Phương trình bậc nhất hai ẩn và tập nghiệm I. Lý thuyết
1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
- Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là phương trình có dạng: ax + by = c trong đó a, b, c là các số cho trước, a 0;b 0 .
- Nếu số thực x ; y thỏa mãn 0 0 ax0 +by0 =c thì cặp số
(
x ; y0 0)
được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm
(
x ; y0 0)
của phương trình ax + by = c được biểu diễn bởi điểm có tọa độ(
x ; y0 0)
.2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by =c luôn có vô số nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình biểu diễn bởi đường thẳng d: ax + by = c - Nếu a0 và b = 0 thì phương trình có nghiệm
x c a y
=
và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục tung.
- Nếu a = 0 và b0 thì phương trình có nghiệm x y c
b
=
và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành.
- Nếu a0;b0thì phương trình có nghiệm x
a c
y x
b b
=− +
hoặc
y
b c
x y
a a
= − +
khi đó đường thẳng d cắt cả hai trục Ox; Oy. Đường thẳng d là đồ thị hàm số
a c
y x
b b
= − + .
II. Dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Xét một cặp số cho trước có là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn không.
Phương pháp giải: Nếu cặp số thực
(
x ; y0 0)
thỏa mãn ax0 +by0 =c thì nó được gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c.Ví dụ 1: Trong các cặp số (12; 1); (1; 1); (2; -3) cặp số nào là nghiệm của phương trình 2x – 5y =19.
Lời giải:
- Xét cặp số (12; 1)
Thay x = 12 và y = 1 ta có:
2.12 -1.5 = 24 – 5 = 19 nên cặp số (12; 1) là nghiệm của phương trình 2x – 5y = 19.
- Xét cặp số (1; 1) ta có:
Thay x = 1; y = 1 ta có:
2.1 – 5.1 = -3 nên cặp số (1; 1) không là nghiệm của phương trình 2x – 5y =19.
- Xét cặp số (2; -3)
Thay x = 2 và y = -3 ta có:
2.2 – 5.(-3) = 4 + 15 = 19 nên căp số (2; -3) là nghiệm của phương trình 2x – 5y = 19.
Ví dụ 2: Viết phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm là (2; 0) và (-1; -2).
Lời giải:
Vì nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn nằm trên một đường thẳng nên ta gọi đường thẳng đó là d: y = ax + b.
+ Thay x = 2; y = 0 vào đường thẳng d ta có: 0 = 2.a + b (1) + Thay x = -1; y = -2 vào đường thẳng d ta có: -2 = -1.a + b (2) Từ (2) ta có: b = -2 + a thay vào (1) ta có:
2.a + a – 2 =0
3a – 2 = 0
3a = 2 a 2
= 3 2 4
b 2
3 3
= − + =−
Đường thẳng d cần tìm là y = 2 3x 4
−3
Phương trình bậc nhất hai ẩn là 2x – 3y – 4 = 0.
Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
Phương pháp giải: Xét phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c = 0.
- Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi đưa ra kết luận về công thức nghiệm tổng quát.
- Để biểu diễn tập nghiệm phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình ax + by = c trên mặt phẳng tọa độ.
Ví dụ 1: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau:
a) 2x – 3y = 5 b) 4x +0y =12.
Lời giải:
a) Xét phương trình 2x – 3y = 5 ta có:
a0;b0(do a = 2; b = -3) nên ta có công thức nghiệm của phương trình là x
a c
y x
b b
= − +
x
2 5
y x
3 3
= −
Vẽ đường thẳng 2 5
y x
3 3
= − trên hệ mặt phẳng tọa độ.
Cho x = 0 5
y 3
=− 5
A 0; 3
−
Cho y = 0 5 5
x B ;0
2 2
=
Nghiệm của phương trình 2x – 3y = 5 là đường thẳng được biểu diễn trên hình vẽ.
b) Xét phương trình 4x + 0y = 12
a0;b=0 (do a = 4; b = 0) nên ta có công thức nghiệm của phương trình là x c
a y
=
x 12 3 4 y
= =
Vẽ đường thẳng x = 3 trên hệ mặt phẳng tọa độ.
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp giải: Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây để giải dạng toán này.
- Nếu a0và b = 0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng d: c x=a khi đó d song song hoặc trùng với Oy.
- Nếu a = 0 và b0 thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng d: c y= b khi đó d song song hoặc trùng với Ox.
- Nếu a0;b0thì phương trình đường thẳng d: ax + by = c có dạng d:
a c
y x
b b
= − + .
- Đường thẳng d: ax + by = c đi qua điểm M x ; y
(
0 0)
khi và chỉ khi ax0 +by0 =c. Ví dụ 1: Cho đường thẳng d có phương trình: (m – 2)x + (3m – 1)y = 6m – 2 Tìm m để:a) d song song hoặc trùng với trục hoành.
b) d song song hoặc trùng với trục tung
c) d đi qua điểm A(1; -1).
Lời giải:
a) Để d song song với trục hoành a 0
b 0
=
m 2 0 3m 1 0
− =
−
m 2 3m 1
=
m 2
m 1 3
=
Vậy m = 2 thì d song song với trục hoàng.
b) Để d song song với trục tung a 0 b 0
=
m 2 0 3m 1 0
−
− =
m 2 3m 1
=
m 2
m 1 3
=
Vậy 1
m=3thì d song song với trục tung.
c) d đi qua A(1; -1). Thay x = 1; y = -1 và d ta có:
(m - 2).1 + (3m – 1).(-1) = 6m – 2
m 2 3m 1 6m 2
− − + = − m 3m 2 1 6m 2 0
− − + − + = 8m 1 0
− + =
8m 1
− = − m 1
=8
Vậy 1
m=8thì d đi qua A(1; -1) III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cặp số (-2; 3) là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình dưới đây?
a) x – y = 1 b) 2x + 3y = 5 c) 2x + y = 7 d) 2x – y = -7
Bài 2: Trong các cặp số (1; 3); (-2; 0); (0; 4); (3; 2) cắp số nào là nghiệm của phương trình 2x + 2y = 8.
Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình bậc nhất hai ẩn m 1x+ −2y= +m 1 có một nghiệm là (1; -1).
Bài 4: Cho hai nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn là (2; 3) và (4; 6).
Tìm phương trình bậc nhất hai ẩn đó.
Bài 5: Viết công thức tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a) 3x – y = 5 b) 2x + 0y = 6 c) 0x + 3y = 9.
Bài 6: Cho đường thẳng d có phương trình:
(2m – 1)x +3(m – 1)y = 4m – 2 Tìm các tham số m để
a) d song song với Ox b) d song song với Oy c) d đi qua gốc tọa độ d) d đi qua điểm A(2; 1).
Bài 7: Tìm giá trị của tham số m để cặp số 3 2 ;2
−
là nghiệm của phương trình:
(m – 3)x +2my = 5 + m
Bài 8: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a) x – 2y = 7 b) 3x – 2y = 3 c) 7x + 0y = 14.
Bài 9: Tìm phương trình đường thẳng d biết d đi qua hai điểm M(-1; -3) và N(2;
1).
Bài 10: Cho đường thẳng d có phương trình:
(2m – 3)x + (3m – 1)y = m + 2 a) d song song với Ox
b) d song song với Oy c) d đi qua gốc tọa độ d) d đi qua A(2; 3).
