghiệm.

- Phương trình (2) có đúng 4 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm.

 

Số nghiệm thuộc đoạn 7 0; 3

 

 

  của phương trình ^{2. cos}^f



^x



^{ }^{5 0} là

A. 8. B. 7 . C. 5. D. 6.

Lời giải

Tác giả: Lê Hoàn ; Fb: Lê Hoàn Chọn B

Xét phương trình ^2.^{f x}

 

^{  }^{5 0} ^{f x}

 

^⁵₂^.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

 

1;0 0;1 5 2

2 1

2;1 1;

x a x b f x

x c x d

  



 

   

  

  

 

   

  

   



.

Do đó

   

 

cos 1;0 (1)

cos 0;1 (2)

5 2

2. cos 5 0 cos

2 1

cos ;1 (3)

2

cos 1; (4)

x a x b

f x f x

x c x d

  



 

   

  

     

 

   

  

   



.

(29)

Dựa vào đường tròn lượng giác, trên đoạn 7 0; 3

 

 

  ta có:

- Phương trình (4) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm.

Câu 17 . Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên bảng biến thiên như sau

Số nghiệm thuộc [ ; 2 ]

 2

 của phương trình (s inx) 1 0f   là

A. 3. B. 6. C. 4. D. 5.

Lời giải

Tác giả: Phạm Quang Mến ; Fb: quangmenpham Chọn C

Ta có

sin 1

(s in ) 1 0 (sin ) 1 sin ( 1;0)

sin 1

x

f x f x x a

x b

 

        

   



   

2

sin 0 cos 0

2 3 2 x

g x x g x x x

x



  



 

      

 



Ta có bảng biến thiên hàm ^{g x}

 

^trên^_^^₂^{; 2}^^_

 ^{như sau:}

(30)

Từ bảng biến thiên trên, ta thấy các phương trình sinx b vô nghiệm.

Phương trình sinx a có 3 nghiệm phân biệt thuộc ; 2 2

 

 

 

  Phương trình sinx1 có 1 nghiệm ; 2

2

 

 

 

  Và các nghiệm trên phân biệt.



^sin^x



^{ }^{1 0} có 4 nghiệm phân biệt thuộc ; 2 2

 

 

 

 

Câu 18. Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tìm số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f( 4x²)m có hai nghiệm phân biệt

A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .

Lời giải

Tác giả: Phạm Quang Mến ; Fb: quangmenpham Chọn B

Đặt t 4x² , phương trình thành ( )f t m Lập BBT của hàm số u x( ) 4x x²,  [ 2;2]

BBT của hàm số u x( ) 4x x²,  [ 2; 2]

(31)

Ta được t[0; 2]

Ta thấy rằng t[0 ; 2) nghiệm mỗi t tạo ra 2 nghiệm nghiệm x 2

t thì nghiệm x0 Từ hình vẽ ta thấy :

+m0: được nghiệm t2 tạo ra 1 nghiệm x +m1, 2,3 thỏa

Vây có ba giá trị m nguyên của tham số thỏa mãn

 

^^ax³^^bx²^^{bx c}^ có đồ thị như hình vẽ:

Số nghiệm nằm trong ;9 2 2

 

 

 

  của phương trình ^f



^cos^x^{ }¹



^cos^x^¹^là

A. 6. B. 10. C. 4. D. 8.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Thu Hường ; Fb: Nguyễn Hường Chọn B

(32)

Từ đồ thị ta có

 

;0 0;1 2 x a

f x x x b

x

  



   

 

Do đó

 

cos 1 ; 0

cos 1 cos 1 cos 1 0;1

cos 1 2

x a

f x x x b

x

   



      

  



 

1 2

cos 1 ; 1 ( )

cos 1 1;0 (1)

cos 1 (2)

x a t VN

x b t

x

     



     

 



Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình (1) có 4 nghiệm nằm trong 9 2 ; 2

 

 

 

 ^. Phương trình (2) có 6 nghiệm nằm trong 9

2 ; 2

 

 

 

 ^.

Vậy phương trình ban đầu có tất cả 10 nghiệm nằm trong ;9

2 2

 

 

 

 ^. Câu 20. Cho hàm số ^{f x}

 



^0;5^





^sin^x



^¹ là

A. 6. B. 4. C. 10. D. 8.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Thu Hường ; Fb: Nguyễn Hường Chọn C

Từ bảng biến thiên ta được

(33)

 

1

2 2

3

sin ; 1 ( )

sin 1 sin 1;0 sin 1;0 (1)

sin 1; ( )

x t VN

f x x t x t

x t VN

   



        

   



.

Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình (1) có 4 nghiệm nằm trong đoạn



^0;5^



^.

 

4

5 5

6

sin ; 1 ( )

sin 1 sin 0;1 sin 0;1 (2)

sin 1; ( )

x t VN

f x x t x t

x t VN

   



       

   



.

Dựa vào đường tròn lượng giác, ta được phương trình (2) có 6 nghiệm nằm trong đoạn



^0;5^



^.

Vậy phương trình ban đầu có tất cả 10 nghiệm.

 

liên tục trên  có đồ thị ^y^ ^{f x}

 

như hình vẽ dưới đây.

Số nghiệm thực của phương trình ^f



⁴^ ^f

 

²^x



^²^là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Tác giả: Đổng Quang Phúc ; Fb: Đổng Quang Phúc Chọn B

Ta có:

(34)

Theo đồ thị :



⁴

 

²



² ⁴

   

² ²

 

4 2 , 4 6

x x

x

f f f

f a a

   

  

    



TH1) ⁴^ ^f

 

²^x ^{ }² ^ ^f

 

²^x ^{ }⁶ ²₂^xx ² ₂

 

x ¹

b KTM

   

  

 .

TH2) ⁴^ ^f

 

²^x ^^a ^ ^f

 

²^x ^{ }^a ^4,



⁰^{  }^a ^{4 2}



 

2

2 2

2 0 log

2 4

x x x

c KTM

d KTM x t

t

   

    

  



.

Vì t4 nên log₂tlog 4 2 1₂   nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

 

Số nghiệm nhiều nhất thuộc đoạn 0;3 2

 

 

 

 của phương trình ^f



^2cos^x^{ }¹



⁰^là:

A. 7. B. 5. C. 4. D. 6.

Lời giải

Tác giả: Đổng Quang Phúc ; Fb: Đổng Quang Phúc Chọn C

Đặt t2cosx1, ^0;³



^1;3



x 2   t

 _.

Xét phương trình: ^{f t}

 

^⁰^{, với}^t^{ }



^1;3



^.

Từ bảng biến thiên ta có:

(35)

Trên đoạn



^^1;3



, phương trình ^{f t}

 

^⁰ có nghiệm t a t b

 

  , với   1 a 0 và 0 b 3 Vẽ đồ thị y2cosx1 trên đoạn 3

0; 2

 

 

 

 , ta có :

Với 2cosx 1 a Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y2cosx1 tại 2 điểm 0;3

x  2 

  

 .

Với 2cosx 1 b Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y2cosx1 tại tối đa 2 điểm 0;3

x  2 

  

 _.



^2cos^x^{ }¹



⁰ có nhiều nhất 4 nghiệm.

 

có bảng biến thiên sau:

Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình ^f



²^tan2x



^{ }²^m^¹có nghiệm thuộc khoảng 0;

8

  

 

  là:

(36)

A. 1. B. 3. C. Vô số. D. 0. Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thế; Fb: Nguyễn Thị Thế Chọn A

Đặt ^t^²^{tan x, t}² ^

 

^{0 2}^; ^{. Khi đó}^{f t}

 

^{ }²^m^¹^{, t}^

   

^{0 2}^; ^* ^.

Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^{và đường}

thẳng y 2m1.

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nghiệm   1 2m     1 5 2 m 0. Câu 24. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Phương trình ^f



¹^^{f x}

  

^⁰^có

tối đa bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A.7. B.9 . C.6. D.5.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Thế; Fb: Nguyễn Thị Thế Chọn A

Từ đồ thị hàm số ta có ^f



¹^ ^{f x}

  

^⁰

       

   

1 2 1

1 0 1

1 1 2

f x m m

f x n n

f x p p

     



    

    



 

1 1 1

f x m

f x n

f x p

 



  

  



.

+) Do    2 m 1   2 1 m 3. Từ đồ thị hàm số ta suy ra phương trình ^{f x}

 

^{ }¹ ^m ^có

đúng một nghiệm x₁ 2.

+) Do 0 n 1   0 1 n 1. Từ đồ thị hàm số ta suy ra phương trình ^{f x}

 

^{ }¹ ⁿ^{có đúng}

ba nghiệm  2 x₂ 0 x₃ 1 x₄ 2.

(37)

+) Do 1 p 2    1 1 p 0. Từ đồ thị hàm số ta suy ra phương trình ^{f x}

 

^{ }¹ ^p ^có

đúng ba nghiệm  2 x₅  1 x₆ 1 x₇2 khác x x x₂, ,₃ ₄ . Vậy phương trình đã cho có tối đa 7 nghiệm phân biệt.

 



^^{ }^;





^{2 cos}²^x^{ }³



³^là:

A. 8 . B. 2 . C.6 . D.4.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Huyền Trân ; Fb:Nguyễn Huyền Trân Chọn D

Đặt t2 cos²x3, vì ^x^{ }



^{ }^;



^nên^t^{  }



^{3; 1}



Ta có phương trình ^{f t}

 

^^{3 ,}^t^{  }



^{3; 1}



Dựa vào BBT ta có:

(38)

Vậy ^{f t}

 

^{ }³ ^{t a a}^ ^, ^{  }



^{3, 2}



Ta có: ^2cos²^x^{ }³ ^{a a}^, ^{  }



^{3, 2}



Suy ra ² 1

cos , 0;

x b b  2 Suy ra cos

cos

x b

 

  

 ^với

0, 2 b  2 

 

Với mọi ^x^{ }



^{ }^;



thì phương trình cosx b có 2 nghiệm và phương trình cosx  bcó 2 nghiệm. ( Dựa vào đường tròn lượng giác hoặc đồ thị hàm số ycosx để kiểm tra nghiệm) Vậy có 4 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.

 

Số nghiệm của phương trình ^{f x}



²^^x



^²^là:

A. 1 . B. 3 . C. 2 . D. 4 .

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Huyền Trân ; Fb:Nguyễn Huyền Trân Chọn D



²



²

f x x 

 

2 2

2 2 f x x f x x

  



   



Dựa vào BBT ta có:

(39)

Suy ra

 

2 2

2

2 2

2

, 1; , 1;

2 , ; 1 , ; 1

2 1 1 5

2

x x a a x x a a

f x x

x x b b x x b b

f x x

x x

x



        

    

            

     

      

Xét phương trình: x²  x a 0có   1 4a0 vì a1

Nên phương trình x²  x a 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 5 2

 Xét phương trình: x²  x b 0 có   1 4b0 vì b 1

Nên phương trình x²  x b 0 vô nghiệm.

Vậy có 4 nghiệm đã cho thõa yêu cầu bài toán.

Câu 53. Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm x



0;



của phương trình ^{f e}



^x^²⁰²⁰^x



^{ }² ⁰^là

A.1. B.2. C. 0. D. 2020. Lời giải

Tác giả: Trần Tường; Fb: Trần Tường Chọn A

Ta có



²⁰²⁰



^{2 0}



²⁰²⁰



² ²⁰²⁰

 

^{; 1}

 

2020 1;

x

x x

x

e x a

f e x f e x

e x b

     

       

    



Vì ^{x }



^0;



nên ^e^x^²⁰²⁰^x^{ }



^1;



nên ^e^x^²⁰²⁰^{x a}^{   }



^{; 1}



vô nghiệm.

Xét phương trình ^e^x^²⁰²⁰^{x b}^{ }



^1;^



^trên



^0;^



Ta có hàm số ^{g x}

 

^{ }^e^x ²⁰²⁰^x đồng biến trên



^0;^



^và^{g x}

 

^{   }^1; ^x



^0;



nên phương trình ^e^x^²⁰²⁰^{x b}^{ }



^1;^



luôn có 1 nghiệm duy nhất trên



^0;^



^.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm thuộc



^0;



^.

(40)

 

Số nghiệm thuộc đoạn 3 2 ; 2

 

 

  của phương trình ^{2 cos}^f



^x



^{ }^{5 0} là

A. 5. B. 1. C. 3. D. 4.

Lời giải

Tác giả:Trần Tường ; Fb: Trần Tường Chọn C

Ta có

   

 

cos 0;1

2 cos 5 0 cos 5 cos 1;3

2 cos 3;

x a

f x f x x b

x c

 



      

    



.

Vì ^cos^{x }



^1;1



³ ^{; 2}

x ^ 2 ^

    nên ^cos^{x b}^{ }

 

^1;3 ^và^cos^{x c}^{ }



^3;^



vô nghiệm.

Xét đồ thị hàm số ycosx trên 3 2 ; 2

 

 

 

Phương trình ^cos^{x a}^{ }

 

^0;1 có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3 ; 2 2 

 

 

 . Câu 29. Cho hàm số ^{f x}

 

(41)



^^1;3



của phương trình ^{f x}



²^³^x



^{ }^{1 0}^là

A. 5. B. 3. C. 2 . D. 4 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thu Hiền; Fb: Hiensuha Nguyen Chọn D

Đặt tx²3x, ta có ^{f x}



²^³^x



^{ }^{1 0}^ ^{f t}

 

^{  }^{1 0} ^{f t}

 

^{ }¹^.

 

   

, 2;0

, 0;1

, 1;4

t a a t b b t c c

  



   

  



Khảo sát hàm số tx²3x trên



^^1;3



^.

Ta có t 2x3

Cho t 02x 3 0 ³



^1;3



x 2

    . Ta có BBT của hàm tx²3x như sau:

Từ BBT trên ta thấy:

Với ^{t a a}^ ^, ^{ }



^2;0



^ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Với ^{t b b}^ ^, ^

 

^0;1 ^ phương trình có 1 nghiệm.

Với ^{t c c}^ ^, ^

 

^1;4 ^ phương trình có 1 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm.

Câu 30. Cho hàm s�