50 bài tập về Các dạng bài tập Phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án 2022) - Toán 9

Phương trình bậc hai một ẩn

A. Lí thuyết.

- Dạng tổng quát: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) ²

- Biệt thức:  b²- 4ac;  ' b'²- ac (với b = 2b’) - Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x₁ x₂ ^b

  2a +) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 2

b b

x ; x

2a 2a

     

 

- Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn:

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x₁ x₂ ^{b '}

   a +) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 2

b ' ' b ' '

x ; x

a a

     

 

- Hệ thức Vi – ét: Cho phương trình bậc hai một ẩn ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) . Nếu ²

1 2

x , x là nghiệm của phương trình thì ta có:

1 2

1 2

S x x b

a P x .x c

a

    



  



B. Các dạng bài tập và ví dụ minh họa.

Dạng 1: Cách giải phương trình bậc hai một ẩn.

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình về dạng tổng quát: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) ² - Tính biệt thức:  b²- 4ac hoặc  ' b'²- ac (với b = 2b’) +) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x₁ x₂ ^b

  2a +) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 2

b b

x ; x

2a 2a

     

 

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x₁ x₂ ^{b '}

   a +) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 2

b ' ' b ' '

x ; x

a a

     

 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình x² 3x  2 0. Lời giải:

Xét phương trình x² 3x 2 0 có: a = 1, b = -3, c = 2 Ta có:

2 2

        

Vậy phương trình x² 3x  2 0 có hai nghiệm phân biệt là:

1

b ( 3) 1 3 1

x 1

2a 2.1 2

      

   

2

b ( 3) 1 3 1

x 2

2a 2.1 2

      

   

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}

Ví dụ 2: Giải phương trình x² 2x 1 0  . Lời giải:

Xét phương trình x² 2x 1 0  có: a = 1, b = -2  b’ = -1, c = 1 Ta có:  ' b'²ac ( 1)² 1.1 1 1 0  

Vậy phương trình x² 2x 1 0  có nghiệm kép: x₁ x₂ ^{b ' ( 1)} 1

a 1

  

   

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}

Dạng 2: Kiểm tra một số có phải là nghiệm của phương trình . Phương pháp giải:

Để kiểm tra một số x có là nghiệm của phương trình a₀ x + bx + c = 0 (a ≠ 0) hay ² không, ta thay x vào phương trình để kiểm tra: ₀

+) Nếu ax + b₀² x₀ + c = 0 thì x₀ là nghiệm của phương trình.

+) Nếu ax + b₀² x₀ + c ≠ 0 thì x₀ không là nghiệm của phương trình.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Kiểm tra xem x = 3 có phải là nghiệm của phương trìnhx² 3x  4 0 không ?

Lời giải:

Ta có: 3² 3.3  4 4 0

Do đó, x = 3 không là nghiệm của phương trìnhx² 3x 4 0 Ví dụ 2: Bạn Hằng cho rằng x = 1 luôn là nghiệm của phương trình

x2 2mx2m 1 0  (m là tham số). Theo em, bạn Hằng đúng hay sai ? Vì sao ? Lời giải:

Ta có:

12 2m.1 2m 1 0  

Do đó, x = 1 luôn là nghiệm của phương trình x² 2mx2m 1 0  (m là tham số). Vậy bạn Hằng đúng.

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc hai chứa tham số:

Phương pháp giải:

Biện luận phương trình : ax + bx + c = 0 ² TH1: a = 0

Phương trình trở thành phương trình bậc nhất: bx + c = 0 Khi đó, ta có:

Nếu b khác 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất là: x ^c b

 

Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

Nếu b = 0 và c khác 0 thì phương trình vô nghiệm.

TH2: a khác 0

Tính biệt thức:  b²- 4ac hoặc  ' b'²- ac (với b = 2b’) +) Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x₁ x₂ ^b

  2a +) Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 2

b b

x ; x

2a 2a

     

 

Hoặc

+) Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x₁ x₂ ^{b '}

   a +) Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 2

b ' ' b ' '

x ; x

a a

     

 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình 2x² 3x   m 5 0 (m là tham số) Lời giải:

Xét phương trình 2x² 3x   m 5 0 có: a = 2  0, b = 3, c = m – 5 Ta có:  b² 4ac 3 ² 4.2.(m 5) 9 8m   4049 8m

Nếu 0 49 8m 0 m ⁴⁹

       8 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

1 2

3 49 8m 3 49 8m

x ; x

4 4

     

 

Nếu 0 49 8m 0 m ⁴⁹

       8 thì phương trình có nghiệm kép là:

1 2

x x 3 4

  

Nếu 0 49 8m 0 m ⁴⁹

       8 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình (m 1)x ² 3x 5 0 (với m là tham số) Lời giải:

Xét phương trình (m 1)x ² 3x 5 0 (*) có: a = m – 1, b = 3, c = 5 TH1: m – 1 = 0  m = 1

Phương trình (*) trở thành phương trình bậc nhất: 3x + 5 = 0 Do đó, phương trình có duy nhất một nghiệm là: x ⁵

3

 

TH2: m 1  0 m1 Khi đó, ta có:

2 2

b 4ac 3 4(m 1).5 9 20m 20 29 20m

          

Nếu 0 29 20m 0 m ²⁹

       20 thì phương trình vô nghiệm

Nếu 0 29 20m 0 m ²⁹

       20 thì phương trình có nghiệm kép:

1 2

3 3 10

x x

2(m 1) 29 3

2 1

20

  

   

   

Nếu 0 29 20m 0 m ²⁹

       20 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

1 2

3 29 20m 3 29 20m

x ; x

2(m 1) 2(m 1)

     

 

 

Dạng 4: Xét dấu nghiệm số của phương trình bậc hai và các bài toán liên quan.

- Xét dấu nghiệm phương trình ax + bx + c = 0 (a khác 0) ² + Phương trình bậc hai có hai nghiệm x , x_{1 2} cùng dấu

1 2

0 x .x 0

 

  

+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm x , x cùng dấu dương _{1 2 1 2}

1 2

0 x .x 0

x x 0

 

 

  



+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm x , x_{1 2} cùng dấu âm _{1 2}

1 2

0 x .x 0

x x 0

 

 

  



+ Phương trình bậc hai có hai nghiệm x , x_{1 2} trái dấu ac0 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho phương trình x² 5x 3 0. Không tính cụ thể giá trị nghiệm, hãy xét dấu nghiệm của phương trình.

Lời giải:

Xét phương trình x² 5x 3 0 ta có:

( 5)2 4.1.3 25 12 13

       > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x _{1 2}

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

1 2

x x ( 5) 5 0

1 x .x 3 3 0

1

      



   



Do đó, hai nghiệm x , x_{1 2} cùng dấu dương

Ví dụ 2: Cho phương trình: x² 2x 1 m  ² 0 (m là tham số) a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương

b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm cùng âm c) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Lời giải:

Xét phương trình: x² 2x 1 m  ² 0

Ta có:   ( 2)² 4.1.(1 m ) ²   4 4 m² m²

Để phương trình có nghiệm thì:   0 m²   0 m

Vậy phương trình có nghiệm với mọi tham số m, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

2

2 1 2

x x ( 2) 2

1

x .x 1 m 1 m

1

    



    



a)

Để hai nghiệm cùng dương thì ta có:

1 2 2

2 1 2

2 0

x x 0

m 1 1 m 1

x .x 0 1 m 0

   

       

    

 

Vậy khi -1 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm cùng dương b)

Để hai nghiệm cùng âm thì ta có:

1 2

2 1 2

2 0

x x 0

x .x 0 1 m 0 m



  

   

    

 

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm cùng âm c)

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì khi và chỉ khi:

2 2 2 m 1

a.c 0 1.(1 m ) 0 1 m 0 m 1

m 1

 

            

Vậy khi m > 1 hoặc m < -1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Giải phương trình x² 7x  8 0 Bài 2: Giải phương trình 2x² 5x 13 0  Bài 3: Giải phương trình x² 6x 9 0

Bài 4: Hãy cho biết x = 3 có phải là một nghiệm của phương trình x² 7x 12 0 hay không ?

Bài 5: Hãy cho biết x = 2 có phải là một nghiệm của phương trình mx2 (2m 1)x  2 0 hay không ?

Bài 6: Giải và biện luận phương trình 2mx² (m 1)x  6 0 Bài 7: Giải và biện luận phương trình 4x² 7mx  6 0 Bài 8: Giải và biện luận phương trình 4x² 7mxm²  1 0

Bài 9: Không tính cụ thể giá trị nghiệm, hãy xét dấu nghiệm của phương trình 3x2 6x 2 0.

Bài 10: Tìm điều kiện của m để phương trình x² 6mx 2 0 có hai nghiệm cùng dấu âm.

Bài 11: Tìm điều kiện của m để phương trình x² 5x2m0 có hai nghiệm trái dấu.

Bài 12: Tìm điều kiện của m để phương trình mx² 5mx 4 0 có hai nghiệm cùng dấu.