Phương Pháp Giải Toán 9 Đồ Thị Hàm Số $y = a{x^2}$

Bài 2

. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ^{y ax a }

 ^{ 0} 

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Đồ thị của hàm số y ax ²(a0) là một parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận Oy làm trục đối xứng (O là đỉnh của parabol).

 Nếu a0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

 Nếu a0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

 Bước 1: Lập bảng các giá trị đặc biệt tương ứng giữa x và y của hàm số

2( 0) y=ax a¹ .

 Bước 2: Biểu diễn các điểm đặc biệt trên mặt phẳng tọa độ và vẽ đồ thị Parabol của hàm số đi qua các điểm đó.

Ví dụ 1. Cho hàm số y f x( ) ( m2)x² (m là tham số). Tìm m để:

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm

1 3; A2 2

 

 . ĐS: m8.

b) Đồ thị hàm số đi qua điểm ( ; )x y^{0 0} với ( ; )x y^{0 0} là nghiệm của hệ phương trình

5 2 5

3 2

x y x y

 

  

 .

ĐS: m7. c) Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Ví dụ 2. Cho hàm số y f x( ) ( m1)x² (m là tham số). Tìm m để:

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm ^B





b) Đồ thị hàm số đi qua điểm ( ; )x y^{0 0} với ( ; )x y^{0 0} là nghiệm của hệ phương trình

3 5

2 3

x y x y

 

  

 .

ĐS: m1. c) Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Ví dụ 3. Cho hàm số

2

2 y ax

(a0) có đồ thị là parabol ( )P .

b) Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hãy:

i) Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

ii) Tìm các điểm trên ( )P có hoành độ bằng 3 .

iii) Tìm các điểm trên ( )P cách đều hai trục tọa độ. ĐS: B(3;18); 1 1; 2 2

 

 

 ;

1 1; 2 2

 

 

 .

Ví dụ 4. Cho hàm số y(m²2)x² (m  2) có đồ thị là parabol ( )P .

a) Xác định m để ( )P đi qua điểm (A  2; 4). ĐS: m 2. b) Với giá trị m vừa tìm được ở trên, hãy:

i) Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

ii) Tìm các điểm trên ( )P có hoành độ bằng 3 .

iii) Tìm các điểm trên ( )P cách đều hai trục tọa độ. ĐS: B(3;18); 1 1; 2 2

 

 

 ;

1 1; 2 2

 

 

 .

Ví dụ 5. Cho hàm số 1 2

y8x

có đồ thị là parabol ( )P . a) Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

b) Trong các điểm 2;3 A 8

 

 ; 2;1

B 2; (0; 2)C  , điểm nào thuộc P, điểm nào không thuộc ( )P ? Ví dụ 6. Cho hàm số y 7x² có đồ thị là parabol ( )P .

a) Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

b) Trong các điểm (2; 28)A  ; ( 1;7)B  ; (0; 2)C  , điểm nào thuộc P, điểm nào không thuộc ( )P ? Dạng 2: Tọa độ giao điểm của Parabol và đường thẳng

 Cho Parabol ( ) :P y=ax a²( ¹ 0) và đường thẳng d y: =mx n+ . Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của (P) và d, ta làm như sau

 Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d: ax²=mx n+ . (*)

 Bước 2: Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó ta tìm được tọa độ giao điểm của (P) và d.

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) đúng bằng số giao điểm của (P) và d, cụ thể

 Nếu (*) vô nghiệm thì d không cắt (P).

 Nếu (*) có nghiệm kép thì d tiếp xúc với (P).

 Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ 7. Cho parabol ( ) :P y2x² và đường thẳng :d y  x 3. a) Vẽ ( )P và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Xác định tọa độ giao điểm của ( )P và d. ĐS:

(1; 2); 3 9; A B2 2.

c) Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình 2x²   x 3. ĐS:

1 3 2 x x

 

  

 .

Ví dụ 8. Cho parabol ( ) :P y 3x² và đường thẳng :d y6x3. a) Vẽ ( )P và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Xác định tọa độ giao điểm của ( )P và d. ĐS: ( 1; 3)  . c) Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình 3x²6x 3 0. ĐS: x 1. Ví dụ 9. Cho hàm số y x ² có đồ thị là parabol ( )P .

a) Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

b) Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x²  m 2 0 theo m. Ví dụ 10. Cho hàm số y 2x² có đồ thị là parabol ( )P .

a) Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

b) Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình 2x²2m 1 0 theo m.

Ví dụ 11. Cho parabol

1 2

( ) :

P y4x

và đường thẳng d có phương trình y x m  . Tìm m để:

a) d và ( )P có điểm chung duy nhất. ĐS: m1.

b) d và ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt. ĐS: m1.

c) d và ( )P không có điểm chung. ĐS: m1.

Ví dụ 12. Cho parabol ( ) :P y2x² và đường thẳng d có phương trình y3x m . Tìm m để:

a) d và ( )P có điểm chung duy nhất. ĐS:

9 m 16

. m  9

c) d và ( )P không có điểm chung. ĐS:

9 m 16

. C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho hàm số y f x( ) ( m²1)x² (m là tham số). Tìm m để:

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm

1; 2 A2 

 

 . ĐS: m 3.

b) Đồ thị hàm số đi qua điểm ( ; )x y^{0 0} với ( ; )x y^{0 0} là nghiệm của hệ phương trình

3 2 3

2 1

x y x y

 

  

 .

ĐS: m 2. c) Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Bài 2. Cho hàm số

2( 0)

3

yax a

có đồ thị là parabol ( )P .

a) Xác định a để ( )P đi qua điểm (A  5;5). ĐS: a2. b) Với giá trị vừa tìm được ở trên, hãy:

i) Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

ii) Tìm các điểm trên ( )P có hoành độ bằng 4 .

iii) Tìm các điểm trên ( )P cách đều hai trục tọa độ. ĐS: B(4;24); 3 3; 2 2

 

 

 ;

3 3; 2 2

 

 

 .

Bài 3. Cho hàm số 1 2

y5x

có đồ thị là parabol ( )P . a) Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

b) Trong các điểm 1;2 A 5

 

 ; 2;6 B 5;

3 9; C2 20

 

 , điểm nào thuộc ( )P , điểm nào không thuộc ( )P ?

Bài 4. Cho parabol

1 2

( ) :

P y 2x

và đường thẳng :d y2x2. a) Vẽ ( )P và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Xác định tọa độ giao điểm của ( )P và d. ĐS: ( 2; 2)  . Bài 5. Cho hàm số y3x² có đồ thị là parabol ( )P .

a) Vẽ ( )P lên mặt phẳng tọa độ.

b) Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình 3x²  m 2 0 theo m.

Bài 6. Cho parabol

1 2

( ) :

P y2x

và đường thẳng d có phương trình y  x m. Tìm m để:

a) d và ( )P có điểm chung duy nhất. ĐS:

1 m 2

.

b) d và ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt. ĐS:

1 m 2

.

c) d và ( )P không có điểm chung. ĐS:

1 m 2

.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ví dụ 1. Cho hàm số y f x( ) ( m2)x² (m là tham số). Tìm m để:

a). Đồ thị hàm số đi qua điểm

1 3; A2 2

 

 .

b). Đồ thị hàm số đi qua điểm ( ; )x y^{0 0} với ( ; )x y^{0 0} là nghiệm của hệ phương

trình

5 2 5

3 2

x y x y

 

  

 .

c). Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Lời giải.

a).

3 1 2

( 2) 2 6 8

2  m    2     m m .

b).

5 2 5 1 2

5 ( 2) ( 1) 7

3 2 5

x y x

m m

x y y

   

        

    

  .

c). Với m8 và m7 thì y f x( ) 6 x² và y g x ( ) 5 x².

Ví dụ 2. Cho hàm số y f x( ) ( m1)x² (m là tham số). Tìm m để:

a). Đồ thị hàm số đi qua điểm ^B





b). Đồ thị hàm số đi qua điểm ( ; )x y^{0 0} với ( ; )x y^{0 0} là nghiệm của hệ phương

trình

3 5

2 3

x y x y

 

  

 .

c). Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Lời giải.

a).

2 3 5

6 ( 1)2 1

2 2

m m m

          .

b).

3 5 1 2

2 ( 1)( 1) 1

2 3 2

x y x

m m

x y y

   

 

      

    

  .

c). Với 5 m2

và m1 thì

3 2

( ) 2

y f x   x

và y g x ( ) 2 x².

Ví dụ 3. Cho hàm số

2

2

y ax (a0) có đồ thị là parabol ( )P .

a). Xác định a để ( )P đi qua điểm ^{A( 3;6)}. b). Với giá trị a vừa tìm được ở trên, hãy:

i) Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

ii) Tìm các điểm trên ( )P có hoành độ bằng 3. iii) Tìm các điểm trên ( )P cách đều hai trục tọa độ.

Lời giải.

a). ( )P đi qua điểm ^{A( 3;6)} nên ^6 ₂^a

 

. b). i) Với a4 ta có hàm số y2x².

ii) Ta có y  2 3² 18suyraB(3;18).

iii) y2x²;

2 2

1

2 2

| | | |

2 1

2 x x x

x y

x x x

 

    

   

    ;

1 y2

.

Ví dụ 4. Cho hàm số y(m²2)x² (m  2) có đồ thị là parabol ( )P . a). Xác định m để ( )P đi qua điểm ^{A( 2; 4)}.

b). Với giá trị m vừa tìm được ở trên, hãy:

i) Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

ii) Tìm các điểm trên ( )P có hoành độ bằng 3. iii) Tìm các điểm trên ( )P cách đều hai trục tọa độ.

Lời giải.

a). ( )P đi qua điểm ^{A( 2; 4)} nên ^{4 ( m22)( 2)2 m 2}. b). i) Với m 2 ta có hàm số y2x².

ii) Ta có y  2 3² 18suyraB(3;18).

iii) y2x²;

2 2

1

2 2

| | | |

2 1

2 x x x

x y

x x x

 

    

   

  

 ; 1 y2

.

Ví dụ 5. Cho hàm số 1 2

y8x

có đồ thị là parabol ( )P . a). Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

b). Trong các điểm 2;3 A 8

 

 ; 2;1 B 2

 ;C(0; 2) , điểm nào thuộc P, điểm nào không thuộc ( )P ?

Lời giải.

a).

b).

2;1

B 2 thuộc ( )P , 2;3 A 8

 

 ;C(0; 2) không thuộc ( )P .

Ví dụ 6. Cho hàm số y 7x² có đồ thị là parabol ( )P . a). Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

b). Trong các điểm A(2; 28) ;B( 1;7) ;C(0; 2) , điểm nào thuộc P, điểm nào không thuộc ( )P ?

Lời giải.

a).

b). A(2; 28) thuộc ( )P ,B( 1;7) ;C(0; 2) không thuộc ( )P .

Ví dụ 7. Cho parabol ( ) :P y2x² và đường thẳng d y:   x 3. a). Vẽ ( )P và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b). Xác định tọa độ giao điểm của ( )P và d.

c). Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình 2x²   x 3. Lời giải.

a).

b).

2 2

1 3 9

2 3 2 3 0 3 (1; 2); ;

2 2 2 x

x x x x A B

x

 

 

            

 .

c).

2 2

1

2 3 2 3 0 3

2 x

x x x x

x

 

           .

Ví dụ 8. Cho parabol ( ) :P y 3x² và đường thẳng d y: 6x3. a). Vẽ ( )P và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b). Xác định tọa độ giao điểm của ( )P và d.

c). Dựa vào đồ thị, hãy giải bất phương trình 3x²6x 3 0. Lời giải.

a).

b). 3x² 6x 3 3x²6x       3 0 x 1 y 3.

c). 3x²6x  3 0 3(x1)²    0 x 1.

Ví dụ 9. Cho hàm số yx² có đồ thị là parabol ( )P . a). Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

b). Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x²  m 2 0theo m.

Lời giải.

a).

b). Xét đường thẳng d có phương trình y m 2. Số nghiệm của phương trình

2 2 0

x   m (1) là số giao điểm của đường thẳng d và ( )P . Từ đồ thị ta thấy:

+ Với m 2 0haym 2,d không cắt ( )P . Do đó phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với m 2 0haym 2,d tiếp xúc ( )P . Do đó phương trình (1) có nghiệm kép.

+ Với m 2 0haym 2,d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy:

+ Với m 2 phương trình x²  m 2 0 vô nghiệm.

+ Với m 2 phương trình x²  m 2 0 có nghiệm kép.

+ Với m 2 phương trình x²  m 2 0 có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 10. Cho hàm số y 2x² có đồ thị là parabol ( )P . a). Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

b). Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình 2x²2m 1 0 theom.

Lời giải.

a).

b). Xét đường thẳng d có phương trình y 2m1. Số nghiệm của phương trình 2x²2m 1 0 (1) là số giao điểm của đường thẳng d và ( )P . Từ đồ thị ta thấy:

+ Với 2m 1 0hay 1 m 2

,d không cắt ( )P . Do đó phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với 2m 1 0hay 1 m2

,d tiếp xúc ( )P . Do đó phương trình (1) có nghiệm kép.

+ Với 2m 1 0hay 1 m2

,d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy:

+ Với 1 m 2

phương trình 2x²2m 1 0 vô nghiệm.

+ Với 1 m2

phương trình 2x²2m 1 0 có nghiệm kép.

+ Với 1 m2

phương trình 2x²2m 1 0 có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 11. Cho parabol

1 2

( ) :

P y4x

và đường thẳng d có phương trình y x m  . Tìm m để:

a). d và ( )P có điểm chung duy nhất.

b). d và ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Lời giải.

Cách 1: Vẽ đồ thị ( )P và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Chú ý hình dạng của d là một đường thẳng song song với đường thẳng với trục Ox. Sử dụng thước di chuyển d trên đồ thị và nhận xét.

Cách 2: Xét phương trình hoành độ giao điểm

2 2 2

1 4 4 4 4 0.1

4x x m x x m x x m

          

a). Đường thẳng d và parabol ( )P có điểm chung duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép x²4x4m0 có dạng hằng đẳng thức

1

 m .

b). Đường thẳng d và parabol ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

2 4 4 0 2 4 4 4 4 0 2 4 4 4 4 ( 2)2 4 4 .

x x m x x m x x m x m

                  

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 4 4 m  0 m 1.

c). Đường thẳng d và parabol ( )P không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm.(x2)²  4 4m  0 m 1.

Ví dụ 12. Cho parabol ( ) :P y2x² và đường thẳng d có phương trình y3x m . Tìm m để:

a). d và ( )P có điểm chung duy nhất.

b). d và ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

c). d và ( )P không có điểm chung.

Lời giải.

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2x² 3x m 2x²3x m 0.1

a). Đường thẳng d và parabol ( )P có điểm chung duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép 2x²3x m 0 có dạng hằng đẳng thức

9 m 16

   .

b). Đường thẳng d và parabol ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

2 2 3 9 9 2 9 3 2 9

2 3 0 0 4 4 ( ) .

2 16 16 16 4 16

x x m x x m x x m x m

                  

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

9 9

16 0 16

m    m .

c). Đường thẳng d và parabol ( )P không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm.

3 2 9 9

( ) 0 .

4 16 16

x m m

       

Bài 1.Cho hàm số y f x( ) ( m²1)x² (m là tham số). Tìm m để:

a). Đồ thị hàm số đi qua điểm

1; 2 A2 

 

 .

b). Đồ thị hàm số đi qua điểm ( ; )x y^{0 0} với ( ; )x y^{0 0} là nghiệm của hệ phương

trình

3 2 3

2 1

x y x y

 

  

 .

c). Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị m tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Lời giải.

a).

2

2 1 2

2 ( 1) 1 8 3

m  2 m m

           .

b).

2 2

3 2 3 1

3 ( 1) ( 1) 2

2 1 3

x y x

m m

x y y

   

 

        

    

  .

c). Với m 2 và m 3 thì y f x( ) 3 x² và y g x ( ) 8 x².

Bài 2.Cho hàm số

2( 0)

3

ya x a

có đồ thị là parabol ( )P .

b). Với giá trị vừa tìm được ở trên, hãy:

i) Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

ii) Tìm các điểm trên ( )P có hoành độ bằng 4. iii) Tìm các điểm trên ( )P cách đều hai trục tọa độ.

Lời giải.

a). ( )P đi qua điểm ^{A( 5;5)} nên ^5 ₂^a

 

.

b). i) Với a2 ta có đồ thị hàm số 2 2

y3x .

ii) Ta có 2 2

4 18 y 3 

suyraB(4;24).

iii) 2 2

y 3x

;

2

2

2 3

3 2

| | | |

2 3

3 2

x x x

x y

x x x

   

 

  

     

 

 ;

3 y2

.

Bài 3.Cho hàm số 1 2

y5x

có đồ thị là parabol ( )P . a). Vẽ ( )P trên mặt phẳng tọa độ.

b). Trong các điểm 1;2 A 5

 

 ; 2;6 B 5;

3 9; C2 20

 

 , điểm nào thuộc ( )P , điểm nào không thuộc ( )P ?

Lời giải.

a).

b).

3 9; C2 20

 

  thuộc ( )P , 1;2 A 5

 

 ; 2;6 B 5

  không thuộc ( )P .

Bài 4.Cho parabol

1 2

( ) :

P y 2x

và đường thẳng d y: 2x2. a). Vẽ ( )P và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b). Xác định tọa độ giao điểm của ( )P và d. Lời giải.

a).

b). Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( )P

2 2 2

1 2 2 4 4 0 4 4 0 2 2

2 x x x x x x x y

                 

. Bài 5.Cho hàm số y3x² có đồ thị là parabol ( )P .

a). Vẽ ( )P lên mặt phẳng tọa độ.

b). Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình 3x²  m 2 0 theom.

Lời giải.

a).

b). Xét đường thẳng d có phương trình y m 2. Số nghiệm của phương trình 3x2  m 2 0 (1) là số giao điểm của đường thẳng d và ( )P . Từ đồ thị ta thấy:

+ Với m 2 0haym 2,d không cắt ( )P . Do đó phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với m 2 0haym 2,d tiếp xúc ( )P . Do đó phương trình (1) có nghiệm kép.

+ Với m 2 0haym 2,d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy:

+ Với m 2 phương trình x²  m 2 0 vô nghiệm.

+ Với m 2 phương trình x²  m 2 0 có nghiệm kép.

+ Với m 2 phương trình x²  m 2 0 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 6.Cho parabol

1 2

( ) :

P y 2x

và đường thẳng d có phương trình y  x m. Tìm m để:

a). d và ( )P có điểm chung duy nhất.

b). d và ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

c). d và ( )P không có điểm chung.

Lời giải.

Cách 1: Vẽ đồ thị ( )P và d trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Chú ý hình dạng của d là một đường thẳng song song với đường thẳng với trục Ox. Sử dụng thước di chuyển d trên đồ thị và nhận xét.

Cách 2: Xét phương trình hoành độ giao điểm

2 2 2

1 2 2 2 2 0.1

2x    x m x   x m x  x m

a). Đường thẳng d và parabol ( )P có điểm chung duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép x²2x2m0 có dạng hằng đẳng thức

1 m 2

   .

b). Đường thẳng d và parabol ( )P cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

2 2 2 0 2 2 1 2 1 0 2 2 1 2 1 ( 1)2 2 1.

x x m x x m x x m x m

                  

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

2 1 0 1

m    m 2 .

c). Đường thẳng d và parabol ( )P không có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm.

2 1

( 1) 2 1 0 .

x m m 2

        --- HẾT ---