Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn I. Lý thuyết
1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
ax by c (1) a ' x b ' y c ' (2)
+ =
+ =
Trong đó a, b, a’, b’ là các số thực cho trước a2 +b2 0và a '2+b '2 0.
- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung
(
x ; y0 0)
thì(
x ; y0 0)
được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.- Giải hệ phương trình là tìm tất cả tập nghiệm của nó.
- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp điểm chung của hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’
Trường hợp 1: d =d ' A x ; y
(
0 0)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là(
x ; y0 0)
;Trường hợp 2: d // d’ Hệ phương trình vô nghiệm Trường hợp 3: d d' Hệ phương trình có vô số nghiệm.
Chú ý: Với trường hợp a ';b';c'0
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất a b a ' b'
;
Hệ phương trình vô nghiệm a b c a ' b' c'
= ; Hệ phương trình vô số nghiệm a b c
a ' b' c'
= = . II. Dạng bài tập
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Phương pháp giải: Để giải một hệ phương trình, ta sẽ biến đổi hệ đã cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản hơn.
Để giải phương trình bằng phương pháp thế ta sử dụng quy tắc thế sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau
a) 2x y 3 x y 6
− =
+ =
b)
( )
( )
2 1 x y 2
x 2 1 y 1
− − =
+ + =
Lời giải:
a) 2x y 3 x y 6
− =
+ =
( )
y 2x 3 x 2x 3 6
= −
+ − =
y 2x 3 x 2x 3 6
= −
+ − =
y 2x 3 3x 3 6
= −
− =
y 2x 3 3x 9
= −
=
x 9 : 3 y 2x 3
=
= −
x 3 y 2.3 3
=
= −
x 3 y 3
=
=
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (3; 3)
b)
( )
( )
2 1 x y 2
x 2 1 y 1
− − =
+ + =
( )
( ) ( ( ) )
y 2 1 x 2
x 2 1 2 1 x 2 1
= − −
+ + − − =
( )
( )( ) ( )
y 2 1 x 2
x 2 1 2 1 x 2 2 1 1
= − −
+ + − − + =
( )
y 2 1 x 2
x x 2 2 1
= − −
+ − − =
( )
y 2 1 x 2
2x 1 2 2
= − −
= + +
( )
y 2 1 x 2
2x 3 2
= − −
= +
( )
3 2
x 2
3 2
y 2 1 . 2
2
+
=
= − + −
3 2
x 2
y 1 2
= +
= −
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là 3 2; 1
2 2
+ −
.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau bằng cách quy về phương pháp thế:
a)
( ) ( )
( ) ( )
3 y 5 2 x 3 0
7 x 4 3 x y 1 14 0
− + − =
− + + − − =
b)
( )( ) ( )( )
( )
x 1 y 1 x 2 y 1 1
2 x 2 y x 2xy 3
+ − = − + −
− − = −
Lời giải:
( ) ( )
( ) ( )
3 y 5 2 x 3 0
7 x 4 3 x y 1 14 0
− + − =
− + + − − =
3y 15 2x 6 0
7x 28 3x 3y 3 14 0
− + − =
− + + − − =
2x 3y 15 6 10x 3y 28 14 3
+ = +
+ = + +
2x 3y 21 10x 3y 45
+ =
+ =
( )
3y 21 2x
10x 21 2x 45
= −
+ − =
3y 21 2x
10x 21 2x 45
= −
+ − =
8x 45 21 3y 21 2x
= −
= −
8x 24 3y 21 2x
=
= −
x 24 : 8 3y 21 2x
=
= −
x 3
3y 21 2.3
=
= −
x 3 3y 15
=
=
x 3 y 5
=
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (3; 5)
b)
( )( ) ( )( )
( )
x 1 y 1 x 2 y 1 1
2 x 2 y x 2xy 3
+ − = − + −
− − = −
xy x y 1 xy x 2y 2 1 2xy 4y x 2xy 3
− + − = + − − −
− − = −
xy x y xy x 2y 1 2 1 2xy 4y x 2xy 3
− + − − + = − −
− − − = −
2x 3y 2 x 4y 3
− + = −
− − = −
( )
x 4y 3
2 4y 3 3y 2
= − +
− − + + = −
x 4y 3 8y 6 3y 2
= − +
− + = −
x 4y 3 11y 2 6
= − +
= − +
x 4y 3 11y 4
= − +
=
x 4. 4 3 11 y 4
11
= − +
=
x 17 11 y 4
11
=
=
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là 17 4 11 11;
. Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Phương pháp giải: Để giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số ta sử dụng quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:
Bước 1: Cộng hay trừ hai vế của hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới đấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ nguyên một phương trình kia ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.
Bước 3: Giải hệ phương trình mới.
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
a) 2x 3y 5 2x 4y 7
− =
+ =
b) x 7y 2 3
2x 2 7y 11
+ = −
− − =
Lời giải:
a) 2x 3y 5 (1) 2x 4y 7 (2)
− =
+ =
Lấy (1) – (2) ta được:
( ) ( )
2x 3y 5
2x 3y 2x 4y 5 7
− =
− − + = −
2x 3y 5
2x 3y 2x 4y 2
− =
− − − = −
2x 3y 5 7y 2
− =
− = −
2x 3y 5 y 2
7
− =
=
2x 3.2 5 7 y 2
7
− =
=
2x 5 6 7 y 2
7
= +
=
2x 41 7 y 2
7
=
=
x 41 14 y 2
7
=
=
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là 41 2 14 7;
. b) x 7y 2 3 (3)
2x 2 7y 11 (4)
+ = −
− − =
Nhận cả hai vế của phương trình (1) với 2 ta được:
2x 2 7y 4 3 (5) 2x 2 7y 11 (4)
+ = −
− − =
Lây (4) + (5) ta được
(
2x 2 7y) (
2x 2 7y)
4 3 112x 2 7y 11
+ + − − = − +
− − =
2x 2 7y 2x 2 7y 4 3 11
2x 2 7y 11
+ − − = − +
− − =
0 4 3 11 2x 2 7y 11
= − +
− − =
Vì 0= −4 3+ 11(vô lí) nên hệ phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
4x 3 x y
5 x 3y 5 9y
14
+ = −
−
+ =
Lời giải:
4x 3 x y
5 x 3y 5 9y
14
+ = −
−
+ =
5x 5y 4x 3 14x 42y 15 9y
+ = −
+ = −
5x 5y 4x 3 14x 42y 9y 15
+ − = −
+ + =
x 5y 3 (1) 14x 51y 15 (2)
+ = −
+ =
Nhân hai vế của phương trình (1) với 14 ta được:
14x 70y 42 (3) 14x 51y 15 (2)
+ = −
+ =
Lấy (3) – (2) ta được:
( ) ( )
14x 70y 42
14x 70y 14x 51y 42 15 + = −
+ − + = − −
14x 70y 42
14x 70y 14x 51y 57 + = −
+ − − = −
14x 70y 42 19y 57
+ = −
= −
14x 70y 42 y 57 :17
+ = −
= −
14x 70y 42
y 3
+ = −
= −
14x 70.( 3) 42
y 3
+ − = −
= −
14x 42 210
y 3
= − +
= −
14x 168
y 3
=
= −
x 168 :14
y 3
=
= −
x 12
y 3
=
= −
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (12; -3).
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Phương pháp giải: Ta thực hiện theo ba bước sau Bước 1: Lấy điều kiện của biến (nếu có)
Bước 2: Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng cơ bản.
Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất vừa tìm được bằng các phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
3 1
x 1 y 2 4
1 1
x 1 y 2 1
+ =
− +
− =
− +
b) x 2 y 1 22 3 x 2 4 y 1 18
− + − =
− − + − =
c) 3 x 1 2 y 13
2 x 1 y 4
− + =
− − =
Lời giải:
a)
3 1
x 1 y 2 4
1 1
x 1 y 2 1
+ =
− +
− =
− +
với x1; y −2
Đặt: 1 1
a; b
x 1= y 2=
− + khi đó hệ phương trình trở thành 3a b 4 (1)
2a b 1 (2)
+ =
− =
Lấy (1) + (2) ta được:
(
3a b) (
2a b)
4 12a b 1
+ + − = +
− =
3a b 2a b 5 2a b 1
+ + − =
− =
5a 5 2a b 1
=
− =
a 5 : 5 2a b 1
=
− =
a 1 2.1 b 1
=
− =
a=1 2 b 1
− =
a 1 b 2 1
=
= −
a 1 b 1
=
=
1 1
x 1
1 1
y 2
=
−
=
+
x 1 1 y 2 1
− =
+ =
x 2
y 1
=
= − (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (1; -1).
b) x 2 y 1 22 3 x 2 4 y 1 18
− + − =
− − + − =
Đặt x 2 a (a 0) y 1 b (b 0)
− =
− =
Khi đó hệ phương trình trở thành a b 22 (1) 3a 4b 18 (2)
+ =
− + =
Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 ta được hệ mới:
3a 3b 66 (3) 3a 4b 18 (4)
+ =
− + =
Lấy (3) + (4) ta được:
3a 3b 66 7b 84
+ =
=
3a 3b 66 b 84 : 7
+ =
=
3a 3b 66 b 12
+ =
=
3a 3.12 66 b 12
+ =
=
3a 66 36 b 12
= −
=
3a 30 b 12
=
=
a 30 : 3 b 12
=
=
a 10 b 12
=
=
+ Với a = 10 − =x 2 10
x 2 10 x 10 2 x 12
x 2 10 x 10 2 x 8
− = = + =
− = − = − + = −
+ Với b = 12 − =y 1 12
y 1 12 y 12 1 y 13
y 1 12 y 12 1 x 11
− = = + =
− = − = − + = −
Vậy ta tìm được 4 cặp nghiệm (x; y) là (12; 13); (-8; 13); (12; -11); (-8; -11),
c) 3 x 1 2 y 13
2 x 1 y 4
− + =
− − =
Điều kiện: x1; y0 Đặt x 1 a a
(
0)
y b (b 0)
− =
=
Khi đó hệ phương trình trở thành 3a 2b 13 (1) 2a b 4 (2)
+ =
− =
Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 khi đó ta có hệ mới 3a 2b 13 (1)
4a 2b 8 (3) + =
− =
Lấy (1) + (3) ta được hệ 3a 2b 4a 2b 13 8 3a 2b 13
+ + − = +
+ =
7a 21 3a 2b 13
=
+ =
a 21: 7 3a 2b 13
=
+ =
a 3
3.3 2b 13
=
+ =
a 3 2b 13 9
=
= −
a 3 2b 4
=
=
a 3 b 2
=
=
x 1 3 y 2
− =
=
x 1 9 y 4
− =
=
x 10 y 4
=
= .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (10; 4).
Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp.
Phương pháp giải:
Cho hệ phương trình đẳng cấp dạng 1
2
f (x; y) a (1) g(x; y) a (2)
=
=
Để giải hệ phương trình đẳng cấp ta thực hiện theo ba bước sau:
Bước 1: Nhân phương trình (1) với a và phương trình (2) với 2 a rồi trừ phương 1 trình để làm mất hệ số tự do.
Bước 2: Phương trình chỉ còn hai ẩn x và y ta xét hai trường hợp.
Trường hợp 1: Nếu x = 0 hoặc y = 0. Ta thay vào phương trình ban đầu của hệ để giải ẩn còn lại.
Trường hợp 2: Nếu x 0 hoặc y0ta chia cả hai vế phương trình cho bậc cao nhất của x hoặc y.
Bước 3: Giải phương trình với ẩn x
y hoặc y
x sau đó tìm nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
2x xy 3y 8 x 2xy 2y 4
+ − =
− + =
Lời giải:
2 2
2 2
2x xy 3y 8 (1) x 2xy 2y 4 (2)
+ − =
− + =
Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 ta được hệ mới:
2 2
2 2
2x xy 3y 8 (1) 2x 4xy 4y 8 (3)
+ − =
− + =
Trừ phương trình (1) cho phương trình (3) ta được:
(
2x2 +xy 3y− 2) (
− 2x2 −4xy+4y2)
= −8 82 2 2 2
2x xy 3y 2x 4xy 4y 0
+ − − + − =
5xy 7y2 0
− =
( )
y 5x 7y 0
− =
y 0
5x 7y 0
=
− = y 0 5x 7y
=
=
+ Với y = 0 2x2 +x.0 3.0− 2 =8 2x2 8
=
x2 4
=
x 2
x 2
=
= −
+ Với 5x = 7y 7y
x 5
= thay vào phương trình (1) ta có:
2
7y 7y 2
2 y. 3y 8
5 5
+ − =
2 2 2
49 7
2. y y 3y 8
25 5
+ − =
2 98 7
y 3 8
25 5
+ − =
2 58
y . 8
25 =
2 58
y 8 :
= 25
2 100
y 29
=
100 10
y 29 29
= = 10 29
= 29 Với x 7y
= 5 14 29
x 29
=
Vậy ta tìm được 4 cặp nghiệm (x; y) là
( ) ( )
14 29 10 29 14 29 10 292;0 ; 2;0 ; ; ; ;
29 29 29 29
− −
−
.
Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng
Phương pháp giải: Hệ phương trình đối xứng là khi ta thay x bởi y và y bởi x thì hệ phương trình đã cho không đổi.
Để giải hệ phương trình này ta làm theo ba bước.
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)
Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện của S và P là S2 4P
Bước 3: Thay x; y bởi S và P vào hệ phương trình. Tìm S, P rồi tìm x; y.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 2
x y xy 11 x y y x 30
+ + =
+ =
Lời giải:
2 2
x y xy 11 x y y x 30
+ + =
+ =
x y xy 11 xy(x y) 30
+ + =
+ =
Đặt S x y
(
S2 4P)
P xy
= +
=
Khi đó hệ phương trình trở thành S P 11 S.P 30
+ =
=
S 11 P
(11 P)P 30
= −
− =
2
S 11 P 11P P 30
= −
− =
2
S 11 P
P 11P 30 0
= −
− + =
( )( )
S 11 P
P 11 P 5 0
= −
− − = S 11 P
P 11 P 5
= −
=
=
S 5 P 6(tm) S 6 P 5(tm)
=
=
=
=
Với S 5 P 6
=
=
x y 6 x 6 y
xy 5 (6 y)y 5
+ = = −
= − =
2
x 6 y
y 6y 5 0
= −
− + − =
x 1 y 5 x 5 y 1
=
=
=
=
Với S 5
P 6
=
=
x y 5 x 5 y
xy 6 (5 y)y 6
+ = = −
= − =
2
x 5 y
y 5y 6 0
= −
− + − =
x 2 y 3 x 3 y 2
=
=
=
=
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm.
III. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Bằng phương pháp thế hãy giải các hệ phương trình sau:
a) x y 3 3x 4y 2
− =
− =
b)
x y
2 3 1 5x 8y 3
− =
− =
c) 2(x y) 3(x y) 4 (x y) 2(x y) 5
+ + − =
+ + − =
d)
( )( )
( )( )
x 1 y 1 xy 1
x 3 y 3 xy 3
+ − = −
− + = −
Bài 2: Bằng phương pháp cộng đại số giải các hệ phương trình sau.
a)
( )( )
( )( )
x 1 y 1 xy 1
x 3 y 3 xy 3
+ − = −
− + = −
b) 5(x 2y) 3(x y) 99 x 3y 7x 4y 17
+ − − =
− = − −
c) (x y)(x 1) (x y)(x 1) 2(xy 1) (y x)(y 1) (y x)(y 2) 2xy
+ − = − + + +
− + = + − −
d)
x y x y
2 4
x y
3 5 1
+ −
=
= +
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
a)
1 1
x y 1
3 2
x y 7
+ = −
− =
b) 2x 1 4y 18 3 2x 1 y 10
+ + =
+ + =
v
c)
x 1 1
x 3 y 4 12
8x 15
x 3 y 4 1
+ =
+ +
+ =
+ +
d)
7 4 5
x 7 y 6 3
5 3 13
x 7 y 6 6
− =
− +
+ =
− +
e)
7 5 9
x y 2 x y 1 2
3 2
x y 2 x y 1 4
− =
− + + −
+ =
− + + −
f)
4 1
y 1 x 6
20 3
y 1 x 5
− =
−
+ =
−
g)
4 5
2x 3y 3x y 2
3 5
3x y 2x 3y 21
+ = −
− +
− =
+ −
Bài 4: Giải các hệ phương trình đẳng cấp, hệ phương trình đối xứng sau:
a)
2 2
2 2
x xy y 29 5x xy y 11
+ − =
− − = −
b) x2 y 22xy 5 x y xy 7
+ + =
+ + =
c)
2 2
2 2
3x 2xy y 11 x 2xy 3y 17
+ + =
+ + =
d)
2
2 2
y 3xy 4 x 4xy y 1
− =
− + =
