Công thức giải bất phương trình bậc hai một ẩn chi tiết nhất
I. Lí thuyết tổng hợp.
- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 +bx+ c 0 (hoặc ax2+bx+ c 0, ax2 +bx+ c 0,ax2 +bx+ c 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và a0.
- Giải bất phương trình bậc hai ax2 +bx+ c 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 +bx+c cùng dấu với hệ số a hay trái dấu với hệ số a.
II. Các công thức.
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 +bx+c có a0, =b2 −4ac, ta có:
2 a 0
ax bx c 0 x x
0
+ +
2 a 0
ax bx c 0 x x
0
+ +
2 a 0
ax bx c 0 x x
0
+ +
2 a 0
ax bx c 0 x x
0
+ +
+) Nếu 0 và 1
2
x x
f (x) 0
x x
=
= = (x1 x )2 thì :
2 1
1 2
x x f (x) 0
a 0 x x
f (x) 0 x x x
2 1
1 2
x x f (x) 0
a 0 x x
f (x) 0 x x x
III. Ví dụ minh họa.
Bài 1: Giải bất phương trình: x2 +5x− 6 0. Lời giải:
Xét tam thức bậc hai: x2 +5x−6 Ta có: =52 −4.( 6).1− =49 > 0
Nghiệm của tam thức là: x1 5 49 1 2.1
= − + = , x2 5 49 6 2.1
= − − = −
Hệ số a = 1 > 0 nên ta có:
2 x 6
x 5x 6 0
x 1
− + −
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S= − −
(
; 6) (
5;+)
.Bài 2: Giải bất phương trình: 3x2 +2x+ 5 0 Lời giải:
Xét tam thức bậc hai: 3x2 +2x+5 Ta có: a 32 0
2 4.3.5 54 0
=
= − = −
3x2 2x 5 0 x
+ +
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= . Bài 3: Giải bất phương trình: 2x2 −4x− 5 0.
Lời giải:
Xét tam thức bậc hai: 2x2 −4x−5 Ta có: = −' ( 2)2 −2.( 5) 14− = > 0
Nghiệm của tam thức là: x1 ( 2) 14 2 14
2 2
− − + +
= = , x2 ( 2) 14 2 14
2 2
− − − −
= =
Hệ số a = 2 > 0 nên ta có:
2 2 14 2 14
2x 4x 5 0 x
2 2
− +
− −
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S 2 14 2; 14
2 2
− +
=
.
IV. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Giải bất phương trình −3x2 +7x− 4 0. Bài 2: Giải bất phương trình x2 −3x 1 0− .
