Phương Pháp Giải Toán 9 Công Thức Nghiệm Của Phương Trình Bậc Hai

Bài 4

. CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Xét phương trình bậc hai ẩn x: ax²bx c 0 (a0). Với biệt thức

2 4 ,

b ac

   ta có

a) Trường hợp 1. Nếu  0 thì phương trình vô nghiệm.

b) Trường hợp 2. Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép: ^{1 2} 2 x x b

   a . c) Trường hợp 3. Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1,2 2

x b

a

  

 .

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước

 Bước 1: xác định các hệ số a b c, , .

 Bước 2: Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình.

Ví dụ 1. Xác định các hệ số  , , ;a b c  tính biệt thức  ,  từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau:

a) x²3x 2 0.  ĐS: x¹1; x² 2.

b) 2x²  x 1 0.  ĐS: ^{1 2}

1;  1 x  x  2

.

c) x²4x 4 0.  ĐS:  x¹ x² 2.

d) x²  x 4 0.  ĐS:  PT vô nghiệm.

Ví dụ 2. Xác định các hệ số  , , ;a b c  tính biệt thức  ,  từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau:

a) x²  x 2 0.  ĐS:  x¹ 1; x² 2.

b)  x² 5x 6 0.  ĐS: x¹ 1; x²  6.

c) 4x²4x 1 0.  ĐS: ^{1 2}

1 x x  2

.

d) x²3x 4 0.  ĐS: PT vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau :

a) 2x²2x0,5 0 . ĐS: ^{1 2} 1 x x  2

.

b) x²2 2x 2 0.  ĐS: x¹ x²   2.

c) x² 3x 1.  ĐS: PT vô nghiệm.

d)  2(x²2) 4 x.  ĐS: x^1,2  2 2 .

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau :

a) x²  x 1 0.  ĐS: PT vô nghiệm.

b) x²2 3x 3 0. ĐS: x¹ x²  3.

c) x² 8x2.  ĐS: ^{1 2}

2;  2 x   x  3

.

d)  x² 5x1.  ĐS: ^{1 2}

5 1 5 1

2 ;  2

x   x  

 

. Dạng 2: Sử dụng công thức nghiệm, xác định số nghiệm của phương trình dạng bậc hai

Xét phương trình dạng bậc hai: ax²+bx c+ =0. (*)

 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 

0 0 ìï ¹a ïíï D >

ïî .

 Phương trình (*) có nghiệm kép khi và chỉ khi 

0 0 ìï ¹a ïíï D =

ïî .

 Phương trình (*) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi 

0 0 a b ìï =ïí ï ¹ïî .

 Phương trình (*) có vô nghiệm khi và chỉ khi 

0, 0, 0

0, 0

a b c

a

é = = ¹

êê ¹ D <

êë .

Ví dụ 5. Cho phương trình mx²3x 1 0 (m  là tham s?) . Tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS:

9,  0 m4 m

.

b) Có nghiệm kép.  ĐS:

9 m 4

.

c) Vô nghiệm.  ĐS:

9 m 4

.

d) Có đúng một nghiệm. ĐS: m0. Ví dụ 6. Cho phương trình mx²2x 1 0 (m  là tham s?) . Tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt. ĐS: m1, m0.

b) Có nghiệm kép.  ĐS: m1.

c) Vô nghiệm.  ĐS: m1.

d) Có đúng một nghiệm.  ĐS: m0.

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai

 Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của m.

 Xét phương trình dạng bậc hai: ax²+bx c+ =0 với D =b²- 4ac.

 Nếu a=0, ta biện luận phương trình bậc nhất.

 Nếu a¹ 0, ta biện luận phương trình bậc hai theo D. Ví dụ 7. Giải và biện luận các phương trình sau:(m là tham số)

a) x²  x m 0. b) mx²(2m1)x m 0.  Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau:(m là tham số)

a) x²2x m 0.  b) mx²  x 1 0.  Dạng 4: Một số bài toán về tính số nghiệm của phương trình bậc hai

 Dựa vào điều kiện của D để phương trình bậc hai ax²+bx c+ =0(a¹ 0) có nghiệm.

Ví dụ 9.  Chứng tỏ rằng khi một phương trình  ax² bx c 0  có các hệ số  a  và  c  trái dấu thì phương trình đó luôn có nghiệm.

Ví dụ 10. Không tính  ,  hãy giải thích vì sao các phương trình sau đây có nghiệm a) 3x²2x 5 0.  b)  x² 3x 2 1 0  . 

c) 5x²2x m ² 1 2x2.  d)  2mx²  x m 0 (m0).  C. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Xác định các hệ số  , , ;a b c  tính biệt thức  ,  từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau:

a) x²5x 6 0.  ĐS:  x¹2; x² 3.

b) 3x²2x 1 0.  ĐS:   ^{1 2}

1;  1 x   x 3

.

c) x²2 2x 2 0.  ĐS:  x¹ 1; x²  2.

d) x²2x 4 0.  ĐS: PT vô nghiệm . Bài 2. Giải các phương trình sau

a) x² x 3.  ĐS:   ^1,2

1 13 x 2

 .

b)  x² 3x x 1.  ĐS: x^1,2   2 5.

c) x² 2(x1). ĐS:  x^1,2  1 3

.

d) x² 3(x 1) 0. ĐS:  PT vô nghiệm.

Bài 3. Cho phương trình mx²  x 2 0 (m  là tham s?) . Tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt.  ĐS:  

1,  0 m8 m

.

b) Có nghiệm kép.  ĐS:  

1 m8

.

c) Vô nghiệm.  ĐS:

1 m8

.

d) Có đúng một nghiệm.  ĐS: m0.

Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:(m là tham số)

a) x²  x m 0. b) mx²  x 3 0. 

Câu 15. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình sau luôn có nghiệm.

a) x²(m2)x2m0.  b) x²2mx(m 1) 0.  HƯỚNG DẪN GIẢI

Ví dụ 1. Xác định các hệ số a b c, , ; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau:

a) x²3x 2 0. b) 2x²  x 1 0. c) x²4x 4 0. d) x²  x 4 0. Lời giải.

a) Ta có a1, b 3, c  2;  b²4ac1,  từ đó tìm được x¹ 1; x² 2.

b) Ta có a 2, b1, c  1;  b²4ac9,  từ đó tìm được ^{1 2} 1;  1 x x 2

  . c) Ta có a1, b 4, c  4;  b²4ac0,  từ đó tìm được x¹x² 2. d) Ta có a1, b 1, c  4;  b²4ac   15 0,  PT vô nghiệm.

Ví dụ 2. Xác định các hệ số a b c, , ; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau:

a) x²  x 2 0. b)  x² 5x 6 0. c) 4x²4x 1 0. d) x²3x 4 0. Lời giải.

a) Ta có a1, b 1, c   2;  b²4ac9,  từ đó tìm được x¹  1; x² 2. b) Ta có a 1, b 5, c  6;  b²4ac49,  từ đó tìm được x¹1; x²  6.

c) Ta có a4, b 4, c  1;  b²4ac0,  từ đó tìm được ^{1 2} 1 x x  2

. d) Ta có a1, b 3, c  4;  b²4ac   7 0,  PT vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau :

a) 2x²2x0,5 0 . b) x²2 2x 2 0. c) x² 3x 1. d) ^{2(x22) 4 x}. Lời giải.

a) Ta có ^{1 2}

0 1

x x 2

     .

b) Ta có    0 x¹ x²   2.

c) Biến đổi thành ^{x2 3x}      ^{1 0,  1 0} PT vô nghiệm.

d) Biến đổi thành ^{x22 2x   2 0,  16}. Từ đó tìm được ^{x1,2  2 2} . Ví dụ 4. Giải các phương trình sau :

a) x²  x 1 0. b) x²2 3x 3 0. c) x² 8x2. d)  x² 5x1.

Lời giải.

a)     3 0 PT vô nghiệm.

b) Ta có    0 x¹ x²  3.

c) Biến đổi PT thành

2

1 2

3 8 2 0,  4 2 2;  2

x  x    x   x  3 .

d) Biến đổi PT thành

2

1 2

5 1 5 1

5 1 0,  1 ; 

2 2

x x x   x  

        

.

Ví dụ 5. Cho phương trình mx²3x 1 0 (m là tham s?). Tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép.

c) Vô nghiệm. d) Có đúng một nghiệm.

Lời giải.

Xét   9 4m.

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

0 0 a

  . Tìm được

9,  0 m 4 m

.

b) Phương trình có nghiệm kép

0 0 a

   . Tìm được 9 m4

.

c) Xét

0 3 1 0 1

m x x 3

     

.Suyra m0 loại

Xét m0 phương trình vô nghiệm khi 0 9

m 4

    .

d) Có đúng một nghiệm khi

0 0

0 3 0 0

a m

b m

 

   

   

  .

Ví dụ 6. Cho phương trình mx²2x 1 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép.

c) Vô nghiệm. d) Có đúng một nghiệm.

Lời giải.

Xét   4 4m.

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

0 0 a

   Tìm được m1, m0.

b) Phương trình có nghiệm kép

0 0 a

   Tìm được m1.

c) Xét

0 2 1 0 1

m      x x 2

.Suyram0 loại Xét m0 phương trình vô nghiệm khi    0 m 1.

d) Có đúng một nghiệm khi

0 0

0 2 0 0

a m

b m

 

 

  

   

  .

Ví dụ 7. Giải và biện luận các phương trình sau:(m là tham số) a) x²  x m 0. b) mx²(2m1)x m 0. Lời giải.

a) x²  x m 0. Xét   1 4m.

0 1 m 4

   

: Phương trình vô nghiệm.

0 1 m 4

   

: Phương trình có nghiệm kép ^{1 2} 1 x x  2

. 0 1

m 4

   

: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ^1,2

1 1 4

2 x    m

. b) mx²(2m1)x m 0.

Với m 0 phương trình có 1 nghiệm x0. Với m   0 4m1.

0 1

m 4

   

: Phương trình vô nghiệm.

0 1

m 4

   

: Phương trình có nghiệm kép ^{1 2}

2 1

2 x x m

m

  

. 0 1

m 4

   

: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ^1,2

2 1 1 4

2

m m

x m

  

 .

Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau:(m là tham số) a) x²2x m 0. b) mx²  x 1 0.

Lời giải.

a) x²2x m 0. Xét   4 4m.

0 m 1

    : Phương trình vô nghiệm.

0 m 1

    : Phương trình có nghiệm kép x¹x² 1.

0 m 1

    : Phương trình có hai nghiệm phân biệt ^1,2

2 4 4

2 x    m

. b) mx²  x 1 0.

Với m 0 phương trình có 1 nghiệm x1. Với m    0 4m1.

0 1 m 4

   

: Phương trình vô nghiệm.

0 1 m 4

   

: Phương trình có nghiệm kép ^{1 2} 1 x x 2

  m . 0 1

m 4

   

: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ^1,2

1 1 4

2 x m

m

 

 .

Ví dụ 9. Chứng tỏ rằng khi một phương trình ax² bx c 0 có các hệ số a và c trái dấu thì phương trình đó luôn có nghiệm.

Lời giải.

Do a c     0 a c 0. Ta có  b²4ac b ² 4( ac) 0  Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 10. Không tính , hãy giải thích vì sao các phương trình sau đây có nghiệm

a) 3x²2x 5 0. b)  x² 3x 2 1 0  . c) 5x²2x m ² 1 2x2. d) ^{2mx2  x m 0 (m0)}. Lời giải.

a) Do a c.     3( 5) 15 0.

b) Do ^{a c.  1( 2 1) 1   2 0} . c) Do a c.  5( m² 3) 0.

d) Do a c.   2m² 0.

Bài 1. Xác định các hệ số a b c, , ; tính biệt thức , từ đó áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau:

a) x²5x 6 0. b) 3x²2x 1 0. c) x²2 2x 2 0. d) x²2x 4 0. Lời giải.

a) Ta có a1, b 5, c  6;  1,  từ đó tìm được x¹2; x² 3.

b) Ta có a 3, b 2, c  1;  16,  từ đó tìm được ^{1 2} 1;  1 x   x 3

. c) Ta có ^{a1, b 2 2, c  2;  0,}  từ đó tìm được x¹1; x²  2. d) Ta có a1, b 2, c    4;  12 PT vô nghiệm .

Bài 2. Giải các phương trình sau

a) x² x 3. b)  x² 3x x 1. c) x² 2(x1). d) ^{x2 3(x 1) 0}. Lời giải.

a)  13, từ đó tìm được ^1,2

1 13 x 2

 .

b)  20, từ đó tìm được ^{x1,2   2 5}. c)  12, từ đó tìm được ^{x1,2  1 3}.

d) Biến đổi thành ^{x2 3x 3 0,    3 4 3 0 } PT vô nghiệm.

Bài 3. Cho phương trình mx²  x 2 0 (m là tham s?). Tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt. b) Có nghiệm kép.

c) Vô nghiệm. d) Có đúng một nghiệm.

Lời giải.

Xét   1 8m.

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

0 0 a

   Tìm được

1,  0 m8 m

.

b) Phương trình có nghiệm kép

0 0 a

   Tìm được 1 m8

. c) Xét m      0 x 2 0 x 2.Suyram0 loại

Xét m0 phương trình vô nghiệm khi 0 1

m 8

    .

d) Có đúng một nghiệm khi

0 0

0 1 0 0

a m

b m

 

   

   

  .

Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:(m là tham số) a) x²  x m 0. b) mx²  x 3 0. Lời giải.

a) x²  x m 0.Xét   1 4m. 0 1

m 4

   

: Phương trình vô nghiệm.

0 1

m 4

   

: Phương trình có nghiệm kép ^{1 2} 1 x x  2

. 0 1

m 4

   

: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ^1,2

1 1 4

2 x    m

. b) mx²  x 3 0.

Với m 0 phương trình có 1 nghiệm x3. Với m    0 12m1.

0 1 m 12

   

: Phương trình vô nghiệm.

0 1 m 12

   

: Phương trình có nghiệm kép ^{1 2} 1 x x 2

  m .

0 1 m 12

   

: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ^1,2

1 1 12 2 x m

m

 

 .

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình sau luôn có nghiệm.

a) x²(m2)x2m0. b) x²2mx(m 1) 0. Lời giải.

a) x²(m2)x2m0. Có  (m2)²   0,  m  nên với mọi giá trị của m thì phương trình sau luôn có nghiệm

b) x²2mx(m 1) 0. Có  (2m1)²    3 0,  m  nên với mọi giá trị của m thì phương trình sau luôn có nghiệm

--- HẾT ---